CC BY
76
2007
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Авионика и электротехника
№ 115
УДК 629.735
О НЕКОТОРЫХ ОСОБЕННОСТЯХ НАДЕЖНОСТИ РЕЗЕРВИРОВАННЫХ СИСТЕМ
Е.Р. МАЙСКАЯ
Статья представлена доктором технических наук, профессором Кривенцевым В.И.
Основной способ увеличения надежности авиационного оборудования и обеспечения безотказности - увеличение избыточности, в частности, путем резервирования, однако при этом с ростом времени эксплуатации резко возрастает относительное число отказов избыточных систем, а в отдельных случаях - условная вероятность отказа резервированных систем может стать выше, чем у системы без резервирования. Для частного случая сделаны количественные оценки.
Для обеспечения высокой надежности авиационного оборудования в него при проектировании закладываются всевозможные запасы (прочности, нагрузочной способности, резервных элементов и т.п.), создающие некоторую избыточность внутренних ресурсов, т.е. дополнительные средства или возможности сверх минимально необходимых для выполнения изделием своих функций. В процессе эксплуатации авиатехники происходит постепенное расходование этой избыточности (износ, старение, выход из строя резервных элементов и т.п.), и задача системы ТО и Р сводится к тому, чтобы оптимизировать расходы на контроль и своевременное восстановление избыточности, не допуская при этом снижения уровня безопасности полетов ниже допустимого.
Одним из самых распространенных способов увеличения структурной избыточности системы является резервирование. Простейшими математическими моделями этого процесса являются схемы постоянного нагруженного и ненагруженного резервирования. Целью резервирования является повышение надежности, однако показатели надежности изменяются во времени, и эффект от введения резервирования также зависит от времени.
Вероятность безотказной работы резервированной системы определяется выражением согласно [2]:
-1 Лп (т¥т
Рп ($) = е 0 ,
где Л п (т) - функция интенсивности отказов резервированной системы,
п - общее число основных и резервных элементов.
Рассмотрим схему постоянного нагруженного резерва (рис. 1).
Рис. 1. Схема постоянного нагруженного резерва
Для нормального функционирования системы необходим один элемент. Функцию основного элемента может выполнять любой элемент. Такая схема характерна для многих авиационных систем, в частности, для системы дистанционного управления типа СДУ (3 канала). Отказы элементов независимы, интенсивность отказов элемента не меняется при отказах других элементов.
Пусть pi (I) и 1 (I)- соответственно вероятность безотказной работы и функция интенсивности отказов i -го элемента (i = 1,..., п ).
В рассматриваемом случае
Рп (») = 1 -П [1 - Р'«)]■
i=1
Тогда
С/Р (1) п Р'(» П [1 - Р, (г)]
Лп (I ) = -^Ж = у------------!*--------1(I).
Рп т £ рп (г)
Для удобства введем обозначения
I i (I) = П [1 - Р, (I)];
с (I ^/^КДО.
Рп (I)
Тогда Лп (I) запишется в самом общем виде:
Лп (I)=¿с, (I )1 (I).
г=1
Для изделий авиационной техники интересен начальный участок эксплуатации [0,1] при малом значении времени 1:, когда вероятность безотказной работы велика и стремится к единице, а кривые интенсивности и плотности вероятности отказов практически совпадают [1]. Тогда вероятность отказа равна площади под кривой интенсивности отказов с точностью до первого члена разложения в ряд Тейлора. Соответственно, чем меньше эта площадь, тем выше надежность системы. Известно, что для любой резервированной системы интенсивность отказов равна нулю при I = 0 [1,2]. В процессе эксплуатации интенсивность отказов нарастает, соответственно увеличивается площадь под кривой интенсивности отказов, однозначно характеризующая увеличение вероятности отказов. Введение резервирования уменьшает эту площадь.
Рассмотрим поведение интенсивности отказов резервированной системы Лп (I) при малом значении времени 1.
Нетрудно показать, что при малой наработке 1 и произвольных значениях вероятностей резервных элементов pi (I) справедливо приближенное равенство:
Лп (I) @ с Г-1, где С - константа, зависящая от вида р (I) :
ёрг (0)
С = -п-П'
2=1
dt
Доказательство:
Рассмотрим lim =-----------------------— £ ^ • ТП f ^
Р t®0 tn-1 Pn (0) 1:1 dt ^ t
limПf1 = Т7Hm1-^ = -П j .
t®0 t t ®° t dt
i*i V У j*i
После преобразований получим искомое выражение в виде:
^ г А(t) 1 'ndPi (0) T^dpi(0) j^dpi (0) т
C = lim п , =--------> —l------II — -----= -n- II —l------. Тем самым равенство доказано.
