CC BY
38
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
На основании результатов геофизических исследований (рис. 3) разработаны рекомендации по восстановлению несущей способности грунтов в основании фундаментных устоев моста путем применения ИКТ, выполненных в виде свай.
Выводы
1. Границы зон вечной мерзлоты сместятся на 400-600 км в северо-восточном направлении России.
2. Разрушение вечной мерзлоты приведет к ослаблению прочности вечномерзлых оснований дорог, мостов и зданий, а также массива земляных защитных дамб на обширной территории нефте- и газопромыслов Восточной Сибири и Байкало-Амурского региона.
3. Возрастает загрязнение атмосферы продуктами антропогенного происхождения.
4. Большинство из перечисленных проблем могут быть решены с помощью ИКТ.
Библиографический список
1. Клименко, В.В. Мониторинг глобальных климатических процессов / В.В. Клименко // Тр. межд.
конф. «Математические и физические методы в экологии и мониторинг природной среды». (23-25 октября 2001). - М., МГУЛ, 2001. - С. 43-52.
2. Васильев, Л.Л. Тепловые трубы для нагрева и охлаждения грунта / Л.Л. Васильев // ИФЖ. - Т. 52. - № 4. - С. 676-687.
3. Шульц, А.Н. Мониторинг низкопотенциальных тепловых ресурсов и решение проблем их утилизации / А.Н. Шульц // Труды РНКТ-3; 21-25 октября 2002. - М., Т.1. - С. 130-133.
4. Shults A.N., Kharchenko VN. Exergetic approach to the problem of heat transfer intensification in heat pipes/8th International Conference Heat Pipe.(14-18 September 1992. Beijing) China.
5. Болога, М.К. Электрогидродинамические испарительно-конденсационные системы / М.К. Болога, И.К. Савин; под общ. ред. Л.Л. Васильева. - Кишинев «Штиинца», 1991. - 277 с.
6. Шульц, А.Н. Методы стабилизации вечномерзлых оснований дорог, фундаментных устоев мостов и зданий / А.Н. ТТТульц, И.Г. Рябинина // Тр. межд. конф. I'CAT «Передовые технологии XXI века». (6-7 октября 1998) П2. Энергетические установки и вопросы тепломассообмена. - 1998. -С. 130-136.
7. Воронков, О.К. Выявление и количественная оценка льдосодержания грунтов каменно-набросных плотин в криолитозоне методом сейсморазведки / О.К. Воронков // Матер. 3 конференции геокриологов России. - 2005. - Т. 3.
О НЕКОТОРЫХ «ПАРАДОКСАХ» КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОГО
моделирования конструкций
Д.Г. ШИМКОВИЧ, проф. каф. теории и конструирования машин МГУЛ, д-р техн. наук
При анализе различных задач с использованием метода конечных элементов достаточно часто возникают различные «парадоксы» - несоответствие получаемого решения имеющемуся аналитическому или ожидаемому качественному результату. В статье рассматриваются и обсуждаются две такие задачи - об упругой устойчивости и прогибах балок.
Устойчивость балки корытного профиля
Рассмотрим следующую задачу: стальная тонкостенная балка корытного профиля с размерами сечения 250*600*4 мм длиной 9 м заделана на одном конце и нагружена силой 10000 Н на другом (рис. 1). Пусть геометрия
shimkovich@mgul.ac.ru
данной конструкции подготовлена как твердотельная и для сокращения времени создания конечно-элементной модели разбита на пространственные тетраэдральные (Tetra) элементы второго порядка (параболические) со средним размером 100 мм и остальными параметрами разбиения, принятыми по умолчанию [1]. Анализ упругой устойчивости дает значение параметра критической нагрузки (коэффициент запаса по устойчивости) 1,59 (рис. 1а).
