О некоторых свойствах нелинейных уравнений специального вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

условия ю>> | e I B/mc (с — скорость света в вакууме, m- масса электрона) уравнение (19) можно решать последовательными приближениями. С

точностью до члена первого порядка по в получим:

у'=-ІЄв- e

mra ш2ю2с

[Ё X в J;

(20)

2

после чего найдем индукцию электрического поля D ЭМИ КВЧ-диапазона в виде:

D =е(ю)Ё + if(ro)[E х В}, (21)

где є(ю) = 1 -

4л№

2

ши

2

( N—число электронов во всех

атомах единицы объема биосреды). Во вращающемся электрическом поле КВЧ-диапазона имеем:

D = е(ю)Ё + if(ra)[E х й]+

s2(m)f2(rn)

4

Ё х Ё х E

(22)

при этом в соотношениях (20) -(22) биосреда предполагается изотропной. Для f(ffl) получаем:

f(ffl)

3 I I

4^Ne _ \e\ ds cmV 2mc dro

(23)

Выводы

1. Анализ соотношений (9)-(11), (17), (18), (23) показывает, что ЭМИ КВЧ-диапазона круговой поляризации, падающее на поверхность биосреды (кожи), при отражении от последней приводит к возникновению эллиптически-поляризованного КВЧ ЭМИ.

УДК 681.32:519.713 "

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

ЕВДОКИМОВ А.А.

Приводятся свойства решений нелинейных уравнений специального вида, характерных для математических моделей потокораспределения широкого класса трубопроводных транспортных систем. Доказывается единственность решения этих уравнений и дается оценка скорости сходимости некоторых методов ее решения.

Для широкого класса трубопроводных транспортных систем (водопроводных, тепловых ,газовых , шахтной вентиляции и т. д.) и нелинейных цепей постоянного тока возникает необходимость в решении задачи анализа, которая сводится к разработке математической модели установившегося потокораспределения в этих системах [1]:

2. Наличие естественной оптической активности биосреды и дисперсии ее диэлектрической проницаемости є(ю) может существенно повысить информационно-диагностическую значимость коэффициента отражения кожной поверхности в миллиметровом диапазоне ЭМИ (в особенности, в области аномальной частотной дисперсии є(ю), вблизи линии поглощения (резонансной частоты f«60 ГГц)).

Литература: 1.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 620с. 2. Ситько С.П, Мкртчян Л.Н. Введение в квантовую медицину. -К: Паттерн, 1994. 146с. 3. Иванченко И.А. и др. О коэффициенте отражения кожной поверхности в миллиметровом диапазоне ЭМИ// Фундаментальные и прикладные аспекты применения миллиметрового электромагнитного излучения в медицине. К.: Отклик, 1989. 174с.

Поступила в редколлегию 23.07.2000

Рецензент:

Човнюк Юрий Васильевич, канд. техн. наук, доцент, профессор Высшей школы экономики и деловой администрации "АЖИО-КОЛЛЕДЖ” (г.Киев), старший научный сотрудник Научно-исследовательского центра квантовой медицины “ВІДГУК” Министерства здравоохранения Украины. Адрес: Украина, 252033, Киев, ул.Владимирская, 61-б, тел. 244-44-39.

Овсянникова Татьяна Николаевна, канд. техн. наук, старший научный сотрудник Научно-исследовательского центра квантовой медицины “ВІДГУК” Министерства здравоохранения Украины. Адрес: Украина, 252033, Киев, ул.Владимирская, 61-б, тел. 244-44-39.

Рудько Борис Федорович, канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник, заведующий отделом специальных измерений Научно-исследовательского центра квантовой медицины “ВІДГУК” Министерства здравоохранения Украины. Адрес: Украина, 252033, Киев, ул.Владимирская, 61-б, тел. 244-44-58.

fr = rrOXXr) - arWXXr) +

+ ZкХг&Хх)-avXx)]=0 (r єM2), (1)

їєМі ' '

Хг = Z b1riXr О Є Ml),

T&M 2

(2)

где oXX] )(j € M) — монотонно возрастающая нечетная функция X. ; а Ц/ . (x . )(] Є M) — монотонно убывающая или постоянная функция x], т.е.

XI- XУ -у Г X J(] еM*

дфХХХ

dx.

>

0 (] є M),

(3)

(4)

162

РИ, 2000, № 3

dvXxi)

dx.

< 0 (j є M).

(5)

Здесь M- множество дуг графа трубопроводной транспортной системы; r., x. — аэро- или гидродинамическое сопротивление и расход целевого продукта j-го участка трубопровода; Б1 —матрица фундаментальный циклов для ветвей дерева; M 1, M 2 —множество дуг графа, отнесенных к ветвям дерева и хордам соответственно;

x = [xj, j ЄM] = [xJ, x2 ]; x^ = [xt,i єMj;

X2 T = ixr , Г Є M 2] •

Предполагается, что в каждом магистральном участке может находиться активный источник, направление которого совпадает с выбранным направлением этого участка; а. = 1, если в j-м участке есть активный элемент, и а. = 0 — в противном случае. При этом, хотя бы для одного

j = к, ак * 0 •

Система (1), (2) при условиях (3)-(5) является системой /и (/и — цикломатическое число графа сети)

нелинейных уравнений при (v - l) линейном уравнении связи, где v—количество вершин этого графа. Причем jU + v -1 = e, где e = cardM • Решение системы (1), (2) относительно расходов целевого продукта называется решением прямой задачи анализа.

