О некоторых соотношениях в теории вырожденных полугрупп операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

О НЕКОТОРЫХ СООТНОШЕНИЯХ В ТЕОРИИ ВЫРОЖДЕННЫХ ПОЛУГРУПП ОПЕРАТОРОВ

В.Е. Федоров

В теории вырожденных полугрупп операторов существенную роль играют понятия (L, р)-радиальпого и сильно (L, р)-радиального операторов. В данной работе показано, что в определенных ситуациях каждое из них подразумевает обобщение на случай вырожденных сильно непрерывных полугрупп условий Хилле - Иосиды на инфинитезимальный генератор (Со)-непрерывной полугруппы операторов. Кроме того, получены достаточные условия эквивалентности этих понятий. Аналогичные результаты получены и для (L, р)-секториальных и сильно (L, р)-секториальных операторов в случае вырожденных сильно голоморфных полугрупп.

Ключевые слова: вырожденная полугруппа операторов, инфинитезимальный генератор, теорема Хилле - Иосиды

Введение

Многие начально-краевые задачи для уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно производной по времени, удобно исследовать в рамках начальных задач для уравнения

Lu{t) = Mu(t), (1)

где линейные операторы L, М действуют из одного секвенциально полного локально выпуклого пространства U в другое - Т, при этом kerb ф {0}. Подходящим математическим аппаратом для исследования таких задач в локально выпуклых пространствах является теория вырожденных полугрупп операторов [1 - 3]. Речь идет о полугруппах, которые имеют нетривиальный проектор в качестве единицы. Это проектор вдоль ядра полугруппы на так называемое фазовое пространство уравнения (1).

В классической теории полугрупп [4, 5] главным образом рассматривается случай, когда единицей полугруппы является тождественный оператор. В дальнейшем такие полугруппы операторов будем называть невырожденными. Ключевыми результатами классической теории являются теоремы о порождении полугрупп операторов.

Для краткости назовем оператор А £ С1{Ы\ Т) (линейный, замкнутый и плотно определенный в U, действующий в Т) радиальным, если при некотором a G К имеет место соотношение (а, +оо) С р{А) и при этом равностепенно непрерывно семейство операторов

{((fj, - a)R,j,(A))n : ц е {а, +оо), п е N} .

Одной из теорем о порождении является теорема Хилле - Иосиды, которая утверждает, что оператор является инфинитезимальным генератором невырожденной сильно непрерывной полугруппы точно тогда, когда он радиален.

Оператор А Є С1(Ы;Т) называется векториальным, если при некоторых а Є R, в Є (7г/2,7г) сектор Sa^ = {ц Є С : | arg(/i — а)| < 9} С р(А) и равностепенно непрерывно семейство операторов

{(/i — a)Rlx{A) : /х Є So,#} .

Теорема Соломяка - Иосиды утверждает, что оператор является инфинитезимальным генератором невырожденной сильно голоморфной полугруппы точно тогда, когда он секториа-лен.

При получении теорем о порождении вырожденных полугрупп операторов роль радиального (секториального) оператора играет сильно (L, р)-радиальный (сильно (L,p)~ секториальный) оператор [2, 3, 6 - 8]. Непосредственное обобщение радиальности или сек-ториальности, то есть равностепенная непрерывность семейств

| “ °){цкЬ - My'bj : цк Є (о,+ оо), k = п Є n| ,

і ( П a)L(nkL - М)-Л : цк Є (а, +оо), к = О^р, п Є N>

Кк=о

или семейств

a){HkL-M) L:nkeSa>e

- а)Ь(цкЬ - М) 1 : цк G Sa,e |

означает (L, р)-радиальность или (L, р)-векториальность оператора М. При этом речь идет о двух полугруппах уравнения (1) - на пространстве U и на пространстве Т. Сильная (L,p)~ радиальность (сильная (L, р)-секториальность) подразумевает, помимо (L, р)-радиальности ((£,р)-секториальности), выполнение еще двух дополнительных условий того же типа, достаточных для существования единицы полугруппы на всем пространстве и для существования оператора Ь^1{Т1\Ы1) (линейного непрерывного из J1 в W1) - непрерывного обратного к сужению оператора L на фазовое пространство уравнения (1). Однако во многих задачах эти дополнительные условия проверить сложнее, чем непосредственно показать существование единиц полугрупп и оператора Главная цель работы - установить

