CC BY
19
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2009. Вып. 3. С. 12-24 = Математика
V IК 519.4
О некоторых диаграммах групп Кокстера большого типа
И.В. Добрынина
Аннотация. В статье рассматриваются диаграммы степенной сопряженности слов групп Кокстера большого типа.
Ключевые слова-, группа Кокстера большого типа, диаграмма, степенная сопряженность.
Группа (7, заданная системой образующих а*, г € ./, |«/| < сю и системой определяющих соотношений а? = 1 для всех г £ J, (а*а^-)т^ = 1, г ф 1,] € J, ту — элемент матрицы Кокстера (т^), i,jEJ, соответствующей данной группе [1], причем ^ 3 для г ф ], называется группой Кокстера большого типа.
Цель данной работы — изучение диаграмм степенной сопряженности слов групп Кокстера большого типа.
П
Пусть Fi = (а*;а|), /? = П *^г — свободное произведение циклических
¿=1
групп порядка 2. Отождествим каждый образующий а* группы Р с его обратным а^1. Слово ад = а*х ... а^п группы /? называется приведенным, если индексы рядом стоящих букв а^. и я^+1 записи ад различны; длина |ад| слова ад равна п.
Пусть < оо и Гу = (ага^)т^, тогда в Р существуют в точности две различные перестановки г^: гц = (а*а^-)т^ и = {а^а{)т^ (г ф j).
Обозначим через группу = /•'; * через группу Кокстера большого типа (7 у = {аг, а^; а|, а|, г^-, г^) [2].
Обозначим через Н.{3 — множество всех нетривиальных слов, циклически приведенных В свободном произвдении И равных 1 В группе . Элемент г 6 будем называть соотношением типа (г,
В дальнейшем под /2 будем понимать /2 = У — симметризованное
подмножество свободного произведения Р. Тогда группа Кокстера может быть задана представлением (7 = (а^; а|, /?) (г = 1, п). Пусть ад — нетривиальное циклически приведенное в Р слово, равное единице в группе (7 Кокстера большого типа, то есть ад 6 (Я)р, где (И)р — нормальное замыкание еим-метризованного множества Я в свободном произведении Р. Учитывая, что
а -, = а - 1 в /^ можно строить /2-диаграммы над /•' в точности так же, как над свободной группой [3], областями этих диаграмм являются /2^-диаграммы с метками типа {г,]).
Подвергнем /2-диаграмму М следующему преобразованию. Если две области £>1, £>2 являются одновременно Пц-диаграммами, пересекаются по ребру с меткой </?(<9£>11~| сШг), то, стирая это ребро, объединим £>1, £>2 в одну область £). При этом возможно, что метка границы полученой области равна единице в свободном произведении Тогда, удалив эту область, склеиваем её границу. Таким образом, через конечное число шагов мы получим приведенную (в Р) связную односвязную /2-диаграмму М, инвариантную относительного рассмотренного преобразования с граничной меткой, равной ад, причем если две области О', £)" из М пересекаются по ребру, то длина метки этого ребра равна единице и справедлива
Лемма 1 [1]. Каждая приведенная связная односвязная П-диаграмма М группы Кокстера большого типа удовлетворяет условию С (6).
Обозначим через дМ граничный цикл М. Область О С М назовем граничной, если дМ П сШ ф 0. Символом г(О) будем обозначать число внутренних ребер в граничном цикле О. символом = — графическое равенство слов.
Будем говорить, что дО П дМ есть правильная часть М, если ОО П дМ есть объединение последовательности 1\, ¿2,..., 1п замкнутых ребер, где 1\,... 1п встречаются в данном порядке в некотором граничном цикле для О и в некотором граничном цикле для М.
Граничную область £> /2-диаграммы М назовем простой или правильной, если дО П дМ есть правильная часть.
Простая область £) диаграммы М называется деновской, если г(£>) < 3.
Определение 1. Пусть М — приведенная связная, односвязная II-диаграмма группы Кокстера большого типа. Тогда последовательность граничных областей £>1, £>2,..., Оп, п ^ 2, образует полосу в М [4], если:
1) Уг, 1 ^ г ^ п дОг П дМ — правильная часть М;
2) Уг, 1 ^ г < п границы областей О^ и £>¿+1 пересекаются по ребру;
3) г(£>!) = г(£>„) = 3 и У^, 1 < ] < п, г(£>,-) = 4.