Для сравнения произведем расчет аналогичной модели, но с использованием линейных (первого порядка) элементов типа пластина (Plate), распределенных по срединной поверхности с тем же средним размером
152
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2012
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Таблица 1
Средний размер элементов, мм Параметр критической нагрузки Степень вырожденности Tet-элементов*
Элементы Plate Элементы Tetra
100 0,206 1,59 4/100 = 0,04
50 0,211 0,6 4/50 = 0,08
25 0,213 0,23 4/25 = 0,16
Рис. 1. Стальная тонкостенная балка корытного профиля с размерами сечения 250*600*4 мм длиной 9 м заделана на одном конце и нагружена силой 10000 Н на другом
элементов 100 мм. Значение параметра критической нагрузки при этом составило 0,206 (рис. 1б). Критические нагрузки различаются почти в 8 раз! В чем причина?
Попробуем измельчить сетку. Результаты расчета указанных моделей при средних размерах элементов 50 мм и 25 мм приведены в табл. 1. При размере элементов 25 мм значения параметров критической нагрузки с использованием элементов Tetra и Plate близки между собой. В данном случае явно прослеживается связь расхождения результатов с величиной вырожденности формы элементов (отношения минимальной высоты тетраэдра к среднему размеру элемента); допустимой величиной вырожденности считается 0,1.
Расчет той же конструкции с использованием пространственных шестигранных (Hex) элементов с их средним размером 100 мм дает результат по критической нагрузке потери устойчивости 0,216 - практически такой же, как для модели из элементов Plate.
Устойчивость стержня прямоугольного сечения
Рассмотрим также классический вариант анализа устойчивости (задача Эйлера)
Рис. 2. Тераэдральный элемент (Tetra) второго порядка
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2012
153
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
консольной балки, нагруженной сжимающей силой 20 Н с размерами поперечного сечения 600^4 мм и длиной 9 м.
Использование в этом случае тераэд-ральных элементов (Tetra) второго порядка (рис. 2) и элементов типа пластин (Plate) дает практически одинаковые значения критической нагрузки: 20,6 Н при элементах Tetra и 20,58 при элементах Plate, очень близкие к аналитическому значению 20,47 Н.
Парадокс?! При одинаково высокой степени вырожденности (4/100 = 0,04) тетра-
Рис. 3. Прогиб упругой стальной консольной балки длиной 1 м с размерами сплошного прямоугольного сечения 50x100 мм с нагрузкой на конце 10000 Н
Рис. 4. Твердотельная модель короткой (0,1 м) балки
эдральных элементов в последнем случае они приводят к практически точному результату, а в другом (предыдущая задача) - с погрешностью почти на порядок.
Объяснение здесь, по-видимому, кроется в различном характере напряженных состояний - в последней задаче имеет место сжатие (в докритическом состоянии), в первой - изгиб со стесненным кручением тонкостенного профиля.
Основной вывод из рассмотрения данных задач - следует с определенной долей осторожности подходить к процессу «ускорения» подготовки конечно-элементной модели, разбивая импортированную твердотельную геометрию (особенно тонкостенную) на пространственные тетраэдральные элементы. Результат расчета может быть неверным. Иногда целесообразно потратить время на достаточно кропотливую работу по выделению срединных поверхностей и разбиению их элементами типа Plate или воспользоваться пространственными Hex-элементами, также требующими предварительной подготовки геометрии (разрезания тел на части).
С особой внимательностью следует анализировать результаты анализа устойчивости, производимые в программах экспрессанализа, где, по умолчанию, твердотельная геометрия разбивается преимущественно на тетраэдральные элементы достаточно большого размера.
При подозрениях на неправильный результат следует производить анализ сходимости решения при уменьшении размеров элементов.
Сравнение прогибов балки
В расчетах в NX Nastran обнаружено расхождение результатов по величинам прогибов при анализе упругой стальной (E = = 2.1-105 МПа) консольной балки длиной 1 м с размерами сплошного прямоугольного сечения 50x100 мм с нагрузкой на конце 10000 Н:
- расчет по формулам сопромата дает 0,00381 м [2],
- в NX Nastran - 0,00384 м (рис. 3).
В чем причина данного расхождения? Варьирование количества элементов в
154
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2012
