О некоторых классах экстремальных ориентированных графов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

2015

Прикладная теория графов

№ 4(30)

ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ГРАФОВ

УДК 519.1

О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ОРИЕНТИРОВАННЫХ ГРАФОВ

А. Ю. Зубов

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, г. Москва, Россия

Изучаются ориентированные графы, обладающие свойством транзитивности и имеющие ограниченные степени вершин. Указываются классы экстремальных графов.

Ключевые слова: теорема Турана, экстремальный ориентированный граф.

DOI 10.17223/20710410/30/8

ABOUT SOME CLASSES OF EXTREMAL ORIENTED GRAPHS

A. Yu. Zubov

Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russia E-mail: [email protected]

Some classes of extremal directed graphs with the transitivity property and limited vertices degrees are studied.

Keywords: Turan’s theorem, extremal directed graph.

1. Задачи экстремальной теории графов

Одно из направлений теории графов составляет класс задач, связанных с оценкой максимального числа рёбер графа, не содержащего подграфов определённого вида. Это направление, получившее название «экстремальная теория графов», возникло в начале XX века после доказательства теоремы Мантеля (1907 г.), в которой утверждается, что связный граф порядка n ^ 3 и размера m > _n2/4j содержит треугольник [1]. Порядком и размером графа называется соответственно число его вершин и рёбер. Теорема Мантеля обобщается теоремой Турана (1941г.), в которой доказано, что максимальный размер графа порядка n ^ 3, не содержащего полного подгра-

фа Kk порядка k, равен

k — 2 n2 — r2 /г

k- 1

+

, где г — остаток от деления n на k — 1.

2

Теорема Турана даёт также полное описание экстремальных графов Tn,k такого размера [2]. Турановский граф Tn,k — это k-дольный полный граф, такой, что его доли Vi,... ,Vk имеют возможно близкие к друг другу мощности (г долей мощности [n/k] и k — г долей мощности |_n/kj).

Известно большое число других подобных результатов [2-4]. Например, если порядок n ^ 4 и размер m графа связаны соотношением m ^ (n + nyj4n — 3) /4 + 1, то граф содержит цикл С4 длины 4. В теореме Поша (1952 г.) утверждается, что

84

А. Ю. Зубов

граф порядка п, не содержащий путей длины к, имеет размер т, не меньший чем п(к — 1)/2. Эта оценка достижима в том и только в том случае, когда все компоненты связности графа есть полные подграфы Kk. П. Туран поставил общую задачу (the problem of forbidden subgraphs — проблема запрещённых подграфов): найти максимальный размер графа порядка п, который не содержит заданного подграфа F. Пусть ex(n, F) — такой максимальный размер и EX(n, F) — множество соответствующих экстремальных графов. В этих терминах теорему Турана формулируют в виде равенства EX(n,F) = Tn,k. Один из фундаментальных результатов экстремальной теории графов сформулирован в теореме Эрдёша — Стоуна (1946г.): для графа F, содержащего не менее одного ребра, выполняется равенство

ex(n, F) x(F) — 2

n-mr=хот-—г •

где x(F) —хроматическое число графа F. Аналогичные задачи возникают и для ориентированных графов без петель, обладающих свойством транзитивности: если граф содержит ориентированные рёбра (a, b) и (b, с), то он содержит и ребро (a, с). Такие графы ассоциируются с частично упорядоченными множествами. Так, в [5] для решения некоторых уравнений в группе подстановок G на множестве Qn = {1, 2,... , n} вводится

c

отношение порядка , определяемое произвольной подстановкой а = :

,ас.

c€Qn

a -<а b ^ [aa, a] С [ab, b],

где

[ с с] = {с},

|{а-1с, а-1с +1,...,с +1,с}, и решается экстремальная задача относительно величин

если ас = с, если ас = с,

Аа = |{(а, b) : a,b Е Пп,а b}|, а Е G.