-о tn-1 Pn (0) 1=1 dt У dt 1=1 dt v
Покажем вид графика на примере экспоненциального распределения времени безотказной работы, при этом интенсивность отказов резервированной системы равна:
Лп (г) = пП А'"-1,
i=1
т.е. имеет место степенная зависимость интенсивности отказов от времени эксплуатации в зависимости от количества резервных элементов.
В частности, для схемы, состоящей из равнонадежных резервных элементов (А =А = .. = Ап = А), получим:
Л" (t) @ nAnt"-1.
На начальном участке эксплуатации Лп (t) имеет следующий вид (рис. 2):
Рис. 2. График зависимости функции интенсивности отказов системы, резервированной различным числом элементов, от времени эксплуатации
При этом следует заметить, что при п>2 производная от Лп (V) равна нулю. При п>3 первая и вторая производные равны нулю, т.е. кривая интенсивности отказов все плотнее прижимается к оси абсцисс.
Следует обратить внимание на такую важную деталь, как резкое (в степенной зависимости) возрастание функции интенсивности отказов более избыточных структур по сравнению с менее избыточными с ростом времени эксплуатации. Эта ситуация опасна тем, что если не назначить в нужный момент проведение контроля с восстановлением избыточности, начнет резко возрастать количество отказавших в эксплуатации элементов, причем чем больше избыточность, тем больше относительный рост отказов. Поэтому для избыточных систем особенно важно назначить своевременный контроль и при необходимости ремонт или замену отказавших изделий.
Вероятность отказа можно сделать сколь угодно малой, т.е. сделать систему практически безотказной за счет увеличения кратности резервирования и своевременного восстановления израсходованной избыточности. Казалось бы, совершенно обоснованно стремление увеличить количество резервных элементов. Кратность резервирования считается основным критерием
надежности таких структур. Однако следует иметь в виду, что в отдельных частных случаях возможны нетривиальные последствия, на которые хотелось бы обратить внимание.
Рассмотрим случай резервирования неравнонадежными элементами.
Такая схема резервирования довольно широко применяется в авиационной технике, особенно при функциональном резервировании (например: электромеханизм с каналами на постоянном и переменном токе; магнитный, гироскопический, радиокомпасы).
При достаточно широких допущениях относительно характера Д(г), выполняющихся для
всех практически интересных случаев, можно показать, что если не все Д (г) при г ® ¥ сходятся к Дтт(г), всегда наступит такой момент, когда Лп(г) превысит Дтт(г), т.е. интенсивность отказов резервированной системы будет выше интенсивности отказов нерезервированной системы и будет асимптотически приближаться к Лтт (г), оставаясь все время выше последней. Это означает, что Л п (г) имеет, по крайней мере, один экстремум (максимум).
Пусть не все Д (г) при I ® ¥ сходятся к Д (г) .
Рассмотрим две возможные ситуации:
1) Наименьшая интенсивность отказов Д (г) ограничена в течение определенного интервала времени ( г > Т ), где Т - некоторый момент времени эксплуатации, и есть такой элемент, интенсивность отказов которого больше на величину а.
Д(г) < с <¥; , = к +1,..., п ( к<п); Д (г)-Д(г) > а, (а>0).
Обозначим
5п (г) = (р (>) , а *п-к (г) = 5п (г) - 5к (г) = ¿с (г) для г = к +и. п.
¡=1 рп V) г=к +1
Покажем, что 5п (г) < 1.
Для этого рассмотрим:
Пт 5 (0 = Пт У--------Р (‘)+а(Р)------= Пт У-------Р«--------=1,
г=1 Р\ () + .. + Рп О) + Р(Р) г=1 Р1О) + ... + Рп О)
где а ( р) и Р( р)- многочлены степени выше первой относительно Р1,..., Рп .
Тогда справедливо следующее неравенство:
Лп(г)-Д(г)>Д(г)£с(/)+[Д(г)+а]У с,(Г)-Д(г) = а.5п-к(г)+ Д[1 -5,(г)].
г =1 г =к+1
Вследствие того, что Д (г) < с и Пт1—= 0 , то существует такое г* > Т, что
г®¥ 5п-к (г) ’ У У ’
1 -5(го) • Д(г0) < а ,
5п-к (го) 0
т.е. Лп (г0) >Д1(г0).
2) Минимальная интенсивность отказов не имеет ограничения, но есть такой элемент, интенсивность отказов которого в любой момент времени превышает ее.
при г ®¥ Д(г) ®¥ и при всех г > Т : Д(г) > Ь > 1 , г = к+1,...,п (к<п).