Рассмотрим ряд свойств решения нелинейных уравнений (1), (2) при выполнении условий (4), (5). Докажем единственность решения этой системы уравнений и оценим скорость сходимости ее решения:

1. Указанной системе уравнений однозначно соответствует функция

y = Zj (6)

juM у '

при условии (2), стационарная точка которой совпадает с ее корнем.

Действительно, если взять частную производную функции по xr (r є M2), приравнять нулю и учесть, что из (2) производная

dxj

dx„

= bi„(i є M^ r є MJ,

(7)

получим

dy

dx„

fr = 0 (r Є M J. (8)

Следовательно, вместо корня системы уравнений(1), (2) можно искать стационарную точку функции (6) при условии (2) , и наоборот.

2. Матрица первых частных производных уравнений (1) при условии (2) W, размерности /л1

тождественно равна матрице вторых частных производных функции (6) при условии (2) H, имеет положительные диагональные элементы, преобладающие над любым недиагональным элементом и его модулем в своей строке или столбце, если имеют место соотношения (4) и (5).

Элементы этой матрицы вычисляются по формулам:

, dpr dyr

w„„ = h,„ = r —- - а,,---- +

rr rr r r

dxr dxr

+ 1b

iri

дфі

r —- - а

dxi 1 dxi

(r є M J,

2), (9)

w

rk = hrk = Z b1ib

ri^ 1 ki

r —L - аг

dxi ’ dxi J , (10)

(r, к є M2; r Ф к).

2 (1

Действительно, поскольку b =< , а

' 1 1" l0

b1 nbrn 1, то^)

rk >r=к

и его модуль всегда

0

меньше, чем wrr, тем более, что wrr содержит,

кроме суммы, дополнительное положительное слагаемое

h

rr

dPj_

dx„

дуг

dxr '

3. Разложение функции (6) при условии (2) в ряд Тейлора в окрестности любой точки x2 можно представить в виде

ДУ =Z (xj ) - а^3 ixj) К- +

jGM

+

^ icM

r _ a d^Xx)

1 dxj 1 dxj

Ax : + ... +

+-z

n!^

І £M

___jxj

dx f-v>

- a

1 - («-!)

dx.

+...

(11)

r

РИ, 2000, № 3

163

При квадратичной аппроксимации функций сД*,)

и Щ j (x j) это разложение содержит только три члена.

4. При выполнении условий (4), (5) дифференциальная квадратичная форма

2 А*2 ИАх2 =

аДД a аДД

• Cl •

dx, dx,

Ax2, > 0

(12)

для любого x2 и Ax2, отличных от нуля. Поэтому матрица H=W—положительно определена в любой точке *, удовлетворяющей соотношению (2), а следовательно, функция (6) строго выпукла и имеет единственную стационарную точку точку-минимум. Как результат, система (1), (2) при выполнении условий (4), (5), несмотря на нелинейность, имеет решение и притом единственное, что и требовалось доказать.

Теперь попробуем оценить скорость сходимости методов решения системы уравнений (1), (2), сформулировав и использовав еще ряд свойств ее решения.

5. Функция (6) при выполнении условий (2), (4), (5) является не только строго выпуклой, но и сильно выпуклой.

Поскольку эта функция дважды дифференцируема, то нам необходимо показать справедливость

следующего соотношения [2, с.25]:

2 А*2 ИАх2 > m||Ах2 , m > 0, (13)

где А*2 = Ах 2 Ах 2 = ^Ахг2. (14)

ГЄМ2

1

> —

2

А

je-M 2

- Д* ) _ а ^ Дх)

1 д*] 1 д*]

Ах 2 j >

>

5фДхЛ а д WAxk)

J кУ^к

rk ' k v ' - а

dx.

dx.

Z-ч2 =

j ЄМ 2

= m ^ Ax2,

jeM 2

(15)

где

m = rk

d^A*k)

- a,

k

dx,

дф J*k)

d*k

= min

jGM 2

. ^Ф i(Xi) _ а і(Хі)

j dxj ] dxj

> 0.

(16)

Таким образом, функция (6) при выполнении условий (2), (4), (5) является сильно выпуклой, ибо для любого * и Ах , отличных от нуля, справедливо соотношение (13) , если число m выбрать согласно (16). При этом матрица вторых частных производных этой функции сильно положительна.

6. Обобщенный метод Ньютона решения основной задачи анализа с регулировкой шага и обобщенный метод Ньютона [2, с.70, 72] независимо от выбора начальной точки сходятся к точке минимума со сверхлинейной скоростью, а метод наискорейшего спуска- с линейной скоростью[2, с. 64]-следствие сильной выпуклости функции (6) при условиях (2),

(4), (5).

Литература: 1. Евдокимов А.Г. Информационно-аналитические системы управления инженерными сетями жизнеобеспечения населения, Харьков: Издательство ХГАГХ, 1998, 412 с. 2. Пшеничный Б.И., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука. 1975. 319 с.

Поступила в редколлегию 31.05.2000

Сделаем это в предположении, что х,

* 0 О

2 А*2 ИАх2 =

1

2

jcMi UM2

„ дфі (x!) _ а ^ d

1 д*] 1 д*]

Ах 2 j >

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Левыкин В.М.

Евдокимов Андрей Анатольевич, аспирант кафедры информатики Харьковского государственного автомобильно-дорожного университета. Научные интересы: рациональное управление трубопроводным транспортом. Адрес: Украина, 61166, Харьков, ул. Ленина, 5, кв. 30.

164

РИ, 2000, № 3