О наивыгоднейшем среднем давлении в воздухопроводной сети и наивыгоднейшем давлении у компрессора для уже существующих установок Текст научной статьи по специальности «Физика»

Доцент А. С. Бетехтин.

О наивыгоднейшем среднем давлении в воздухопроводной сети и наивыгоднейшем давлении у компрессора для уже существующих установок.

§ 1. Неосвещенность этого вопроса.

Наивыгоднейшим средним давлением воздухопроводной сети будем считать такое давление, при котором суммарные потери энергии от утечек и от всех видов потери давления будут наименьшими.

Вопрос о наивыгоднейшем среднем давлении в сети, равно как и вопрос о наивыгоднейшем давлении у компрессора, являются вопросами большой теоретической и практической важности. Между тем, оба эти вопроса почти не освещены в специальной литературе. Причина этого, столь странного на первый взгляд, упущения кроется в большой сложности аналитического решения вопроса, обусловленной сложностью взаимозависимостей различных величин, предопределяющих величину различных категорий потерь в сетях сжатого воздуха.

В настоящей работе мы попытаемся дать общее решение вопроса о ^ наивыгоднейшем среднем давлении в сети и у компрессора. Сложность ко- * нечных выражений для минимума потерь для некоторых более общих случаев и возможная приближенность решений до известной степени могут быть оправданы сложностью самого вопроса и отсутствием сколько-нибудь исчерпывающих решений его в нашей и заграничной литературе.

§ 2. Возможные случаи при определении наивыгоднейшего среднего

давления в сети Рт и наивыгоднейшего давления у компрессора.

При решении поставленной задачи могут встретиться два основных случая:

1. Диаметры воздухопроводов известны — случай уже существующей установки.

2. Диаметры воздухопроводов неизвестны, т. е. установка находится в стадии проектирования.

Для обоих основных случаев возможны следующие варианты:

a) Давление у приемников известно, одинаково и остается неизменным (например, в случае наличия в сети дросселирующих приспособлений).

b) Давление у различных групп приемников неодинаково, но среднее давление у каждой из групп известно и может считаться неизменным, например, в случае существующей установки, работающей без дросселирующих приспособлений.

c) Давление у приемников неизвестно и является величиной переменной.

Кроме того при всех вариантах возможно одно из двух допущений:

1. Потеря энергии от охлаждения воздуха мало зависит от изменений Рт, так что ее можно считать постоянной.

2. Изменениями величины потерь энергии от охлаждения в зависимости от изменения Рт пренебречь нельзя.

Допущение, что потери энергии от охлаждения воздуха остаются постоянными, при изменениях Рту может иметь место либо для установок, где расход воды на охлаждение воздуха в компрессоре автоматически регулируется при изменениях давления, либо для установок с подогревателями сжатого воздуха на различных участках шахты. На практике обычно приходится иметь дело с изменяющейся величиной потерь энергии от охлаждения воздуха.

§ 3. Основные формулы для определения различных категорий потерь энергии сжатого воздуха*)

При определении различных категорий потерь энергии воздуха мы будем пользоваться следующими формулами:

Для потерь энергии от утечек Lv = 2 Ар2т-{-А (5 — Рср)рт кг-м в час (1), где А = 1,4.1900. Кс Лср. L. 10~4 = 0,266 Кс Дср L (причем Дср в мм., a L в м.)

Для потери энергии вследствие потери давления от трения:

10000 ТтЛрг т/ /0\

Lk =--— 1/цас кг-м. в час......(2)

7*0 Рп

Для потерь энергии от охлаждения воздуха:

Lt ~ 600 pk Кчас кг-м в час—при неизменной температуре всасываемого воздуха...................(3)

Суммарные потери энергии в случае неизменной температуры всасываемого воздуха:

Е = 2 Арт*+[А (5 — РСр) + 1200 V4ac] Р+

+ 10000^АР2^_6С0Рср Учас.........(4)

Tq Р т

Случай изменяющейся температуры засасываемого воздуха не рассматриваем, чтобы не усложнять и без того сложные уравнения.

§ 4. Наивыгоднейшее среднее давление в сети и у компрессора для

уже существующей установки.

1. Первая группа случаев: потери энергии от охлаждения воздуха принимаем постоянными, т. е. Lt — const.

а) Простейший случай—неразветвленная сеть с одинаковым и неизменным давлением у всех приемников, равным 5 ata.

Пусть длина сети £м, диаметр воздухопровода Л мм, число приемников я, коэффициент одновременности их работы К. Если все приемники однотипны, например, отбойные молотки, то при среднем потреблении отбойным молотком 1 куб. м. свободного воздуха в минуту, полезный часовой расход воздуха V4ac = 60-куб. м. в час.

Потери энергии от утечек для этого случая:

1г = 2'Ар2т+А (5 — Рп) Рт — 2 Ар2т, так как рп = 5 ата.

Потери энергии от трения воздуха в трубах:

F 10000 Тт Apr.60 nk Т ЬЛрг

—-—-кг-м. в час, или =——, где Ь =

ар т р &pr р

' 0 тп * m

600000 nk.Tm

=-т............. • в(>

*) См. статью „О потерях энергии в сетях сжатого воздуха". Бетехтин А. С. „Горный Журнал- 1936 г.№ 1.

Так как потери от охлаждения воздуха считаем не зависящими от Рт то, очевидно, и Тт = const.

Суммарные потери энергии для этого случая:

Е = 2 АРт2 + ~ АРг

rs к А А 0,00129 Р Рр Кчас2 L

Освободимся от Ар,; Дрг=-_ г _ „----

Я Тт Дъ Рт

_ 0,00129 Р . 100002 (60 я&)2 £ ~ /? 7,я рт

При неизменных nuk, р = const; при постоянных L, Тт и Д А/?г =

„ 0,00129 р. 100002 (60 л£)2 I ... 6Дрг ¿С В

где С = ------——---... (6) и —---= ——,

R Тт ДЬ Рт Рт2 Рт'

С_ Рт

о . ^ 0,00129 р. (60 /г/г)МООООз I где B=b.C— -------------г ---..........(7)

Тогда Е= 2 Л/V

Я Г0 Д*

В

Р 2

'т

Берем первую производную от Е по Рт-

dE . . 25

-= - 4 Арт--

dPm У Р*т

Берем вторую производную от Е по Рт-

d2E . . , 6 В = 4 А

dP*m Р*

т

Так как коэффициенты А и В каждый в отдельности больше нуля, а

6 В

Рт всегда больше нуля, то 4 А-\--> 0, т. е. функция Е имеет тпитит.

Рт4

йЕ

Приравнивая нулю-, получим 4 ЛРт4 = 2 В, откуда

(IРт

= .............(8)

2 Л

Таково будет наивыгоднейшее среднее давление в сети для этого простейшего случая.

Наивыгоднейшее давление у компрессора для этого случая

Рк = 2 рт—рп = 2л/ _А~<5ата...........(9)

У 2 А

Численный пример. Дано:/, = 1000м.; пк — 12; Д = 76мм.; 3 = 1.06, Кс = 0,5 *)

*) По кривым Флейшера для скорости 7,2 м-сек и Рт ^ б ата.