Такая задача оказывается эквивалентной задаче нахождения максимального размера ориентированного графа без петель с n вершинами, обладающего свойствами транзитивности и ограниченности для каждой вершины чисел предшествующих (полустепень захода) и последующих (полустепень исхода) вершин. Этому вопросу посвящён

п. 3 данной работы.

Отметим, что теорема Турана верна и для ориентированных графов без петель со свойством транзитивности. При этом условие отсутствия полных подграфов порядка к заменяется условием отсутствия в графе ориентированных путей длины к. В данной работе изучаются ориентированные графы порядка n со свойством транзитивности, для которых степень каждой вершины не превосходит к < n. В зависимости от чётности чисел к, n приводятся примеры экстремальных графов, размер которых достигает величины [n(k — 1)/2].

2. Ориентированные графы с ограниченными степенями вершин

Введём следующие обозначения. Пусть Гп — ориентированный граф без петель с множеством вершин Пп, обладающий свойством транзитивности, и Гп — соответствующий неориентированный граф; vc — степень вершины с Е Пп; Гпд — граф Гп, степень каждой вершины которого меньше к; |Гп,к | — число рёбер графа Гп,к; Гткх — граф Гп,к максимального размера.

О некоторых классах экстремальных ориентированных графов

85

Подсчитывая число рёбер графа, степень каждой вершины которого равна k — 1, получаем следующее неравенство.

Утверждение 1. Для любого графа Гп,к

|Гn,k | ^

n(k — 1) 2

(1)

Замечание 1. Граф Гп,к не содержит (ориентированных) путей длины к. Вместе с тем неравенство (1) не следует из приведённой выше теоремы Поша, поскольку в графе Гп,к могут содержаться пути длины, большей чем к — 1.

Покажем, что оценка (1) достижима.

Утверждение 2. При k Е {1, 2}, к + n, и при к = 3, 3 + n, n = 5, имеет место равенство

I pmax I _

|Г п,к 1 =

n(k — 1)

Доказательство. При k =1 имеем |Гп1| = 0. Граф Гп2 не содержит путей длины 2. При чётном n экстремальным является граф, рёбра которого исчерпываются элементами множества

{(i,n/2 + г) : г = 1,2,...,n/2},

а при нечётном n — элементами множества

{(d [n/2] +г): г = 1,2,..., [n/2]}.

Поэтому |rm,kx| = [n/2].

Граф Гп3 не содержит путей длины 3. Легко видеть, что при чётном n экстремальным является граф Сп, представляющий собой цикл, составленный рёбрами

(1, 2), (3, 2), (3, 4), (5, 4),..., (n — 1,n), (1,n)

с чередующимися направлениями, а при нечётном n — граф из двух компонент Сп-3 и С3, составленных рёбрами (1, 2), (3, 2), (3, 4), (5,4),..., (n — 4,n — 3), (1,n — 3) и (n — 2,n — 1), (n — 1,n), (n — 2,n). Отсюда следует, что |rmax| = n. Исключение составляет случай, когда n = 5, k = 3. Легко проверить, что |Гтах| = 4. ■

Утверждение 3. При любом чётном n и любом k, 3 + k + n/2+1, выполняется равенство (2).

Доказательство. Рассмотрим граф Сп из доказательства утверждения 2. Его вершины, представленные нечётными числами, являются истоками графа (их полустепени захода равны 0), а вершины, представленные чётными числами, являются стоками графа (их полустепени исхода равны 0). Можно рассматривать такой граф как двудольный, степень каждой вершины которого равна 2. Одной долей графа служит {1, 3,...,n — 1}, второй — {2, 4,..., n}. Все рёбра графа начинаются в первой доле и заканчиваются во второй.

Аналогично можно построить и двудольный граф Гп,к с теми же долями, степень каждой вершины которого равна k, где 3 + k + n/2 + 1. Таким, например, является граф с множеством рёбер

{(2г + 1, 2г + 2j + 2 mod n), г = 1,2,..., n/2 — 1, j = 0,1,..., k — 2}.

