О некоторых подходах к решению многокритериальных задач Текст научной статьи по специальности «Математика»

О НЕКОТОРЫХ ПОДХОДАХ К РЕШЕНИЮ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

Е.М. Мелькумова

В статье рассматривается несколько новых подходов к решению задач многокритериальной оптимизации. Один из подходов - принцип приближения по всем локальным критериям к идеальному решению, а второй строится на основе введения меры конфликта между критериями и использования ее для задания стратегии агрегирования для решения задачи многокритериальной оптимизации

Ключевые слова: многокритериальная оптимизация, критерий, оптимальное решение, принцип Парето, вектор «идеальных» значений целевых функций, принцип приближения по всем локальным критериям к идеальному решению, конфликт, кооперация, независимость целевых функций, коэффициент и матрица взаимодействия целевых функций

ВВЕДЕНИЕ

Практически любой вид человеческой деятельности связан с ситуациями, когда имеется несколько возможностей, и человек волен из этих возможностей выбрать любую, наиболее подходящую ему.

Чрезвычайно широкий и крайне важный с практической точки зрения класс задач выбора составляют многокритериальные задачи, в которых качество принимаемого решения оценивается по нескольким критериям одновременно. Успешное решение многокритериальных задач невозможно без использования различного рода сведений о предпочтениях лица, принимающего решения. При этом одним из главных источников таких сведений является информация об относительной важности критериев. Поэтому сложность проблемы как раз и обусловлена неединственностью критериев.

При решении проблемы многокритериаль-ности зачастую все критерии, кроме одного, выбранного главным, принимаются в качестве ограничений, оптимизация проводится по этому главному критерию. Такой подход к решению практических задач значительно снижает эффективность принимаемых решений, так как глобальный критерий представляется совокупностью частных критериев.

Как правило, в задачах многокритериальной оптимизации предполагается, что все критерии независимы. Однако в большинстве реальных задач целевые функции почти неизбежно являются противоречивыми, конфликтующими. Отказ от учета этого фактора приводит к значительному упрощению задач, так что решения, полученные традиционными методами, представляют лишь незначительный интерес.

В данной статье предлагается несколько подходов к решению задач многокритериальной оптимизации.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

Задача векторной оптимизации имеет вид:

[f (*) ^ max,

| * е X,

при * е X , где X е Rn - множество допустимых решений задачи, f (*) = (f (*),.., fn (*)),

f : Rn ^ R, i = 1, n - целевые функции (критерии). Запись f (*) ^ max равносильна записи Vi (fi(*) ^max).

По существу многокритериальная задача отличается от обычной только наличием нескольких целевых функций вместо одной, которые образуют векторный критерий.

Заметим, что даже при двух критериях задача является нетривиальной, поскольку, если

y'max / ' \ ^ /*max / ' \

1 (* ) > j2 (* ) и одновременно

У’max / " ч ^ rmax / " ч

1 (* ) < j2 (* ), то не ясно, какое решение

следует выбрать в качестве окончательного.

В задачах выбора решения, формализуемых в виде модели векторной оптимизации, первым естественным шагом следует считать выделение области компромиссов - решений, оптимальных по Парето.

Решение * е X называется оптимальным по Парето, если не существует такого решения *0 е X , для которого выполнены неравенства

f (*0) ^ f (*) и f (*о) * f (*) . Любой

Мелькумова Екатерина Михайловна - ВГУ, аспирант, тел. і8473) 2-208-316, e-mail: [email protected]

который не является оптимальным по Парето, доминируется оптимальным вектором.

Областью компромиссов называется подмножество допустимого множества решений X, обладающего тем свойством, что все принадлежащие ему решения не могут быть улучшены одновременно по всем критериям [1].

Оптимальное решение, выбираемое на основе многокритериального подхода независимо от избираемого принципа оптимальности, всегда должно принадлежать области компромиссов. Иначе оно может быть улучшено и, следовательно, не является оптимальным. Таким образом, область компромиссов есть область потенциально оптимальных компромиссов. Отсюда следует, что при выборе решения по векторному критерию можно ограничить поиск оптимального решения областью компромиссов, которая, как правило, значительно уже всей области возможных решений X.

2. НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

Рассмотрим различные методы решения задач многокритериальной оптимизации.

2.1. ПРИНЦИП ЭФФЕКТИВНОСТИ ПО ПАРЕТО

Пусть имеется многокритериальная задача с несколькими критериями. Для простоты, пусть все их необходимо максимизировать. Пусть в составе множества возможных решений есть такие, что все значения критериев для одного решения больше или равны соответствующим значениям критериев для другого решения.