Коэффициенты А = 0,266,КСД I = 0,266.0,5.76.1000 = 10108^ 1,01.10* ,06.(60.12)3.1< 29,27.288.765

^ = 00129.1,06.(60.12)з ЛООООз. 1 ООО = ^^ = ^

. Рт = л/ 2,38.10^— _ -IУ" Ц78 ~ 5,86 ата.

У 2.1,01.10« V

Тогда

Р* = 2 рт — 5 = 11,72 — 5 = 6,72 ата. Обратимся к выражению для Рт в общем виде для этого случая.

Рд = 1У'о>00129 р.Яо» (60 1^Т '/ Я,р,У» в >(Ш)>

V Го.2.0,266./С Л6 I г 0 00129 603 Р03

где а = ———'--— . . . (11) можно считать величиной постоянной.

ЯГо.2.0,266 7

Выражение (10) показывает, что для рассматриваемого простейшего случая (а) наивыгоднейшее среднее давление в сети Рт не зависит от длины участка, прямо пропорционально расходу воздуха в степени — , обратно пропорционально диаметру участка в степени 4

4 _

1,5 и зависит от У ¡3 /Кс. Это выражение показывает также, что ошибка в величине коэффициентов ¡3 и Кс не оказывает существенного влияния

4

на конечный результат, поскольку Рт пропорционально V

При сравнительно малых значениях В, т.е. при малых расходах воздуха и значительной величине диаметра Л, величина Рт может получиться менее величины давления у приемников. Это будет случай фиктивного минимума потерь и фиктивного найвыгоднейшего давления, так как в силу своей сущности Рт не может быть меньше Рп\ результат Р/«<РЛ указывает на то, что для данного давления у приемников при данном диаметре воздухопровода и данном расходе воздуха невозможно получить минимум потерь энергии. Выражение (10) указывает пути для превращения фиктивного среднего давления Рт в реальное: если нельзя изменить давление или расход воздуха, то всегда можно изменить диаметр воздухопровода; уменьшение диаметра воздухопровода в „аа раз увеличивает величину Рт в „а" 1>5 раз, и всегда можно изменить диаметр Д так,

/Д \1.5

чтобы 1—1 Рт.фик>РЛ.

Итак, к имевшемуся услрвию минимума потерь энергии для этого слу-

у~/Г

чая Рт—I/ прибавляется второе условие, именно Рт^>Рп. V 2А

Однако и дополнительное условие еще не исчерпывает полностью вопроса.

Так как для двух неизвестных Рт и АРп кроме двух основных уравнений: 2 АР2т + Л (5 — Рп) Рт + - £иАрг= — имеем еще третье

Рт Рт

2 Р -4- Д р

Рт — —-Г или Ььрг = 2Рт — 2 РП9 то не исключена возмож-

)

С

ноеть, что АРт найденное из выражения АРг = — > п р и наи-

Рт

выгоднейшем Рт не будет соответствовать значению АРГу

найденному из уравнения АРг = 2 Рт — 2 Рп. Действительно, нали-

£

чие третьего уравнения &Рг — 2Рт — 2 Рп и уравнения А Рг = — по суще-

Рщ

ству дает для заданных элементов сети и постоянного расхода воздуха вполне определенные значения для Рт и А Рг. Решение системы этих уравнений дает: _

Рж = у |/Р*п + 2 С^............(12) и

АРг=-Ря + |/"Г*п + 2 С............(13)

Как же поступать в тех случаях, когда величина Рт, найденная из условия минимума потерь энергии расходится с величиной Рт, найденной из уравнения (12) и являющейся истинным реальным средним давлением в сети для данных условий, чтобы добиться возможно большего совпадения наивыгоднейшего Рт с Рт реальным?

Так как расход воздуха и длина участка вряд ли могут быть подвергнуты изменению, то наиболее доступной величиной, с которой можно оперировать, является диаметр участка. Значит, решая совместно уравнения (10) и (12), можно найти такой диаметр, при котором наивыгоднейшее среднее давление не будет отличаться от реального.

Если возможно варьировать величину расхода воздуха, например, в сторону его увеличения, можно поступать таким же образом решая уравнения (10) и (12) относительно V,

В нашем численном примере как раз налицо случай расхождения между наивыгоднейшем Рт и фактическим средним давлением. Фактическое среднее давление из уравнения (12):

Рт = 0,5 (5 + 1/25 + 2. 3,2"!) = 0,5 (5 + Кз1,42) = 5,3 ата, а наивыгоднейшее Рт — 5.86 ата.

Численное значение С для нашего примера со 3,21. Для любого нового

^ 3,21.765 диаметра Сг =

Решая уравнения: л/1/3 = 0,5 (Рп + 1 / Р 2 . 2-3*21 '765 ^

У КсД* V У ^ № /

получим: ( У/4^5-0 5 Ря-0,5 или>

называя

Д'

/а.р.1Л\1/4

!-—-1 через К и возведя обе части во вторую степень, получим:

Я» РпК пок , 0,25.6,42 ■ 765 — — + °>25 Р2п = °>25 Р%п Н—----

ДЗ Д ,5 ДЬ

Откуда — о К. Д3-5 = 0,25,6,42.765 при Ря = о ата.

0 „ /0,00129.603.123.100003.1,С6\1/4 0 оос 1А, В нашем случае К—\ —---— м = 3,885.103;

\ 29,27.288.2.0,266.0,5 )

ата.

/^^1,51 Л О7 и 0,25. 6,42. 765 .•= 4,07 ЛО9, так что, после сокращения на 103 получим:

15100Л2 —19,425 Л3'5 = 4,07.106, откудаЛ^82,2 мм. Значит, ближайший стандартный диаметр Ц — 82,5 мм вместо принятого 76 мм дает достаточно удовлетворительное совпадение наивыгоднейшего и фактического значения

Рт. Действительно, для этого случая Рт = 5,86 1/ /. 76 V —5,19

У \ 82,5/

.Я* = 10,38 —5 = 5,38 ата, АРг=г —== 0,41 ата и А Рфак = 2 Рт — 2 Рп =

Рщ

— 0,38 ата.

Расхождение в величине А рг невелико и практически почти неощутимо. Таким образом, наивыгоднейшее давление у компрессора в данном случае будет лежать в пределах 5,38-^-5,41 ата. Практически пришлось бы держать давление Р* = 5,4 ата.

Из всего вышесказанного можно сделать следующие выводы:

1. При заданном расходе воздуха и диаметре воздухопровода можно говорить лишь об условном минимуме потерь энергии и условном наивыгоднейшем среднем давлении в сети.

2. Если возможно изменять некоторые данные, например, расход воздуха или диаметр воздухопровода, то условное наивыгоднейшее давление может стать наивыгоднейшим реальным.

