CC BY
12
УДК 52-601
О НЕКОТОРЫХ ОСОБЕННОСТЯХ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ
М. А. Денисов
Сибирский федеральный университет Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79 E-mail: tango2197@yandex.ru
Рассматривается вопрос параметрической идентификации дискретно-непрерывных процессов в условиях малой априорной информации. Приведены результаты вычислительного эксперимента, иллюстрирующего зависимость точности решения задачи идентификации от ошибки, допущенной на этапе выбора параметрической структуры модели объекта исследования.
Ключевые слова: параметрическая идентификация, априорная информация, дискретно-непрерывные процессы.
ABOUT SOME EXCEPTIONS OF PARAMETRIC METHODS OF DISCRETE-CONTINUOUS PROCESSES MODELING
M. A. Denisov
Siberian Federal University 79, Svobodny Av., Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation E-mail: tango2197@yandex.ru
The article centers around the issue of parametric identification of discrete-continuous processes in the context of deficit of a priori information. There are results of definite simulation experiment illustrating the dependence of accuracy of task solution on the mistake, which was made during the way of choosing the parametric model subject of research.
Keywords: parametric identification, a priori information, discrete-continuous processes.
Введение. При исследовании процессов или явлений различной природы зачастую возникает необходимость в построении моделей, так как далеко не всегда мы имеем возможность проводить эксперименты с реальными объектами. При этом используют различные методы математического моделирования и теории идентификации. Данные методы актуальны при исследовании процессов в различных областях человеческой деятельности (технологические, социально-экономические процессы и т. д.).
Параметрическая и непараметрическая идентификация. Постановка задачи идентификации зависит от имеющейся априорной информации об объекте исследования. В условиях параметрической неопределенности принято использовать методы параметрической идентификации. Такие методы предполагают на начальном этапе определение структуры объекта по имеющейся априорной информации с точностью до вектора параметров, которые позже оцениваются известными методами [1]. При параметрическом моделировании возникают случаи, при которых априорной информации недостаточно для безошибочного определения структуры модели, в связи с чем могут возникать значительные погрешности. В худшем случае это может привести к большим неточностям на стадии формулировки задачи идентификации, что влечет за собой абсолютно неправильное решение. Такая проблема подтолкнула к развитию методов непараметрической идентификации, которые получили широкое распространение в последние годы [2]. Конечно, непараметрические методы позволяют проводить анализ, не используя уравнение
Секция «Математические методы моделирования, управления и анализа данных»
модели объекта, они более универсальны и работают при большей неопределенности по априорной информации, что нельзя сказать о параметрических методах [3]. Однако в условиях достаточной информации параметрические методы дают лучшие результаты.
Постановка задачи. В данной работе рассмотрен вопрос построения параметрической модели дискретно-непрерывного процесса. Исследован случай, когда на этапе выбора структуры модели была допущена ошибка. Общепринятая схема исследуемого дискретно-непрерывного процесса приведена на рис. 1, где в качестве обозначений принято: А - неизвестный оператор
объекта; х(£) еП(х) с Я1 - выходная переменная процесса; и(£) = (иг (£), г = 1, т) ) с Ят -векторное входное воздействие; ) - векторное случайное воздействие; (0 - непрерывное время; Ни, Нх - каналы связи; Ни (£), Нх(£) - случайные помехи измерений; {иг, х1,г = 1, я} - обучающая выборка, где я - объем выборки.
Рис. 1. Схема исследуемого процесса
Вычислительный эксперимент. Предположим, что исследуемый объект в рамках вычислительного эксперимента описывается следующим уравнением:
y(t) = 7 • u1(t) + 3 • [u2(t)]2 +10 • sin[u3(t)] +11- u4(t) + £(t), (1)
где 7, 3, 10 и 11 это коэффициенты a,Ъ, c,d соответственно; £ - помеха с уровнем 5 %. Пусть уравнение модели имеет следующий вид:
y1(t) = a • u1(t) + Ъ • [u2 (t)]2 + С • sin [u3 (t)] + d • u4(t). (2)
Далее предположим такую ситуацию, что в процессе моделирования была совершена ошибка в структуре при u2 и получено следующее уравнение, описывающее модель:
y2 (t) = a • u1 (t) + Ъ • u2 (t) + С • sin[u3 (t)] + d • u4(t).
(3)
Следующий этап заключается в оценке параметров а, Ъ, с и ё на основе имеющейся выборки {уг, и1г, и2г, и3г, и4г г = 1, я}. Существует большое количество методов для получения оценок
параметров, например, метод наименьших квадратов (далее - МНК). Данным методом мы и воспользуемся. Критерий МНК с учетом структуры нашего объекта представлен ниже.
f (a, Ъ, c, d) =1 (y - y )2 —>
i=1
min ,
a,b,C,d
(4)
где у1 - значения выхода модели; аа, Ъ, С, ё - искомые коэффициенты.
Вычислительный эксперимент демонстрирует влияние ошибки, допущенной на этапе выбора параметрической структуры объекта, на точность решения задачи. На первом этапе сгене-
рируем объект, у которого входные переменные и 7, 7 = 1,4 задаются псевдослучайными числами
в интервале [0,3]. Выход объекта сгенерирован по (1). Используя МНК для (2) и (3), получим значения оценок коэффициентов объекта, рассчитаем значение критерия (4).
Построим графики, иллюстрирующие значение выхода объекта и выходов моделей от времени, а также значение выходных переменных ы2 объекта и ы2 неверной модели в каждый такт времени (рис. 2).
Рис. 2. Графики зависимостей: а (слева) - зависимость выходов объекта и двух моделей от времени; б (справа) - зависимость переменной ы2 от времени для двух моделей
На рис. 2, а модель совпадающей структуры (2) (обозначена звездами) хорошо описывает выход объекта, несмотря на существующую помеху (^ = 0, а = 7,018, Ь = 3,008, <3 = 10,026,
С = 11,028). Можно заметить, также, что модель несовпадающей структуры (3) (линия, которая максимально отклонена от истинного значения выхода правильной модели) достаточно грубо описывает объект (Р2 = 4,3, а = 5,64, Ь = 14,73, <3 = 4,7, С = 9,98).
Заключение. Основываясь на полученных результатах можно сказать, что ошибка, пусть и незначительная, допущенная при выборе параметрической структуры объекта исследования, существенно влияет на результаты решения поставленной задачи. Об этом свидетельствует значительная разница в значениях коэффициентов объекта и оцененных коэффициентов модели несовпадающей структуры, а также значение критерия качества.
Библиографические ссылки
1. Цыпкин Я. З. Основы информационной теории идентификации. М. : Наука, 1984. 320 с.
2. Медведев А. В. Непараметрические системы адаптации. Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 1983.
3. Рубан А. И. Методы анализа данных. Красноярск, 2012. С. 104.
© Денисов М. А., 2017