Если какой-то вариант решения не представляется перспективным, то он вытесняется, т. е. доминируется другим вариантом.

В результате описанной процедуры отбрасываются непригодные варианты решений, множество оставшихся решений сокращается и в нем сохраняются так называемые "эффективные" (паретовские) решения, характерные тем, что ни у одного из них не существует доминирующего решения.

Таким образом, множество Парето содержит только те варианты, которые не доминиру-ются другими вариантами. После того, как получены "паретовские" варианты, можно пользоваться другими приемами сведения к обобщенному показателю уже только недоминируемых вариантов.

Предлагается следующий алгоритм решения задачи линейной многокритериальной оптимизации:

1. Для каждой целевой функции решить задачу максимизации с исходными ограничения-

*

ми, получив оптимальное решение *р и соответствующее значение целевой функции

/»* * N

р(*р).

2. Построить ранжирование (**,..,** ) точек - решений *р по предпочтительности в зависимости от значений целевых функций. Соответствующим образом упорядочить целевые функции.

3. Определить, какие целевые функции до-минируются другими целевыми функциями, и в зависимости от этого исключить доминируемые целевые функции, таким образом, получив недоминируемые критерии, т.е. получить векторы, оптимальные по Парето.

4. Решить задачу многокритериальной оптимизации с исходными ограничениями и недоминируемыми альтернативами с помощью одного из методов многокритериальной оптимизации.

2.2. ПРИНЦИП ПРИБЛИЖЕНИЯ ПО ВСЕМ ЛОКАЛЬНЫМ КРИТЕРИЯМ К ИДЕАЛЬНОМУ РЕШЕНИЮ [2]

В основу данного метода положена идея приближения по всем критериям [3]. Пусть дана задача векторной оптимизации:

f (*) ^ max f2 (*) ^ max

(1)

fk (*) ^ max

* е X и заданы ограничения

a1 *1 + a2*2 +.. + a'n*n = bt (i = 1, r), (2)

aj*1 + a2*2 +.. + a]n*n = b} (j = 1, m - r), (3) *1 > 0,*2 > 0,..,*n > 0. (4)

Среди решений системы (1) - (4) требуется отыскать такое значение вектора

х = (х1з.., хп), которое максимизирует как

можно больше критериев.

Предлагается следующий алгоритм решения задачи линейной векторной оптимизации:

1. Для каждой целевой функции

/ (х), г = 1, к решить задачу максимизации с исходными ограничениями, получив вектор оптимальных решений х1 = (х1хи),г = 1,к и соответствующий вектор значений целевых функций

Г( х*) = (Г( х*),.., Г( х*)), г = 1к.

Для некоторых задач оптимальные решения могут совпадать, но отличаться значениями целевых функций.

2. Составить вектор "идеальных" значений целевых функций ¥0 = (¥Д..,¥к0) такой, что

¥0 = /•( х*) = тъх{/*( х*),.., /*( х*)}.

г

3. Определить значение выражения

ВД = ||/(х)-¥"||\ (5)

которое представляет собой квадрат евклидовой нормы вектора /(х) - ¥0, определенного для всех х е п.

4. Определить точку х еП , в которой функция Я( х) достигает своего минимума.

Таким образом, отыскание оптимального плана х е П в данной задаче сведено к оптимизации выражения (5) на множестве решений системы линейных неравенств (2) - (4). Поскольку выражение (5) представляет собой квадратичную функцию переменных х1,.., хп , то *

задача отыскания х свелась к задаче выпуклого программирования: задана выпуклая функция Я( х), определенная на множестве х еП ; требуется отыскать точку х еП щую выполнение

Я( х*) = шт Я( х), х еП.

обеспечиваю-

условия

Следовательно, нахождение решения задачи (1) - (4) по принципу приближения по всем локальным критериям к идеальному решению состоит из двух основных этапов: на первом

осуществляется максимизация ^ (х), і = 1, к , а

на втором - минимизация Я(х) .

2.3. МЕТОД, ПОСТРОЕННЫЙ НА ОСНОВЕ ВВЕДЕНИЯ МЕРЫ КОНФЛИКТА МЕЖДУ КРИТЕРИЯМИ

Анализ взаимодействия целевых функций

Рассмотрим задачу многокритериальной оптимизации следующего вида

Ліx) ^ max,

іб)

fn (*) ^ max,

* е X,

где * = (*j,.., *n)T е Rn, X е Rn - множество допустимых решений задачи, f : Rn ^ R, i = 1, n - целевые функции (критерии).

max означает, что данный критерий нужно максимизировать.