3. Для получения достаточного совпадения в величине условного и фактического наивыгоднейшего давления необходимо и достаточно:

а) В случае, если можно изменять .диаметр воздухопровода, то новый диаметр, при котором условное наивыгоднейшее давление сделается равным наивыгоднейшему реальному, определится из условия:

№ Лх2 — К Рп — 0,5 . С. Д5 . . ........(14),

0,00129.(60 л*)8 Л 0000». р]1/« с _ 0,00129. р. 100002 (60 пку I

где К —

R То. 0,266.2. Л6

R Тт Л5

и Л—первоначально заданный диаметр. Затем по новому диаметру находим Сг = ——, по найденному Сх находим Рт = 0,5 (Рп -f-1^Рп2 + 2 Сх),

Лх5

Q

из выражения А Рг= — находим наивыгоднейшее А Рг и, наконец, из

Рт

выражения PA = P„-f А Рг—наивыгоднейшее давление у компрессора, б) Если можно изменять расход воздуха V, то из выражения

Мг I//'4 — 0,5 С2 ViU = Mpn.........(15)

определяется Vt = 60 nxkl9 из выражения Рт = 0,5 (Р„ +

находится Рт, а по Рт АРГ и Pk, как в предыдущем случае.

л. / 0,00129 p .10000 у/4 К Здесь М — \----- —-, V—первоначальный

\R Т0.0,266 Л Жс Л6/ (V3 Л6)1/*

С

часовой расход воздуха, С имеет прежнее значение, а Ci =—.

V2

Для рассматриваемого нами численного примера наивыгоднейший расход воздуха V при прежнем диаметре 76 мм составил бы 580 куб. м. в час, или со 10 приемников по 1 куб. м. в мин.

Для этого условия Рт — 5,265 ата, А Рг = 0,53 ата и Рк = 5,3 ата ^ 5,5 ата.

Понятно, что с точки зрения экономичности работы предпочтителен первый вариант (замена трубопровода Д — 76 мм на Д=82,5 мм), так как при втором варианте, при меньшем количестве приемников, приходится поддерживать большее рабочее давление и иметь большие суммарные потери, нежели при первом варианте.

в) Неразветвленная сеть с одинаковым и неизменным давлением у всех приемников, не равным 5 ата.

Пусть попрежнему даны Д, п и К и пусть давление у приемников Рп 3 5 ата.

В этом случае полезный часовой расход воздуха

1/час = 60 пк [1 + 0,2 (Рп — 5) ] = 12 пкРп куб. м. в час.

Уравнение для суммарных потерь энергии примет вид:

2 = 2 АрпР + А (IЪ—рп) рт-1---где Вх будет отличаться от В лишь

Рт2

тем, что вместо №0 пк)г р в выражении для войдет ^ (12 я£Рл)3>

Первое условие для минимума потерь энергии:

4 АРт + А (5 — Рп) — ^ = 0 или

Рт*

4 АРт* + А (5 — Рп)

Рт

3 — 2 ¿?! = 0, или

4 АРт* + А {Ъ-Рп)Ргг?-2в{~^^- = 0.......(16)

Решая это уравнение, получим условное значение для наивыгоднейшего Рт.

Дополнительные условия для реального минимума потерь попрежнему остаются в силе.

Как видно из уравнения (16)—на величину Рт в данном случае, кроме А и В9 будет влиять еще и величина среднего давления у приемников.

Численный пример. Пусть как и в предыдущем примере, 1 = = 1000 м, пк = 12; Д = 76 мм и Р„ = 5,5 ата. Изменяется Кс и 8; 8^1,02, 0,45.

Значения коэффициентов: А = 0,266.0,45.76.1000 = 9,1.103,

£ = 2,38,10?; £1 = ^=0,962, р 1,06

Уравнение для условного минимума потерь примет вид:

4.9100 Рт* -}- 9100. Рт* (5 _ 5)5) _ 2.2,38.107.1,33.0,962 = 0, или

36400 —4550 Рш3 —6,06.10' = 0, или

Рт* — 0,125 Рт3 —1665 = 0, откуда

Рт = 6,42 ата и Я* = 2 Рт — Рп = 12,84 — 5.5 = 7,34 ата.

Юб. сб. ТИП. 25.

Отсюда вывод, что давление у компрессора должно расти быстрее* чем давление у приемников (было 6,7 ата, стало не 7,2, а 7,34 ата).

Если бы мы пренебрегли членом Рт3, Рда = 6,4 ата, т. е. ошибка была меньше */з °/о и лежала бы за пределами точности манометра.

Как и в предыдущем примере, здесь тоже будет расхождение по величине между условным наивыгоднейшим Рт и фактическим средним давлением в воздухопроводе. Фактическое среднее давление Рт =0,5 (5,5 +

|/ 5,52 + 2.3,21 .^у =0,5 (5,5+ 6,165) = 5,83 ата вместо 6,42 ата. Замена диаметра 76 мм диаметром в 82,5 мм уменьшит Рт до Рт = 6,42.

у (-^Л6 ата (без учета незначительного изменения Кс) или до 5,68 ата. У \82,5/ __

Одновременно /V будет 0,5 + ^ 5,5* +6,42.1,21 =

= 5,765. Как видно, фактическое среднее давление уменьшилось с изменением диаметра всего на 0,065 ат, или на 1,1%? тогда как условное наивыгоднейшее давление Рт уменьшилось на 0,84 ата, или со на 13°/0. Очевидно, что, оставив часть воздухопровода при прежнем диаметре, мы можем повысить величину Рт с 5,68 до 5,765 -г- 5,8, т. е. добиться полного совпадения фактического и условного наивыгоднейшего давления и для этого случая. Часть длины воздухопровода, подлежащая замене трубопроводом диамет-

1000

5,8 = 6,42

ром в 82,5 мм, найдется из уравнения 5,8 = 6,42 у ^2,5/ ' Х + (Ш0-Х)( 76

43275

откуда ^ = 740 м.

Так как среднее давление у приемников на практике редко превышает

6 ата, то членом с Рт, а также можно пренебречь, и условие для

реального минимума потерь энергии для этого случая можно представить в виче*

или в виде М Ух ^— 0,5С2 = Мрп........(18)

смотря потому, какой из факторов можно подвергать изменению—диаметр воздухопровода или количество воздуха.

§ 5. Определение наивыгоднейшего среднего давления разветвленной сети при постоянстве потерь от охлаждения воздуха.

В виду того, что в этом случае хотя и достижима неизменность давления у различных групп приемников, но весьма трудно достижима одинаковость давлений у всех приемников в сети, рассмотрим сначала более общий случай, а именно: при одинаковости давлений у приемников одной и той же группы давления у разных групп приемников различны и кроме того зависят от полезного расхода воздуха на данном участке сети. Неизменность давления на участках и, наконец, одинаковость давления у всех групп приемников можно будет рассмотреть в дальнейшем, как упрощенные варианты этого более сложного случая.

В рассматриваемом нами общем случае разветвленной сети коэффициенты А и В будут иметь несколько иное математическое выражение, а именно: А = 0,266 Кс.ЛсР ¿.10~4

Здесь Ар — средний диаметр воздухопроводной сети, определяемый из

выражения Дср = ^ ^ 1п, ¿ = т. е. суммарной длине

сети, и — коэффициент несовершенства сети определяется по средней скорости воздуха, находимой аналогично среднему диаметру сети.

Коэффициент В~Ь.С будет иметь в данном случае более сложный вид:

Действительно Ъ —

10000>60 nk Tm_l000QA2.nk Рср.Тт То ~ То

„ 0,00129 р. 100002 (12 nk Рср)2 U

и С — ~-----—-

R Тт ДЬ

В выражениях для b и С сложной величиной будет Яср, так как при неравенстве давлений у различных групп приемников Рср будет функцией потери давления от компрессорной до приемников каждого участка. Кроме того, В будет иметь различные значения для различных участков, вследствие чего выраженные для С еще более усложняется, так что С можно будет принять за постоянный коэффициент лишь при наличии особых условий. Найдем эти условия.

