CC BY
75
ФИЛОСОФИЯ
УДК 161.25
А. В. Горюнов
0 НЕЕДИНСТВЕННОСТИ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ1
Обоснован тезис о неединственности логики предикатов. Предложена их классификация, основанная на определении уровня и характера контрадик-торности логической системы.
Введение
Данная работа посвящена обоснованию тезиса о многообразии (или, как еще принято выражаться, о неединственности) логики предикатов (ЛП). Даже традиционный взгляд на эту проблему предполагает выделение, по меньшей мере, классической и интуиционистской логики предикатов по одному критерию, разграничение одноместной и многоместной логики предикатов - по другому критерию, а также различение ЛП первого порядка, второго порядка и т.д. - по третьему. Мы, однако, намерены предложить иную классификацию видов логики предикатов, основанную на определении уровня и характера контрадикторности логической системы.
Для правильного понимания нашей позиции необходимо уяснить следующее. Наше понимание ЛП не вполне традиционно, и его можно назвать «философским» в противовес, условно выражаясь, «математическому». Для философа логические системы, включая формальные, предназначены для анализа рассуждений и разграничения «правильных» рассуждений от «неправильных». В связи с этим философы готовы мириться с символизацией логики и даже приветствовать ее, но лишь в той мере, в какой данная символизация способствует достижению описанной выше цели. Изучение закономерностей преобразования формализмов ради самих этих формализмов философию логики интересовать не может. Иными словами, философы, изучающие логику, должны идти от идей к формализмам, а не от формализмов к идеям.
В нашем случае мы рассматриваем ЛП как инструмент для анализа естественных рассуждений, понимая под таковыми рассуждения на естественном языке, которые, впрочем, могут включать в себя фрагменты специализированных математического и логического языков. При этом следует заметить, что ЛП анализирует рассуждения на естественном языке не только в том виде, в каком они реально существуют, но и в том виде, в каком они могут существовать в принципе, оставаясь, однако, естественными рассуждениями.
1 Уровень и характер контрадикторности логических систем
Определение уровня и характера контрадикторности логических систем обсуждалось в наших предыдущих публикациях [1]. Поэтому здесь мы лишь кратко остановимся на этом вопросе.
1 Статья подготовлена при поддержке Российского гуманитарного фонда. Проект 07-03-21304 а/В.
Отрицание, как и утверждение, является, по нашему мнению, конструктивной процедурой. Оно не сообщает об отсутствии чего-либо, а, напротив, порождает некий конструктивный объект. Утверждение А означает: «Я выполнил мысленное построение, в результате которого был сконструирован объект А». Отрицание А будет означать: «Я выполнил на основе общепринятого метода преобразование А, результатом которого является некий объект Х, причем такой, что Х отлично от А (А#Х)». «Общепринятым методом» здесь назван алгоритм процедуры отрицания1.
Данный подход позволяет выявить новые характеристики логических систем - уровень и характер контрадикторности.
Уровень контрадикторности показывает, сколько неизбыточных противоположностей может быть представлено в данной системе, что зависит от свойств отрицания. По этому критерию логические системы могут быть разделены на бинарные, тернарные, тетрарные и т.д. в зависимости от того, порождает ли отрицание этих систем две, три, четыре и т.д. неизбыточные противоположности.
Характер контрадикторности указывает на специфику отношений между противоположностями, которые можно выделить в данной системе. Эти отношения устанавливаются на основе анализа таблицы отрицания. Несовместимыми называются противоположности, которые ни в одной строке таблицы не принимают одинаковых значений. Пересекающимися называются противоположности, которые принимают одинаковые значения лишь в некоторых строках таблицы истинности. Если две противоположности принимают одинаковые значения во всех строках таблицы, то одна из них считается избыточной. Контрадикторная конструкция классической логики высказываний (ЛВ) содержит две несовместимые, а ЛВ Лукасевича - две пересекающиеся противоположности. Логика Гейтинга позволяет выделить три противоположности, из которых две («а» и «~а») несовместимы, а две («а» и «—а») частично совместимы. Противоположности «~а» и «—а» также являются несовместимыми.