эквивалентность понятий сильной (L, р)-радиальности (сильной (L, р)-секториальности) и (L, р)-радиальности ((L, р)-секториалыгости) при условии существования единиц полугрупп и оператора L^1 {Т1-,Ul).

1. Предварительные сведения

Пусть Ы, Т - секвенциально полные локально выпуклые линейные топологические пространства, X - некоторое множество индексов. Обозначим через Я (5) множество всех полунорм, непрерывных в топологии пространства Ы {Т). Будем говорить, что семейство операторов (Ф(х) € С{Ы\Т) : х € X} равностепенно непрерывно относительно значений параметра х, если для любой полунормы г € # существует полунорма д € Я такая, что для всех х € X, и ЕЫ выполняется г(Ф(ж)и) < д(п).

Для операторов Ь € £(Ы',Т) (линейный непрерывный язЫ в Т), М € С1(Ы]Т) введем обозначения

рь{М) = {fj.eC: (цЬ - МГ1 е С{Г\Ы)}, аь{М) = С \ /(М),

- м)~1ь’ Ч,р)(м) = П - м)-\

к=0 А:=0

И0 = кегЛ^М), Р> = каЬ^М),

1,1 = 1тД£.,р)(М>- ^=1тЬм(м)

(замыкание в топологии пространства Ы или Т соответственно). Через Ьк (Мк) обозначим сужение оператора Ь (М) на Ык ^отМ*; = 1Ак П domM), к = 0,1. Нетрудно убедиться, что [тЬо С Р0, 1тМо с ^г0.

Лемма 1. Пусть оператор М (Ь,р)-радиален. Тогда

(1) если для отображений из в Ы° выполняется теорема о замкнутом графике, то существует оператор М^1 £ С(Т°;К°)]

(И) операторы Н = М^1Ьо, J = ЬоМ^1 нилъпотентны степени не больше р;

(Ш) Иш (ц11и{М))р+1и = и У и £ 1АХ\

ц-^+оо р

(IV) Иш (^(МГ/^/У/еЯ;

ц—^+оо ^

(V) Ы° 0 и1 С и, 7^ © Т1 С Т.

Уравнение (1) и эквивалентное ему уравнение

Ь(аЬ - МУ1/ = М(аЬ - М)-1/

на пространстве Т рассмотрим как конкретные интерпретации уравнения

АЬ = Вь, (2)

где операторы А £ £(У, УУ), В £ С1(У, УУ), V, УУ - секвенциально полные локально выпуклые линейные топологические пространства. Решением уравнения (2) назовем вектор-функцию V £ С'1(М_|_; V), удовлетворяющую (2) при £ > 0. Здесь использовано обозначение М+ =

{0} им+.

Определение 1. Отображение V(•) : Ж+ —> £(У) называется разрешающей полугруппой уравнения (2), если

(1) V(й)У(£)« = У(й + <С)г? для любых «, £ > 0 и любого V из V;

(и) г>(£) = V(1)у есть решение уравнения (2) для любого V из плотного в V линеала;

(ш) для любого решения ь £ С'1(М+; У) и для всех Ь > 0 выполняется и(£) £ ипУ(О).

Замечание 1. Последний пункт в определении вырожденной разрешающей полугруппы имеет смысл требования максимальности ее образа. Без этого требования всегда можно говорить, например, о разрешающей полугруппе нулевых операторов.

Полугруппу операторов будем называть экспоненциально ограниченной с константой о; € К, если семейство операторов (£) : t £ М+} равностепенно непрерывно.