Удаление деновской области £) диаграммы М, то есть удаление ее граничного пути дМ П дО, называется деновским сокращением диаграммы М или /2-сокращением. Будем говорить, что М является /2-приведенной, если она не содержит деновских областей. Пусть П — полоса диаграммы М, дМ = 7 и (<9П П дМ), а 71 = сШ \ (сШ П дМ). Замену диаграммы М на диаграмму М \. полученную из М удалением полосы П, в результате чего граничный цикл М преобразуется в граничный цикл дМ\ = 771, назовем специальным /2-сокращением или /2-сокращением. Если М не содержит полос, то назовем М специально /2-приведенной или /2-приведенной. Слово «’ Е С!. С! — группа Кокстера большого типа, назовем /2-приводимым, если ад приводимо
в F и содержит подслово s, являющееся поде ловом некоторого соотношения г Е R, г = sb, где |6| ^ 2. Назовем w циклически /¿-приведенным, если все его циклические перестановки являются /¿-приведенными словами. Если w' получено из w /2-приведением, то \w!\ < |w|. Циклически R-приведенное слово w группы G Кокстера большого типа назовем специально /¿-приводимым или /¿-приводимым, если в некоторой его циклической перестановке можно выделить ПОДСЛОВО S1S2 • • • sn, где каждое St содержится в некоторой группе Gij и является подсловом соотношения 6 R, причем при t = 1
И t = П \dl\ = |6l| = |¿¿21 = \dn| = IM = |c?ri+l| = 1 и для t, 1 < t < n, \dt | = Mt+ll = 1; l^tl = 2. В противном случае циклически /¿-приведенное слово w назовем специально /¿-приведенным или /¿-приведенным.
Аналогично рассматриваются кольцевые диаграммы над группами Кокстера большого типа [2].
Кольцевую связную приведенную однослойную /¿-диаграмму М с граничными циклами сг, т группы Кокстера большого типа, метки которой </?(сг), Ц>(т) приведены в F, Ц>(сг) /¿-приведено и /¿-приведено, назовем особо специальной /¿-диаграммой, если в М существует одна область D такая, что \<p(dD \ (dD П сг))| = 3, а для остальных областей D' \(p(dD' \ (dD' П сг)) | = 4. Слово Ц>(т) является циклически /¿-приведенным и циклически /¿-приведенным. Замену слова (сг) словом </?(т) назовем специальным кольцевым /¿-сокращением.
Лемма 2 [2]. Существует, алгоритм,строящий по любому циклически несократимому слову w из группы Кокстера большого типа G циклически R, R-несократимое слово, сопряженное с w в G.
Лемма 3 [4]. Пусть слово w & G обладает имеет бесконечный порядок. Тогда существует слово, сопряженное w2 в группе G, любая степень которого циклически R и R-несократима.
Пусть М — связная карта, состоящая из связной кольцевой диаграммы М \ и связной односвязной диаграммы М2, соединенных друг с другом некоторым простым путем, возможно, нулевой длины. Назовем диаграмму М2 островом.
Если связная кольцевая диаграмма М \ связной карты М соединена со связной односвязной диаграммой М2 посредством некоторой области D, где dD P| дМ — несвязное множество и внутренняя степень области D относительно каждой диаграммы Л/,- (г = 1, 2) не меньше единицы, то диаграмму М2 назовем полуостровом М.
Пусть М — связная кольцевая /¿-диаграмма, для каждой граничной области D которой 0D Р| дМ — связное множество. Тогда внешний (внутренний) граничный слой М образует кольцевую связную /¿-диаграмму, которую будем называть внешним (внутренним) К-слоем диаграммы М и обозначать соответственно через Ка (КТ), где сг(т) — соответственно внешний (внутренний) граничный циклы диаграммы М.
Пусть М — связная кольцевая /¿-диаграмма, являющаяся диаграммой сопряженности слов из группы Кокстера большого типа. Тогда внешний
(внутренний) К-слой из М назовем специальным /\ -слоем, если образующие его области £>1,... , Оп, удовлетворяют условиям:
(1) V;, 1 ^ ^ < п — 1 /^ Р| есть ребро;
(2) Р| Юп есть ребро;
(3) г(£>х) = 3, г(£>2) = г(£>3) = • • • = *(£>„) = 4.
Пусть М — кольцевая связная приведенная /¿-диаграмма с условием С (6) над группами Кокстера большого типа. Обозначим через М' кольцевую диаграмму, полученную из М удалением внешнего граничного слоя Ка, через М" — диаграмму, полученную из М удалением внутреннего граничного слоя К г.