Следовательно, по характеру контрадикторной конструкции логики могут быть разделены на строгие, нестрогие и полунестрогие. Строгими мы называем логические системы, контрадикторные конструкции которых содержат только несовместимые противоположности, т.е. здесь нет пересекающихся противоположностей. Таковой, например, является классическая ЛВ. Нестрогими будем называть логические системы, в которых каждая из противоположностей пересекается со всеми другими противоположностями, т.е. нет ни одной пары несовместимых противоположностей, следовательно, противоречие как таковое не представимо. Для случая бинарных логик нестрогой является логика Лукасевича 1920 г. Полунестрогими являются логические системы, в контрадикторных конструкциях которых есть хотя бы одна пара несовместимых противоположностей и хотя бы одна пара пересекающихся противоположностей. Таковы тернарная логика Гейтинга 1930 г., а также система Поста (при т > 2)2.
1 Впервые логическое отрицание как конструктивный процесс попытался представить А. Гейтинг. Однако, по нашему мнению, он остановился на полпути [2].
2 Описание систем Лукасевича, Гейтинга и Поста см., например, в [3].
Отсюда видно, что не всякая логическая система способна представлять противоречие. Противоречие - это определенное отношение между противоположностями данной контрадикторной конструкции, а именно отношение несовместимости. Не всегда противоположности, составляющие данную контрадикторную конструкцию, находятся именно в таких отношениях. Так, отрицание классической логики позволяет сконструировать такую (и при этом единственную) противоположность по отношению к А, что конъюнкция А и ~А является противоречием, на что указывает невыполнимость формулы а/\~а в классической логике. В то же время отрицание Лукасевича не позволяет сконструировать противоречия. Хотя А и ~А в системе Лукасевича различны, они не являются полностью несовместимыми, а формула а/\~а не является невыполнимой. Вместе с тем, некоторые контрадикторные конструкции могут содержать в себе несколько противоречий и даже несколько противоречий различного уровня контрадикторности. Так, логика Гейтинга содержит одновременно и бинарное, и тернарное противоречие.
Сказанное имеет отношение и к ЛП. В основе ЛП всегда лежит та или иная ЛВ. Это накладывает отпечаток на свойства данной логико-предикатной системы. Соответствующие друг другу ЛВ и ЛП объединяет операция отрицания. Как уже было сказано, отрицание задает контрадикторный уровень данных систем. Последнее, в свою очередь, фактически означает выделение того или иного количества видов суждения по «качеству». При переходе к ЛП эта классификация дополняется выделением видов суждений по «количеству». При совмещении критериев получаем так называемую объединенную классификацию суждений. Выделенные классы суждений, имеющие одинаковые субъект и предикат, образуют определенную логическую фигуру. В классической логике это знаменитый логический квадрат Пселла. Понятно, что в других системах и «логические фигуры» будут иными. Следовательно, в основе определенных ЛВ и ЛП явно или неявно лежит некоторое неформализованное учение о видах суждений и отношениях между ними, а формализация этих отношений как раз и должна быть представлена в данных системах. Поэтому, с позиций нашей концепции, в каждой логико-предикатной системе должны наличествовать правила, которые возникают в результате формализации отношений между видами суждений в рамках данной системы. А поскольку мы рассматриваем ЛП как инструмент формализации естественных рассуждений, а неформализованное учение о видах суждений является опосредующим звеном между ними, то эти правила следует называть системообразующими для данной ЛП. Согласно нашим представлениям, дело обстоит не так, что мы должны ввести аксиомы и правила вывода и лишь затем проверять, будут ли доказуемыми данные формулы, а так, что сначала следует объявить эти теоремы обязательными в данной системе и лишь затем подбирать нужные аксиомы и правила вывода.
