О некоторых аспектах учета трансверсальных деформаций в теории оболочек и пластин Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1.Вып.5.2003

УДК 539.3

О НЕКОТОРЫХ АСПЕКТАХ УЧЕТА ТРАНСВЕРСАЛЬНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ В ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИН 1

Е.И. Михайловский, В.Л. Никитенков, К.Ф. Черных

Предложен алгоритм уточнения кирхгофовских моделей механики тонких упругих оболочек за счет учета трансверсаль-ных деформаций. Алгоритм проиллюстрирован на примере построения нелинейной теории пологих оболочек типа Маргера-Тимошенко-Нагди. Показано, что вывод, сделанный В.В. Пикулем [10] о несостоятельности оценки гипотез Кирхгофа-Лява, предложенной В.В. Новожиловым и Р.М. Финкелынтеймом, является ошибочным.

1. Алгоритм учета трансверсальных

деформаций на основе кирхгофовских вариантов теории оболочек

В работе [1] (см. также монографию [2]) предложена нелинейная теория жесткогибких (гибких по традиционной терминологии) оболочек, учитывающая по линейной теории поперечные сдвиги и эффективно (в отличие от квазикирхгофовской теории [3]) поперечное обжатие. Уравнения равновесия этой теории приведены к следующему виду:

+ 4 =

Ъатап + ЪаРТа!3 + дп = 0,

ЧаМы - Тп = О, (1.1)

1 Работа выполнена при поддержке программы "Государственная поддержка ведущих научных школ РФ" (НШ - 2180.2003.1) и грантов РФФИ 01-01-96431, 02-01-01258.

© Михайловский Е.И., Никитенков В.Л., Черных К.Ф., 2003.

где

Т3 = А~гТ'3 +

V

-¿'•'Шп

1-1/

Мхз = А~1М'}1 + +

Тп = ^А-'а^фр-

ик2

(1.2)

к у/Е 2 Л2

(Индексы "К"и "Т"связаны с фамилиями "Кирхгоф"и "Тимошенко". Здесь и ниже по индексам а, /3, повторенным в одночлене дважды, следует суммировать от 1-го до 2-х. Ряд непоясненных здесь обозначений станут понятными из дальнейшего изложения.)

Граничные величины можно принять в виде следующей таблицы:

(1.4)

т т„п - Т^д» — Tut■дt мии ми1

Щ IV Ъ + Ф*

Сравнивая уравнения (1.1) и (6.81) [4] убеждаемся, что они формально отличаются лишь тильдами в (1.1) над искомыми статическими величинами. Это соответствие позволяет применить простой алгоритм построения уравнений, учитывающих трансверсальные деформации, на основе кирхгофовских вариантов теории оболочек. Сказанное относится как к линейным теориям, так и к теориям, частично учитывающим геометрическую нелинейность. Алгоритм заключается в снабжении усилий и моментов знаком "тильда" и последующим их исключением с использованием формул (1.2). Проиллюстрируем этот алгоритм на примере уточнения нелинейной теории пологих оболочек Маргера путем учета трансверсальных деформаций. Как известно, в названной теории кроме допущений, связанных с пологостью оболочки, учитываются в формулах для тангенциальных компонент тензора Грина-Лагранжа (7^, г, = 1,2) квадратичные слагаемые относительно производных от функции прогиба. В конечном счете, названные формулы принимают вид

7е-

И]

7«? £ ®Ч? 1

(1.5)

где

о ^

70' = ЬцХ1) -(" 2^1 ~ ,

л дщ

дх/

(1.6)

bij - компоненты тензора кривизны срединной поверхности оболочки до деформации.

За исходные примем уравнения равновесия из монографии [5] (обозначения приведены в соответствие с используемыми в данной статье; статические величины сразу помечены тильдами, чтобы не выписывать систему дважды):

fia¡a = 0, » = 1,2; (1.7)i

Maptap + (ba0 + wtap)Tap + qn = 0; (1.7)2

Tin = Mia,a, ¿ = 1,2. (1.7)3

Формулы (1.2) в рамках принятых допущений имеют вид

~ v

Т{ i — Tij ~h - -mn5tj, 1—1/

Щ .= + + hlqJij,

Tin = Mi, = 1,2, (1.8)

где

M* = -D(wM + vw,22), = (1 ^ 2) A/*, Мы = -(1 - v)D и»д2;

= (1.9)

(¡/ - коэффициент Пуассона; /х - модуль сдвига; D = Eh3/12(1 — i/2); Е1 -модуль Юнга).

Очевидно, что уравнения (1.7)i удовлетворяются при

Ти = Ф,22, Г22 = ФД1, Т12 = -Фд2, (1.10)

Ф,12-

(1.11)

т.е.

