О некоторых алгебрах p-абсолютно непрерывных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.51

С.С. ВОЛОСИВЕЦ О некоторых алгебрах р-абсолютно непрерывных функций1

В работе изучается возможность введения структуры банаховой алгебры на множествах функций ограниченной р-вариации, последовательность наилучших приближений или дробных модулей непрерывности которых принадлежит пространству Iя со степенным весом.

ВВЕДЕНИЕ

Как известно, в обратных теоремах приближения тригонометрическими полиномами появляются выражения вида

то

Е V (/)х

или

1/я

(/)х

=1

где X — некоторое банахово пространство 2п-периодических функций, Еп(/)х — наилучшее приближение тригонометрическими полиномами в X [1, гл.6]. Как показано в работах Г. Суноути [2], З. Дитциана и В. То-тика [3], принадлежность функции / пространству Бесова Вра8, р,э ^ 1, а > 0, 2п-периодических функций или его аналогу на отрезке равносильна сходимости ряда

то

Е (п + 1 )а8-1Е°п (/)Ьр, (0)

п=0

где Еп(/— наилучшее приближение алгебраическими (в случае отрезка) или тригонометрическими многочленами (в периодическом случае).

1 Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для ведущих научных школ (проект НШ-1295.2003.1).

Поэтому вызывает интерес изучение классов функций, для которых сходится ряд (0) или его аналоги и обобщения. Линейность таких классов очевидна. Менее тривиальным является вопрос о введении структуры банаховой алгебры на этих классах. Напомним, что линейное пространство функций X является банаховой алгеброй, если

1) X — банахово пространство относительно некоторой нормы ||/Ух;

2) если /, д Е X, то /д Е X и при этом

3) Н/дУх < У/УхУдУх.

Можно немного ослабить последнее условие, заменив его на

В этом случае можно ввести новое внутреннее произведение / © д = = /д/С, для которого условие 3) будет выполняться. Далее мы будем использовать определение алгебры функций, вводя новое /©д. Результаты о банаховых алгебрах непрерывных функций, для которых ряд (0) или некоторые его обобщения сходятся при р = ж, были получены Ф. Перес-Акостой в работах [4-6], из которых [6] содержит наиболее общие формулировки. В нашей работе обобщение результатов Ф. Перес-Акосты идет в двух направлениях. Во первых, вместо непрерывных функций рассматриваются р-абсолютно непрерывные функции, изучавшиеся Е. Лавом [7] и особенно А.П. Терехиным [8]. Во-вторых, мы в ряде типа (0) заменяем наилучшие приближения на модули непрерывности различных порядков. Дадим необходимые определения. В первую очередь мы рассматриваем случай отрезка, хотя все результаты переносятся и на периодический случай.

Пусть 1 < р < ж, £ = {а = х0 < х\ < ... < хп = Ь} — разбиение [а,Ь]. Положим по определению (/ принадлежит пространству В[а,Ь] ограниченных на [а, Ь] функций)

30 У/дУх ^ С У/Ух УдУх.

= sup КР(/),

где ö G [0, b _ a], |£| = max(x _ xi-1) — диаметр разбиения £. Пространство

Cp[a,b] = { f G B[a, b] : lim ^i_i/p(/, ö) = 0} является банаховым относительно нормы

||/||p = max(ui_i/p(f, b _ a), ||f ||ж),

где

||fH^ = sup |f(x)|.

xG[a,6]

Этот факт установлен в [7]. Пусть Pn — пространство полиномов степени не выше n и En (f )p = inf {||f _ t||p : t G Pn}. Для Y,q > 0, 1 < p < ж рассмотрим выражения

ж \ V"

" i (f )p

Sp.q.Y (f )= + 1)T'_iEk (f )p , (1)

Sp,q,Y (f,«i_i/p) = £(fc + 1)7"_i^;,_i/p(/, 1/kH . (2)

то \ V?