2 Логика предикатов Пселла
Начнем с классической ЛП. Эта логическая система, как мы утверждаем, основана на формализации отношений между суждениями в рамках логического квадрата Пселла.
Доказать это несложно. Прежде всего вспомним, что в классической ЛВ может быть выделено только две противоположности - А и не-А, по-
скольку двойное отрицание возвращает нас к А, а тройное отрицание к не-А. Очевидно также, что две названные противоположности не пересекаются, поскольку не имеют общих значений ни в одной из строк таблицы истинности. Следовательно, перед нами строгая бинарная ЛВ, которая подразумевает выделение двух видов суждений по качеству: утвердительных и отрицательных.
При переходе к ЛП мы получаем четыре класса суждений: общеутвердительные (А), общеотрицательные (Е), частноутвердительные (I) и частноотрицательные (О). Эти виды суждений с одинаковым субъектом и предикатом, как известно, и образуют логический квадрат Пселла.
Для их представления на языке ЛП принято вводить переменные первого типа а, областью значений которого является область Б. Внутри этой области выделим два подмножества S и Р. Однако затем мы можем ввести переменные второго типа х, которые пробегают только подобласть S области Б [4]. Тогда наша формальная запись будет выглядеть, как показано в таблице 1.
Таблица 1
Формализация простых суждений на языке логики предикатов (ЯЛП)
Буквенное обозначение Формальная структура Запись на ЯЛП Рекомендуемый способ прочтения
А Все S есть Р (х) Р(х) Все х обладают свойством Р
Е Ни одно S не есть Р (х) ~Р(х) Все х обладают свойством не-Р
I Некоторые S есть Р Е(х) Р(х) Существуют х, обладающие свойством Р
О Некоторые S не есть Р Е(х) ~Р(х) Существуют х, обладающие свойством не-Р
В дальнейшем договоримся использовать только переменные второго типа, т.к. данный вид записи более лаконичен.
Условимся также о правилах употребления отрицания. Будем считать, что наличие или отсутствие отрицания перед предикатной переменной (или всей подкванторной областью) указывает на качество суждения, а наличие или отсутствие отрицания перед квантором - на предполагаемое значение истинности.
Теперь перейдем систематическому описанию отношений между суждениями в рамках логического квадрата. Выделяют четыре вида отношений: противоречия, контрарности, субконтрарности, подчинения. Зависимости между суждениями по истинности в рамках логического квадрата являются общеизвестными, поэтому мы обратим внимание только на некоторые из них.
Для суждений А и О, а также для Е и I, находящихся в отношениях
противоречия, верно, что из истинности А следует ложность О, а из истин-
ности I - ложность Е:
(х) Р(х) ^~Е(х) ~Р(х), (1)
Е(х) Р(х) ^~ (х) ~Р(х). (2)
Как очевидно, перед нами правила преобразования универсального суждения в экзистенциальное и обратно. Согласно этим правилам, для преобразования суждений указанных видов друг в друга необходимо: 1) заменить
один знак квантора на другой; 2) поставить отрицание перед вновь введенным квантором; 3) поставить знак отрицания перед подкванторной областью. Именно это и демонстрируют формулы (1) и (2).
Далее, если мы перейдем от ложности А к истинности О, а также от ложности I к истинности Е, то получим так называемые законы образования контрадикторных противоположностей:
~(х) Р(х) -ЬЕ(х) ~Р(х), (3)
~Е(х) Р(х) -^(х) ~Р(х). (4)
Для суждений А и I, а также Е и О, находящихся в отношениях подчинения, верно, что из истинности общего суждения следует истинность подчиненного ему частного суждения, что дает также один из известнейших законов классической ЛП:
(х) Р(х) ^Е(х) Р(х). (5)
В отношениях контрарности находятся два общих суждения, различающиеся качеством, т.е. А с Е. При истинности одного из них другое является ложным, например:
(х) Р(х) ^~(х) ~Р(х). (6)
Наконец, в отношениях субконтрарности находятся частные суждения, отличающиеся по качеству, т.е. I с О. Из ложности одного из этих суждений следует истинность другого из них.