Будем считать, что все функции fi, i = 1, n являются непрерывно дифференцируемыми в X, тогда для каждой целевой функции определен градиент в любой точке * е X :

У/і і x) = і

dfiі x) dfiі x)

&І dxn

)т.

і7)

Этот градиент представляет собой вектор, указывающий направление, в котором значение целевой функции увеличивается.

Заметим, что целевые функции в задаче (6) могут взаимодействовать различным образом. К основным типам взаимодействия отнесем кооперацию, конфликт и независимость.

Пусть / (х) и /. (х)- две произвольные целевые функции из (6). Будем говорить, что

1) цель / (х) кооперирует с целью /. (х),

если

Vх'Vх” (/(X ) > /г (х )) ^ (/ (х”) > / (х')); (8)

2) цель / (х) конфликтует с целью /. (х),

если

^ (/г (х” ) > /г (х )) ^ (/ (х ) ^ / (х' )) ; (9)

3) если предыдущие условия не выполняются, то целевые функции / (х) и /. (х) независимы в X.

В случае кооперации достижение одной цели способствует достижению другой. Очевидно, что в этом случае эффект от достижения обеих целей превышает эффекты от каждой цели, взя-

той в отдельности. При конфликте целей достижение одной из целей приводит к тому, что другая цель не может быть достигнута. Так же возможно, что тип взаимодействия динамически меняется в зависимости от значений целевых функций.

Задача линейного программирования

Рассмотрим частный случай задачи (6), когда все целевые функции линейны, т.е.

_____( п л

Vг = /(х)=Хсгк ■ хк - (10)

ч к=1 у

где х = {х1,...,хп) е XеЯп,

С = Хц,...,Сгп) - вектор коэффициентов

г — целевой функции.

В линейном случае градиент каждой целевой функции полностью определяется коэффициентом целевой функции V/ (х ) = Сг и представляет собой константу.

Коэффициент взаимодействия целевых функций определяется по формуле

h,- = cos г = и

(ci-cj)

I cik ■ cjk k=1___________________

іІІ)

I c2-JI c

V=1 \1=1

Для определения типа взаимодействия разобьем [0,р ] на три промежутка:

[°,р ]=[°р/} ]^(( ,2р/3 )у3 ,р

Заметим, что разбиение можно осуществить иначе. Главное, чтобы получаемые промежутки поддавались интерпретации, и на их основе можно было бы строить качественные оценки взаимодействия целей.

С учетом введенного разбиения на основе коэффициентов кг. можно сформулировать

следующие правила принятия решений:

1) чем ближе кг. к 1, тем в большей степени целевые функции / (х) и /. (х) являются

1

кооперирующими, поэтому если кг. е I у~,

” _/ 2

то цели кооперируют;

2) чем ближе кг. к -1, тем в большей степени цели /г (х) и /. (х) конкурируют, по-

этому если kij

, то цели конкури-

руют;

3) чем ближе kj к 0, тем в большей степе-

V

ни цели независимы, поэтому , то цели независимы.

если

кг. е

Вычислив коэффициенты взаимодействия для каждой пары целевых функций, можно

с эле-

ментами

k,

ij

Nx N

< 1, которая задает симметричное

бинарное отношение. На его основе можно сформировать различные подходы.

Знак коэффициента позволяет сделать вывод о типе взаимодействия, а также важна и количественная оценка такого взаимодействия.

Для оценки силы взаимодействия целей воспользуемся понятием нечеткого множества. В этом случае каждому из промежутков гл р , J 2р . 2р 7

[0t— j ] ставится в соответст-

вие промежуток изменения cos ц . Соответст-

г7 77/ 1 Л Г 1 1 7

венно, имеем [-J ](- — ,—),[-1-—J .

Алгоритм решения задачи многокритериального линейного программирования на основе введения меры конфликта между критериями

Пусть задана многокритериальная задача линейного программирования:

' 2 ______________________________

fp(*) = Zсрхр ^ ma*(р = 1,n), i=1

* е X

іІ2)

при х е X с Яп, где X - множество допустимых значений переменной х, п - число целевых функций (критериев).

Предлагается следующий алгоритм решения задачи математического программирования, учитывающий тип взаимодействия между целевыми функциями:

1. Для каждой целевой функции решить задачу максимизации с исходными граничными

*

условиями, получив оптимальное решение хр

и соответствующее значение целевой функции

*

У р(хр).

2. Для каждой пары целевых функций У и У. определить коэффициент взаимодействия % по формуле (11). Составить матрицу К = {к. }пхп коэффициентов взаимодействия

целевых функций.