Неодинаковость падения давления до различных рабочих участков заставляет ввести какое-то среднее падение давления от трения А РпСр. Так как в общем случае количество воздуха V час, диаметр воздухопровода и длина его различны для разных участков, то определение А РпСр представляет значительные трудности. В первом приближении

А РГу шах • " * Г) max max

А РГ)Ср = ___¿max _

Пу

А РГуmax ('max

— 1 " ...........(1У>

¿max •

где А Рп тах — падение давления на наиболее удаленном участке длиною (считая от компрессорной) /тах, А» 4« h — расстояние от компрессорной других участков, а пу — число всех участков или число групп приемников. Однако выражение (19) справедливо лишь в том случае, когда падение давления на единицу длины одинаково как для магистрали, так и для ответвлений, что обычно не имеет места.

Другой способ определения А РГ)Ср заключается в том, что длины всех ответвлений и второстепенных магистралей заменяются некоторыми „приведенными к сечению магистрали* длинами, т. е. такими фиктивными длинами участков е диаметрами, всюду равными диаметру главной магистрали, на которых, при количестве протекающего по ним воздуха, равном полному часовому или минутному расходу воздуха Vu, теряется такое же давление, что и на реальных участках. Поясним это примером. Пусть имеется сравнительно несложная сеть, представленная на фиг. 1-й. Длины и диаметры воздухопроводов на отдельных участках, а также расход воздуха на них представлены в таблице 1-й.

Таблица 1.

№№ по Наиме- Длина Средний расход воздуха Диаметр Скорость

нование участка Р воздухоп. воздуха Примечание

В куб. м В кг.

порядку участка в м. в мм. в м/сек.

в мин. в час

Без № кл 500 50 3400 0,87 106,5 13,4 со С L! о о г! «ч

1 АВ 1500 23 1560 0,98 94,5 7,81

2 БЬ1 600 10 678 1,09 70 6,2 cl «t !G SS >» irr m С* fO S* II

3 ВЬ2 400 13 881 1,05 76 6,8 11 5 CQ g О. о О

4 АР 1000 27 1830 0,96 94,5 9,27

5 Р/ 800 15 1015 1,03 82,5 6,68 H ÖH « 5.2 ° К 5 2! 2U

6 ЕР 500 12 814 1,07 76 6,30

7 Еег 400 4 271 1,25 50 4,85 £ m «=t S V <>

8 Ее 2 300 8 542 1,14 70 5,14 »о о ü «»o и а S H

Предположим теперь, что длину участка Ее2 мы пожелали бы заменить длиной, приведенной к сечению магистрали. Назовем эту длину /э8. Она определится из следующих рассуждений:

Реальное падение давления на участке Ее2 А Рг& = —

или, если обозначить величину

0,00129 /у R Т

R ТФ8Р>

m

, постоянную для всех участков

через С0,

Ар ß8 v,2k

Г) 8

с&Р

(20)

m

То же самое падение давления А Рп8, полученное при условии, что через участок /8 протекает все количество воздуха, идущего через магистраль, т. е. Уи и что диаметр ответвления /8 равен диаметру магистрали Д, выразится так:

д ргл = £*$^р*±............(21),

№ Р

m

где ¡Зи—коэффициент трения, соответствующий часовому расходу воздуха Уи.

Приравнивая правые части уравнений (20) и (21) и решая полученное выражение относительно /Э)8, имеем:

I

э>8

м,

(22)

\а6/ \уи) Р«

В частности для данных таблицы № 1

\ 70 I \50/ 0,87

Подобным же образом приведенные длины найдутся и для других участков.

Замена реальных длин длинами, приведенными к сечению магистрали, позволит любой из участков КАЕЕеи КАЕЕеъ КАЕ/, КАВЬ1 и КАВЬг рассматривать в одинаковых условиях работы, так как количество протекающего по ним воздуха и сечение воздуходроводов одни и теже. Мы таким образом получаем ряд как бы независимых друг от друга участков, отличающихся только длиной. Поэтому падения давления на этих участках будут относиться, как соответствующие приведенные длины. Называя падение давления для участка с наибольшей приведенной длиной через А Ртах и обозначая участки сокращенно через Ке1 (участок КАЕЕе

Kb2 (участок КАВЬ2) и т. д., получим выражение для среднего падения давления от трения:

APj-max APrmax -—- "f" ^ Ргтах ~~ • • •

ДРг,ср =_^__ ИЛИ

Л,

А Г) _ АР„ max (¿шах ¿Л<?2 ""Ь •. . Ikbz) /OQ\

¿A *rjcp--" ^ZOj

'max • Яу

где /шах — приведенная длина, соответствующая длине участка с наибольшим падением давления (т. е. максимальная из приведенных длин), а пу — число участков.

Не отличаясь по внешнему виду от формулы (19) формула (23) значительно точнее ее, так как она действительна при любом законе потери давления на единицу длины в любом из участков воздухопровода.

Среднее давление у приемников, необходимое и для определения количества потерь, определится на основании следующих соображений: пусть Р—давление у наиболее отдаленной группы приемников в ата, а Д А — падение давления от охлаждения воздуха, при расстоянии от компрессорной в 1,5 км и более фактически одинаково для всех групп приемников. Тогда давление у компрессора может быть выражено, с одной стороны, КакР* = Р + ДР/+ДР-,тах*), а с другой стороны KaKPfe = Pcp + ДР/ + Л^ср. Приравнивая правые части и решая полученное уравнение относительно

Рср, найдем: Рср = Р+ДРг,тах-Д Рср =Р+ДРЛср /тах'^

¿тах

— АРг,ср=Р+ДР/гр ^ ^ где ^ /3>./„—приведенные длины уча-

стков КЬ19 КЬг и т. д., или, обозначая — через а, получим:

Рср = Р + аДРг,ср.....(24) и ДР,,тах = (а+1) АРгср.

Коэффициент а можно рассматривать, как степень неравномерности потери давления до приемников.

Часовой расход воздуха приемниками выразится:

V час = 12 пкрср или 12 пк (Р+А/)ср)........(25),

если расход воздуха отдельным приемником при 5 ата щ = 1 куб. м. в мин. и V час = 12 яА.'Уср (Р+«АР2,ср), если vzv — средний минутный расход воздуха на один приемник при разнотипных приемниках. Потеря энергии от потери давления выразится:

ь _ 10000.12 пк (Р + «АР„ср) Тт. АР/.,Ср Ар2 Т0 Рт

лр _ 0,00129.100002 (Зц \\2nk (Р-|-д А Р„ср]2 2 4 Н° ЛСР" 1Г1т.Д*Ряп, .....(26)

*) Хотя потери энергии от охлаждения воздуха и будут постоянны, падение давления от охлаждения Р* учесть все же необходимо, т. к. оно входит, как слагаемое, в выражение Рк.