~Е(х) Р(х) ^Е(х) ~Р(х), (7)
~Е(х) ~Р(х) ^Е(х) Р(х). (8)
Сказанное здесь может вызвать недоумение, поскольку все приведенные формулы, как хорошо известно, являются теоремами классической ЛП. Однако мы говорим о том, что эти формулы должны доказываться в этой системе в любом случае, если мы хотим считать, что данная система является формализацией отношений между видами суждений по истинности в рамках логического квадрата Пселла.
3 Гипотетическая логика предикатов Лукасевича
Уже на бинарном уровне мы сталкиваемся с неединственностью логики предикатов. Помимо несовместимости двух противоположностей, как очевидно, возможен и еще один вариант - их частичная совместимость, или пересечение. В наших терминах это значит, что наряду со строгой бинарной логикой возможна и нестрогая бинарная логика. Более того, применительно к логике высказываний такая система уже существует - речь идет о трехзначной логике Лукасевича 1920 г. Опираясь на указанное исчисление, построим соответствующую логику предикатов, которую в силу этого назовем логикой предикатов Лукасевича. Еще точнее, мы выделим некоторые системообразующие теоремы данной системы, которые должны быть доказуемыми в ней по условию.
Напомним значение основных связок трехзначной логики Лукасевича, где «1» - истина, «^» - неопределенность, «0» - ложь. Значения конъюнкции, дизъюнкции и импликации отражены в таблице 2.
Таблица 2
Основные связки трехзначной ЛВ Лукасевича 1920 г.
а ь а/\Ь а\/ь а^Ь
1 1 1 1 1
1 / / 1 /
1 0 0 1 0
/ 1 / 1 1
/ / / / 1
/ 0 0 / /
0 1 0 1 1
0 / 0 / 1
0 0 0 0 1
Отрицание Лукасевича задается в соответствии с таблицей 3, из которой видно, что перед нами бинарная логика, т.к. двойное отрицание нас возвращает к х, а тройное к не-х.
Таблица 3
Отрицание трехзначной ЛВ Лукасевича 1920 г.
X ~х X X
1 0 1 0
/ / / /
0 1 0 1
Из данной таблицы понятно также, что ЛВ Лукасевича является нестрогой системой, поскольку х и не-х принимают одинаковые значения во второй строке таблицы. Отсюда следует, что контрадикторная конструкция логики Лукасевича может быть представлена схемой из двух пересекающихся кругов, скажем, Х и ~Х.
При построении ЛП Лукасевича мы будем иметь дело с формализацией отношений между видами суждений в рамках логического четырехугольника. Однако указанная выше особенность контрадикторной конструкции, безусловно, должна наложить определенный отпечаток на отношения между суждениями в рамках данного четырехугольника. Поэтому данную фигуру мы будем называть логическим четырехугольником Лукасевича и отличать ее от логического квадрата Пселла.
Для выявления особенностей отношений в рамках логического четырехугольника Лукасевича еще раз обратимся к контрадикторной конструкции данной логической системы. Очевидно, что если мы (мысленно) полностью закрасим круг Х, то закрашенной окажется и часть круга не-Х, то же будет наблюдаться в обратном порядке. Это означает, что при истинности любого общего суждения, оба (!) частных суждения также будут истинными. Но можно на эту зависимость посмотреть и с другой стороны. То или иное общее суждение будет истинным, е.т.е. истинными будут оба частных суждения. Поэтому, если одно из частных суждений ложно, ложными будут оба (!) общих суждения. В этом состоит главная особенность логического четырехугольника Лукасевича.