и V

Тц = Ф 22 - ——гпп, Т22 = Фдх - --ш„, Т12 =

1 — г/ 1 — 1/

С учетом формул (1.9), (1.10) получаем

Ма/3,а(Э = -ЯД2™ + ОАфа<01 + /1дДд„,

(Ьа/З + ™<ар)Та(з = ДВФ + Л(ю, Ф),

где Л (и), Ф) - билинейная форма Кармана:

A(tO, Ф) = гУ)ПФ,22 - 2Ю,12Ф,12 + ^22^,115 (1-И')

д2 д2 л о д2 . д2 о д2 1л 11//л

А = д? + в?' Ав = 611 а? " + (U10

С/Х^ -UX2 UX-y UX\UXi

Уравнение (1.7)2 при этом приводится к виду

DA2w = qn + h\Aqn + АВФ + A(w, Ф) + (1.12)

Дифференцируя уравнения (1.7)з, будем иметь

Map^a/3 = fJ-htpa^

ИЛИ

0а,а =--Г(?„ +Авф+Л(и;,ф)). (1.13)

f.in

Исключив теперь с помощью (1.13) фа,а из уравнения (1.12), получим следующее основное уравнение теории пологих оболочек типа Маргера-Тимошенко-Нагди (квадратичная нелинейность-поперечные сдвиги-поперечное обжатие):

DA2w = qn- (hi - h2)Aqn + (J - к2фА)(АвФ + A(w, Ф)), (1.14)

где I - тождественный оператор;

h* = щ^о- <L14'>

Далее, принимал во внимание формулы

ГП = С(711 +^22), Гм = (1#2)Гц,

Т12 = (1 - i/)C7i2, С = Ehj(1 — z/2), (1.15)

а также равенства (1.6) и (1.10), получаем

сц = -¿-(Ф,22 - + bnw - \w\ - '-тп,

Eh '

1 + 1/

е12 =--^д-Ф,12 + ¿12^ - е22 = (1 # 2)ец. (1-16)

Подставляя компоненты тензора малых деформаций Коши из (1.6) в очевидное тождество

ец,22 + е22,и — 2e12,i2 = 0,

придем к следующему уравнению (неразрывности):

(1.17)

где

О 0 0

(1.17')

Р — Ьц,22 — 26l2,12 + 622,11-

□ Заметим, что параметр ¡3 для гладкой пологой оболочки равен нулю.

В работе [5] это слагаемое не появляется вследствие допущения, что 0 д

bij = kiSij = const. Уравнения рассматриваемой теории имеют наиболее компактную форму записи (смотри ниже), если уравнение срединной поверхности до деформации может быть представлено в виде 2 = z(x1,x2). В этом случае bij — z^j и (3 = 0 для г £ C^(fl).

Полевые уравнения (1.14), (1.17) не зависят от поперечных сдвигов У>1, 02- Простейшим уравнением, связывающим эти функции, является формула для дивергенции вектора поперечных сдвигов (1.13). Из уравнения (1.7)3 с учетом (1.8) следуют еще два уравнения, связывающие поперечные сдвиги с основными искомыми функциями:

Если уравнение срединной поверхности оболочки имеет вид 2 = = фьх2) е с(4)(П),то

Двф - А(г, Ф), Ави> = А(г, ю)

и уравнения (1.14), (1.17) можно записать так:

DA2w = qn- (hi - h\)Aqn + (/ - AjД)Л(г + w, Ф); (1.19)i

Уравнения (1.18), (1.19) идентичны, выведенным в работе [б] непосредственно для пологой оболочки на основе принципа Лагранжа. Замечание 1.1. Система уравнений типа Маргера-Тимошенко-Нагди (1.18)-(1.19) переходит в уравнения:

• типа Маргера-Тимошенко при исключении из уравнения (1.19)2 подчеркнутого слагаемого и принятии = 0;

• типа Маргера-Нагди при Щ = 0 и исключении из рассмотрения уравнений (1.18). ■

(1.18)

_1_ Eh

Д2Ф - -^rAmn - A(z + w).

(1-19)2

2. Вывод полевых уравнений линейной теории-пластин по алгоритму Новожилова-Финкелыитейна

2.1. В статье [7] (см. также сокращенный вариант [8]) реализован алгоритм (по своей идее близкий к работе Бассета [9]) вывода уравнений линейной теории оболочек без использования гипотез Кирхгофа с удовлетворением всем граничным условиям на лицевых поверхностях оболочки. Для целей, которые будут раскрыты в разделе 3, ниже реализуется алгоритм Новожилова-Финкелыптейна (алгоритм Н-Ф) -вывода уравнений линейной теории плоских пластин.