Определение 2. Оператор М (Ь,р)-радиален, если

(I) За £ М (а,+оо) С рь(М)\

(II) равностепенно непрерывны семейства операторов

( р \п }

к(»,р) (М) П (Рк - а) ) : А* = (мо, ...,Цр)£ (а, +оо)р+1, п € N > ,

< к=0 / )

| П ~ : ^ • • • ’Мр) € (а> +°о)р+х,п е м|.

Замечание 2. Определение 2 обобщает аналогичное определение, введенное в случае банаховых пространств в [9, 10].

Теорема 1. Пусть оператор М (1,,р)-радиален. Тогда существует экспоненциально ограниченная с константой а сильно непрерывная разрешающая полугруппа {11(1) : £ > 0} ({-Р(£) : Ь > 0}) уравнения (1) ((2)), рассматриваемого на подпространствеЫ°®Ы1 (.7г0©.7г1).

Доказательство. Выполнение первых двух пунктов определения 2 доказано в [8], остается лишь показать, что выполняется пункт (Ш). Из уравнения (1) следует равенство и = Д^(М)(а — ^)и. Для решения уравнения (1) класса С7Р+1(К+;^) тогда можно получить равенство

/ а \ р+1 и = (Я%(М))Р+1 (а - —у и,

откуда следует, что и(£) € нпЛ^^(М). Осталось сослаться на плотность С?)+1(М+;^) в -\Ы). Более подробно подобные рассуждения проведены, например, в [8]. □

2. (Ь, р)-радиалыюсть и прямые суммы

Представление 1А = Ы° ®141 {Т = Т® ® Т1) равносильно существованию проектора Р (ф) вдоль Ы° (.7го) на Ы1 (Т1).

Предложение 1. Пусть оператор М (Ь,р)-радиален, ІІ = Ы° ф Ы1, Т = ф Т1. Тогда (і)Р = 5-Дто(/х^(М)К+1;

(и)д = в- Ию (м^(М))^1;

[Л—>- + 00 ^

(Ні) ЬРи = С}Ьи Уи Є Ы;

(іу) Ми Є (ІотМ Ри € сІотМ и МРи = С}Ми.

Доказательство. Для и Є Ы имеем в силу леммы 1

(/іД£(М))р+1и = ^Ііт (^(М))р+1(Ри + (I - Р)и) =

1т {цВ^{М))р+1Ри = Ри.

Тем самым доказано утверждение (і), утверждение (іі) доказывается аналогично. Соотношение

М(^(М))р+1и = (^{М))р+1Ми Ми Є аошМ (3)

очевидно. Тогда, используя лемму 1, получим

Ііт М((лЯЇ(М))р+1и = Ит (ц^(М))р+1(дМи + (/ - <Э)Ми) =

^—>■+00 И /Л—>-+00 ^

Ііт (ріЬ^(М))р+1<2Ми = С}Ми Чи € сІотМ.

Устремим в (3) р —> +оо и, в силу замкнутости оператора М, получим утверждение (іу). Утверждение (ііі) доказывается аналогично с использованием непрерывности оператора Ь.

□

Обозначим через Ь\ (М\) сужение оператора Ь (М) на Ы1 (АотМх =1ЛХ П domM).

Предложение 2. Пусть оператор М (Ь,р)-радиален, Ы = Ы° ®Ы1, Т = .7го ® Т1. Тогда

(I) 6 С(Ы1-,Г1)-,

(и) М0еС1(и0-,Р0)] (Ш) М\ Е С1{иг\Т1).

Доказательство. По определению проектора и ЕЫ1 (/ Е Т1) тогда и только тогда, когда и = Ри (/ = <3/). Возьмем и ЕЫ1 (и Е domMl). Согласно предложению 1 Ьи = ЬРи = С^Ьи (Ми = МРи = С}Ми), поэтому ш\Ь\ С Т1 (йпМх С Т1).