1Ьрт —

так что в конечном счете

_ 0,00129 р,. ЮООО3.(12 пй)3 (Р + а АРг,сР)3 ТтЛ1э Тй.Н.Тя.ДъРт*Пу

Отсюда коэффициент

в_ 0,00129 100003.123. (пку £ /э _ 7,62,10" £ /,

' " _ ' Т0 Р Д> пу ~~ Т0 Дъ пу

Д Р,т = 6,85 ■ 10» Р. (пк)* <Р+ ° а^ £ . . . .

1 т * Д • Пу

(28)

(29)

(30)

С одной стороны, Р„,=

и а Рг>тах — (а + 1)лл>сР...............

Заменим а АЯг,среД1 через Рт.

Рк + Яср _ Ри + Р + « А 2 ~~ 2

С другой стороны, РА = Р+ДР,*) + ДРг,тах. Заменив Рк в предыдущем выражении, получим:

Р+ДР,+ ДР

п шах +р+«д Рпс р Рпср (1+2«)

2 ~ 2

откуда

%Рт—2/7—АР/

А Рл, сред. —

Тогда

(1 + 2«)

(31)

(32)

Р4-«ДР ^Р+Ъар + уРт — 2р — А/><)«_ Ъ*Рт . Р—«АР,

+ й Г'СР 1+2« 1+2« 1+2« Наконец, называя Р — аДР, через получим:

Рср = Р + «ДР„сред.= 2аРт ' Г

Суммарные потери энергии будут:

£ = 2Л/>,„2 + ЛГг [2аРт ' р

1 + 2« 1+2« 2аРт

Рт + В

Д+2« 1 + 2«/. Условие для минимума потерь энергии:

\ ААаРт , Б

[1+2« 1+2«] Р„:

з 1

(33)

(34)

4ЛРт-Л 5 +

2« + 1/ 2« + 1 (2« + 1)3

1

— 2 Рт (2 а Р,„ + Т7)3 или после преобразований

Рт4

3 (2«Рт + /7)2 2«Рт2-= 0,

2Л (2а + 1)2 (« + 1)Рт< +

-^±1^5__——^ +4а3

[ 2 \ 2« + 1/

Р з

"т

— ЗвЯ/^Р« — £/^ = 0.

Разделив все члены этого уравнения на 5 получим:

Л (2«+1)

2Л 5

(2а + I)2 (а + 1) Р4т +

4 а3 +

2Я

(5 (2а + 1) — Р)

Рт3

3 Й /*2 Рт -— 3 = 0

(35)

В большинстве случаев членом 4 а3 вполне можно пренебречь. Действительно, в сетях с надлежаще подобранными диаметрами а <0,1, Рт вряд ли больше 7 ата и F порядка 5. Пронебрежение членом 4 а3 даст ошибку меньше 1%, т. е. меньшую, нежели точность отсчета по манометру. В частных случаях, при малых значениях а и АР* можно пренебречь всем членом с Рот3, и тогда уравнение для условного минимума потерь значительно упрощается.

В дальнейшем для определения наивыгоднейшего среднего давления в сети мы будем пользоваться выражением

— За F2Pm — F3 = 0.............(36)

за исключением тех случаев, когда а >0,1.

Как видно из выражения (36) зависимость Рт от различных факторов, характеризующих разветвленную сеть, оказывается довольно сложной. Только для сетей, для которых а <0,1 и В <30 А, наивыгоднейшее значение условного Рт может быть с достаточной степенью точности определено из уравнения

9 А

— (2 ос —|— 1 (ot —[— 1) РтА — 3<xF2 рт — F3 = 0......(37)

В

Численный пример. Найдем наивыгоднейшую величину Рт для частного случая—именно для сети, представленной на фиг. 1-й. Характерные величины для этой сети даны в таблице 1-й. Давление у наиболее отдаленного приемника примем Р = 5,0 ата. Приемники—отбойные молотки; полезный расход свободного воздуха на молоток 1 куб. м. в мин. при 5 ата, с учетом износа молотка.

Падение давления от охлаждения АPt примем 1,2 ата. *)

Порядок расчета:

1. Находим общую длину сети £/=6000 м.

2. Находим средний диаметр воздухопроводной сети.

п __ 106,5.500 + 94,5 (1500 + 1000) + 82,5.800 + 76 (400 + 500) +

Uz р — -----

6000

+ 70 (600 + З00) + Б0^0 = 5069(Ю = ^ ^ 85 ^ 6000 6000

3. Находим среднюю скорость воздуха в сети:

„ _ 13,4.500 + 7,8.1500 + 6,2.600 + 6,8.400 + 9,27.1000 + 6,68.800 -f

^ср — ---

6000

+ 6.3.500+4,85.400+5,14.300 46001

- ——— --------= --= 7,58 ^ 7,6 м в сек.

6000 6000

4. По кривым фиг. 2 находим коэффициент Kf для наиболее невыгодного случая — именно для Рт — 7 ат, абс. #f=0,60. Тип прокладки принимаем обычный, т.е. Кп = 1; сварка труб отсутствует, т.е. hs= 1.

*) Ойо зависит от температуры в воздухосборнике и от средней температуры у приемников. Для существующей шахты то и другое известно, а значит, известно и ДР^

5. Находим коэффициент несовершенства сети:

Кс = Кf. .Кп.Кс — 0,6.1.1 — 0,6.

6. Находим коэффициент А:

А= 0,266 Кс Dcp £/ = 0,266.0,60.85.6000 = 8,14.10«.

7. Определяем длины отдельных участков, приведенные к сечению магистрали:

= ,500 (МВД W=666 ,

V d, ! 1 v.l /%, \ 94,5 ) \50/ 0,87

,„ = боо/^ру. ьо9 = 240 я

V 70 / \ 50/ 0,87 1,05 0,87

= 180 м

\ 94,5 / \ 50/ 0,87

50/ 0,87

= 314 м

\ 76 / \ 50/ 0,87

/э7 = 400(-^—^У(-Y- — = 158 м \ 50 / \ 50/ 0,87

4s = 300(i^yf-iy.Ui= 84 м. V 70 / \50/ 0,87

8. Находим приведенные длины от компрессорной до каждой группы приемников:

А = /Ц = 500 + 666 + 240 = 1406 м /2 = 4*2 = 500 + 666 + 180= 1346 м 4 = 4/ =500 + 600 + 314 = 1414 ж /4 = lkex = 500 + 600 +196 +158 = 1454 ж 4 = 4,2 = 500 + 600 +196 + 84 =1380 м.

9. Выбираем участок с максимальной приведенной длиной 1тах. Таковым, очевидно, будет участок 4«, с длиною 1454 м.

10. Определяем среднее падение давления до приемников в функции

ОТ AfW

AD AD / 1454 + 1406 + 1346 + 1414 + 1380 \

,СР ~ тах1-145475-Г

= ~ = 0,963ДРтм

11. Определяем коэффициент а:

« = 1тл%п» — 1 = ZgZQ__ 1 = 0,0386

24 7000

12. Определяем коэффициент В:

о 7,62.10 юрв(пЛ)8Е/,

5 = —---—-——, или

7*0 пу Б5

^ 7,62.10.0.0,87.503.7000^ Г0 = 288°*

288.5.106,55

13. Определяем значение Т7 для данного случая при заданных значениях Р и ДР,:

/* = />—аДР/ = 5 — 0,0386.1,2 = 5 — 0,0463=: 4,9537

14. Находим условие для минимума потерь для данного частного случая:

1А А

(2а + 1)з (а + 1)РЯ4 + Л- (2а + 1)2 (5 (2а + 1) —Р) Рт3 — —/=», ИЛ№

Б ' 7 4 ' ' " ' 2 В 2.8,14.10М,0772.1,0386 ^ 8,14.10«. 1,077« (5.1>077_ 4,954) р„.