Квадратичную аппроксимацию трансверсальных напряжений с учетом граничных' условий на лицевых поверхностях пластины можно представить так (сравни с формулами,.(11) [7]):

4 = Х + Ь + % — 1,2; (2.1)

п п

.....= ^ + ^ + ....... (2.2),

п п

где ■--■■ • - ■

дГ = 4(±|), Чп = 4з(Ц), ■ (2-2')

о

Чг = Ч? ~ 47, тг = зЧЯ? + 47),

С учетом обозначения

'-7.- = -^ (2.2") формулу (2.1) можно записать в виде

- - 4 = + х + т^3- - • (2-2)2

п п /г На основании (2.2)2 и закона Гука имеем

~ -(■■ * е дю^. .-■• т,- о,- 4и , ,,

4 = 2,^3 = + — = + -А + -^ФгС2-

о{, ох{ /г /I /I2

Отсюда, ограничиваясь параболическим законом изменения перемещений по толщине пластины, находим -

и? = •«,'+(& - + + (Я - (2.3)

..........ЦП 11П £

Здесь учтено, что

= + + (2.3?)

Далее на основании закона Гука можно записать

г Е £ С

1-"4а + ГТ,**3'

1 — V I — !■'

С учетом этой формулы уравнение закона Гука

£ ___ _1_ £ ^ £ е33 — р°33 гр^аа

XI/ Г/

принимает вид

е

i _ v t v i 33 ~ A(1 - v)°33 ~1-/

4« (2-4)

(A - параметр Ламе).

Вычислив на основании формулы (2.3) ef, = uf; и положив г = а, получим Исключив затем е|а и <т|3 (см. форм. (2.2)i) из (2.4), придем к выражению = е|3, откуда после интегрирования следует формула

, v , mn h2 .

Пт^—^т -- + (2-5)

A(1 -v)h fxh t

т.е.

■M)

V V .771,

h2

wK ' =

1 — i/ A(i — v) h 8 Функцию 7(xi, x2) определим из т.н. шестого уравнения равновесия

h/2 ^

nj. /

-Л/2

На основании формул (2.2) находим

7 = -у-^.а- (2.7) а

Таким образом, формула (2.6) окончательно принимает следующий вид:

w

(1) ~--иа<а + —-Mmn + \h2qa<a). (2.8)

1-г/ A(1 - v)h

2.2. Усилия и моменты введем по формулам

h/2 h/2 Тц = j(4- - з^П, M,i = J(4 - j^-al^m. (2.9)

-h/2

С учетом того, что

-h/2

Е . £ 2 \

'11 — 1 Г7°33 — 1 ~5Ле11 + 1/е22) —

I — V

J

1-й

Е

1 — г/2

еп + uel2 + (^1,1 + vi>2,2 ~ tü,u - VW>22+

Ш1Д -+ vm2,2\(. (41,1 + Щ2,2 _ (1)

? К + v ?

ЦП fin

- - vw\22) —

е

получаем

Тп = С(е„ + ue22) - +

+ ^2,2), Г22 = (1 # 2)Гц. Далее на основании (2.3) имеем

е12 = §(«1,2 + "l,l) = е12 + |(0l,2 + 02,l)~

-tü,i2 + —j(mli2 + m2)i) £ 2fih J

откуда следует, что

(i) ,12

1/ih

h/2 К/2

T12 = J<r¡2 ¿t = 2/x J e{2 d{ = (1 - i/)Ce12-

-fc/2

-fe/2

h?

-|(1 -v)Dw% + -{qi^q2>l). Из формул (2.9), (2.10') находим

Mu = -D(wt 11 + l/tü22) + £>(01,2 + 02,1)+ +^(т1Д + i/m2,2), M22 = (1 # 2)M„,

(2.10)!

(?i,2 + 92,i)| (2.10')

(2.10)2

Л/2

= 2/л J е[2( d( = -(1 - v)Dwtl2+

М12

-л/2

А2

+ 1(1 - и)Б(ф 1,2 + ф2А) + ^2<"»1,2 + "12,х). (2.11)

Вводя дополнительные обозначения Л/2

Яп = (=|Л,- + т,-), г = 1,2, . (2.12)

-Л/2 ' '

на основании уравнений равновесия линейной теории упругости получаем

Л/2

-Л/2

=► ^ + * + + = 0; (2-13)l

Л/2

-Л/2

- Ttn + ш,- + зАд^п,« = 0; (2.13)2

я i "