,k=i

(в (2) считаем b — a ^ 1 без потери общности). Чтобы для (1) и (2) выполнялось неравенство треугольника, надо потребовать q ^ 1. Имеет место неравенство

Ek(f)p ^ C^i—i/p(f, 1/k). (3)

В [8] доказан аналог (3) для периодических функций. Используя метод индуцированных функций (по f G Cp[a,b] строится функция ^>(t) = = f(cost(b — a)/2 + (a + b)/2), наследующая свойства f, и ее тригонометрический полином наилучшего приближения является четным, то есть многочленом от cos t), неравенство (3) для периодического случая переносится на непериодический. Основы метода индуцированных функций можно найти в [9, гл. 3, §1], а само неравенство (3) было получено

А.П. Терехиным в [10]. Таким образом, из конечности (2) следует конечность (1).

Теперь введем пространство B?,q,Y[a,b], 1 < р < ж, y > 0, q ^ 1, состоящее из функций, для которых конечна норма

II/lk,7 = (11/II? + Sp>g>7 (/ ))1/q. (4)

Его подпространство [a,b] состоит из функций /, для которых

/(ж0) = 0, где ж0 G [a, b] — фиксированная точка. При выполнении этого условия р-вариация V?(/, [a,b]) := w1-1/?(/, b — a) ^ ||/Цж. Аналогично вводятся пространства [a,b] и [a,b], для которых конечна норма

II/ Ikq, = (II/II? + (/,^1 —1/?))1/q. (4')

Теперь напомним, что для k G N, 0 < 5 ^ (b — a)/k, / G В[a,b] по определению

k

(/,5)= sup ЦД/(x)!bm—kh], Д/(ж) = ECk(—1)k—г/(ж + ih). 0<h^ 1=0

Хорошо известно свойство этих модулей непрерывности

^k(/, n5) < nk^k(/,5), 0 <n5 < (b — a)/k. (5)

Отметим, что для / G C?[a, b] верен аналог (5)

1/?(/,n5) ^ n1-1/p^1-1/?(/,5). (5')

Это свойство было получено А.П. Терехиным в [10], доказательство его можно найти в [11].

Везде далее 1 <р< ж, y> 0, q ^ 1. Одинаковые константы в разных местах обозначают разные числа.

1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Лемма 1. Пусть /, д Е В [а, Ь] — такие, что У/Цр и ЦдЦр конечны, то есть / и д — функции ограниченной р-вариации. Тогда

У/д У р ^ У/УУж УдУр + УдУжУ/yp, (6)

^1-1/р(/д,^) < У/Цж^1-1/р(д,5) + ЦдУж^1-1/р(/,^), 0 <5 < Ь - а. (7)

Доказательство Для разбиения £ = {а = хо < х1 < ... < хп = Ь} имеем

п \ 1/р

Е^(х*Жх0 - / (х»-1)д(хг-1)|р] <

/ п \ 1/р

^ (ЕI/(х<) - /(хг-1)|р|д(хг)|М +

/ п \ 1/р

+ ( Е 1д(х*) - д(хг-1)1р1/(хг-1 )|р) ^ УдУжкр(/) + У/УжКр(д).

Переходя к точной верхней грани по |£ | ^ 5, доказываем (7). Сочетая (7) с очевидным неравенством Ц/дЦж ^ У/ЦжУдУж ^ У/ЦжУдУр, получаем (6). Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть д,/ Е В[а,Ь], к Е N 0 <5 < (Ь - а)/к. Тогда

к

^(/g, 5) < ЕСк^^-¿к 5), ^о(/, 5) = У/Уж.

¿=0

Лемма 2 доказывается в [12, с. 22] с помощью тождества

к

Д/д(хо) = Е Ск Д/(хо)Д^-гд(хо + ¿Л).

¿=0

Следующая лемма приведена в [13, с. 49] с наброском доказательства. Дадим его здесь для полноты изложения.

Лемма 3. Пусть k,m £ N, 0 < ö ^ (b — a)/(k + m), а wk+m(f, ö) не является тождественным нулем. Тогда

(f, ö)wTO(f, ö) ^ A(k, m, f)^k+m(f, ö).

