CC BY
21Ярославский педагогический вестник. 2000. № 1 (23)
бя есть цель и ты идешь к ней, наслаждаясь каждым днем. И второе: ты настолько счастлив, что тебе хочется такого же счастья друзьям и врагам, всем, кто тебя окружает. Я считаю последнее - настоящим счастьем.» (Лариса М. 1 курс, лицей.)
Наша работа по формированию комму-никативно-деятельностной личности лицеиста на основе текста еще не закончена, однако результат, к которому мы пришли после 1 года обучения, говорит о многом: учащиеся стали умело создавать устные и письменные высказывания на уроках литературы и русского языка.
Следует подчеркнуть, ЧТО они проявляют неподдельный интерес к учебному материалу, а это повлекло более осознанное восприятие ими получаемой информации. Совершеннее стали письменные и устные речевые опыты лицеистов. И, самое главное: учащиеся утвердились в мысли об ответственности за качество произнесенного слова.
В.Ф. Чаплыгин
О некоторых трудностях, возникающих при решении геометрических задач
Анализ результатов приемных экзаменов в университет, опыт работы со школьниками, слушателями подготовительных отделений, студентами-математиками, готовящими себя к педагогической деятельности, дает основайия сделать вывод о том, что при решении текстовых задач учащиеся испытывают значительно больше трудностей, чем при решении уравнений и неравенств. Это отчасти объясняется тем, что для решения уравнений, неравенств или их систем можно использовать некоторый набор известных алгоритмов и приемов, так как сама задача уже формализована, математизирована, а для текстовой задачи математическую модель учащийся должен составить самостоятельно, поэтому задачи,- в том числе геометрические, о которых пойдет речь, требуют существенно больших логических усилий. Мы коснемся здесь, в основном, задач на вычисление.
Решение более или менее серьезной задачи требует, во-первых, тщательного ее анализа. Учащийся должен ясно осознать, что же ему известно, как связаны между собой данные ве-
личины, какие следствия из них можно получить, что необходимо найти в задаче и что требуется для этого знать. Анализ при этом может носить не только однонаправленный характер (от данных величин к искомым или наоборот), но и встречный, когда движение совершается в двух противоположных направлениях.
Трудным моментом является выбор метода, который приведет к решению задачи наикратчайшим путем. Он, как правило, неоднозначен, и почти каждая задача допускает не одно решение (имеется в виду не результат, а процесс). Рассуждения, используемые для решения, могут быть чисто геометрическими или позаимствованными из алгебры или тригонометрии. К сожалению, приходится констатировать слабые знания учащимися простейших утверждений, фактов, формул. Они затрудняются в измерении углов, связанных с окружностью (вписанных, центральных, составленных хордой и касательной, образованных хордами, пересекающимися внутри окружности, или секущими, исходящими из одной точки вне окружности), не знают свойств касательных и секущих, вписанных и описанных многоугольников, теорем синусов и косинусов, связь значений тригонометрических функций с отношениями сторон прямоугольного треугольника. Хорошо известно, что немаловажную роль в решении геометрических задач имеет чертеж. Если он выполнен верно, то поможет в правильном выборе решения, если ошибочен - то может привести на ложный путь. Говоря об этом, мы не призываем к тому, чтобы включать в курс школьной геометрии как можно больше теорем (на все случаи жизни), а предлагаем создавать комплексы задач, сгруппированных по принципу общих идей или методов решения. Решая задачу, следует обращать внимание учащихся на моменты, помогающие правильно выбрать способ решения, прививать вкус к таким задачам, вселять веру в их творческие возможности, развивать логические способности и интуицию.
Приведем примеры задач, которые нам представляются интересными. Первые три задачи используют подобие.
Задача 1. Прямоугольный треугольник ABC с катетами АС= 3, ВС-2 вписан в квадрат. Известно, что вершина А совпадает с вершиной квадрата, а вершины В и С лежат на сторонах квадрата, не содержащих точку А. Найти площадь квадрата.
d
В силу равенства отмеченных углов (рис.1) треугольник АС О подобен треугольнику СБЕ =>
Рис.1
Пусть AD=x, тогда
СЕ ВС
АР АС
1
DC= — x. 3
=> СЕ = -3
Так как
1 01 АЕ?+ВС1=АС2, то х2+-х2=9, х2=—. Таким
9 10
образом, площадь квадрата равна .
Задача 2. На сторонах ВС и СВ квадрата АВСБ выбраны соответственно точки Е и Fтaк,
что
CF 2 = — и К
точка пересечения от-
Рис.2
Пе-
по-
лучим
КЕ
резков BF и АЕ. Найти отношение КЕ:АК
Из подобия треугольников (рис.2) АКБ, ВКЕ и ABE следует ВЕ _ КЕ _ ВК _ 2
АВ ~ ВК ~~ АК ~ 5 ремножив равенства
2 ВК _ 2
ВК~ 5 И АК~ 5
ЛАГ 25 '
Эту задачу можно решить с помощью гомотетии или теоремы Фалеса, но, на наш взгляд, предложенное решение предпочтительнее.
