CC BY
74
УДК 519.87 Острейковский В.А.
Сургутский государственный университет
О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ МОДЕЛЕЙ КОЛИЧЕСТВЕННОЙ ОЦЕНКИ РИСКА В ТЕОРИИ ТЕХНОГЕННОЙ БЕЗОПАСНОСТИ
*Работа поддержана РФФИ (проект 11-01-00008)
Аннотация. Предложены несколько классов моделей оценки риска при оценке техногенной безопасности сложных систем. Приведены аналитические зависимости для определения значений показателей техногенного риска, развивающие классический подход Ф. Фармера.
Ключевые слова: Исходные события аварии, ущерб, техногенный риск, надежность, безопасность, классы математических моделей.
Введение
После известных тяжелых техногенных катастроф последней трети ХХ в. и первого десятилетия ХХ1 в. в энергетике, космонавтике и на транспорте вопросы анализа, оценки и прогнозирования отказов, аварий и катастроф продолжают оставаться чрезвычайно актуальными. В этом плане необходимо дальнейшее развитие одного из важных разделов теории безопасности сложных динамических высоко опасных систем - теории техногенного риска.
Как известно, количественное значение риска определяется с помощью выражения
n П
R = £ R = X QC,
l = 1 l = 1
где Qi - вероятность исходного события и C± - последствия (ущерб) от исходного события (отказа, аварии, катастрофы). Этот подход обычно интерпретируется двумерной кривой Ф. Фармера (рис.1) [1]. При этом под значением самого риска на рис.1 понимается значение возможного ущер-
ба «с» при соответствующем значении вероятности q. При этом исходные события должны рассматриваться по всему дереву событий исследуемой системы.
Недостатками данного подхода являются:
1) неучет изменения величин С и Q и во времени;
2) величины C и Q в общем случае являются либо случайными величинами, либо случайными функциями времени (случайными процессами);
3) не учтены законы распределения исходных событий и ущерба, а также влияние значений их параметров.
Отмеченные факторы соответствуют реальной эксплуатации сложных динамических систем [1-4].
Рис. 2. Графическая интерпретация соотношения множеств риска R, вероятностей исходных событий Q, ущерба C во времени T эксплуатации Классификация моделей техногенного риска от эксплуатации системы
Рассмотрим множества: Q = {qi, q2, ..., qn), qi Е Q, i = 1,n - множество возможных вероятностей исходных событий (отказов, аварий, катастроф), C = {ci, сг, ..., Cn}, Ci Е C, i = 1, n - множество последствий (ущерба) от свершения i-тых исходных событий, ti Е T - множество моментов време-
П
ни, Ri Е R - множество возможных рисков, £R = R.
i=i
Очевидно, что
R = H { Q х C х T } (1)
или в скалярной форме
П
R (q, с, t) = £qi(t)Ci(t) , (2)
i=1
где H - оператор, реализующий отображение (рис. 2)
Q x C x T
Или
R.
(3)
t
R (q, c, t) = H { t, to, Ro( qo, c0r to), R( q, c ] t }, (4)
где t - текущий момент времени, в который определяется риск; to - начальный момент наблюдения за состоянием системы, t Ч to; qo, Co, Ro - соответственно вероятность исходных состояний динамической системы, ущерб и риск в начальный момент времени наблюдения за состоянием системы.
В данной работе под риском понимаются возможные последствия (ущерб) в некоторой стохастической ситуации и соответствующие им вероятности, т.е. риск отождествляется с функцией распределения [3].
Сложный оператор H может быть представлен набором более простых операторов
H = { Hj }, j = 1,m . (5)
Число m видов оператора H зависит от сложности системы, взаимодействия подсистем, блоков и элементов в системе (т.е. характером внутренних связей), влиянием внешней среды, количеством звеньев в иерархии управления, видов опасностей и угроз и различных других факторов.
В частности, возможны следующие случаи.
Класс моделей 1. Вероятности исходных событий q± и ущерб с± являются случайными и независимыми величинами. Тогда риск R определяется классическим способом по Ф.Фармеру
n __
R = Н {q, C } = £qfi , i= 1,n . (6)
i =1
Класс моделей 2. Вероятности исходных событий qi и ущерб Ci являются независимыми случайными величинами [5], задаваемыми в общем случае своими законами распределения fg(q/Ci) и fc(c/qi), как показано на рис.1. Тогда
R = Н {q, с };
и
Fr(r)=ЯfQcqc)dqdc =яfQ(q)fc(c)dqdc, (7)
Wi Wi
где Fr (r) - функция распределения риска
Wi:
0 < q < 1,0;
0 < c < cm
Wi - область определения, задаваемая как
(8)
Класс моделей 3. Вероятности исходных событий qi и ущерб Ci являются зависимыми случайными величинами с функцией связи Q = a (c). Тогда R = Нз { q, c/q }; и
да cc(c)
fr(r)=ЯfQ/c(q,c)dqdc =j j fQ(q')fa(c)dqdc, (9)
W2 0 0
по области интегрирования
Г0 < q <a(c)-;
W2: л
l0 < c <от.