86

А. Ю. Зубов

Для построенного графа выполняется равенство (2). ■

Заметим, что для любых нечётного n и чётного к не существует графа Гп, степень каждой вершины которого равна к — 1. В таком случае экстремальным является граф Гга,к, степени n — 1 вершин которого равны к — 1, а степень одной вершины равна к — 2. Однако попытки построить такой ориентированный граф Гп^, например при n = 7, к = 4, не приводят к успеху. Непосредственно проверяется, что для Гтах равенство (2) не выполняется. Вместе с тем справедливо следующее утверждение.

Утверждение 4. При любом нечётном n ^ 5, n = 7, выполняется равенство

|Г™х| = [3n/2].

Доказательство. Поскольку n — 5 чётно, при n ^ 11 выполняются условия утверждения 3 и, следовательно, существует граф Г = Гп_5,4, для которого выполняется равенство (2). Заметим, что экстремален и граф Г = Г54 с множеством рёбер

{(1,2), (1, 5), (3, 2), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 5)}.

Построим граф Гп4, состоящий из компонент связности Г и Г . Непосредственно проверяется, что построенный граф экстремален. Аналогично граф Гд4, компонентами которого служат Г и полный граф Г4,4, экстремален. ■

Утверждение 5. При любых нечётных к и n ^ 3к — 2 выполняется равенство (2).

Доказательство. С учётом утверждения 3, достаточно заметить, что граф Гп,к, состоящий из компонент Г^ и Гт^ k, является экстремальным. ■

Известны примеры графов Гп,к, для которых выполняется равенство (2) и при других соотношениях между к и n, чем указанные в условиях утверждений 2-5. Таковым является, например, граф Г8,6 с множеством рёбер

(1, 2), (1, 4), (1,5), (1, 6), (1,8), (3, 2), (2,4), (5, 2), (7, 2), (3, 4),

(3, 6), (3, 7), (3, 8), (5, 4), (7, 4), (5, 6), (5,8), (7, 6), (8, 6), (7, 8).

3. Ориентированные графы с ограниченными полустепенями вершин

Пусть Gn,k — ориентированный граф без петель со свойством транзитивности, с n вершинами, полустепени исхода и захода которых меньше к.

Утверждение 6. Справедлива оценка

iGmmn < iTn,k+ii. (3)

Доказательство. Граф Gn,k содержит истоки и стоки. Любой сток достижим из некоторого истока. По условию длина пути между истоком и стоком не превосходит к — 1. Отсюда следует, что в Gn,k нет путей длины к и полных подграфов на к + 1 вершинах.

Заметим, что и неориентированный граф Gn,k не содержит полных подграфов Kk+1. В самом деле, если Gn,k содержит Kk+1, то граф Gn,k обязан содержать путь длины к. Это легко доказать индукцией по к, учитывая, что имеет место цепочка включений Kk+1 D Kk D Kk-1 D ... По теореме Турана отсюда следует, что

|Gn,k 1 = |Gn,k 1 ^ |Tn,k+1|.

О некоторых классах экстремальных ориентированных графов

87

Если

IGTI = |Tn,k+i|, (4)

то Gmkx = Tn,k+1 в силу того, что Tn,k+1 — единственный экстремальный граф. Используя описание графа Tn,fc+1, убеждаемся в том, что степени его вершин равны k или k + 1. В частности, степень любого истока a графа Gmkx тогда не меньше k, что невозможно, поскольку по условию полустепень исхода вершины a не превосходит k — 1. Следовательно, равенство (4) невозможно, откуда следует (3). ■

Заметим, что конструкции экстремальных графов типа Гп>^, рассмотренные в п. 2, являются и графами типа Gn,k. Это позволяет получить нижнюю оценку величины |G“iX| для таких графов.