Осталось показать, что domMo = Ы°, doпlMl = Ы1. В силу предложения 1 для любого иа Е domM имеем Риа Е domMl. Так как линеал domM плотен в пространстве Ы, для любого и Е Ы, в частности для и = Ри Е К1, существует обобщенная последовательность {иа} С domM, сходящаяся к и. Поэтому Риа —> Ри = и.

Плотность domMo показывается аналогично с использованием проектора (I — Р). □

Предложение 3. Пусть оператор М (Ь,р)-радиален, 1А =Ы° &Ы1, Т = © Т1. Тогда

существует оператор Е С1(Т1\Ы1).

Доказательство. Инъективность оператора Ь\ следует из того, что кег Ь с К0. Далее,

(Ь%(М)Г+1 = (^ - /)-1)^+1(/ - Р) + (Ь^(Мг)Г+1Р = (Ь^(Мг)Г+1Р,

так как «7 нильпотентен степени не больше р в силу леммы 1. Поэтому ппЬ^р^(М) = (М\) и Т1 С хтЬ\. Но \rnLi С] , следовательно, ип^]^ плотен в , а значит, плотно определен. □

Введем следующие обозначения: 51 = Ь^1М\ : dom<5'l —» Ы1, dom5'l = тгД^1 (Мх)-, Т\ = М\Ь^1: domTl —)■ Тх, domTl = ипЬ^1 (М\).

Теорема 2. Пусть оператор М (Ь,р)-радиален, Ы = И° (ВЫ1, Т = Т® . Тогда ипфини-тезимальным генератором полугруппы {и^) '■ Ь > 0} ({.^(й) : t > 0}) является оператор ^1 №).

Доказательство, этой теоремы не отличается от доказательства теоремы 5.1 [8], при этом сначала доказывается замкнутость операторов б1!, 7\. □

3. Сильная (1/,р)-радиальность

В этом параграфе будут приведены условия, при которых оператор непрерывен. Определение 3. Оператор М называется сильно (Ь,р)-радиальным, если он (Ь,р)-

О

радиален, для всех / из некоторого плотного в Т линеала Т и для любой полунормы г € $ существует константа с, зависящая от /, такая, что

г[(А - а) П(м* - 0)М(\Ь - М)”1 Ь^р)(М) А < с(/)

\ &=0 /

при любых ..., Цр Е (а, +оо), при этом равностепенно непрерывно семейство опера-

торов

|(А —а) Д (цк -а) Л^р)(М)(АЬ-М)“1 : А е (а,+ оо),ц = (р,0,... ,^р) Е (а, +оо)р+11.

I А:=0 J

Замечание 3. Определение 3 является обобщением аналогичного определения в случае банаховых пространств [10].

Замечание 4. В работе [10] показано, что в случае банаховых пространств из сильной (L, р)-радиальности оператора М следуют равенства U = U0 ф U1, Т = ф Т1. Для случая секвенциально полных локально выпуклых пространств этот факт доказывается аналогично.

Теорема 3. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален. Тогда оператор L^1 Е С(Т1\Ы1).

Доказательство. Пусть / Е imL^Р)(М), т. е. / = (Ljj(M))p+1g при некоторых /3 Е рь(М), g Е Т. Тогда получим

рр+2(11%(М))р+1(цЬ - М)-1/ - Ap+2{R{(M))p+1(\L - М)-1/ =

Р~\-1

Yj ^p+2-kXk(RL(M))p+1-k{R%{M))k{pL - М)-1-k=0

/j,p+1-kXk+l(R^(M))p+1-k(R^(M))k(\L - М)-1) / =

P+i

'^2pp+l-k\k{RL^(M))p+l-k{R^{M))k-1{\L - M)-1 (цЬ{цЬ - М)-1 - \L(\L - My1) / = k=0