Класс моделей 4. Вероятности исходных событий и ущерба являются случайными функциями времени (случайными процессами), в общем случае как зависимыми, так и независимыми.
Тогда для независимых случайных процессов с распределениями fQ(q,t) и fc(c, t)
R = H4 { q, c, t };
fr (r) = jj fQ q t)fc (c, t)dq(t)dc{f) , (10)
W3
по области интегрирования
f0 < q < 1;
W3: Л
l0 < c < cmax (t).
Возможны и другие формы взаимосвязи между множествами Q, C и T. Например, такие как учет предысторий во времени значений техногенного риска и т.д.
Опыт вычисления значений техногенного риска показывает, что определение ущерба Ci(t) принципиальных трудностей не содержит, за исключением организационных, связанных с субъективными факторами. Большинство проблем возникает при определении значений вероятностей исходных событий отказов, аварий и катастроф. К настоящему времени в теории безопасности разработаны и широко применяются на практике для оценки qi(t) разнообразные логико-вероятностные модели, основанные на методах типа «дерево отказов» - «дерево событий», схем функциональной целостности, общего логико-вероятностного метода, с использованием топологических, логико-графических и других методов. Многие из этих моделей теоретически хорошо описаны в отечественной и зарубежной литературе. Большинство из них максимально автоматизированы, доведены до реализации на ЭВМ [1,3] и рекомендованы многими национальными и международными организациями для практических расчетов при выполнении вероятностного анализа безопасности сложных высоко ответственных динамических систем [6] . Однако подавляющее число логико-вероятностных методов при расчете безопасности и риска вынуждены использовать характеристики надежности оборудования в виде вероятности или интенсивности отказов. А это связано с решением таких непростых задач как: высокая надежность оборудования, малое число отказов, неоднородность и усеченность выборок, разнородность элементной базы, различие технологических схем и т.д.
Для элементов оборудования с сосредоточенными параметрами проблем получения характеристик надежности существенно меньше, чем для систем с распределенными параметрами.
Класс моделей 5. Плотности вероятностей исходных событий описываются уравнениями в частных производных.
В классе моделей оценки надежности систем (объектов) по постепенным отказам целесообразно использовать методы, в которых выходной (комплексный, обобщенный), параметр объекта рассматривается как случайная функция. Для определения вероятности q±(t) за время t, случайный процесс Y = Y(X, t) (X - вектор внешних воздействий на объект), далее Y(t) описывается n - мерной плотностью, где число n зависит от значения t 6 T , скорости изменения случайного процесса Y(t) и требуемой точности расчета. Недостатки этого класса моделей - весьма сложные исходные данные в виде многомерных законов распределения, получение которых проблематично. Использование одномерных плотностей распределения вместо многомерных может существенно исказить результаты расчета. Поэтому в работах [1, 5] при расчетах вероятности q±(t) было предложено введение дополнительных ограничений на случайный процесс ВПО Y(t).
Пусть Y(t) - непрерывный одномерный однородный марковский процесс с конечным эвклидовым фазовым пространством. Как известно, этот процесс описывается функцией Q( в , y, t, Y) - вероятность того, что если объект, находящийся в момент времени в (в > 0) в состоянии у, то в момент времени t(t > в ) будет находиться в одном из состояний Y с Q , где Q - в - алгебра подмножеств фазового пространства. Функция Q(в , у, t, Y) удовлетворяет известному уравнению Колмогорова - Чепмена, а плотность вероятности перехода 1(в , у, t, Y) - уравнениям в частных производных (прямое и обратное уравнения Колмогорова).
дГ(в,у,1, Y) ^ „ .д[(в, y,t,Y) д2/(в,у,и) п
J ’Y +Yakву) ( У ) + ТZfi.k (ву’ ’ ) = 0;
дв к У 2 У дук
f ( в ’Y’Y) +Y—H ( в’ y)f( в’ у ,t’Y)]- [p к ( в’ y)f( в’ у, t,Y)] = 0.
д ук су^к
(11)
Теперь используем идею А.Н. Колмогорова и В. Феллера о применении инфинитезимальной характеристике процесса на замкнутом отрезке [0, T] ратор А процесса Y(t) в нашем случае имеет вид
полугрупп операторов , инфинитезимальный
как
опе-
Aq( в ^)=а( в ^) YYYY+
ду
Рг(в ,у),дгд(в ’ у)
2 ду1
дд(в ’ у) дв
(12)
где коэффициенты а(в’у) и р2(в’у) (14), равные
, |im M[Y „+*, - y w| y „-. 1.1
t ^0 t
. D[Y(t + в) - Y(в) y (в) - у 1
Д2(в’у) - ------- у1у(в)-у-1.
t^0 t
соответственно, коэффициенты сноса и диффузии уравнения
(13)
Для определения коэффициентов а(в’у)р2(в’у) выражения
(16) необходимо решить следующую систе-
му уравнений
дт1(в’у)-х№ ,.)дт1(в ’у) | Р1(в’у).д1т(в ’у).
