О некоторых подходах к проблеме единственности решения задачи Шварца Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.2

О НЕКОТОРЫХ ПОДХОДАХ К ПРОБЛЕМЕ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ШВАРЦА

В.Г.Николаев

ON SOME APPROACHES TO THE PROBLEM OF UNIQUENESS OF THE SCHWARTZ PROBLEM SOLUTION

V.G.Nikolaev

Институт электронных и информационных систем НовГУ, vg14@inbox.ru

Исследована задача Шварца для л-вектор-функций, аналитических по Дуглису. Установлено, что в частных случаях единственность ее решения вытекает из совпадения на границе конечной области голоморфных функций с разными показателями.

Ключевые слова: вектор-функция, матрица, голоморфность, собственное число, контур, область

This article studies the Schwarz problem for analytic Douglis л-vector-functions. It is found that, in particular cases, the uniqueness of the solution follows from the agreement of holomorphic functions with different parameters on the boundary of a finite area.

Keywords: vector-function, matrix, holomorphy, eigenvalue, contour, area

Данная статья посвящена исследованию единственности задачи Шварца для п-вектор-функций, аналитических по Дуглису [1].

Определение 1. Обозначим J произвольную п^п-матрицу, среди собственных чисел которой нет вещественных. Комплексную п-вектор-функцию ф(х, у) назовем /-аналитической, или аналитической

по Дуглису с матрицей / в области D с R2, если

# -J-Ж= (x' у) е А

(1)

В скалярном случае, при 3 = X, 1т X Ф 0 функцию ф(2), удовлетворяющую в области D с R2 соотношению ф - X • фх =0, назовем Х-голоморфной. При

X = / она совпадает с обычной голоморфной функцией. Число X также иногда называют показателем функции ф( 2).

Пусть конечная односвязная область D на комплексной плоскости ограничена гладким контуром Г и задана я*я-матрица 3. Рассмотрим в этой

области для ./-аналитической функции ф е С(П) однородную задачу Шварца

Re ф |Г =0. (2)

Очевидными решениями этой задачи служат постоянные векторы ф = | е Rn, которые назовем тривиальными решениями. Основной вопрос — для каких матриц / задача (2 ) допускает только тривиальные решения.

Пусть / = А + Bi, где А, В — вещественные матрицы. Как показано в [2], при условии det В Ф 0 по матрице / можно построить систему дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных вида

(В2 + ВАВ_1А)и - В • (АВ- + В- А)и + и =0, (3)

4 ' хх 4 ' ху уу ' 4 '

где и = (ир...,ип)= Reф(z) — вещественная вектор-функция. При этом единственность однородной задачи Дирихле и |Г = 0 для (3) означает единственность задачи (2).

В некоторых частных случаях система (3) приводится к треугольному виду. Например, если А = 0, т. е. / = Bi, то (3) примет вид

(4)

B2 - u + u = 0.

xx yy

Кроме того, при определенных условиях на матрицы А, В система (3) может принять вид

N • V + Т • V + V = 0, N, Т = 0, (4.1)

хх ху уу ' ' ' 4 '

где матрицы N, Т — треугольные, v(x, у) — комплексная вектор-функция.

Рассмотрим сначала систему (4). Пусть Q —

жорданов базис матрицы В2, и / — ее жорданова форма, тогда В2 = £>/£>- Матрица ^^ в общем случае, комплексная. Сделаем в (4) подстановку и = Qv, где v(x, у) — комплексная я-вектор-функция. Тогда получим систему

то есть

QJQ - Qv + Qv =°

^ ^ xx ^ yy

J\ - v + v =0.

1 xx yy

(5)

На главной диагонали треугольной матрицы / будут стоять собственные числа ц2 ,...,ц^ матрицы В2. При этом собственные числа ц Ф 0 матрицы В не могут быть чисто мнимыми, так как собственные числа -щ матрицы / = Bi не могут быть вещественными. Поэтому собственные числа ц2 матрицы В2 либо вещественные больше нуля, либо ц2 = а + bi, Ь Ф 0.