Доказательство Известно тождество (см. [1, с. 118])

k-1 k

Akhf (x) - 2kAf (x) = £ E CkMAh+1f (x + vh).

v=0 +1

Из него легко получается , что при 0 < h ^ (b — a)/(k + 1)

^(f, h) ^ Ci(fc)wk+i(f, h) + 2—k^k(f, 2h). (8)

Применяя (8) несколько раз, получаем

p

^k(f, h) ^ C2(k)£ Wk+i(f, 2Vh)2—kv + 2—k(p+1)^k(f, 2p+1h) (9)

V=0

(считаем h настолько малым, что (k + 1)2ph и 2p+1kh меньше b — а). Пусть

p = [i0g2(^k+1 (f,h))—1/(k+1)" .

Из (5) следует, что hk+1 = O(wk+1(f, h)) и iim = 0, за исключением случая ¡x>k+1(f, h) = O(hk+1). В последнем случае согласно неравенству Маршо (см.[1, с. 117])

^k (f,h) = O(hk ) = O(^+(1k+1)(f,h)). В общем случае, используя (5), получаем из (9) при достаточно малых h

p

IV

^k(f, h) ^ C2(k) (EXJ ^k+1(f,h) + 2—kp||f ^

^ Ca(k)2p^k+1(f,h) + 2—pk||f ||TO ^ (Cs(k) + ||f ||^)^k+(1k+1)(f, h). В итоге получаем неравенство

^(f, h) ^ C4(k,f)^k+(1k+1)(f,h)

при достаточно малых к, откуда согласно (5) следует, что оно верно при всех к Е (0, (Ь - а)/(к + 1)]. Теперь легко вывести неравенство

^(М) ^ Св(к,ш,/)цк(/,к),

где к ^ т, а 0 <к ^ (Ь - а)/т. Отсюда находим, что

^Г+к(/, к) ^ Св(т + к, к, /)^+к(/, к)

и

<+к(/, к) ^ Св(т + к, т, /)<+к(/, к)

при соответствующих к. Перемножая последние неравенства, доказываем лемму 3.

Лемма 4. а) Если / имеет нуль на [а,Ь], то У/Цр = Ео(/)р;

b) Если г, й Е Z+, /, д Е Ср[а,Ь], то

Е?+я(/д)р ^ С(д) [Е*(/)рЕ(д)р + У/(д)р + ЦдУ^Е?(/)р] .

c) Если /, д Е Ср[а, Ь], г, й Е Z+ и /, д имеют нули на [а, Ь], то Е?+я(/д)р ^ С(д) [Е(/)рЕ(д)р + Е*(/)рЕ?(д)р + Е*(д)рЕ(/)р].

Доказательство

а) Ясно, что

Ур(/ - с, [а,Ь]) = Ур(/, [а, Ь]) ^ У/Уж, где с Е И. Если / - с не обращается в нуль на [а, Ь], то

У/ сУЖ ^ У/Уж

и У / - сЦр ^ У/Ур. Если же / - с обращается в нуль на [а, Ь], то

^р(/ - c, [а,Ь]) ^ У/ - сУж

и

У/ - сУр = ^р(/ - c, [а, Ь]) = У/Ур.

Таким образом, в любом случае ||/ — с||р ^ ||/||р.

Ь) Пусть и £ — полиномы наилучшего приближения для

/ и д соответственно в С?[а, Ь]. Тогда по лемме 1 и неравенству Гельдера

< ||/д — ^У? < (||/(д — ^У? + Ц(/ — £гНУ? < ^ (||/|тоЕв(д)р + ||/У?||д + ||/ £гУрУ^У^ + ||/ £г^

^ (2||/||рЕв(д)р + Ег(/)

р(||д + ЦдУ)<7 <

^ 3?—||/||?Е?(д)р + Е?(/)?Е?(д)? + Е?(/)?||д||?). Итак, а) и Ь) доказаны, откуда следует с). Лемма доказана.

Лемма 5. Если £п £ Рп является многочленом наилучшего приближения для / £ [а, Ь] в С? [а, Ь], то он является таковым и в [а, Ь].