—Л/2

=>•'гвп,в + = о. (2.13)з

Исключив перерезывающие силы Т,п из уравнения (2.13)з с помощью уравнения (2.13)2, будем иметь

-Map>ap = qn + \h\Aqn + me,e. (2.14)

Используя формулы (2.11), этому уравнению можно придать вид

DA2u; - БАфа<а = <?„ + \h\Aqn + ma,a + /iJ,Ama,a. (2.15)

Дифференцируя далее уравнение (2.13)2 по х7- и свертывая полученное равенство по индексам получаем

-Maß,aß = -Tan,a + § Л* in + me,a. (2.16)

Из сравнения уравнений (2.14) и (2.16) следует, что (см. форм. (2.12))

3

Фа,а - + (2 1?)

2 цп

Исключив с помощью этой формулы V«,«* из (2.15), придем к следующему разрешающему уравнению относительно функции прогиба:

DA2W = qn - (f/4 ~ lhi)Aqn + (/- ЩА)ша,а. (2.18)

И наконец, после подстановки выражений для Мц и Ttn, соответствующих формулам (2.11), (2.12), в уравнение (2.13)2 в результате несложных преобразований получим следующую систему уравнений (сравни с (1.18)):

вт _ I±ü _ _ . ^ - w«fe+

+Л$[Дт,- - (m.j - mjit)], t ^ j. (2.19)

Так как поперечные сдвиги необходимы в первую очередь для удовлетворения граничным условиям (см. табл. (1.4)), то, вообще говоря, их приходится находить из уравнений (2.17), (2.19) на основе интеграла уравнения (2.18).

Уравнения относительно тангенциальных перемещений мг выводятся из соотношений (2.8), (2.10), (2.13)i и имеют вид

^гл l + i' д . л1 , vD д&иа,а

С[Ащ - -T-^iHi - «*)] + Щ-ГТ)--ЖГ ■

и hl 1 + 1/ д , .

я z* - —" у 1Д« " "

1 -21/ А2 0Д9а,в , 2 2 , , m

Таким образом, выполненное уточнение уравнений линейной теории пластин сохраняет взаимную независимость тангенциальной и из-гибной деформаций. Уравнения тангенциальной деформации, соответствующие теории Кирхгофа, получаются из (2.20), если там отбросить неподчеркнутые слагаемые.

3. В статье [7], основываясь на допущениях вида (2.1), (2.2)i (т.е. менее жестких, чем гипотезы Кирхгофа-Лява), построена теория оболочек, анализ зависимостей которой привел авторов к фундаментальному результату: "... гипотезам Кирхгофа-Лява в теории оболочек соответствует (вообще говоря) погрешность, имеющая величину порядка h/Ri, h/R2 по сравнению с единицей". '

Однако этот широко цитируемый вывод нужно правильно понимать, а именно: в уравнениях теории оболочек, основанных на гипотезах Кирхгофа-Лява, нет смысла удерживать слагаемые порядка h/Ri, так как они в этих уравнениях представлены не полностью.

Поясним сказанное подробнее. С использованием гипотез Кирхгофа,-Лява получают (в частности) соотношения

4 = ^^(4 + ^4), 4 = (1-2)4; (3-1)

4 = —^(сп + е»и), 4 = (1-2)4; . (3.2) 1 + я,

h/2

Mn= J<rli(l + jfc)tdt. ' (3.3)

-1/2

Разложив подынтегральное выражение в (3.3) по степеням £ вплоть до £3 и выполнив интегрирование, получим .

Мп = D(эеп + i/ae2i) + {— - -^-)Den. (3.4)

ÍÍ2 ti\_

Если же использовать более точные уравнения, основанные на допущениях (2.1), (2.2)i то получим формулу для Мц, содержащую наряду с подчеркнутым в (3.4) слагаемым еще два слагаемых того же порядка. Отсюда авторы статьи [7] делают естественный вывод, что подчеркнутое в (3.4) слагаемое "сохранять нет никакого смысла, по-, скольку данная формула не в состоянии учесть все члены одинакового порядка, как этот член" [7]. Из сказанного следует, что (в частности) формулы (3.2) следует брать в виде

4 = eii + £0eu, 4 = (1—2)4>

т.е. отбрасывать слагаемые порядка h/Ri, hj R2 по сравнению с единицей.