Лемма 4 [2]. Пусть М — приведенная связная кольцевая Н — диаграмма сопряженности слов ц>(сг), ¥?(т) 6 (7г (7 — группа Кокстера большого типа; а, т — соответственно внешний и внутренний граничный циклы М; каждая граничная область О из М пересекается либо с а, либо с т; слова ц>(сг), <^(т) Я-приведены. Тогда диаграмма М'(М"), полученная из М удалением внешнего Ка (внутреннего КТ) граничного слоя М, не содержит ни островов, ни полуостровов.
Пусть М — приведенная связная кольцевая /¿-диаграмма сопряженности слов (р(сг), <р{т) группы Кокстера большого типа; а. т — соответственно внешний и внутренний граничный циклы М, каждая граничная область I) пересекается либо с сг, либо с т, слова (р(сг), Ц>(т) — /¿-приведены и внешний, внутренний К-слои из М не являются специальными /\ -слоями. Тогда М назовем специальной кольцевой /¿-диаграммой.
Лемма 5 [2]. Пусть М — специальная кольцевая П-диаграмма. Тогда внешний (внутренний) граничный К-слой карты М не содержит области Б с ((Б) > 5 и в К число областей с внутренней степенью 3 равно числу областей с внутренней степенью 5, причем области указанных типов чередуются в К-слое и между ними могут быть области с четырьмя внутренними ребрами.
Кольцевую связную приведенную /¿-диаграмму М с граничными циклами а,т назовем простой, если |М| ^ 1 и а т ф 0; М назовем вырожденной, если \М\ =0, где \М\ — число областей диаграммы М.
Кольцевая связная приведенная /¿-диаграмма М с граничными циклами а, т называется &-елойной, п ^ 1, если после последовательного удаления граничных слоев получим вырожденную кольцевую /¿-диаграмму и называется С — А:-слойной. если в результате удаления указанных выше граничных слоев получим простую кольцевую /¿-диаграмму.
Связная односвязная диаграмма М называется диском, если ее граничный цикл дМ — простая замкнутая кривая. В [4] показано, что если М — приведенная диаграмма, являющаяся диском, дМ = 7 и 5, где (р(7) и ц>(5) — /¿-несократимые и /¿-несократимые слова, 7 П 5 = {А, В}, то число областей, граничащих с 7 и 6, одинаково.
Пусть ад” ~ ут и слова ад, V имеют бесконечный порядок. Перейдем
ч 9-п 9т
к сопряженности степеней квадратов этих слов ь) ~ V .
Теорема 1. Пусть М — приведенная кольцевая к-слойная диаграмма сопряженности циклически Я, Я несократимых слов и)2п,у2т. Пусть Као,Ка1,...Как_1 — все слои диаграммы М (его = а). Пусть в М есть
область Б с г(Б) = 3. Тогда существуют з,р > 1 такие, что з = пр и в
Ка, = ^ ^ = 0,1,... к — 1 и при 1^1,1 + р+1^я имеют место ра-
1=1
венства: 1р{дБ\ П <Ту) = ^(дБ3^^ П <Ту); <р{дБ¡) = <р(дБ31+р+1); <р(д(Б{ и ^ и ... и Б3,)) = ср(д{Б3р+1 и Б3р+2 и ... и Б3р{1+1])) при!^^п-1.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим слой Ка0. Изменив при необходимости нумерацию областей, можно считать г{Б\) = 3. Пусть ад* — циклическая перестановка слова ад, причем (р(дБ\ П а) — начало слова ад*. Рассмотрим поддиаграмму Ь\ = Б\ и Б® и ... и Б® с минимальным г такую, что слово ад* является подсловом в слове «1 = (р(дЬх П а). Возможны следующие случаи:
1. |«1| = |ад|. Пусть 1(Б®+1) > 3. Наклеим область Б® по границе а на области Б®+1, Б®+2. Тогда в слове ¥><Я?+2) есть сокращение в Р. Следовательно, данный случай невозможен и (р{дБ® П а) = (р{дБ®+1 П ст)\ (р{дБ\) = <р(дБ®+1). Пусть для / < г имеем <р(дБ%) = <р(<Ш“+1),... , ^(дБ^^) =
г{Щ) > Наклеим области £>°+1 и £>°+2 и ... и
на Б\ и Б2 и ... и Б® по границе а. Получим, что метка области Б®+1 сократима. Аналогично рассматривается симметричный случай. Таким образом, при / ^ г, г(Б®) = г(Б^+^) и метки этих областей совпадают. Двигаясь в направлении от области Бг+% к £>2г получим для / ^ г (р(дБ®+1) = (р(дБ2г+1),.. ■ , (р(дБ®+^) = 1р(дБ2г+^) и т. д. Таким образом, слой Као является периодическим с периодом из г областей и 8 = 2пг.