Доказательство Если ||/ — ¿п||р = Еп(/)р, то Ек(/ — £п)? равно Ек(/)? при к < п и совпадает с Ек(/)р при к > п. Пусть £ £ Рп — произвольный многочлен. Тогда

/ — = ||/ — АН + ¿(к + 1Г—][Ек(/ — £)р + Ё (к + 1)™—^(/)р ^

к=0 к=п+1

п оо

^ ||/ — У?+ £(к + 1Еп(/)р+ £ (к + 1Екк(/)р = ||/ — £п||В_.

к=0 к=п+1

Лемма доказана.

Замечание 1. Так как р-вариация функции не изменяется при сдвиге на константу, при использовании нормы ||/||р многочлен наилучшего приближения не является единственным. Если V?/, [а, Ь]) > ||/||то, то все константы с £ И со свойством ||/ — с||то ^ V?/, [а, Ь]) дают наилучшее приближение нулевого порядка. То же верно для Еп(/)р, п £ N.

Замечание 2. Все результаты данного раздела переносятся на периодический случай.

Замечание 3. Лемма 4 верна и в случае 0 < д < 1. Для доказательства вместо неравенства Гельдера используется неравенство Йенсена.

2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

В этом разделе мы покажем, что пространства Вр,Ч,7[а, Ь], ^р,Ч,7[а, Ь] и их подпространства [а, Ь], [а, Ь] являются банаховыми алгебрами. Начнем с их полноты.

Теорема 1. Пространство Вр,Чл [а, Ь] полно относительно своей нормы.

Доказательство Пусть последовательность /п фундаментальна в Вр,Ч,7[а,Ь]. В частности, она фундаментальна в Ср[а,Ь] и в силу полноты последнего пространства она сходится к / Е Ср[а,Ь] по норме этого пространства. Известно, что любое наилучшее приближение является полунормой, откуда

|Ек(/п)р - Ек(/)р| < Ек(/п - /)р < У/ - ^

п У р •

Поэтому при фиксированном N выражение

N

+ 1)7Ч_1Ек (/п)р (10)

к=о

при п ^ ж стремится к

N

£(к + 1)7Ч_1Ек (/)р. (11)

к=о

Поскольку последовательность /п фундаментальна в Вр,Ч,7[а,Ь], выражение (10) ограничено константой К, не зависящей от п и N, и ей же ограничено (11) для всех N, то есть / Е Вр,Ч,7[а, Ь]. Докажем теперь сходимость /п к / в Вр,Ч,7[а,Ь]. Зафиксируем £ > 0 и выберем достаточно большое по, такое что

ж

Е (к + 1)7Ч_1Ек(/п)р < (12)

к=по+1

для всех п Е N. В самом деле, из фундаментальности /п в [а, 6] следует существование конечной е/2-сети {/.для {/п}то=1 в [а, 6]. Для каждого п найдем со свойством

то

£ (к + (/п)? /29, 1 ^ г ^ 3-

к=т.+1

Если ||/п — /п. ||в < е/2, то при по = шах ш^ имеем

то

£ (k+ 1)Yq-1Eq (fn)p ^ 2q-1 £ (k+ 1)Yq-1(Eq (/ - f. )p + Eq / )p) ^

k=no+1 k=no+1

^ 2q-1 ( n/n - /Пг+ £ (k + i)Yq-1(Eq/)„) ^

k=mj+1

< 2^V/2* + ^/2*) = ^.

Таким образом, (12) доказано и оно верно при замене /п на /. Поэтому

по

и/—/п||в_ ^ ц/—.у?++1Г—1^ (/—/п)р+

к=0

+2q-1 £ (k + 1)Yq-1 (Eq(/„), + Ek(/)p) <

k=no+1

no

^ II/- fnll? + £(k + 1)Yq-1Ek(/ - fn)p + 2q. k=0

Так как

0 < lim Ek(/ - /n)p < lim ||/ - /п||р = 0,

n—>-то n—>-то

то при n > N (г) последнее выражение меньше (2q + 1)eq, что завершает доказательство теоремы.

Замечание 4. Поскольку любой многочлен принадлежит любому из пространств Bp,q,Y[a,b], все эти пространства нетривиальны.