Время от времени делаются попытки уточнить оценку погрешности гипотез Кирхгофа-Лява (что можно только приветствовать) или даже объявить ее несостоятельной (в чем нужно проявлять осторожность, учитывая "почтенный возраст"работы [7]). Так В.В. Пикуль, реализовав алгоритм Н-Ф применительно к плоской пластине, испытывающей, действие нормальной нагрузки, получил уравнение "d"таблицы (3.1) [10]. После сравнения этого уравнения с уравнением Е. Рейсснера [11] (табл. 3.1, "с") автор работы [10] пришел к "фундаментальному"выводу: "В.В. Новожилов и P.M. Финкелыптейн для оценки погрешности гипотез Кирхгофа в качестве базы сравнения выбрали уравнения, погрешность которых выше, чем уравнений, построенных на основе гипотез Кирхгофа. Поэтому предложенная ими оценка является несостоятельной" . Однако этот сенсационный вывод основан на ошибке, допущенной при проведении элементарных выкладок. Правильное уравнение, полученное по алгоритму Н-Ф в разделе 2 для произвольной нагрузки, приведено при qa<a = 0 в табл. 3.1 под индексом "Ь". Оно качественно согласуется с уравнением Е. Рейсснера (см. табл. 3.1, "с"). С последним уравнением вполне согласуется и линеаризованное уравнение теории пологих оболочек типа Маргера-Тимошенко-Нагди (1.14) при z = const (см. табл. 3.1, "а").

Таблица 3.1

Индекс Вид уравнения Источник

а DA2w = qn - (h% - h\)Aqn Линеаризированное уравнение (1.14)

Ъ DA*w = qn- (\h% - ¡h2)Aqn Ур-е (2.18) при - 0 (алгоритм Н-Ф)

с DA2w = qn- (¡hi - \h\)Aqn Уравнение Е. Рейсснера

d DA2w = qn-( 0 - |h2)Aqn Уравнение (2.18) при qata = 0 по версии В.В. Пикуля

В соответствии с замечанием 1.1 автору работы [10] "удалось" исключить из рассмотрения поперечные сдвиги, определяющие знак коэффициента при Aqn.

Литература

1. Михайловский Е.И. Некоторые модели и методы нелинейной механики упругих оболочекf ¡Сб.: Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела/Тр. научной школы акад. В.В. Новожилова. СПб: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001. С. 42-56.

2. Кабриц С.А., Михайловский Е.И., Товстик П.Е., Черных К.Ф., Шамина В.А. Общая нелинейная теория упругих оболочек. СПб: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002. 388 с.

3. Черных К.Ф. Нелинейная теория изотропных упругих тонких оболочек//Изв. АН СССР. МТТ. 1980. №3. С.Ц8-159.

4. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. Л.: Политехника, 1991. 656 с.

5. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972. 432 с.

6. Михайловский Е.И., Ермоленко A.B. Полудеформационный вариант граничных условий нелинейной теории пологих оболо-чек j ¡Сб.: Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела/Тр. научной школы акад. В.В. Новожилова„ СПб: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2000. Вып. 3. С. 60-76.

7. Новожилов В.В., Финкельщтейн P.M. О погрешности гипотез Кирхгофа в теории оболочек/¡ПММ. 1943. T. VII. Вып. 5. С. 331-340.

8. Новожилов В.В О погрешности одной из гипотез Кирхгофа в теории оболочек//Доклады АН СССР. 1943. Т.38. N¡5-6. С. 174 -179.

9. Basset A.B. On the extension and flexure of cyllindrical and spherical thin elastic shells/P/и/. Trans. Roy. Soc. 1890. Vol. 181(A). P. 433 -480.

10. Пикуль В.В. К оценке погрешности гипотез Кирхгофа в теории оболочек//В сб. докладов XX Международной конференции по теории оболочек и пластин: Механика оболочек и пластин. Изд-во Нижегородск. ун-та. 2002. С. 2Ц-2^9.

11. Тимошенко С.П., Бойновский-Кригер С. Пластиккн к обо- . лочки. М.: Физматиз, 1963. С. 190-199.

Summarv

<е -

Mikhaüovskii E.I., Nikitenkov V.L., Chernykh K.F. On some aspects of the account of transversal deformations in the theory of shells and plates

In this paper algorithm precising KirchhorFs models of mechanics of this elastic shells due to register of transversal deformations is proposed. The algorithm is illustrated on the example of building of nonlinear theory of shallow shells of the Marguerre-Timoshenko-Nagdhi type. It is shown that V.V. Pikul's conclusion (V.V. Pikul. On error estimation of Kirchhoff's hypotheses in the shell theory //Transactions of XX Int. Conf. on Theory of Shells and Plates. September 17-19. 2002. P. 244-249.) about unfounded-ness of estimate of the KirgofF-Love hypotheses, proposed by V.V. Novozilov and R.M. Finkelshtain, is wrong.

Сыктывкарский университет

Поступила 10.0S.200S