Ynp+l-k\k{R^{M)Y+l-k{R{{M))k-l{\L - Му1М{{цЬ - М)~1 - (XL - Му1)/ = к=0

р+1

(А - !i) ^№ЬЛМ))р+1-к{Жьх(М))к(\Ь - M)-1M(p,L - МУ1/ = к=0

р+1

(А - М) £>Д£(М)Г+1-*(АД£ (M))k(XL - М)-Щ(М)(ЩМ)УМ(РЬ - M)~lg. к=0

Отсюда вследствие сильной (L, р)-радиалыюсти оператора М для любой полунормы г € 11 найдется такая полунорма q & что

г {pp+2(RL(M))p+1(pL - му V - \p+2(R$(M))p+1(\L - му1/) <

(и-1 + л-1, V 9(M(fiL - M)~lg) -» о

’ ^(l-aln)p+1-k(l-a/\)k(p-a)p

при /i, А —> +оо. Поэтому, учитывая плотность imв ^г1 и равностепенную непрерывность семейства операторов {fj,p+2(R^(M))p+1(/j,L — М)~1 : р, Е (а, +оо)}, мы можем утверждать, что существует оператор

L71 = 8- lim L-1 еЦТ1-^1),

1 (1-t+oo f1 \ 1 п

где L~l = f/,p+2(Rfi1 (Mi))p+1 (/iLi — Ml)-1. Здесь мы использовали замечание 4 и предложение 2.

Возьмем и = (RTp(M))p+lv при некотором v Eli. Обозначим wk = ((/3L — M)~lM)kv = (f3Rp(M) — I)kv, тогда

L~lLiu = (pR%(M))p+2u = (! + (pL - M)-lM)p+2u =

р+1

и + Е С*+2(11%(М))к(11%(М))г+1-кгик + (Я^(М)Г+1(рЬ - МГ1Мтр+1. к=1

Из сильной (Ь, р)-радиальности оператора М получаем

/г-1 г Х'' ^р+2Я(шк) ЧІМіПр+і)

г (Ь..1Ьіи-и) < У -р——'.V,- ...... , + ~--------> О

~ ^ (А*-о)/г(/5-а)г,+1-,г (д« - а)Р+2

при —)■ +оо.

Покажем, что семейство операторов {Ь~1Ьу : р Є (2а, +оо)} равностепенно непрерывно. Для любой полунормы г Є Я существует такая полунорма д Є что для всех р Є (2а, +оо),

•■(і;1/) = (1 - ((с - а)»+2(ЛЬ(Мі))р+1(/*іі - МО-1/) < 2р+2?(/) = «(/).

В силу непрерывности оператора і і для д Є # существует такая полунорма ді Є Я, что для всех и Є Ы1 ц(Ь\ и) < ці (и). Таким образом, для любой полунормы г Є Я существует такая полунорма <?і Є Я, что для всех р Є (2а, +оо), и Є К1 выполняется г(Ь~1Ь\и) < <?і(и).

Так как ітД^^(М) = И1, из всего вышесказанного получаем, что Ь^1Ь\и — и для любого и Є Ы1. Аналогично доказывается, что Ь\Ь^1 = I. □

Сужение {и%(і) : і > 0} ({.Рі(і) : і > 0}) полугруппы {II(і) : і > 0} ({^(^) : < > 0}) на подпространство и1 (Т1) является равностепенно непрерывной полугруппой класса (Со) [5].

При условии сильной (Ь, р)-радиальности оператора М введем также обозначения: Зі = Ьу1М\ : сІот5і —>■ Ы1, (іоніЗі = сІотМі; Т% = М\Ь: сІотТі —> Т1, сІотТ] = Ьг[йотМі]. Очевидно, что 5і Є С1{1А1), Т\ Є С1(Т1).

Теорема 4. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален. Тогда инфинитезимальным генератором полугруппы (£7і(і) : і > 0} ({-Р’і(і) : £ > 0}) является оператор Б\ (Ті).