Замечание 5. В доказательстве теоремы 1 использовались плотность алгебраических многочленов в Cp [a, b], что следует из (3), и полнота Cp[a, b].

Для любого пространства X[а,Ь], удовлетворяющего этим требованиям, можно ввести пространство Вд,7(X)[а,Ь] с нормой

1/?

I/1| = (||/ИХ ^(к + 1)7?—1Ек(/)х к=0

и установить его банаховость. При 0 < д < 1 можно рассмотреть квазинорму

I/ИХ + ¿(к + 1)7?—1Екк (/)

к=0

и доказать полноту относительно нее.

Теорема 2. Пусть /, д £ [а,Ь]. Тогда /д £ и при этом

(/д) ^ С(д,7)(||/(д) + ||д||?5^7(/)). Если же /, д обращаются в нуль на [а, Ь], то

(/д) ^ С(д,7)^7(д)^>д>7(/).

Доказательство Согласно лемме 4 при г = й = к и г = к + 1, й = к находим, что

(2к + 1)7?—1Е2\(/д)? ^

^ С1(д,7)(к + 1Г—]1 (Ек(/)?Ек(д)? + ||/|||Ек(д)? + ||д|?Ек(/)?) . (13)

(2к + 2)^?—1Е|к+1(/д)? ^

2к+1 V ^

< Сх(д,7)(к + 1)7?"1 (Е?+1(/)?Е?+ ||/|?Ек+ |а|?Е?+1(/)?) .

(14)

Здесь С1 (д,7) = шах(27?—1,1)С(д), где С(д) — константа из леммы 4. Складывая неравенства (13) и (14) по к от 0 до то и учитывая, что Ек+1(/)? < Ек(/)?, получаем

^(/д) ^ 2С1(д,7) ( + 1)7?—1Ек(/)рЕ|(д)р + ||/(д) +

,к=0

+ (/^ ^ 3С1(д,7) (||/Ц?^(д) + ||дЦ?^(/)) .

Для доказательства последнего неравенства теоремы вместо пункта Ь) леммы 4 надо воспользоваться пунктом с). Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть /, д £ Вр,дл[а, Ь]. Тогда существует К(д,7), такое что

11 /д У , ^ ) 11 / У 11 д У .

Доказательство Пусть С(д,7) — константа из теоремы 2. По теореме 2 и лемме 1

l/0llk„Y = H/gyP + (/g) ^ II/УЫ^ +

i« ii ли^

iBp _ UJ Уир ~ ^ * UJ Np^Np

(q,Y) (IIgNpSpqq,Y(/) + II/NpSpqq,Y(g)) ^ max(2q,C(q,7))N/IIB_11gNBp Следствие доказано.

Следствие 2. Пространства Bp,q,Y[a, b] и Bp;0q7[a, b] являются банаховыми алгебрами относительно своей нормы, обычных сложения и умножения на число и внутреннего произведения / © g(x) = /(x)g(x)/K, где K — константа из следствия 1.

Доказательство Ясно, что из /(x0) = g(x0) = 0 следует /©g(x0) = 0 и что из /n(x0) = = 0, n G N и lim II/ — /nL = 0 следует /(x0) = 0. Поэтому все утверждения следствия вытекают из теорем 1, 2 и следствия 1.

Замечание 6. Результаты Переса-Акосты [6], соответствующие теоремам 1 и 2, следствиям 1 и 2, получаются, если в определении Bp,q,Y[a, b] заменить Ц/Ip на Ц/Цто.

Переходя к аналогам теорем 1 и 2 для пространств ^p,q,7[a, b] и [a,b], отметим, что из (5;) как обычно следует, что либо

p,q,Y L J V /

!/p(/,J) = 0, либо

"1—1/pCM) ^ 1/p

(см.[1, с.116]). В последнем случае при 7 ^ 1 — 1/р ряд (2) расходится и [а, Ь] состоит только из констант. С другой стороны, согласно [8], для любой абсолютно непрерывной функции /, такой что /' Е Ер[а,Ь], имеем

"1 —1/рСМ) ^ Н/'к—1/Р,

так что при 7 < 1 —1/р пространство [а, Ь] является нетривиальным.