Утверждение 7. Для значений n, k, удовлетворяющих любому из условий утверждений 2-5, справедливо неравенство

max

n,k

(5)

n(k — 1)

^ |G

Оценки (3) и (5) для некоторых значений n, k дают близкие значения. Например, при n =2 k получаем следующий результат.

Утверждение 8. Если n = 2k, то

n(n — 2) / I ^maxi z n(n — 2) (г\

—4— ^ |Gn,fc1 ^ —2— • (6)

В [5] доказано, что на самом деле в утверждении 8 нижняя оценка достигается. Вычислим точно величину |Gmkx| при k = [(n + 1)/2].

Утверждение 9. Имеет место равенство

max

|Gn,[(n+1)/2]1

n n — 1

2 2

(7)

Доказательство. Граф G = Gn,k определяет на своём множестве вершин П = {1, 2, • • •, n} отношение порядка -<G, где a -^G b для a,b G П, если и только если G содержит ребро (a, b). Это отношение обладает свойством транзитивности (но, в отличие от отношения частичного порядка, не обладает свойствами рефлексивности и антисимметричности). Пусть U(n,^G)(a) —множество элементов из П, предшествующих a согласно -<G, и W(q,^g)(a) —множество элементов из П, следующих за a согласно -<G. Из определения графа G следует, что для каждого a G П выполняются неравенства

|U(Q,^G)(a)| ^ k — 1, |W(H,^G)(a)| ^ k — 1

(8)

Пусть

Ф(П, ^G)

Тогда (7) равносильно равенству

{(a, b) : a, b G П, a -<G b}.

max |ф(П ^g)|

G —Gn,[(n + 1)/2]

n n — 1

2 2

(9)

Докажем (9) индукцией по n.

88

А. Ю. Зубов

При n =1 и 2 утверждение очевидно. Предположим, что оно справедливо для n ^ r — 1, и рассмотрим случай, когда n = r. Пусть сначала n чётно. По условию выполняются неравенства (8) при k = n/2. Так как (П, -<g) не содержит циклов, найдётся b Е П, для которого |U(q,^g)(6)| = 0. Удалив из П точку b, получим множество П = П\{Ь} с тем же отношением порядка -<с, для которого выполняются неравенства

|U(Q',^g)(c}| ^ n — 1 n — 2

2 2

|W(fiGG)(c-}| < n — 1 n — 2

2 2

при любом c Е П7. Поэтому для П7 выполняются условия (8) и по предположению индукции

|Ф(П', ^с}| ^

(n — 1)2 2

Поскольку |W(q,^g)(с)| ^ n/2 — 1, справедлива оценка

|Ф(П, ^g)|

^с}| + |W(n,^)(b}| ^

n n — 1

2 2

что и требуется доказать.

Пусть n нечётно. Предположим, что на (П, -<g) достигается максимум величины |Ф(П, -<С)| по всем отношениям порядка -<С, для которых выполняются условия (8). Если в П имеется не более одной точки b, для которой |U(n,^G)(b}| = [(n — 1)/2] или |W(n,^G)(b)| = [(n — 1)/2], то по предположению индукции

|Ф(П, )|

|Ф(П\{6},чс}| + |U(n,^G)(b)| « —

1}(n — 3} , n — 1 n n — 1

4 ' 2 2_ _ 2

что и требуется доказать.

Пусть ii,... ,it — все точки из П, для которых

|W(n,^G)(i«}|

n1

а

^...^ t > 0,

и ji,... ,js — все точки из П, для которых

|U(Q,^G)(je }|

n1

в

1,..., s, s ^ 0.