Доказательство. Аналогично доказательству теоремы 6.1 в [10]. □

Следствие 1. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален. Тогда (і) {р € С : Кер > а} С рь(М)\

(И) семейства операторов {((Ііе/і — а)і?м(5і))п : Ке/і > а, п Є М}, {((Ие/і — а)Яц(Ті))п : Лер, > а, п Є М} равностепенно непрерывны.

Доказательство, (і) Возьмем р > а, тогда

р ~

(рі - М)-1и = У2 ркНкМог(1 -Р)и+ [ е-^и(Ь)Ь^1Ри(И Уи Є Ы к=0

согласно лемме 1, предложению 2 и теореме 3. Для А = р + іт рассмотрим экспоненциально ограниченную с константой а полугруппу {^(і) = е~гт1и(£) : £ > 0} с генератором 5 — іті. Тогда

(X) 00

(XI - Б)~гЬ^1 Ри = (р1 - (5 - ітІ))~1ЬїгРи = J е-^УфІ^Риії = ^ е^и^Ь^РисИ.

о о

Таким образом, правая часть этого равенства определена в комплексной полуплоскости {р Є С : їіе/і > а}, поэтому и про левую часть можно сказать то же самое.

(11) Утверждение следует из теоремы 2 [5, гл. IX, §4], если сделать замену Ц — а = А и рассмотреть резольвенты генераторов равностепенно непрерывных полугрупп класса (Со) б1! — а1, Т\ — а1. Действительно, в силу тождества (10) [5, гл. IX, §4] при положительных 11еА

+ 1 °°

q((Re\R\(Sx — al))n+1u) < ----- [ |е-Лі tndt supq(Ui(t)u) <

n\ J I t>о

о

OO

(ReAf+ [ e-tK*xtndtr{u) = r(u),

TV. J о

где {Ui(t) : t > 0} - порождаемая оператором S\ — al полугруппа. □

4. Основной результат

Выделим пять условий. Будем предполагать, что для отображений из Т в U справедлива теорема о замкнутом графике.

(А1) Существуют две экспоненциально ограниченные сильно непрерывные полугруппы {U(t) Є С(Ы) : t > 0}, {F(t) Є C(F) : t > 0} операторов.

Определим проекторы Р = £7(0), Q = F(0). Введем обозначения U° = kerP, U1 = imP, = ker Q, Tl = imQ; имеем U = U° Ф Ul, T = T® ® . Через {Ui(t) : t > 0} и

{Pi (t) : t > 0} обозначим сужения соответствующих полугрупп на подпространства U1 и Т1. Сужения являются невырожденными полугруппами. По теореме Хилле - Иосиды [5, гл. IX, §7] экспоненциально ограниченные с общей константой а (если константы разные, выберем наибольшую) сильно непрерывные полугруппы {Ui(t) : t > 0} и {Pi (і) : t > 0} обладают инфинитезимальными генераторами Si и Ті-

(А2) Существует линейный гомеоморфизм Li : U1 —> такой, что Lifdom^i] =

domTi, LiSi = TiLi.

(АЗ) Существует биективный оператор Mq Є

Отсюда следует существование оператора Mq1 Є £(JF°;W°).

(А4) Существует оператор Lq Є C(U°) JF°) такой, что оператор Н = MqXLq нильпо-тентен степени не больше р Є No-

(А5) L = L0(I - P) + LiP- M = Mq(I - P) + LiSiP, domM = domM0+domLiSi.

Теорема 5. Оператор M сильно (Ь,р)-радиален тогда и только тогда, когда выполнены все условия (Al) - (А5).

Доказательство. Необходимость условий (Al) - (А5) следует из результатов предыдущих параграфов. Покажем их достаточность. Имеем

р

(jaL - МГ1 = -J2 »кНкМъ1{1 -Q) + (ці - Si)~lL^Q, k=0

(Rlm(M)T = 0(1 - P) + П(Дм(5х))пР,

k=0

(LLM(M))n = О (I -Q) + f[(RM(Ti))nQ,

k=0

где Цк > ®, к = 0, р. Далее,

Я^р)(М)(ХЬ - М)-1 = 0(1 -<Э) + 1[(цк1 - 5і)-х(А/ - 51)-1ІГ1^,

к=О

М(ХЬ - М)-1^;Р)(М)/ = 0(І - Я)/ + (XI - ТгГ1 Д(^/ - Тх)"1^/.