ТЕОРЕМА 1'. Пусть 7 < 1 —1/р. Тогда пространство [а, Ь] полно относительно нормы (4;).

Доказательство Снова из фундаментальности последовательности /п в [а,Ь] следует сходимость /п в Ср[а,Ь] к функции / Е Ср[а,Ь]. В силу неравенства Минковского для последовательностей "1—1/р(/, £) полуаддитивен по функции. Отсюда легко следует, что

|"1- 1/р(/П 1/к) — "1 — 1/р(/ 1/к)| < "1 — 1/р(/п — /, 1/к) < НД — / к Далее доказательство повторяет доказательство теоремы 1.

ТЕОРЕМА 2'. Пространства [а,Ь] и [а, Ь] являются банаховыми алгебрами относительно своей нормы, обычных сложения и умножения на число и внутреннего произведения /©д(х) = /(ж)д(ж)/2.

Доказательство Используя (7) и неравенство Гельдера, находим, что

Н/д1к„7 ^ 29Н/||?|Ы|?+

то

+ £(* +1)^—129—1(Н/НТО"?—1/р(д, 1/к) + НдНТО"?—1/р(/, 1/*)) ^

к=1

^ 29(||/нрНдНР + (д,"1—1/р)Н/НТО + ^(/,"1—кНЫНТО) ^

^ 29 Н/НП Нд НП .

Таким образом, [a,b] — банахова алгебра. Остальные утверждения доказываются аналогично следствию 2.

3. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Пусть X[a, b] — банахово пространство функций, такое что множество многочленов плотно в нем,

= sup II/(x + h) - f (x)||x[a,b-h]

и (X)[a,b] есть множество функций с конечной нормой

00

1/q

Н/Н = Н/НХ + £(* + 1)79—1"9 (/, 1/*)х V к=1

Анализ доказательства теорем 1 и 2' показывает, что для того чтобы (X)[а, Ь] было банаховой алгеброй, надо потребовать, чтобы X было алгеброй и чтобы выполнялось неравенство вида

"(/д, % ^ М("(/, %||д||х + "(д, %Н/||х). (15)

Кроме того, нужно, чтобы / Е X[а, Ь] принадлежала X[а, Ь — 0 < ^ < < Ь — а, и чтобы Н/||х [а,б—ь] < Н/Нх [а,ь]. Ясно, что для X [а,Ь] = С [а, Ь] эти свойства выполнены. Имеет место

Теорема 3. Пространство (С)[а,Ь] является банаховой алгеброй относительно своей нормы, обычных сложения и умножения на число и внутреннего произведения / © д(х) = /(ж)д(ж)/2.

Пространство (С, "к)[а,Ь] можно задать как множество функций с конечной нормой

/ то \ 1/9

Н/Н = (||/НТО + £(« + (/. 1/«П . (16)

Аналогично рассуждениям перед теоремой 1 легко видеть, что при 7 ^ к это пространство состоит из функций /, таких что "к(/, £) = 0, то есть из многочленов степени не выше к — 1.

Лемма 6. Пусть / £ С [а, Ь] не является многочленом степени не выше к - 1, 5 £ (0, (Ь - а)/к]. Тогда ^ (/2, 5) ^ С (к, / Н (/, 5).

Доказательство Пусть А(к,т, /) — константа из леммы 3. Тогда имеем по леммам 2 и 3

к

^(/2,5) ^ £ Ск^¿(/, 5)^к-г(/, 5) ^

¿=0

СкА(г,к - г,/) + 2||/^(/,5), что и требовалось доказать.

Теорема 4. Пусть /, д £ Пд,7(С, )[а,Ь], 7 < к. Тогда

/д £ (С,^к)[а,Ь].