2,94.10е 2.2,94.106

— 3.0,0386.4,9542= 4,954з, или после умножения обеих частей уравнения на 100:

6,675Р„И + 0,673 Ртз — 293,0 Рт ^ 12150

15. Решая последнее уравнение относительно Рт, получим:

Рт = 6,75 ата.

16. Находим ДРл,сР:

ДРг.ср =

2рт-(2р + АЛ)==13,5-10-1,2^2дз5 ^

2а+1 1,0772

17. Находим ДРг,тах = (а+1)ДРг,ср = 1,0386.2,135 = 2,22 ата.

18. Находим наивыгоднейшее давление у компрессора:

Рк Р+ ДР,+ДР„тах = 5 + 1,2 + 2,22 = 8,42 ата.

Среднее падение давления ДРг,ср, найденного из уравнения (29), будет

1,887 ата и реальное РОТ = 0,25[2Р + (2/7 + Д/>,)2 + 8с|-^|2 =

= 6,6 ата, т.к. Рср = 5 + 0,0386.1,887 = 5,081 и С для ДРг,ср 12,27 и для ДРг,тах с = 12,74.

Таким образом и в этом случае имеется расхождение между условным и реальным значением Рт. Правда, мы нигде не учитывали падение давления в арматуре и фасонных частях, равное в среднем от 10 до 20% от реального падения. Но даже и при учете этих добавочных потерь совпадение реального и наивыгоднейшего значения Рт для уже существующей сети можно рассматривать, как счастливое исключение; обычно же всегда между значением наивыгоднейшего среднего давления в сети и реальным его значением имеется более или менее существенное расхождение. Устранение этого расхождения возможно, хотя и представляет известные трудности. Оно должно итти по пути изменения эквивалентных длин одного или нескольких участков, т. е-

по пути изменения диаметров этих участков. Это вызывает одновременное изменение А, В, а и F.

Тогда отыскивается условное наивыгоднейшее среднее давление для новых условий и сравнивается с реальным значением Рт для этого случая. Иногда изменения в величине а и F бывают настолько ничтожны, что ими можно пренебречь, и тогда решение вопроса значительно упрощается.

Для нашего численного примера замена диаметра на участке АВ с 94,5 мм до 100,5 мм дает следующие результаты:

Е4 = 6696, а = 0,086, F = 4,90 Уравнение для условного минимума потерь примет вид:

8,26 Рт* + 1825 Рп? — 620 Рт = 11780

Этому уравнению удовлетворяет значение Рт — 6,60 ата:

13,2—11,2 , _ ,ср = —ИТ2-= ат

12 74 (5 18)2

АР„гаах = 1,086.1,7 = 1,846 ата, реальное APr,max = ' =

25 6,6

= 2,03, реальное Pm{при Рср = 5+ 0,086.2,03 = 5,18)6,63 ата.

Давление у компрессора, найденное из условной величины Рт\

Pk — 5 + 1,2 + 1,85 = 8,05 ата, и реальное давление, Р/ 5 + 1,2 + 2,03 = = 8,23 ата.

Как видно, в данном случае мы имеем уже меньше расхождения между условной и реальной величиной Рт. Так, в первом случае расхождения в величине Рт составляло 6,75 — 6,13 = 0,62 ата или 10%, тогда как теперь оно 6,63 — 6,60 = 0,03 ата или около 0,5%. Так как потери в конечном счете выражены, как функция Рт, то при достаточном совпадении условного и реального Рт для получения минимума потерь достаточно поддерживать у компрессора давление, обусловленное действительной величиной потерь давления и наименьшим давлением у приемников, т.е. Р + АР/ + + А Ртах или Рср + АР/ + АРГ, ср, как среднее из давлений Pk и Р/. В нашем примере cv> 8,15 ата.

В случае, если давление у приемников различно, но не зависит от АРоср, то уравнение для условного минимума потерь энергии значительно упрощается, а именно:

2АРт* + АРт (5 — Рср) + В = Еу

Рт2

или

откуда или

9RP

4 АРт +Л(5-РСр)--=

Яср) Рп?

— 2£Рср,

¿V + -^г (5 - Рср) Put5 - ......(38)

4 А 4 А

п Pi пх + Р2 Щ + .. + Рп Пп Рср можно рассматривать в данном случае, как ——————-!-—,

где Ри Р2, Р3 — средние из измеренных давлений у групп приемников с числом п1у п2, я3.

Если давление у всех приемников одинаково, можно пользоватся предыдущим уравнением, взяв Рп вместо Рср. В простейшем случае, когда

Рп = 5, уравнение обращается в Pm — *\f В.Рп _.. Г2 5 В

У 2 А V ' А

§ 6. Разветвленная сеть с переменными потерями от охлаждения и неодинаковым давлением у приемников.

Суммарные потери энергии для этого случая, согласно уравнений и могут быть выражены *):

АР

Е = 2АРп? + [А (5 — Рср)+ 14400 nk Pcp]Pm + Д* Рср --7200nkPcp .(39)

Рщ

Рассмотрим сначала общий случай — Рср зависит от падения давления, от трения и от охлаждения воздуха; дросселирующих приспособлений не установлено.

Для большинства современных воздухопроводных сетей падение давления от охлаждения воздуха APt можно считать практически одинаковым для всех групп приемников ввиду значительной протяженности сетей. Величина APt=0,165 Pk согласно нашим допущениям *).

Для выражения Рср и АР^ср в функции от Рт, имеем следующие уравнения:

ОР*ср \ о 2РСр + АРЛСр + ДР/

Ср> ср — j 0 Рт

Рт Z

Заменив APt через 0,165Pk — 0,165 (2Рт — Рср) и решая уравнения (а) и (г) относительно Рср, получим:

' = ..........(40)

1,84а-}- 1 1,84«+1

Тогда

О

* т

1,67 аР,

т

. 1,84«+1 1,84« + L

(41),

где Р — давление у наиболее удаленной группы приемников в ата.

Так как а обычно не свыше 0,2, то 1,835 а округляем до 1,84а. Заменяя Рср и ДР„Ср в основном уравнении для суммарных потерь, получим

Е = 2АРт*+

Р

А( + ___+

\ 1,84а +1 1,84а+1 / \1.84«+1

1,84«+1/J ^ Р>т \ 1,84«+1 ) \ 1,84«+1 / V Приравниваем нулю первую производную от Е по Рт:

4АР•+Ti^+T (9>+•5-р- т°р-)+(3'34Л+^+

1 Д'С' / 1,673 а3 Рп* — 3.1,67<*Р* Рт—2рз) _ 7200.1,67ч nk _ Q

+ (1,84« + 1)з [ Р„? ~ 1,84«+1 ~

*) См. вышеупомянутую работу Бетехтина А. С. „О потерях энергии в сетях сжатого воздуха".