2. |«1| > |ад|. Рассмотрим поддиаграмму Ь = Ь\ и 1/2 = Б\ и Б® и ... и Б® и -0^+1 и -0^+2 и ... и Б® с минимальным £ такую, что слово (ад*)2 является подсловом в слове и = (р{дЬ П а). Если |ад2| = |гг|, то рассуждая как в случае 1, получаем, что слой Као является периодическим с периодом из £ областей и в = п1. Пусть |ад2| < |гг|. Рассмотрим области Б®+1, Б®+1. Наклеим по границе а на пары областей Б®, Б®+1, Б®, Б®+1 область Б®. В силу условий леммы имеем г (Б°г+1) = ((Б*+1) = 5. По лемме 5 в Као между областями Б®+1, Б®+1 должна быть область Б^ с г(Б^) = 3. Приклеим на участок границы а с меткой, являющейся подсловом слова и\ (имеется сдвиг вдоль а на длину слова ад) область Б^.Точно также, как для областей Б®+1, Б®+1 доказывается, что область Б®г накрывает область Б®2 с г{Б®2) = 5. По лемме 5 в Као между областями Б^, Б®+1 должна быть область Б®з с г{Б°-з) = 3. Как сказано выше, этой области соответствует область Б®4 с г{Б®4) = 5.
Описанный процесс не может продолжаться до бесконечности, так как число областей в слое Као между И®, И® ограничено |гг|. Следовательно, на некотором шаге в слое Као получим две области £)^, , которые сдвинуты
друг относительно друга на циклическую перестановку слова ад. Рассмотрим области £)°, Э(р. Как в пункте 1 доказываем, что имеем период из областей °0а и £>®+1 и ... и и з = 2 пЦЗ -а- 1).
Докажем теперь периодичность всех остальных слоев на примере слоя Каг. Пусть И®, £>2, • • • , — области, составляющие период слоя Ка0, при-
чем г(£)®) = г(£)р+1) = 3. Области И®, Бр имеют по одному ребру на а\. Так как М — /с-слойная диаграмма, то слой Ках устроен также, как и Ка0. Из этого следует, что в Каг есть области 0\, внутренней степени 3, причем 0\ имеет общее ребро с а Д | — общее ребро с Ир+1. Из периодичности слоя Као следует, что , Ир сдвинуты друг относительно друга на период. Следовательно, области £>*, Д | также сдвинуты друг относительно друга на период. Используя рассуждения случая 1, получаем, что слой Ка1 периодический с периодом, состоящим из областей £)*, ]...., причем их
столько же, сколько в периоде слоя Ка0.
Теорема 2. Пусть М — приведенная кольцевая к-слойная диаграмма сопряженности циклически Я, Я несократимых слов ад2т1,г)2та. Пусть Као, Ках,... Как_г — все слои диаграммы М (ао = а). Пусть в М содержатся только области £>сг(£>) = 4. Тогда существуют з,р > 1 такие, что з = в
пр и Ка^ = и Щ 5 3 = 0,1, • • • к — 1 и при 1^1,1 + р + 1^я имеют место 1=1
равенства: <р{сШ^ П а^) = <р(д031+р+1 П a■j); </?(<9£^) = <р(д031+р+1); (р{д{0\ и ^ и ... и Ир)) = (р{д{03р+1 и £^р+2 и ... и £»£(т))) при1^^п-1.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим слой Ка0. Зафиксируем начало слова ад, считая П а) — началом слова ад. Рассмотрим поддиаграмму Ь\ = И® и
£>§ и ... и £>® с минимальным г такую, что слово ад является подсловом в слове и\ = <р(дЬ\ П а). Возможны следующие случаи:
1. |«1| = |ад|. В данном случае, очевидно, <р(дО° П а) = <р(до°г+г п
сг); </з(«9£>°) = </?(<9£>°+1). Пусть для / ^ г имеем <р{д£>°) = </?(<9£>°+1),..., (р{дО®_г) = 9з(5£)°+^_1). Наклеим области £>°+1 и £>°+2 и ... и £^+^ на 0°г и £>§ и ... и О® по границе а. Получим, что метки областей О®, £^+^ 5 ^
г совпадают. Имеем р = г. Двигаясь в направлении от области /Л,._ ] к /)•>, получим для / </?(<9£>°+1) = </?(<9£>§г+1),</?(<9£>°+/) = </?(<9£>§г+/) и т.