дв ( ’у) ду 2 ду2 ’
тву)=а(д Лдт2( в ,у) , Д2( в ,у) . д2т2(в’ у) дв ( ’у) ду 2 ду2 '
дт1(в’у) „,п .лдт1( в’у) , Р2(в’у) д2щ(в’у). ——=а(в ’у)—д^+—--------------3^’
дт1( в ’у).
■ а(в у)дт2(в’у) ' Р (в’у) д т2(в’у)
- + -
д в ду 2 ду2
где mi, m2 - соответственно, условные математические ожидание и дисперсия ВПО:
т,(в,у) -M[Y(t)]
Щ( в ’у) - M [Y 2(t)]
Y(в)-y-a(t)Y - у J уу (в’у);
Y(в)-у-p(t)Y-al(t)Y 2 - у J ф(в’У)у2йу - у2 J уйру (в’У)
-ад V-Эд
(15)
(16)
Из выражений (15) и (16) видно, что математическое ожидание и дисперсия ВПО являются функциями времени и зависят от вида и значений параметров законов распределений в сечениях случайного процесса Y(t).
Таким образом, инфинитезимальные характеристики случайного процесса Y(t) ВПО позволяют определять не только вероятности перехода на временном интервале [to, tk], но и вычислять распределение различных функционалов от процесса, в частности: время достижения процессом некото-
рой области и распределения значения процесса в непрерывной области до достижения момента tk.
Класс моделей 6. Плотности вероятности исходных событий описываются уравнениями частных производных при наличии скачков изменения состояния динамических систем.
Следует отметить, что уравнения (11-14) являются корректными моделями известных фундаментальных законов сохранения [7].
f ^.у.,)_+£ дА“< f^ro - в,„(
8t
j-1
8Х:
(17)
Х’У’2 е Япу > 0’ ©gQ5
где f={f(w)} - неизвестная вектор-функция (в нашем случае это q±(t))
x^’ZеRn - пространственные координаты, Aj и Б* - операторы, считающиеся заданными характером моделируемых физических процессов в объектах, Q - множество параметров ф, нумерующих уравнения (17).
Законы сохранения вида (17) идеально отображают функционирование объектов, описываемых в общем случае системами нелинейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.
Для случаев, когда правая часть уравнения (17) имеет разрыв, необходимо переходить к моделям уравнений Лиувилля - Власова [7]
ЧЧ0 + S[f (z,t)p(z)] 0 ]
St Sz Ч (18)
f 41)| t=0 = f\z% J
где f(z,t) - плотность вероятности распределения состояния системы в фазовом пространстве R в момент времени t; p(z) - поле скоростей изменения состояния системы в фазовом
пространстве R{z}; f 0(z) - начальная плотность вероятности распределения состояния системы в
фазовом пространстве R.
Хотя уравнение Ливиулля является уравнением неразрывности и основополагающим законом сохранения, который определяет статистические решения уравнений динамических систем, однако возможны применения этого уравнения и при наличии скачков изменения состояния динамических систем. Иными словами уравнение Лиувилля - Власова при наличии скачков является решением системы дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. Использование уравнения (18) с разрывными коэффициентами под знаком производной влечет возникновение функциональных решений. Установлено в [7], что численное моделирование уравнений типа Лиувилля при наличии разрывных коэффициентов является существенным преимуществом по сравнению с разностными схемами, так как последние в нашем случае не являются аппроксимирующими.
Заключение
Предложенный в данной работе оригинальный подход к определению значений техногенного риска систем позволяет эффективно оценивать большой спектр характеристик риска при анализе техногенной безопасности структурно и функционально сложных высоко опасных динамических систем.
ЛИТЕРАТУРА
1. Острейковский В.А., Швыряев Ю.В. Безопасность атомных станций. Вероятностный анализ. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 352 с.
2. Острейковский В.А. Теория систем.: Учеб. Для вузов/ В.А. Острейковский - М.: Высш. шк.,
1997. - 240 с.
3. Королёв, В.Ю. Математические основы теории риска: учеб. пособ. \ В.Ю. Королев, В.Е. Бе-нинг, С.Я. Шоргин. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 544с.
4. Острейковский, В.А. Математическое моделирование техногенного риска: учеб. пособ. \ В.А. Острейковский, А.О. Генюш, Е.Н.Шевченко; Сург. Гос. ун-т ХМАО-Югры. - Сургут: ИЦ СурГУ, 2010.
- 83с.
5. Острейковский, В.А. Теория надежности: Учеб. для вузов / В.А. Острейковский. - 2-е изд.
- М. : Высш. шк., 2008. - 463 с.
6. Рябинин, И.А. Надежность и безопасность структурно-сложных систем/ И.А.Рябинин. - СПб: Изд-во СПб. ун-та, 2007. - 270с.
7. Галкин, В.А. Анализ математических моделей: системы законов сохранения, уравнения Больцмана и Смолуховского / В.А. Галкин. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. - 408с.