После приведения подобных членов и освобождения от знаменателя, получим:

(1,84а +1)2 [4Л (а +1) +14400.3,34« пк] /V + {[А (9,2а + 5 — Р) + + 7200(2Р— 1,67«)] (1,84а + I)2 + 1,67» а3В10 )Р*т — 3.1,67аС1 Р2 Рт —

— 2£1С'Рз = 0............(43)

Нетрудно видеть, что весьма сложное выражение (43) при равенстве давления у всех приемников, т.е. при а = 0, принимает более простой вид:

4ЛРОТ* 4- [А(5 — Р) +14400 пкР\ Рт* — № ѻл = 0

Так как В1 С1 — наш прежний коэффициент В, то, разделив все члены окончательного уравнения (43) на 2В и обозначив:

4Л(а +1) +14400.3,34« ^ м (44>

2 В ' ......

[А (9,2а + 5 — Р) 4-7200 пк (2Р— 1,67а)] (1,84а +1)2 +1.67» «3 В10 _ д,

2В

получим:

(1,84а + 1)2 МРтК + МРт* — 2,5а Р2 рт —р* = 0.....(46),

т. е. уравнение, аналогичное по виду уравнению (37) с теми же степенями Рт, но только с другими, более сложного вида коэффициентами.

Уравнение (46), а также сложность выражений для коэффициентов М и N невольно наводят на мысль о том, что если бы какое-либо рудоуправление решило организовать постоянный контроль над потерями энергии в компрессорных установках, то первым мероприятием его должно бы явиться уравнивание давлений у всех групп приемников (т. е. достижение а = 0) хотя-бы путем установки у ответвлений дросселирующих приспособлений. В противном случае, при почти ежедневных изменениях величины а, контроль над потерями был бы практически весьма трудно осуществим, так как решение уравнения (46) с дальнейшим согласованием величин условного и реального значения Рт является делом довольно трудным.

Найдем наивыгоднейшее давление в сети и у компрессора для численного примера, рассмотренного нами в § 4 настоящей статьи.

Мы имели а = 0, 0386; А =8,14.104; £ = 2,94.106; л£ = 50 и Р — 5 ата. Отсюда:

(а+1)=1,0386; (1,84а+1)*= 1,148; 1,67а = 0,0645; 9,2а = 0,355;УИ = 0,0301 •

(1,84аI)2 М= 0,03534 ; N = 0,692; 2,5аР2 = 2,412 и Р3=125.

Уравнение (46) примет вид (после умножения обеих частей на 100):

3,534Р т4 -(- 69,2 Рот3 — 241,2 Рт = 12500

Значение Рту удовлетворяющее этому уравнению, будет Рт = 5,40 ата. Полученное для величины Рт значение показывает, что для данных условий, в частности при заданных диаметрах воздухопроводов, возможен только фиктивный минимум потерь, так как Рт не может быть меньше

1,84Рср + АРпср 2Рср + ДРлсрДР,

-р—-—, как это следует из уравнений: Рт=-—-—--

1,67 2

и

ДР, = 0,165(2Р„ —Рср)

397

"V

Если даже Рср = 5 (а на самом деле оно несколько больше) и АРоср примем (по § 5) 1,85 ата, то Рт должно быть порядка 6,6 ата. Для получения реального минимума потерь возможны два пути: а) уменьшение рабочего давления у приемников и Ь) уменьшение диаметров воздухопроводов. Первый путь вполне приемлем, если первоначально заданное давление Рп превышало 5 ата. Второй путь хотя и уменьшает количественные потери, но ведет к сильному увеличению потерь давления от трения. Первый путь уменьшает коэффициент при Рт3 в уравнении для минимума потерь почти прямо-пропорционально уменьшению Р, второй путь ведет к уменьшению обоих коэффициентов М и N.

Очевидно, что при настоящем состоянии рудничного воздушно-силового хозяйства СССР наиболее естественным является второй путь, т. е. замена труб на некоторых участках трубами другого диаметра с дальнейшей систематической проверкой наивыгоднейшего среднего давления в сети Рт, л отсюда и наивыгоднейшего давления у компрессора.

§ 7. Влияние среднего диаметра сети на величину фиктивного и реального наивыгоднейшего давления у компрессора.

Основное уравнение для наивыгоднейшего среднего теоретического давления в сети (1,84а +1)2МР^ + Л/Р3« —2,5аР*Рт —рз = 0 показывает, что при заданном давлении у наиболее отдельной группы приемников *) величина Рт зависит от а, М и N. Каждый из этих коэффициентов является функцией диаметров труб на отдельных участках сети, а значит и функцией ее среднего диаметра. При этом зависимость величин а, М и N от /ЛР является довольно сложной. В частности, например, одновременное увеличение или уменьшение сечений всех трубопроводов на один и тот же о/о не изменяет величины эквивалентных длин (как это следует из уравнения 22), а стало быть, и величины а, тогда как коэффициенты М и N изменяют свои значения.

Особенно резко изменяется при этом значение М. Действительно

но величина А прямо-пропорциональна величине среднего диаметра сети, и с увеличением диаметров на некоторый °/0 она увеличивается на тот же ■о/0; величина же В — Ш.С1, причем величина С1 обратно пропорциональна пятой степени диаметра магистрали, и с увеличением О на Х°[0 умень-

при а ^ 0, изменение величины М будет тем резче, чем меньше а и пк, т.е. чем меньше доля величины 14400.3,34а пк в общей величине 4А (а1) +14400.3,34 а пк. Для коэффициента N изменение его величины с изменением величины диаметров трубопроводов, включая и магистраль, будет менее резким, т. к. в этом случае превалирующим является член 7200л£(2Р—1,67а); член А (9,2а-¡-5— с увеличением О увеличивается, а член 1,673 а3.Я1 С1 — уменьшается, так что даже при а = 0 увеличение диаметра магистрали на Х°10 может уменьшить величину N как максимум

*) Вернее, у группы, работающей в наиболее тяжелых условиях, в частности у группы, хотя и не наиболее удаленной от компрессора, но имеющей ненормально малые сечения ответвлений.

М =

4А(а+1)+ 14400.3,34а пк

Отсюда при а = 0 величина М при изменении диаметров всех трубопроводов на Х°10, увеличится в

/ X

в м --—] раз# Если же, как это чаще всего бывает в действитель-

\ 100 /

ности, меняется лишь величины диаметров ответвлений и второстепенных магистралей, то величина а будет изменяться сравнительно мало, равна как и величина М и М т. к. в этом случае С1, являющийся одним из множителей в выражении В = С1В1, будет пропорционально лишь Е4> причем

величина 14 будет изменяться не в отношении А -)—, а значительно

7 V 100 /

меньше и тем меньше, чем больше длина магистрали и чем меньше число переоборудуемых участков. Менее резко будет изменяться также и коэффициент М. Во всяком случае, несомненно лишь одно: при увеличении диаметров сети на отдельных ее участках коэффициенты М и N будут увеличиваться, а при уменьшении диаметров — уменьшаться, при сравнительно малых колебаниях величины а. Так как увеличение М и N согласно уравнения (46) обусловливает уменьшение Рт, то наивыгоднейшее теоретическое среднее давление в сети Рм с увеличением диаметров воздухопроводов хотя бы на отдельных участках уменьшается. С этой точки зрения увеличение диаметров воздухопроводов является желательным. Если обратимся к реальной величине Рт, то, решая совместно уравнение