д. Таким образом, слой Као является периодическим с периодом из г областей и в = 2пг.
2. |«1| > |ад|. Рассмотрим поддиаграмму £ = Ь\ и £2 = -О? и £>§ и ... и £>° и £>°+1 и £>°+2 и ... и £>° с минимальным I такую, что слово ад2 является подсловом в слове и = (р{дЬ П а). Так как |ад2| = |«|, то рассуждая как
в случае 1, получаем, что слой Као является периодическим с периодом из t областей и з = п1.
Докажем теперь периодичность всех остальных слоев на примере слоя К#! - Пусть £>°, £>°,..., £>° — области, составляющие период слоя Ка0. Слой Каг устроен также, как и Ка0. Из этого следует, что в Ках есть области £>*,£>^, причем £)* имеет общее ребро с £)°, а £)^ — общее ребро с Ор+1 и метки этих областей совпадают и, кроме того, метка </?(<9(£>* и ... и £>^) П а\) есть циклический сдвиг на одну букву слова ад или ад2. Из периодичности слоя Као следует, что £)^, £)^ сдвинуты друг относительно друга на период. Получаем, что слой Ка1 периодический с периодом, состоящим из областей 1,...,£)^_1, причем их столько же, сколько в периоде СЛОЯ Као. Лемма доказана.
Пусть ад” ~ ут. Рассмотрим приведенную диаграмму М сопряженности слов ад2” = адо, У2т = г?о, любая степень которых циклически Я и /¿-несократима (на основании леммы 3).
р р
Лемма 6. Пусть М = ({] и ( и 7^-) — простая кольцевая диаграмма
г=1 ]=1
циклически Я, Я несократимых слов адд,г)д1, где числа т,п — наименьшие с таким свойством. — поддиаграммы в М с границами = а г и Тг, (Гг П Тг = {А¿, В^-вершины (( = 1,... , Р), л — простые пути с концами
Вг-1, .4,-. 1 = 2./\ простой путь 71 имеет начало В р, а конец А\. Тогда
Ы < Ко||г>о|, Р < |адо|Ы-
Доказательство. Пронумеруем буквы в словах адо,г>о : "шо = Ж1Ж2 • • • Ж|и,0|, г?о = У1У2 ■ ■ ■ У|ад|- Среди этих букв могут встречаться одинаковые, но мы будем рассматривать вхождения этих букв, поэтому буквы, стоящие на разных местах будем считать разными.
Рассмотрим метки путей л : (р(л) = <4- 'I = 1.../'. а в них рассмотрим
первые буквы Хгг, Хг2,..., Хгр. В этом списке букв существует не более |адо| различных. Если Р > |адо|, то хотя бы одна из этих букв повторяется. Но повторяться каждая буква может не более, чем |г?о| раз, так как числа т, п — минимальные (иначе из М можно было бы вырезать поддиаграмму, а оставшуюся часть снова замкнуть в кольцо, удовлетворяющее условию леммы). Итак, Р ^ |адо||г?о|-
Предположение, что |7^| > |адо||г?о! при /. = 1./’ приводит к тому, что
циклические перестановки слов адо, г?о являются степенями одного и того же элемента. Лемма доказана.
Теорема 3. Пусть М — однослойная диаграмма сопряженности слое ад>0 , V™ и |адо| = |г>о|- Тогда адо ~ г?о-
Доказательство. Будем считать, что т,п — минимальные, то есть из М нельзя вырезать поддиаграмму, замкнув которую в кольцо, получим диаграмму степенной сопряженности слов адо, г?о- Пусть М — однослойная
кольцевая диаграмма сопряженности слов т$, у™ с границей дМ = а и т, причем <р(сг) = т о, <р(т) = (в дальнейшем будем также использовать
обозначение <р(т) = V™, предполагая известным направление обхода).
Рассмотрим случай кольцевой диаграммы.
Допустим, что еущеетвут область 0\: \<р{дО\ П сг)| = \<р{дО\ П т)| + 2. Заметим, что между любыми двумя областями, имеющими на сг(т) на два ребра меньше, чем на т(сг) содержится область, имеющая на сг(т) на два ребра больше, чем на т(сг), так как в противном случае, в М можно выполнить сокращение. Кроме того, в диаграмме не может быть только одна область, имеющая на сг(т) на два ребра больше, чем на т(сг), ибо склеив два экземпляра диаграммы Л /. получим Я — сократимость квадрата граничной метки Л /. что невозможно.