Предположим, что s = 0. Тогда по условию случая t ^ 2. Пусть j —одна из точек, для которых |W(q,^g)(j}| = 0. Построим на П отношение порядка -У, совпадающее с -<=^G на элементах множества П\^’}; |U(n,^/)(j}| = 0, а W(q,^/)(j) содержит [(n — 1}/2] элементов из множества П\{^,... , it, j}. Это можно сделать, поскольку t ^ [(n — 1}/2] (в противном случае получим противоречие с условием s = 0). Поскольку для любой точки I Е П, для которой |W(q,^)(/}| = 0, имеет место

|и(пд)(1}| ^

n1

2

1

О некоторых классах экстремальных ориентированных графов

89

для (П, -У) выполняются условия (9). Но |Ф(П, -У)| > |Ф(П, -<)|, что противоречит условию выбора отношения -А. Аналогично приходим к противоречию в случае, когда t = 0.

Пусть теперь t > 0, s > 0. Тогда ia A j для любых a G {1,..., t}, e G {1,... , s}. В самом деле, если {ia,jfi) </ Ф(П, А), то W(Q,^)(ia) П U(^)(je) = 0. Но тогда в объ-

единении

W(Q,^)(i«) U U(n,^)(jl3) U {ia} U {je}

содержится более n элементов, что невозможно. В таком случае, исключая из П две точки, например ii и ji, получим множество П' = П\{ф, ji} с тем же отношением порядка А, удовлетворяющим условиям (8). Действительно,

|W(n,,^)(i«)| <

n1

|и(П'Д)Цз)| <

n — 1 2

для a = 2,... , t, в = 2,... , s. Вместе с точками i1 и ji из множества Ф^ (П) мы удалили n — 2 пары элементов: [(n — 1)/2] пар, содержащих ii, и [(n — 1)/2] — 1 пар, содержащих ji. По предположению индукции

|Ф(П, А)|

|Ф(П, А^ + |U(Q,^)(ii)| + |W(Q,^) (ji)| У

(n — 3)2 2

+ n

2

n n — 1

2 2

что и требуется доказать. ■

Следствие 1. Граф Gn,[(n+i)/2], состоящий из двух компонент связности, представляющих собой полные графы Kn/2, Kn/2 при чётном n и K(n+i)/2, K(n+i/2 при нечётном n, является экстремальным.

В заключение отметим, что автору неизвестны точные значения |Г^^аХ| и |Gykx| при произвольных n, k.

ЛИТЕРАТУРА

1. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1972.

2. Llado A. An Introduction to Extremal Graph Theory. CIMPA-UNESCO-Indonesia School on Extremal Problems and Hamiltonicity in Graphs. ITB, Bandung, 2-13 Febr. 2009.

3. Simonovits M. Introduction to Extremal Graph Theory. Budapest: Alfred Renyi Mathematical Institute, 2006.

4. McClintock J. Extremal Graphs Theory for Book-Embeddings. M. Sc. Thesis, University of Melbourne Department of Mathematics and Statistics, 2012.

5. Зубов А. Ю. О диаметре группы Sn относительно системы образующих, состоящей из полного цикла и транспозиции // Труды по дискретной математике. Т. 2. М.: ТВП, 1998.

С. 112-150.

REFERENCES

1. Harary F. Graph Theory. Perseus Books, 1994.

2. Llado A. An Introduction to Extremal Graph Theory. CIMPA-UNESCO-Indonesia School on Extremal Problems and Hamiltonicity in Graphs. ITB, Bandung, 2-13 Febr. 2009.

3. Simonovits M. Introduction to Extremal Graph Theory. Budapest: Alfred Renyi Mathematical Institute, 2006.

4. McClintock J. Extremal Graphs Theory for Book-Embeddings. M. Sc. Thesis, University of Melbourne Department of Mathematics and Statistics, 2012.

90

А. Ю. Зубов

5. Zubov A. Yu. O diametre gruppy SN otnositel’no sistemy obrazuyushchikh, sostoyashchey iz polnogo tsikla i transpozitsii [On the diameter of the group SN with respect to a system of generators consisting of a complete cycle and a transposition]. Tr. Diskr. Mat., 1998, vol.2, pp. 112-150. (in Russian)