Задача 3. Диаметр окружности с центром О лежит на стороне AD четырехугольника ABCD, при этом AO=OD. Три остальные стороны АВ, ВС и CD касаются этой окружности. Найти AD, если АВ =а и CD=b.
Пусть в треугольнике ABO (рис.3) ZBAO=a, ZABO=¡5, ZBOA=y и, следовательно, a+P+y=u. Так как ВО - биссектриса угла СБА, то ZC50=p.
Отсюда получаем
Если Р и - точки касания, то
МР0=£Ф<20 (они прямоугольные, 0Р=0<2,
АО=ОП) => ZgZЮ=Z.PЛO=a. Сумма углов
четырехугольника АВСВ равна 2к, поэтому
¿С=2тс-2а-2р.
А так как СО - биссектриса, то
обРазом= треугольники АО В и
3 АО С£>
ОСО подобны и -=-
АВ ОБ
равенства АООО=АВСО=аЬ =>
АО=ОИ= ~1аЬ яАО=2^аЬ .
А в следующих двух задачах учащиеся должны вспомнить свойства вписанных и описанных четырехугольников.
Задача 4. На стороне ВС параллелограмма АВСП выбрана такая точка Е, что
-^-=2. Известно,
Е ЕС Вк--,-чС что трапеция А ЕС О
обладает следующими свойствами:
1) в нее можно вписать окружность; рис 4 2) около нее
можно описать ок
ружность. Найти величину угла В АО. В силу свойств, которыми обладает трапеция АЕСВ (рис.4), она равнобокая (АЕ=Си) и 2АЕ=ЕС+АИ,
Пусть ВС=Ъа, тогда ВЕ=2а, ЕС=а => 2АЕ=ЕС+АЕ>=Аа => СП=АЕ=2а. Таким образом, АВЕА - равносторонний =>
¿АВС=-60° => ¿ВА1>=Ш°.
Далеко не все учащиеся могут доказать, почему трапеция, около которой можно описать окружность, является равнобокой.
Задача 5.Сумма углов при основаниии 4 л
ВС трапеции АВСИ равна . Найти величине СО АЛ ВС 1Л
ну-н--, если известно, что--+-=10
СИ АВ ВС АИ
и в трапецию АВСИ можно вписать окружность.
Пусть СЩАВ (рис.5), тогда СЕ=АВ и в
я
силу условия задачи следует, что ZJ:7CZ)= — . По теореме косинусов
ГО^С^С^^ССОсоэ — =>
3
Ярославский педагогический вестник. 2000. N9 1 (23)
Рис.5
(АР-ВС)2=АВ2+С
р2-авср.
Так как в трапецию АВСР можно вписать окружность, то АР+ВС=АВ+ СР ■=>
(АО+ВС)1=(АВ+СР)2. (2)
Разделив равенство (1) на равенство (2), получим
АР2 -2АР-ВС + ВС2 _
АР2 +2АР-ВС + ВС2 ~
АВ2 +СР2 -АВСР
~ АВ2 +2АВ-СР + СР2 Разделив далее числитель и знаменатель левой дроби на произведение АРВС, а правой части - на АВСР, получим
АР ВС
ВС АР
АР . ВС
----- +2 +-
ВС АР
■1
АВ CP
CP + АВ
АВ . CP
--+ 2 +--
CP АВ
АВ CP
Откуда, положив -+-=t и учиты-
3 CP АВ
= 10, имеем t=l.
х + у х + у
2Ьу _ Ь(х - у)
тельно, ML=MB-LB=b-
х+у х+у
Таким образом, приходим к системе 'Ь(х-у)
= а,
х + у
-:-+у2=4Ь2
Ъ2{х2 -2ху +у2)
х2 +2 ху + у2 X2 + У2 = 4Ь2
-а
b2(4b2
-2 ху)
4 b^iy 2 ху Решая это уравнение
относительно ху, находим
)
а
с _1 _b2(b ¿ЛЛВС--ХУ--"7,2
2 а + b
Следует обратить вни-Рис.6 мание учащихся на то, что из
полученной системы уравнений искать значения переменных х и у совершенно излишне.
Задача 7. Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, проведенная к нему высота - 12 см. Вершины треугольника служат центрами кругов, каждый из которых касается двух других внешним образом. Найти радиусы кругов, которые касаются трех указанных кругов внешним и внутренним образом.