3. Определить тип взаимодействия между всеми парами целевых функций, используя для принятия решения следующие правила:

1) если к

V

перируют;

2) если ки е

ч

конкурируют;

, то цели У и f j коо-то цели у и fj

1 1

3) если к. е (-,—) , то цели fi и fj

2 2

независимы.

Составить таблицу типов взаимодействия:

Коопера- ция Конф- ликт Независи- мость

У7 (' = 1,П) N1 4 N■3

где ^'(N1 ,N2, N3 ) - количество функций, с которыми конкретная целевая функция f]■ соответственно кооперирует, конфликтует и незави-

сима.

4. Определить коэффициенты значимости бV (V = 1,3,' = 1, п) для целевой функции

fj (х) относительно каждого типа взаимодействия в ее обобщенной оценке по формуле:

Nj. 3

б‘ =——, где б{ е [0,1] и у/(У бV = 1).

п “Н

1=1

5. Для выбранного принципа принятия группового решения (принцип большинства,

правило Борде и др.) построить ранжирова-

/ * * \ ^ *

ние (х ,.. , х ) точек - решений хр по предпоч-

‘1 ‘ р р

тительности в зависимости от значений целевых функций [4].

Соответствующим образом упорядочить целевые функции.

6. С помощью определенных алгебраических соображений назначить коэффициенты зависимости для каждой пары целевых функций.

7. Построить оценки

РГ У. )■ (Л.-. У. )■ РГ (Л.-. У. )■

р = 1, п, V = 1, п,

представляющие собой сумму произведений функций, с которыми соответствующая . — целевая функция кооперирует, конфликтует и независима, и коэффициентов ее зависимости с остальными целевыми функциями, входящими в конкретную оценку.

8. Построить обобщенную целевую функцию по правилу:

рс/;,..л)=Ур-«-,л), (13)

V=1

где р (у,.., у,)=т" ( у;,., у.)+

+а р-* (у;,.., уп ) + а ( у;,.., /,). (14)

Учитывая определение весов, получим формулу:

; п

р (У;,.., уп ) = - (У (У;,.., уп )+

п 7=1

+У^2'р;конфл(у;,..,уп)+У^ '(у;,..,у.)). (15)

7=1 7=1

9. Решить однокритериальную задачу оптимизации

Р(У,--,Уп) ^ тах при х е X с Яп.

Решением будет являться точка х* = (х;*,..,х*) , которая доставляет максимум обобщенной целевой функции Р (У1,.., УП) при исходных граничных условиях.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследования задач планирования и управления показывают, что в реальной постановке эти задачи являются многокритериальными. Для эффективного решения такой задачи необходимо в первую очередь построить многокритериальную математическую модель, которую затем нужно оптимизировать, предварительно выбрав наиболее подходящий для этого метод.

В статье описаны различные подходы к решению задач многокритериальной оптимизации. Предлагается два новых метода для решения задач многокритериальной оптимизации.

Один из них использует принцип приближения к идеальному решению по всем локальным критериям, а во втором учитывается взаимодействие между целевыми функциями. При этом рассматриваются три типа взаимодействия - кооперация, конфликт и независимость. Предлагается возможность использования этого подхода к решению задач линейного программирования.

Литература

1. Зайченко Ю.П. Исследование операций. Нечеткая оптимизация. - К.: Выща Школа,1991. 191 с.

2. Мелькумова Е.М. Один из подходов к решению задачи многокритериальной оптимизации // Вестник ВГУ. Серия Системный анализ и информационные технологии. -В.: ВГУ, №2, 2010. 3 с.

3. Борисов А.Н. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений. - М.: Радио и связь, 1989. 303 с.

4. Робертс Ф.С. Дискретные математические модели с приложениями к социальным биологическим и экологическим задачам. - М.: Наука, ФИЗМАТЛИТ, 1986. 495 с.

В оронежский государственный университет

SOME APPROACHES FOR THE SOLVING TO MULTICRITERION OPTIMIZATION

PROBLEMS

E.M. Melcumova

In the article are considered some new approaches to solving multicriterion optimization problems. One of them -the principle of approximation to all local criteria to the ideal solution and the second is constructed on the introduction of conflict measure for objective functions and is used these measures to definition aggregation strategy for solving multicriterion optimization problem

Key words: multicriterion optimization, criterion, optimal solution, Pareto principle, ideal value vector of objective function, principle of all location criterion approximation to the ideal solution, conflict, cooperation, objective functions independence, objective functions interaction fac tor and matrix