Пусть \<р{дО\С\ст)\ т^З. Пусть т^ — циклическая перестановка слова то, причем (р(дО\ П сг) — начало слова т^. Рассмотрим поддиаграмму Ь = 01 и £>2 и ... и Ог с минимальным г такую, что тЩ является подсловом слова и = <р(дЬ П сг). Возможны следующие случаи:
1. |шо| = М- Наклеим область О] по границе а на область Ог+\. Тогда слова 1) и (р{Иг+1) взаимно обратны. Следовательно, (р{дО\ П а) = (р(дОг+1 П сг); </з(с?Л>1) = (р{дОг+1). Обозначим через £>о область, предшествующую И\. Имеем <р(дОо П сШг) = <р(дОг П сШг+1). Склеим ребра сШо П дО\, сШг П дОг+\ поддиаграммы Ь. Получим сопряженность гиЦ, уЦ и, следовательно, то, г?о-
2.|гуо| < М- Наклеим область Их по границе а на пару областей Ог, Иг+\. В данном случае либо метка (р(Оо) области Оу. предшествующей либо метка (р(Ог+1) области Иг+\ сократимы в Р, что невозможно.
Доказательство случая, когда \ф(дО\ П сг)| = 3 получается из доказательства теоремы 1 для слоя Као.
Если для любой области Б: \<р(дО П сг)| = |<р(дО П т)|, то в силу того, что метка каждого ребра есть буква и области пересекаются по одному ребру, получаем <р(дО П а) = </?(сШПт). Таким образом, то = г?о и, следовательно, то ~ г?о-
Рассмотрим теперь простые кольцевые диаграммы сопряженности слов ад0 5 Будем говорить, что диск N1 с границей = а * и 7*, <7* П 7* = {Аг, В г} является длинным, если он имеет имеет метку <р(<7^ такую, что ^(о'г)! ^ 4|адо| и коротким в противном случае. На основании леммы 6 в случае, когда все диски диаграммы М короткие, числа т, п можно ограничить. Рассмотрим длинный диск Допустим, что в еущеетвут область 0\: \ф{дО\ П <Тг)\ = \(р{дО\ П т*)| + 2. Начиная с данной области повторим рассуждения, проведенные для кольцевой диаграммы. Получим противоречие с минимальностью чисел т,п. Если в N1 для любой области О, за исключением областей, содержащих вершины .4/. справедливо П сг)| =
\(p(dD П т)\, то из приведенных выше рассуждений также получим противоречие с минимальностью чисел т, п. Таким образом, случай, когда в диаграмме М существуют длинные диски, невозможен.
Следствие 1. Проблема степенной сопряженности слов Wq, v™ для случая однослойных диаграмм в группах Кокстера большого типа разрешима.
Действительно, для доказательства достаточно рассмотреть случай, когда |ш0| = |г?о|- Общий случай сводится к данному при рассмотрении соответствующих минимальных степеней Wq,Vq, для которых выполняется условие равенства длин.
Пусть М — приведенная кольцевая А:-слойная диаграмма (k > 1) с R, R — несократимыми граничными метками, слои Као, Ка1, • • • Как_г которой являются периодическими. Период слоя Kai состоит из р областей
р
D\, D\,..., D1 (i = 0,1,... , к — 1). Ниже поддиаграмму [J D1- будем назы-
1 ^ j=i
вать основанием слоя Kai.
Лемма 7. Пусть К\, К2 ■ Л ,з — однослойные кольцевые диаграммы с границами О К i = a i U г*. Предположим, что при i = 1,2,3 диаграмма Ki содержит область с одним ребром на ai, а все степени слов <p(ai),<p(ri) циклически R, R-несократимы. Тогда, если все три диаграммы имеют одну и ту же граничную метку на одной из своих границ, то две из этих диаграмм являются копиями друг друга.
Доказательство. Для любых двух диаграмм из условия леммы метки всех их областей либо являются взаимно обратными, либо нет. Случай, когда часть меток областей взаимно обратна, а часть нет, невозможен (это очевидно, если расположить диаграммы по разные стороны от границы с общей меткой так, чтобы области с взаимно обратными метками располагались друг под другом). Рассмотрим диаграммы М\ = К\ U К2■ М2 = К\ U К$, расположив их по разные стороны от границы с общей меткой и считая, что метки их областей не являются взаимно обратными. Учитывая, что области с тремя втренними ребрами чередуются с областями с пятью внутренними ребрами, не считая областей с четырьмя внутренними ребрами, получим,что в диаграмме М \ под областью внутренней степени 3 расположится область внутренней степени 5 и наоборот. Области внутренней степени 4 будет соответствовать аналогичная область. Это же верно и для диаграммы М2. Так как метка каждого ребра есть буква, то метки последовательных областей К2, /<з совпадут, что и требовалось доказать.