Итак, перейдем к систематическому изложению. Отношения подчинения в рамках четырехугольника Лукасевича не отличаются от привычных: из истинности общего высказывания следует истинность подчиненного ему экзистенциального высказывания, а из ложности общего высказывания следует неопределенность соответствующих экзистенциальных высказываний. В обратном направлении все также привычно. Из ложности экзистенциального высказывания следует ложность подчиняющего общего высказывания, а из истинности экзистенциального - неопределенность общего.
(х)А(х) ^Е(х)А(х), (9)
~(х)А(х) ^Е(х)А(х)У~ Е(х)А(х), (10)
~Е(х)А(х) ^ ~(х)А(х), (11)
Е(х)А(х) ^(х)А(х)У~(х)А(х). (12)
Привычными являются и отношения контрарности. Истинность одного общего суждения обусловливает ложность другого, а ложность исходного общего суждения оставляет другое общее суждение неопределенным, например:
(х)А(х) -^~(х)~А(х), (13)
~(х)А(х) -^(х)~А(х)\/~(х)~А(х). (14)
Особенности ЛП Лукасевича начинаются, когда мы обращаемся к отношениям контрадикторности. Здесь при истинности общего суждения «противоречащее» ему частное тоже оказывается истинным. Поэтому мы будет называть эти отношения отношениями квазиконтрадикторности:
(х)А(х) ^Е(х)~А(х). (15)
Как уже говорилось, противоположности в логике Лукасевича пересекаются. Это значит, что может существовать х, который одновременно обладает и свойством А, и свойством ~А. Такой х «находится» как раз в зоне «пересечения» противоположностей. Поэтому если все х некоторой предметной области обладают свойством А, то среди них обязательно есть и такие, которые одновременно обладают свойством ~А. То же самое наблюдается в обратном направлении.
Если мы соединим (15) и (14), то получим следующую удивительную зависимость:
(х)А(х) ^Е(х)~А(х)/\Е(х)А(х). (16)
Однако вернемся к отношениям квазиконтрадикторности. Из ложности общего высказывания следует неопределенность (!) противоречащего ему частного. Если идти от частных суждений к общим, то из истинности частного суждения следует неопределенность (!) как бы противоречащего ему общего суждения. Наконец, из ложности частного высказывания следует ложность (!) квазиконтрадикторного ему универсального высказывания.
~(х)А(х) ^Е(х)~А(х)У~Е(х)~А(х), (17)
Е(х)А(х) ^ (х)~А(х)\/~(х)~А(х), (18)
~Е(х)А(х) ^ ~(х)~А(х). (19)
Если «соединить» (19) и (11), получаем парадоксальное с точки зрения классической логики выражение:
~Е(х)Л(х)^ ~(х)~Л(х)Л ~(х)А(х). (20)
При рассмотрении отношений субконтрарности между I и О, мы как бы вновь возвращаемся в привычный для нас логический мир. При истинности одного частного суждения другое будет неопределенным. С другой стороны, из ложности одного из частных высказываний следует истинность другого из них.
Подведем итоги. В логическом четырехугольнике Лукасевича наблюдаются следующие зависимости. При истинности одного из общих суждений другое общее будет ложным, а оба частных - истинными. При ложности общего суждения все остальные суждения будут неопределенными. При истинности частного суждения все остальные виды суждений также будут неопределенными. А при ложности частного другое частное суждение будет истинным, а оба общих суждений - ложными.
4 Строгая тернарная логика
При переходе к тернарной логике мы сталкиваемся с еще большим разнообразием возможных логико-предикатных систем. Здесь мы рассмотрим только «основной» случай - строгую тернарную ЛП, которая, согласно нашей концепции, является формализацией отношений между простыми суждениями в рамках логического шестиугольника.
Чтобы построить логический шестиугольник, нам необходимо иметь метод построения двух видов суждений по «количеству» и трех (!) видов суждений по «качеству».