Пусть р(х, у) — скалярная комплексная функция. Тогда единственность задачи V |г = 0 для (5) сведется к единственности задачи .2

Г • Рхх + Руу = 0, р\г = 0,

(5.1)

'XX ' гуу г 'Г

поставленной для каждого собственного числа ц матрицы В.

Если ц2 е R, то (5.1) — задача Дирихле для уравнения Лапласа, которая, как известно, имеет только нулевое решение.

Изучим случай ц2 = а + bi, Ь Ф 0 для (5.1). Будем ниже обозначать Х-голоморфные функции символом / (х + Ху) по аналогии с общепринятым обозначением / (х + iy) для голоморфных функций. Имеет место Теорема 1. Пусть скалярная дважды непрерывно дифференцируемая комплексная функция р(х, у)

определена в односвязной области D с R2; пусть Х — комплексное число. Тогда общее решение уравнения

Х2 • р

г X

= 0

(6)

— это сумма Х и (-Х)-голоморфных функций, т. е. р(х, у) = q(x + Ху) + s(x -Ху).

Доказательство. Очевидно, что решения (6) существуют. Ими могут быть, например, Х-голоморфные функции р = q(x + Ху), т. е. функции, для которых существует производная по [йг] = йх + Хdy.

Пусть р(х,у) — произвольное решение (6). Обозначим:

руу -Хрху = g(X, у).

Это равенство можно переписать в виде

р рх)у = g(x,у). (7)

С другой стороны, так как в силу (6) Х2 • рх = р то

Х2рхх - Хрху = руу - Хрху = g(X, у) (8)

— с учетом обозначений (7). Сократив (8) на (-Х), получим:

1

рху-Хрхх = — g(X, У),

или

Обозначим

(ру -Х-рх)х = "Т • g(x,у). (9)

ру -Х-рх = F(x,у). (10)

Изучим функцию F(х,у). С учетом (7) и (9) она удовлетворяет соотношению Fy = -ХFx, или Fy + ХFx = 0, т. е. является (-Х)-голоморфной.

Непосредственной подстановкой проверяется, что специальное решение (10), соответствующее правой части F (х, у) = F (х -Ху), имеет вид

-1 (X, у)

s(x - Ху) = ^^ • | F (х - Ху) • [йг],

(11)

(х0, у0)

где обозначено [йг] = йх - Хйу. Криволинейный интеграл II рода (11) берется по любому пути у е D, соединяющему точки (х0, у0) и (х, у) е Б.

Функция вида (11) называется первообразной функции F(х-Ху) в области Б. При этом

s(x-Ху) будет, как нетрудно проверить, (-Х)-голоморфной функцией. Пусть q = q(x + Ху) — общее решение однородного уравнения, соответствующего (10). Это Х-голоморфная функция. Тогда р(х, у) = q(x + Ху) + А'(х-Ху) — общее решение (10),

что и требовалось. Теорема 1 доказана.

Следствие из теоремы 1. Общее решение (5.1) имеет вид р(х,у) = q(x + /цу) + А'(х -/цу). Для доказательства достаточно в (6) положить Х = /ц и заметить, что в силу преобразований (3), (5) функция р(х, у) в (5.1) будет аналитической. Далее выдвигается следующая Гипотеза 1. Пусть Х-голоморфная функция q(x + Ху) и (-Х)-голоморфная функция s(x-Ху) определены в односвязной конечной области Б с границей Г. Верно ли, что условие

q(x + Ху) |г = s(x - Ху) |г означает q = s =const ?

В силу теоремы 1 любой ответ на поставленный вопрос дает весьма существенное продвижение в решении задачи (2). Однако до настоящего времени не удалось ни доказать гипотезу, ни построить контрпример.

Замечание 1. Несложно показать, что при Х = Х2/, Х2 е R гипотеза 1 верна. Это доказывается

с помощью методов комплексного анализа. Отсюда в силу теоремы 1 вытекает, например, общеизвестная единственность однородной задачи Дирихле для уравнения Лапласа

Теперь рассмотрим случай (4.1). При этом будем предполагать, что треугольные матрицы Ы, Т —

неособые. Тогда единственность задачи V |г =0 для (4.1) будет вытекать из единственности задач вида

архх + Ьрху + руу = 0, р 1г =0 (12)

где р(х, у) — скалярная комплексная функция, а Ф 0, Ь Ф 0 — комплексные числа.