к=О

° п .

Здесь / из плотного линеала Т= ^ -і-сІотТі. Из данных соотношений и выполнения условий Хилле - Иосиды для операторов 5”х и Т\ следует требуемое. □

Следствие 2. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален. Тогда для любого д Є N оператор М сильно (Ь,р + д)-радиален.

Для доказательства достаточно обратить внимание, что константа р среди достаточных условий сильной (Ь, р)-радиальности присутствует лишь в условии (А4).

Следствие 3. Оператор М сильно (1,р)-радиален тогда и только тогда, когда он радиа-лен.

Доказательство. Пусть К = Т, Ь = /. Тогда условия (А2) - (А5) становятся тривиальными, и остается лишь условие (А1) о существовании сильно непрерывной полугруппы, теперь уже невырожденной. При этом М = 5 - ее генератор и поэтому является радиальным оператором. □

(А2)’ Существует инъективный оператор Ь\ Є С(и1]Т1) с плотным в Т1 образом, при этом с!отІа5і = сіотТ]Ь{ и для всех и Є с1от£і5і имеет место равенство Ь\віи = ТіЬіи.

Теорема 6. Оператор М (Ь,р)-радиален и при этом имеют место равенства и = Ы0®!^1, Т = Ф Тх тогда и только тогда, когда выполнены все условия (А1), (А2)’, (АЗ) - (А5).

Доказательство. Теорема доказывается аналогично теореме 5. Надо лишь вместо теоремы 4 использовать теорему 2 и тот факт, что равенства Ы = Ы° ®Ы1, Т = фТ1 следуют уже из условия (А1). □

Аналогично следствиям 2, 3 получим

Следствие 4. Если Ы = Ы° ®Ы1, Т — Т® ® Т1, то из (Ь,р) -радиальности оператора М следует его (Ь,р + д) -радиальность при любом ^ Є N.

Следствие 5. Оператор М (1,р)-радиален тогда и только тогда, когда он радиален.

В отличие от доказательства следствия 3 надо еще заметить, что при Ь = I условия Ы = 14° ® Ы1, Т = Т® ф Тх также становятся тривиальными.

Замечание 5. Из следствий 3 и 5 вытекает, что каждая из теорем 5, 6 является обобщением теоремы Хилле - Иосиды.

Из теорем 5 и б получим следующий основной результат данной работы.

Теорема 7. Оператор М сильно (Ь,р)-радиален точно тогда, когда выполняются следующие условия:

(і) оператор М (Ь,р)-радиалещ

(и) и = Ы° Ф Ы1, Т = ф Я;

(Ш) существует оператор Ь^1 Е ДЗ^Д1).

Доказательство. Тот факт, что утверждения (1) - (Ш) следуют из сильной (Ь,р)~ радиальности оператора, вытекает из ее определения и теоремы 5. Докажем обратное утверждение. Из утверждений (1), (11) следует справедливость условий (А1), (А2)’, (АЗ) - (А5). А утверждение (111) вкупе с (А2)’ влечет (А2). Наконец, из утверждений (А1) - (А5) следует сильная (Ь, р)-радиальность оператора М, что и требовалось. □

Другой возможной формулировкой теоремы 7 является

Следствие 6. Пусть Ы = Ый ФК1, ^ = Я®Я и существует оператор Е /З^1;!!1). Тогда (Ь,р)-радиальность оператора М эквивалентна его сильной (Ь,р)-радиальности.

5. Случай (1/,р)-секториального оператора

Аналогичные результаты имеют место и в случае, когда речь идет о вырожденных сильно голоморфных полугруппах: операторов. Сформулируем их.