Д(г)
Тогда
Л„ (г)-Д(г) > Д(г ¿(г)+ЬД(г) ¿с, (г)-Д(г) = Д[Ь-8„_1 (г) - (1 - 5 (г))]
г=1 ,=к+1
1 - ^ (і) ^-к (г)
1 - (і)
к > 1 для всех I и Пт ——= 1, то существует такое I* > Т, что
^-к (і)
1 £ ^Мо) < Ъ и
^„_к(О К (0 >Л(0.
Таким образом, для рассмотренных случаев можно сделать вывод, что для всех I > I * Лп(I) > 1 (I) . Физический смысл полученного выражения заключается в том, что относительный рост отказов резервированной системы может превысить в определенный момент времени I* относительный рост отказов нерезервированного элемента.
Но следует отметить, что интенсивность отказов резервированной системы всегда меньше интенсивности отказов самого ненадежного элемента для всех 1 (0 £ I < ¥):
Л(1) = £С,(11 (I) <!,„ (I) - «, (I) < Дт„ (I) .
1=1
Для рассматриваемого случая, когда надежный элемент резервируется менее надежным, на конечном участке эксплуатации без восстановления (I ) интенсивность отказов системы будет равна интенсивности отказов наиболее надежного элемента. При этом все вышесказанное следует рассматривать с позиций статистического смысла понятий надежности.
Качественно изобразим поведение интенсивности отказов резервированной системы на примере случая, когда имеет место экспоненциальный закон распределения времени работы до отказа.
Пусть резервирование основного канала в системе осуществляется т равнонадежными каналами (т>1) с интенсивностями отказов в к раз (к>1) превышающими интенсивность отказов основного канала (рис 3).
Обозначим функцию интенсивности отказов системы, состоящей из п = т+1 элементов, Л п (I).
Р'(I) _ 1 -е-1 (1 -е“к■1 )т + т-к-1-1-е~к■1 (1 -е-1 )(1 -е"к■1 )т-1
А п(і) =
Р(і)
1 - (1 - в'1 )(1 - е"к '1)
к • 1і\т
Рис.3. Схема постоянного нагруженного резерва
Найдем значение времени I *, при котором кривая интенсивности отказов резервированной системы пересечет кривую интенсивности отказов основного канала. Из предыдущего выражения легко получить:
,•=- 11п(1 -11=!ш- к
1 V к) 1 к -1
Например, для трехканальной системы с интенсивностью отказов основного элемента 1 = 8.6 10-61/ч и интенсивностями резервных каналов (т=2), в пять раз превышающими интенсивность отказов основного канала (к=5), интенсивность отказов резервированной системы (сплошная линия 12(7)) и самого надежного нерезервированного элемента (пунктирная линия 1) имеет вид (рис. 4):
12(1)
Рис. 4. График зависимости интенсивности отказов резервированной и нерезервированной системы от времени
Можно показать, что если резервирование осуществляется одним каналом (т=1), то как бы ни было велико к, т.е. каким бы плохим в смысле надежности не был резерв, относительная
величина выброса 1(I) системы —1 не превысит 13% от значения интенсивности отказов
1
основного канала. Казалось бы, небольшое значение выброса может обернуться заметным числом отказов в эксплуатации, которых не было бы в случае своевременной проверки и восстановления избыточности.
В случае, если бы интенсивности отказов всех каналов были одинаковые, то интенсивность отказов резервированной системы, начинаясь из нуля, приближалась бы по экспоненте к интенсивности отказов элемента, оставаясь все время ниже него.
Таким образом, в случае схемы нагруженного постоянного резерва, когда интенсивности отказов различны, при отсутствии восстановления интенсивность отказов резервированной системы может превысить в определенный момент времени значение интенсивности отказов нерезервированной системы. Условная вероятность отказа резервированной системы при условии, что система безотказно проработала некоторое время 1*, в отдельных случаях может стать больше, чем у нерезервированной системы. Это обстоятельство следует учитывать при расчете надежности резервированных систем.
1
1
ЛИТЕРАТУРА
1. Воробьев В.Г., Константинов В.Д. Надежность и эффективность авиационного оборудования: Учеб. для вузов.- М.: Транспорт, 1995.
2. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности. - М.: Наука,
1965.
3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1969.
SOMETHING SPESHIAL DEPENDABILITY OF REDUDANCY SISTEM ABOUT
Mayskaya E.R.
The article describes some issues of redundant systems reliability, and also paying attention to some particular qualities of redundant systems, which reduces reliability. Some samples shown when systems backups brings to it’s reliability degradation during operational period.
Сведения об авторе
Майская Елизавета Романовна, окончила МГТУ ГА (2003), аспирант кафедры электротехники и авиационного электрооборудования МГТУ ГА, область научных интересов - авиационная электротехника, эксплуатационная технологичность, надежность авиационного оборудования.