Изучим уравнение (12). Составим характеристическое уравнение

а + Ьц + ц2 = 0, (13)

соответствующее (12), и пусть ц1, ц2 — его корни. Имеет место

Теорема 2. Если ц1 Ф ц2 — корни (13) то общим решением (12) является комплексная функция р(х, у) = q(x + ц1 у) + А'(х + ц2у), т. е. сумма ц1- и ц2-голоморфных функций.

Доказательство. Пусть р(х, у) — произвольное решение (12). Им может быть, например, ц1 -голоморфная функция. Обозначим для краткости ц = ц1 — корень (13). Имеем с учетом (12):

b(Py - VPX)„ = b(Pyy - Wxy) = bPyy - b№xy =

xy'

yy

ХУ

= bP yy + ^(«Pxx + Pyy) = (b + H Pyy + HP =

a a /

= ^ Pyy + aMPxx = ~ (H

H

H

P - P

r xx r yy

]

(14)

так как из (13) а + ц(Ь + ц) = 0, откуда Ь + ц = -а/ц. С другой стороны, в силу (12), Ь( р -цр )' = Ьр -цЬр = -ар - р -цЬр =

у г^х'х Г ху г Г XX Г XX г уу Г Г XX

= -(а + цЬ)рхх - р^ = ц2рхх - р^, (15)

так как из (13) ц2 = -(а + цЬ).

Объединяя (14) и (15), имеем:

1Ь(ру цр;с )у ц(ц рхх руу ^ (16)

Ь(ру црх)х ц рхх руу.

Напомним, что выше для краткости было положено ц = ц1. Далее используем схему доказательства теоремы 1. Обозначим

Py - Hi • Px = F(x y),

(17)

и изучим функцию F(x, y). В силу (16) имеем уравнение

a

F---F =0,

y Hi x

то есть

Fy-H 2 • Fx =0,

так как а/ц1 = ц2 — второй корень (13). Следовательно, F (х, у) = F (х + ц2 у) — это по определению ц2-голоморфная функция.

Непосредственной подстановкой проверяется, что специальное решение (17), соответствующее правой части F(х + ц2у), имеет вид

1 (х, у)

s(x + ц2у) = ц -ц • | F(х + ц2у)• [йг], ц фц2, (18)

где обозначено [йг] = йх + ц2йу. Криволинейный интеграл II рода (18) берется по любому пути у е Б, соединяющему точки (х0, у0) и (х, у) е Б.

Функция вида (18) называется первообразной функции F (х + ц2 у) в области Б. При этом

5(х + ц2 у) будет, как нетрудно проверить, ц2-голоморфной функцией. Обозначим q = q(x + ц1 у) — общее решение однородного уравнения, соответствующего (17). Это ^-голоморфная функция. Тогда

р(х, у) = q(x + ц1 у) + 5(х + ц2 у) — общее решение (17), что и требовалось.

Если ц1 = ц2 = ц, то, как нетрудно показать,

р = q(x + цу) + у • F(x + цу), где F(х + цу) — та же самая функция, что и в (17). Теорема 2 доказана.

Замечание 2. В доказательстве теоремы 2 было существенно использовано условие Ь Ф 0. Поэтому теорема 1, когда Ь = 0, не будет ее частным случаем.

Таким образом, в случае (4.1) при ц1 Ф ц2 единственность задачи (2) зависит от справедливости гипотезы 1, сформулированной уже для ц1 - и ц2-голоморфных функций.

(x0, y0)

Солдатов А.П. Задача Шварца для функций, аналитических по Дуглису // Современная математика и ее приложения. 2010. Т.67. С.97-100.

Николаев В.Г. Об одном преобразовании задачи Шварца // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2012. №6(97). С.27-34.

Bibliography (Transliterated)

Soldatov A.P. Zadacha Shvarca dlja funkcij, analiticheskih po Duglisu// Sovremennajamatematikai ee prilozhenija. 2010. T.67. S.97-100.

Nikolaev V.G. Ob odnom preobrazovanii zadachi Shvarca 11 Vest-nikCamGU. Estestvennonauchnaja serija. 2012. №6(97). S.27-34.