Пусть Е, Г, Р,К,Н- точки касания, радиус окружности с центром в точке 0\ равен г, а с центром в точке 02 - В (рис.7). Так как ¿0=5, АВ=13, то 8, 50,=8+г, АОг=5+г, Оф=4~г.
Из прямоугольного треугольника АО!)
(5+г)2=25+(4-Г)2,
18г=1б,
АР ВС
вая, что--1--
ВС АР
В этой задаче при неудачном выборе решения оно может оказаться очень громоздким.
Весьма поучительно, на наш взгляд, решение следующей задачи.
Задача 6. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла С проведена биссектриса CL и медиана СМ. Найти площадь треугольника ABC, если LM=a, CM=b.
Пусть АС=х и ВС=у , где х>у (рис.6), тогда х2+у2=4Ь2, и по свойству биссектрисы
LB у
B02=R- 8, 0,Р= 12-(i?-8)=20-i?, 02А =R-5, и, следовательно, из прямоугольного треугольника А 02Р имеем
(Д-5)2=(20-Л)2+25 => R-
= 13-
1
40
3 3
Здесь следует напомнить учащимся, что прямая, проходящая через центры двух касающихся окружностей, проходит через точку их касания,
и, следова-
Рис.7
В заключение приведем одну задачу на доказательство, которая требует от учащихся достаточно высокой логической культуры.
Задача 8. Докажите, что треугольник является равнобедренным в том и только в том случае, когда равны биссектрисы двух внутренних углов.
Если в треугольнике ABC (рис.6) АВ=ВС, то углы А и С равны и равны треугольники ВАЕ
и BCD, так как ZB -общий и ZBAE=-=ZBCD, следовательно, AE=CD. Докажем справедливость обратного утверждения. Пусть биссектрисы АЕ и CD углов А и С треугольника ABC равны. Докажем, что
ZA-ZC. =>
- ABACsinA- - ABAEsin — + - AEACsin — 2 2 2 2 2
=> 2ABACcos — ~{AB+AC)AE =>
2AB-AC cos-
_2_
AB + AC
Разделив числитель и знаменатель дроби на произведение ABAC и обозначив
АВ=с, АС=Ь, ВС=а, получим
о А 2-cos -
АЕ - ——--, аналогично, биссектриса
+ _
Ъ с
С
2-cos—
CD - ——. Если допустить, что ZA*Z.C, Ъ а
А С
например, ZA<Z.C, то cos — >cos — и а<с =>
— >— AE>CD, получили противоречие. а с
Приведенные в статье задачи предлагались на вступительных экзаменах в различных вузах России, в том числе и в Ярославском госуниверситете.
Литература
1. Пойа Д. Как решать задачу. М.: Учпедгиз,
1961.207 с.
2. Смирнов Е.И. Технология наглядно-модельного обучения математике. Ярославль, 1997. 323с.
3. Чаплыгин В.Ф., Чаплыгина Н.Б. Задачи вступительных экзаменов по математике. Ярославль, 1991. 140с.
4. Чаплыгин В.Ф. Чаплыгина Н.Б. Задачи вступительных экзаменов по алгебре и геометрии. Ярославль, 1999. 112с.
5. Сборник задач по математике для поступающих в вузы / Под ред. А. И. Прилепко. М.: Высшая школа, 1989. 271с.
6. Зафиевский A.B.. Вступительные экзамены по математике в 1998 году. Ярославль, 1999. 36с.
7. Лидский В.Б., Овсянников Л.В., Тулайков А.Н., Шабунин М.Н. Задачи по элементарной математике. М.: Физматгиз, 1960. 463с.
В. В. Секацкий, Г. И. Худякова
Элементы теории матричных игр в курсе математики
Теория игр - это раздел математики, изучающий математические модели принятия оптимальных решений в условиях неопределенности.
Истоки ее можно найти еще в работах Б.Паскаля. В 1921 году Э.Борель изучал матричные игры. Начало современной теории игр относят к 1928 году, когда была опубликована работа Дж. Неймана «К теории стратегических игр». Помимо разнообразных связей внутри математики, теория игр получила многообразные приложения в других отраслях знаний, особенно в военном деле и капиталистической экономике. При переходе к рынку в нашей стране элементы теории игр стали в обязательном порядке входить в учебные планы подготовки специалистов финансово-экономического профиля.
Несмотря на обширную научную литературу по теории игр, доступные учебные пособия для студентов (курсантов) экономических вузов явно редки.
В данной работе авторы пытаются в какой-то мере восполнить этот пробел, главным образом рассчитывая на внимание преподавателей и курсантов ЯВВФЭУ и студентов естественно-научных специальностей педвузов.
Для простоты мы не будем использовать
В
Рис.8
Smbc~S&bae+Saeac