Лемма 8 [5]. Пусть М — приведенная кольцевая С — k-слойная диаграмма (к > 1) с циклически R, R-несократимыми граничными метками. Тогда в М существует граничная область D с i(D) = 3.
Считаем далее, что |wo| = |wo|- Рассмотрим приведенную диаграмму М сопряженности слов WqjVq1 с границей дМ = <jq U то- Считаем, что п, т наименьшие с таким свойством. Если М — приведенная кольцевая С — А:-слойная диаграмма, то по теоремам 1, 3 все слои K„t этой диаграммы являются периодическими с основаниями, состоящими из р областей каждое. Причем в каждом слое содержится ровно п экземпляров соответствующего основания. Метки, написанные на границах а% слоев Kai, имеют вид: <p(<7i) = wf(i ^ 0). Основания слоев Kai будем рассматривать с точностью до циклической перестановки составляющих их областей и обозначать через Так как множество определяющих соотношений конечно, то существует лишь конечное число различных диаграмм из р областей, из которых можно склеить однослойные кольцевые диаграммы, имеющие такое же строение, как слои диаграммы М. Обозначим число таких диаграмм через Ew, а сами диаграммы обозначим через ко,... , kEw-i- Среди них содержатся все основания слоев диаграммы М. Из леммы 8 следует, что если число слоев в диаграмме М бесконечно, то они повторяются периодически.
Определим далее два множества.
1. Определим множество K(w) как множество, состоящее из Ew классов однослойных кольцевых диаграмм, имеющих такое же строение, как и слои диаграммы М. Диаграммы, входящие в один класс, имеют общее основание, а диаграммы из разных классов — разные. Элементы множества K(w) будем обозначать Kq(w), ..., Kew-i{w). Через <т*, aобозначим граничные циклы элемента Ki(w), а через wf, wf+1 — его граничные метки, i = 0,... , Ew — 1. Очевидно, что можно пронумеровать элементы множества K(w) так, что если Ki(w) и Kj(w) имеют общую граничную метку wj, то | j — i\ = 1 (modEw).
2. Метками представителей элементов из K(w) являются степени слов wo, wi,... , wew-i- В связи с этим понадобится рассмотреть множество M(w) всех приведенных диаграмм сопряженности слов wf со словом v2m. Очевидно, М 6 M(w).
Из минимальности чисел п, т следует, что если М' G M(w) — диаграмма сопряженности слов wf и vq1, то из М' нельзя вырезать поддиаграмму М", замкнув которую в кольцо, получим диаграмму сопряженности слов w”1, v™1 при \ni\ < \п\, \т\\ < \т\.
Пусть Mq — диаграмма из M(w) с условием \Mq\ = minM>£M(w)\M'\, <р(дМо) = Wq U Vq1. Ясно, что диаграмма Mq — простая: если она С — к-слойная при к > 0, то сняв с Mq к-слойную поддиаграмму, получим диаграмму из M(w), но с меньшим числом областей. Если же мы имеем к-слойную диаграмму, то получаем сопряженность слова wq со словом vq, и в данной ситуации показатель степени можно ограничить.
Пусть К — приведенная односвязная диаграмма, дК = a U т причем а П т = {А, В} — две вершины. Слова <р((т), <р(т) R, R — несократимы.
Поддиаграмму диаграммы К, состоящую из областей О. имеющих с <т(т) непустое пересечение, назовем К<7(КТ) — слоем диаграммы К (К — диск).
Рассмотрим простую диаграмму Мо с граничными метками гидуУд1, состоящую из дисков (г > 0) с границами <т*, Тг : а г П Тг = {Ai, Ви соединяющих ИХ простых путей Л С концами 11/. .4;_] (простой путь 71 имеет
р р
начало Вр, а конец Л1): Мо = ( У Кг) и ( и 7^-). В каждом из этих дисков
¿=1 ]=1
рассмотрим К°1-слой, г > 0.
Лемма 9. Пусть Мо — простая диаграмма, определенная выше. Для любого г = 1,... , Р слой К°г диска /\г; является поддиаграммой некоторого элемента из К (и)).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим диск Кг из Мо и элемент Кг(и)) из К (ад), одна из граничных меток которого равна адд. В диске /\,; есть область такая, что 1{Оа1) = 3 [4]. Используя теорему 1, получаем, что при склеивании диаграмм Мо и Кг(ги) по границе с меткой адд все области из слоя К”' сокращаются с областями наклеенной однослойной диаграммы. Лемма доказана.