Мы будем считать нашу систему трехзначной, где «1» - истина, «/» -неопределенность, «0» - ложь. Тавтология принимает значение 1.
Отрицание, которое мы обозначим знаком «~», задается двумя равенствами:
1. №)] = [х] - /, при [х] Ф 0,
2. [N(0)] = 1.
В нем легко распознать первое, т.е. несимметричное, отрицание системы Поста. Его значение можно представить также табличным способом (см. табл. 4).
Таблица 4
Отрицание в строгой тернарной логике
а ~а —а а
1 / 0 1
/ 0 1 /
0 1 / 0
Из таблицы видно, что отрицание позволяет выделить две неизбыточные противоположности ~а и —а, т.к. верно следующее равенство:
а =------а. (21)
Таким образом, контрадикторная конструкция нашей воображаемой логической системы включает в себя лишь три неизбыточные противоположности: а, ~ а и ~~а.
Конъюнкция рассчитывается обычным образом - по минимуму значений переменных, а дизъюнкция рассчитывается от конъюнкции по формуле, структурно аналогичной знаменитому правилу де Моргана:
а\/Ъ = ~ (—аЛ—Ь). (22)
В связи с вышесказанным следует, что дизъюнкцией мы называем связку, которая истинна, е.т.е. хотя бы один из членов дизъюнкции истинен; неопределенна, е.т.е. оба члена дизъюнкции неопределенны; ложна, если либо оба члена дизъюнкции ложны, либо один из них ложен, а другой является неопределенным.
Обратный переход от дизъюнкции к конъюнкции происходит по «обратно симметричной» формуле:
а/\Ь = —(~а\/~Ь). (23)
Все это видно из таблицы 5.
Таблица 5
Конъюнкция и дизъюнкция в строгой тернарной логике
а Ь ~а ~Ь —а —Ь а/\Ь —а/\—Ь ~(—а/\—Ь) а\/Ь ~а\/~Ь —(~а\/~Ь)
1 1 / / 0 0 1 0 1 1 / 1
1 / / 0 0 1 / 0 1 1 0 /
1 0 / 1 0 / 0 0 1 1 1 0
/ 1 0 / 1 0 / 0 1 1 0 /
/ / 0 0 1 1 / 1 / / 0 /
/ 0 0 1 1 / 0 / 0 0 1 0
0 1 1 / / 0 0 0 1 1 1 0
0 / 1 0 / 1 0 / 0 0 1 0
0 0 1 1 / / 0 / 0 0 1 0
Противоречие в нашей системе будет тернарным. Оно выражается конъюнкцией всех трех противоположностей - а /\ ~а /\ —а. Эта формула будет противоречивой (невыполнимой). Отрицание тернарного противоречия является общезначимой формулой, отражая закон недопустимости (тернарного) противоречия.
~( а /\ ~а /\ —а). (24)
Бинарного же противоречия наша система содержать не будет, т.к. формулы а/\~а, а/\—а, ~а/\—а не будут в нашей системе невыполнимыми. Как следствие, отрицание этих формул не дает общезначимых выражений (см. табл. 6).
Таблица 6
Закон непротиворечия в строгой тернарной логике
а ~а —а а/\~а а/\—а ~а/\—а а/\~а/\—а ~(аЛ~а/\—а)
1 / 0 / 0 0 0 1
/ 0 1 0 / 0 0 1
0 1 / 0 0 / 0 1
По аналогии в строгой тернарной логике присутствует закон исключения четвертого, представленный дизъюнкцией всех трех противоположностей, но нет закона исключения третьего (см. табл. 7).
Таблица 7
Закон исключения четвертого в строгой тернарной логике
а ~а —а аМ~а а\/—а ~а\/—а а\/~а\/—а
1 / 0 1 1 0 1
/ 0 1 0 1 1 1
0 1 / 1 0 1 1
Импликацию в данной системе можно задать несколькими способами. Но мы не будем делать этого, поскольку выбор способа введения импликации зависит от тех характеристик, которыми мы хотели бы наделить логическое следование данной системы. Не желая предрешать этот вопрос, в дальнейшем мы будем использовать вместо импликации знак логического следования « |= ».