Доказательство Ясно, что Пд,7(С, )[а, Ь] — линейное пространство. Если / и д не являются многочленами степени не выше к - 1 и принадлежат ^д,7(С, )[а,Ь], то /2, д2, (/ + д)2 также принадлежат ему по лемме 6. Согласно равенству /д = ((/ + д)2 - /2 - д2)/2 находим, что /д £ ^д,7(С, )[а,Ь]. Если /, д £ Рк-1, то, поскольку к-я производная многочлена непрерывна, имеем согласно [1, с.116] ¡х>к(/д, 5) = 0(5к) и в силу условия ряд в (16) сходится. Наконец, если только д £ Рк-1, то к /2 и (/ + д)2 применяется лемма 6, а д2 как многочлен принадлежит ^д,7(С, ¡х>к)[а, Ь]. Теорема доказана.

Замечание 7. Методом доказательства теоремы 1 легко установить, что пространство ^д,7(С, )[а, Ь] — банахово. С другой стороны, в константу А(к,т,/) леммы 3 норма входит нелинейно, поэтому оценки типа (15) не получается и вопрос о банаховой алгебре остается открытым. Все теоремы 1-4, 1', 2' распространяются на периодический случай.

<

к-1 Е

¿=1

Замечание 8. В работе Перес-Акоста [4] рассматривал классы, аналогичные Вр,дл[а,Ь], при р = то и с заменой Еп(/на приближение интерполяционными многочленами по данной сетке узлов. Вопрос о введении структуры банаховой алгебры в подобных классах интересен и для р-вариационной метрики. В периодическом случае следует отметить такую задачу. Пусть Вдл (С, а) — пространство 2п-периодических непрерывных функций, для которых конечна норма

где ак — средние Фейера ряда Фурье функции /. При каких условиях на д и 7 это пространство будет банаховой алгеброй? Ясно, что для аналогичных средних Валле—Пуссена ответ утвердительный при всех допустимых д и 7 (по поводу определения этих средних см. [14, с.133 и

1. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1960.

2. Sunouchi G.I. Derivative of a trigonometric polynomial of best approximation / / Absract spaces and approximation. Proc Conf. Oberwolfach, July 18-27, 1968. Birkhauser-Verlag, 1969. P. 233-241.

3. Ditzian Z, Totik V. Remarks on Besov spaces and best polynomial approximation // Proc. Amer. Math. Soc. 1988. V. 104. № 4. P. 1059-1066.

4. Perez-Acosta F. On certain Banach spaces in connection with interpolation theory //J. Comput. Appl. Math. 1997. V. 83. P. 55-69.

5. Perez-Acosta F. Best polynomial approximation in Besov spaces //J. Comput. Appl. Math. 1997. V.85. P.315-323.

6. Perez-Acosta F. Certain Banach algebras in connection with Besov spaces //J. Math. Anal. Appl. 2000. V. 246. P. 493-502.

135]).

Библиографический список

7. Love E.R. A generalization of absolute continuity //J. London Math. Soc. 1951. V. 26. № 1. P. 1-13.

8. Терехин А.П. Приближение функций ограниченной р-вариации // Известия вузов. Математика. 1965. № 2. С. 171-187.

9. Даугавет И.К. Введение в теорию приближения функций. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1977.

10. Терехин А.П. Приближение функций ограниченной р-вариации: Дис.... канд. физ.-мат. наук. Саратов, 1965.

11. Volosivets S.S. Convergence of series of Fourier coefficients of p-absolutely continuous functions // Analysis Math. 2000. V. 26. P. 63-80.

12. Шевчук И.А. Приближение многочленами и следы непрерывных на отрезке функций. Киев: Наукова думка, 1992.

13. Тригуб Р.М. Приближение функций с заданным модулем гладкости на внешности отрезка и полуоси // Исследования по современным проблемам конструктивной теории функций. М.: Физматгиз, 1961. С.47-51.

14. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.: Мир, 1965. Т.1.

УДК 511.3+517.5 В.Н. КУЗНЕЦОВ, В.В. КРИВОБОК, Е.В. СЕЦИНСКАЯ

О граничных свойствах одного класса степенных рядов

В работе изучается граничное поведение степенных рядов, отвечающих Ь-функциям числовых полей с характерами Дирихле. Эта задача изучалась Е.В. Сецинской [1], было показано, что она непосредственно связана с решением ряда теоретико-числовых задач. В основе приведенного здесь решения этой задачи лежит совершенно иной подход, чем