Если слой К°% содержит более р областей и является поддиаграммой некоторого элемента КДад) с основанием кг, то слой К”1 называется &г-ПерИОДИЧеСКИМ. Другими словами, если СЛОЙ К°' имеет метку (р(сГг) такую, что |</?((Гг)| ^ |г«о|; то он является ¿¡¿-периодическим при некотором г € {0,... , Ецу — 1}.
Поддиаграмму из р областей слоя К”', сокращающихся с областями из А'г(ад), образующими основание КДад), будем называть основанием слоя Кр. Если же при некотором г, |^(ст*)| < |адо|, то основанием слоя Кр назовем весь этот слой.
Вернемся к диаграмме Мо сопряженности слов адд, у™. Далее будем считать, что в нашей диаграмме есть диск К\ такой, что дК\ = Од и Тд,0д С (70,т,з С то, |</?((Гд)| ^ 4|адо|, |<^(то)| ^ 4|г)о|- Диски из Мо, удовлетворяющие этим неравенствам, будем называть длинными, а остальные диски из Мо — короткими. Очевидно, что если в диаграмме Мо все диски короткие, то их число можно ограничить и, следовательно, числа т, п можно ограничить. Считаем далее, что в диаграмме Мо содержатся длинные диски. Пусть К\ —
а1
длинный диск. Из основания его Кг 0 -слоя можно склеить кольцевую диа-
грамму N, одна из меток которой равна адд, а вторая — ад”.
Предположим, что диаграмма Мо такова, что сняв менее чем /г слоев с каждого из дисков Кг, получим поддиаграмму И о, содержащую только короткие диски.
Теорема 4. Пусть Мо — диаграмма, как описано выше. Пусть К\ —
диск в Мо- Тогда \К°°\ < 4С\р + НС2, где С\ = |адо||г>о|-
Доказательство. После удаления слоя Кг° диск К\ распадается не более чем на С\ дисков. Длины, соединяющих их простых путей также не превышают С\. Поэтому I К°° I — I К*' I ^ Cf , следовательно, 1-К^1! ^
Пусть К1 = Кг\ Kf°, К] = К® \ Кf,..., К\ = К\~г \K{*,t< h- 1. Поддиаграммы К®,... , К[ состоят из дисков, позволяющих строить элементы из K(w). Но уже в диаграмме К^+1 = К[ \ K°t+1 все диски короткие. Последовательно получаем \К° 4+11 ^ \К^\ - С\ ^ \Кр-г \ -2С\^
\К?\ — (t + l)Cf, |A^0| ^ \Klt+1\ + (t + l)Cf. Поэтому достаточно ограничить число I K°t+1\. Итак, в диаграмме К^+1 все диски короткие, то есть в каждом из этих дисков на crt+i выходит менее, чем 4р областей. Тает1
ких дисков, очевидно, не более С1, следовательно, IКгг+1\ < 4рС\. То есть \Kl0\ < АрС\ + (t + l)Cf ^ 4p(7i + hC\. Теорема доказана.
Из данной теоремы получаем, что если в диаграмме Mq все диски длинные как описано выше, то числа п, т можно ограничить.
Список литературы
1. Appel К. One Artin groups and Coxeter groups of large type // Contemp. Math. 1984. T. 33. C. 50-78.
2. Безверхний В.H., Добрынина И.В. Решение проблемы сопряженности слов в группах Кокстера большого типа // Чебышевский сборник. Тула: ТГПУ, 2003. Т. 4, №1(5). С. 10-33.
3. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Наука, 1980.
4. Безверх ний В.H., Добрынина И.В. Решение проблемы вхождения в циклическую подгруппу в группах Кокстера большого типа // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2004. Т. 11. Вып. 1. С. 47-61.
5. Безверх ний В.Н. О нормализаторах элементов в С (р)&,Т (q) группах // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Тула: ТГПИ, 1994. С. 4-58.
Поступило 06.06.2009
Добрынина Ирина Васильевна ([email protected]), к.ф.-м.н., доцент, кафедра алгебры, математического анализа и геометрии, Тульский государственный педагогический университет им. JI.H. Толстого.
Оn some diagrams of Coxeter groups of large type
I.V. Dobrynina
Abstract. In article diagrams of a power conjigaci of words for Coxeter groups of large type are considered.
Keywords: Coxeter group of large type, diagram, power conjigacy.
Dobrynina Irina ([email protected]), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of algebra, mathematical analysis and geometry, Tolstoy Tula State Pedagogical University.