5 Отношения между суждениями в рамках логического шестиугольника
Итак, в тернарной логике различают три вида высказываний по «качеству». Первый вид высказываний соответствует утвердительным высказываниям бинарной логики. Мы будем называть их утвердительными высказываниями (или ^-высказываниями). Их структура имеет вид: S /8 Р. В логике высказываний они обозначаются переменной без отрицания, например а. Второй вид высказываний - /п-отрицательные высказывания (или просто /п-высказывания). Они имеют структуру S /п-Р. В логике высказываний они могут обозначаться переменной с одним отрицанием —а. Наконец, третий вид высказываний - поп-отрицательные высказывания (или просто поп-высказывания). Они имеют структуру S поп-Р и обозначаются как —а.
Каждый из этих видов высказываний, в свою очередь, можно разделить на универсальные и экзистенциальные по «количественному» критерию. Отсюда получаем шесть видов высказываний (см. табл. 8).
Таблица 8
Виды высказываний в строгой тернарной ЛП
№ Вид высказывания Структура Формула ЛП Символ
1 Общее и-высказывание Все S ІБ Р (х) Р(х) А
2 Общее /п-высказывание Все S Іп Р (х) ~Р(х) и
3 Общее поп-высказывание Все SпопР х) ~ * Р( х) Е
4 Частное /^-высказывание Некоторые S Із Р Е(х) Р(х) I
5 Частное /п-высказывание Некоторые S Іп Р Е(х) ~Р(х) У
6 Частное поп-высказывание Некоторые S поп Р Е(х) ~~Р(х) О
Лишь теперь мы можем построить логический шестиугольник. Его образуют высказывания, имеющие одинаковые субъект и предикат, но отличающиеся друг от друга по качественным и количественным характеристикам (см. рис. 1).
А
и
Е
У
О
I
Рис. 1 Логический шестиугольник
Для представления данных видов суждений на ЯЛП условимся также, что наличие или отсутствие перед выражением (перед квантором) знака отрицания указывает на его значение истинности. Отсутствие знака отрицания говорит о его истинности, наличие одного отрицания - о его неопределенности, наличие двух отрицаний - о его ложности. Это связано с тем, что, согласно таблице отрицания, «однократное» отрицание переводит «истину» в «неопределенность», а двукратное - в «ложь». В отличие от этого наличие или отсутствие знаков отрицания перед предикатной переменной (или под-кванторной областью в целом) указывает на качественную характеристику высказывания, презентированного данной формулой. Чтение выражений с отрицанием перед предикатной переменной (или всей подкванторной областью) желательно осуществлять в утвердительной форме. Выражение (х)Р(х) следует читать: «Все х обладают свойством Р». Выражение (х)~Р(х) означает: «Все х обладают свойством т-Р». Формула (х)—Р(х) показывает, что все х обладают свойством поп-Р.
В рамках логического шестиугольника можно выделить следующие виды отношений: 1) полной противоположности (контрарности); 2) частичной противоположности (субконтрарности); 3) подчинения; 4) противоречия.
Эти отношения имеют одну особенность: каждым видом отношений (кроме отношений подчинения) связываются не два, а три (!) вида высказываний. Так, в отношениях противоречия (если идти от общих суждений к частным), соотвественно, находятся: и - I - О, А - У - О, Е - У - I. Понятно, что истинность общего суждения влечет ложность обоих частных суждений. Например, из истинности А следует и ложность О, и ложность У. Если все х обладают свойством Р, то неверно, что существуют х, обладающие свойством т-Р, и одновременно неверно, что существуют х, обладающие свойством поп-Р:
Путем несложных преобразований получаем правило перехода от универсальных суждений к экзистенциальным:
Это правило гласит: для преобразования универсальных суждений необходимо: 1) заменить квантор общности квантором существования; 2) подкванторное выражение заменить конъюнкцией «однократного» и «двойного» его отрицаний (при необходимости ««сократив» лишние отрицания),
(х)Р(х) |= —Е(х)~Р(х)Л—Е(х)—Р(х).