(В1) Существуют две экспоненциально ограниченные сильно голоморфные полугруппы {и(Ь) Е С(К) : < > 0}, (Р^) € С(Т) : < > 0} операторов.

Отличие от предыдущего параграфа состоит только в том, что операторы 5х, Т\ секто-риальны.

Теорема 8. [7]. Оператор М сильно (Ь,р)-секториален тогда и только тогда, когда выполнены все условия (В1), (А2) - (А5).

Теорема 9. Оператор М (Ь,р)-секториален и при этом имеют место равенства 1А = Ы° ®и1, Т = Т® фЯ точно тогда, когда выполнены все условия (В1), (А2)’, (АЗ) - (А5).

Для случая банаховых пространств эта теорема доказана в [11]. В случае локально выпуклых пространств доказательство может быть проведено дословным повторением.

Теорема 10. Оператор М сильно (Ь,р)-секториален точно тогда, когда выполняются следующие условия:

(1) оператор М (Ь,р)-секториален;

(и) ы = и0 Ф и1, Т = Я Ф Тх\

(Ш) существует оператор Е £(3'1;111).

Доказательство. Условия (1) - (Ш) следуют из определения сильной (Ь,р)-секториальности оператора и теоремы 8. Обратно, из утверждений (1), (и) следует справедливость условий (В1), (А2)’, (АЗ) - (А5). А утверждения (ш) и (А2)’ влекут (А2). Выполнение условий (В1), (А2) - (А5) и теорема 8 позволяют сделать вывод о сильной (£, р)-векториальности оператора М. □

Следствие 7. Пусть Ы = Ы° ф Ы1, Т = Т® Ф Тх и существует оператор Ь^1 Е £(Зг1;111). Тогда (Ь,р)-секториалъностъ оператора М эквивалентна его сильной (Ь,р)-секториальности.

Работа проводилась при финансовой поддержке РФФИ, грант №07-01-96030-р_урал_а

Литература

1. Свиридюк, Г.А. К общей теории полугрупп операторов / Г.А. Свиридюк // Успехи мат. наук. - 1994. - Т. 49, № 4. - С. 47 - 74.

2. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht; Boston: VSP, 2003.

3. Свиридюк, Г.А. Линейные уравнения соболевского типа / Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров.

- Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2003.

4. Хилле, Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филлипс. - М.: Иностр. лит., 1962.

5. Иосида К. Функциональный анализ / К. Иосида. - М.: Мир, 1967.

6. Свиридюк, Г.А. О единицах аналитических полугрупп операторов с ядрами / Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров // Сиб. мат. журн. - 1998. - Т. 39, № 3. - С. 604 - 616.

7. Федоров, В.Е. Голоморфные разрешающие полугруппы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах / В.Е. Федоров // Мат. сб. - 2004. - Т. 195, № 8. -

С. 131 - 160.

8. Федоров, В.Е. Обобщение теоремы Хилле - Иосиды на случай вырожденных полугрупп в локально выпуклых пространствах / В.Е. Федоров // Сиб. мат. журн. - 2005. - Т. 46, № 2. - С. 426 - 448.

9. Федоров, В.Е. Линейные уравнения типа Соболева с относительно р-радиальными операторами / В.Е. Федоров // ДАН. - 1996. - Т. 351, № 3. - С. 316 - 318.

10. Федоров, В.Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов / В.Е. Федоров // Алгебра и анализ. - 2000. - Т. 12, вып. 3. - С. 173 - 200.

11. Федоров, В.Е. Единицы вырожденных аналитических полугрупп операторов и относительная р-секториальность / В.Е. Федоров // Уравнения соболевского типа: сб. науч. работ. - Челябинск, 2002. - С. 138 - 155.

Кафедра математического анализа,

Челябинский государственный университет [email protected]

Поступила в редакцию 24 марта 2008 г.