(25)
(х)Р(х) |= —Е(х)(~Р(х)/\—Р(х)).
(25а)
поставив его в зону действия «нового» квантора; 3) поставить двойное отрицание, символизирующее ложность, перед квантором.
Если идти от частных суждений к общим, то в отношениях противоречия находятся: У - А - Е, I - и - Е, О - А - и. И здесь истинность исходного (частного) суждения влечет ложность двух противоречащих ему (общих) суждений. Например, истинность I влечет ложность и и Е:
Е(х)Р(х) |= ~~(х)~Р(х)/\~~(х)~~Р(х). (26)
Отсюда получаем правило преобразования экзистенциальных суждений в универсальные:
Е(х)Р(х) |= ~~(х)(~Р(х)/\~~Р(х)). (26а)
Это правило означает следующее. Чтобы преобразовать экзистенциальное суждение в универсальное, необходимо: 1) заменить квантор существования квантором общности; 2) поставить перед «новым» квантором двойное отрицание, символизирующее ложность; 3) подкванторное выражение заменить конъюнкцией «однократного» и «двойного» отрицания этого выражения и поставить ее (конъюнкцию) в зону действия «нового» квантора.
Другие виды отношений в рамках логического шестиугольника особой оригинальностью не отличаются. В отношениях контрарности находятся три общих суждения: и - А - Е. Истинность одного из них обусловливает ложность двух других, а ложность - оставляет другие два суждения неопределенными. К этим суждения применим закон недопустимости тернарного противоречия для случая ЛП:
~~((х)Р(х)Л(х)~Р(х)Л(х)~~Р(х)). (27)
В отношениях субконтрарности находятся три частных суждения, различающиеся «качеством»: У - I - О. Они могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными, в силу чего к ним применим закон исключения четвертого:
Е(х)Р(х)УЕ(х)~Р(х)УЕ(х)~~Р(х). (28)
Из ложности двух частных суждений следует истинность третьего. Но из ложности (как, впрочем, и из истинности) одного из них не следует ничего заслуживающего внимания.
Наконец, в отношениях подчинения находятся общее и частное суждение одинакового «качества»: и - У, А - I, Е - О. Здесь все тривиально: из истинности общего следует истинность частного, а из ложности частного -ложность соответствующего общего высказывания.
Содержательная интерпретация тернарной ЛП является самостоятельной и очень интересной проблемой. Данную систему можно рассматривать, например, как один из возможных вариантов формализации воображаемой логики Н. А. Васильева [5]. Возможны, впрочем, и другие варианты ее содержательного истолкования. Однако объем статьи, к сожалению, не позволяет нам подробнее остановиться на этом вопросе.
Список литературы
1. Горюнов, А. В. Как возможно небинарное мышление? / А. В. Горюнов // Философское сообщество в России: проблемы исследования / под ред. Н. Г. Баранец. -Ульяновск, 2007. - С. 140-164.
2. Гейтинг, А. Интуиционизм / А. Гейтинг. - М., 1965. - С. 28.
3. Гетманова, А. Д. Логика. Углубленный курс : учебное пособие / А. Д. Гетманова. - М. : КНОРУС, 2007. - С. 145-150.
4. Клини, С. К. Математическая логика / С. К. Клини ; под ред. Г. Е. Минца ; пер. с англ. Ю. А. Гастева. - М., 1973. - С. 167-170.
5. Васильев, Н. А. Воображаемая логика. Избранные труды / Н. А. Васильев. -М. : Наука, 1989. - С. 94-123, 126-131.