п „ 2Рср + АРг,ср + АР, _ 1,67аРт + Р ло _ОР% 2 1,84а+1 Рт

ДР, = 0,165 (2Рт — Рср)

относительно Рт> получим, что в общем случае величина Рт должна удовлетворять уравнению:

1,67 [(1,84а + 1)2 — (1,84а + 1) 1,84а — 1,67а* С1] Р2т — [2.1,67аРО + +1,84. (1,84а + 1 )Р] Рт — ОР2 = 0, откуда Рт, после приведения подобных членов при Р2ту выразится:

р _ 3,34аРО + 1,84(1,84а+1)Р + 3,34 (1,84а + 1 — 1,67а2 О)

+ У&ЩАьО + 1,84 (1,84а + 1)]2 + 4.1,67 (1,84а +1 — 1,67а2 Р)ОР~2 (

3,34 (1,84а + 1 — 1,67а2 О)

Как видно из последнего выражения, с увеличением диаметров отдельных участков сети Рт будет уменьшаться, хотя и медленно. Действительно С1 — ср(£4); но эквивалентная длина любого участка с увеличением его

диаметра уменьшается в ( 1 ) раз, где —первоначальный, а йх — уве-

\ ¿о /

личенный диаметр воздухопровода на данном участке. Однако £4 будет уменьшаться медленнее, чем уменьшаются отдельные эквивалентные длины и тем медленнее, чем длиннее магистраль по сравнению £4 — 4аг. При этом необходимо отметить, что в выражении под корнем С1 входит как с плюсом, так и с минусом, и результирующий член с С1 будет иметь вид:

3,34 О [3,34а2 С1 +(1,84а + 1) (3,67а + 2) — 3,34а2 С1] == = 3,34 С1 (1,84а + 1) (3,67а + 2) = 6,68 О (1,84а + I у

Влияние С1 на величину знаменателя в выражении для Рт будет ничтожно, так как в правильно запроектированных сетях а порядка 0,1 и даже менее,

а С1 не превысит 0,5 *), так что величиной 1,67 «2 С1 можно пренебречь. Таким образом в окончательном виде:

„ _ 3,34«Р О +1,84 (1,84« +1) Р + Р(1,84« +1) О + 1,84^

* т —

ИЛИ

1,84а+1

3,34 (1,84а+ 1) 0,55 + 0,31/6,68 С1+ 1,84*

. -(48)

Исходя из последнего выражения, можно утверждать, что с увеличением диаметров воздухопроводов Рт уменьшается сравнительно медленно, причем в сетях с неравномерным давлением у приемников уменьшение Рт с увеличением диаметра участков (при прочих равных условиях) идет медленнее, чем в сетях с одинаковым давлением у приемников. В последнем

случае _

р р 1,84 + |Л,84*+ 6,68 С*

3,34

или _

рт — р (0,55 + 0,3 1/6,68 С1 + 1,842 ) .......(49>

Анализ выражений для фиктивного значения *Рт, при котором имеет место минимум потерь энергии сжатого воздуха, и реального значения Рт> как функций потерь давления и давления у приемников, позволяет наметить путь к уничтожению обычно имеющегося между этими величинами расхождения. Так как изменение диаметров воздухопроводов на отдельных участках сети вызывает для обоих Рт изменение их величины в одинаковом направлении, но с разной интенсивностью, то очевидно, всегда возможно такое изменение диаметров воздухопроводов на отдельных участках, при котором реальное значение Рт совпадает с фиктивным. Чем больше первоначальное расхождение между обоими значениями Рту тем резче должны быть изменения в величине диаметров отдельных участков и тем большее количество участков должно быть переоборудовано. Для первого раза решение этого вопроса сопряжено со значительной затратой времени, так как придется, вероятно, испробовать несколько комбинаций для получения удовлетворительного совпадения между значениями Рт. Однако в дальнейшем, когда с течением времени будет изменяться конфигурация сети и число работающих приемников, поддерживать совпадение между обоими значениями Рт будет значительно легче, так как для этого потребуется изменение сечения на одной-двух второстепенных магистралях. Во всяком случае/ та экономия, которая неизбежно получится при работе с минимумом потерь энергии, всегда с избытком окупит оплату сил, затраченных на отыскание наивыгоднейшего реального Рт.

Так, в установках средней производительности порядка 100 куб* м в мин. при средней протяженности сети в 15—20 км потери воздуха на утечку считают около 20°/0 от полезного расхода воздуха, что в данном случае составит 20 куб. м в мин. Если на каждом куб. м полезного используемого воздуха съэкономить на потерях энергии только 1000 кг}м, а подобная экономия вполне возможна,— то при стоимости одного кг\м

С\ Р

*) Из выражения ДЯЛср =-^ при ДЯ/,ср = 2 ата, Рср = 5 ата к Рт = 6 ата, получим

Рт

12

С1 == 0,48. С увеличением Яср и уменьшением АРг,ср С1 еще уменьшится.

в 2,4. 10~5 коп., ежегодная экономия благодаря уменьшению качественных

2,4.Ю"5.(100 — 20).60.5,5.3.345.1000 . „ потерь составит —!-----==6557 руб. 76 к.

100

при трехсменной работе и продолжительности работы установки в 5,5 ч. в смену.

Количественные потери тоже могут быть уменьшены, как минимум, на 15%, или до 17 куб. м в минуту вместо 20, что при стоимости 1 куб. м

0,6.20.15.60.5,5.3.345 воздуха в 0,6 коп. даст в течение года еще —--——--=

= 6147 руб. 90 коп.

Таким образом суммарная экономия не потерях в ценностном выражении составит для данного случая около 6557 р. 76 к.+ 6147 р. 90к.= 12705 руб. 66 коп., или округленно 12700 руб. в год.

В действительности же экономия будет значительно выше, так как практика показывает, что фактическая стоимость 1 куб. м свободного воздуха значительно выше запроектированной: так, для Прокопьевского рудоуправления Кузбассугля фактическая стоимость 1 куб. м воздуха оказывается 1,07 коп. вместо запроектированной 0,5 коп.

Расходы на содержание добавочного штата, ведающего контролем потерь, будут порядка 7000—8000 руб. в год, так что организация службы контроля потерь воздуха экономически целесообразна даже для установки средней производительности. Что же касается более крупных воздушно-силовых установок, как например на Анжерке, на шахте 9—15, на Прокопьевской Коксовой, на шахте „СТО" Красногвардейского рудоуправления, на руднике Темир-Тау Сталинского металлургического завода и многих других, то здесь рентабельность контроля потерь не вызывает никаких сомнений.

§ 8. Влияние отдельных категорий потерь энергии сжатого воздуха на величину среднего наивыгоднейшего давления в сети

Анализ коэффициентов уравнения (46), выражающего условия для минимума потерь энергии для наиболее общего случая, позволяет сделать следующие выводы:

1. С увеличением потерь энергии от утечек и от охлаждения воздуха величина наивыгоднейшего давления в сети Рт стремится к уменьшению. Действительно, с увеличением коэффициента А, характеризующего потери энергии от утечек воздуха и величины пк, входящей составной частью в выражении для потерь от охлаждения воздуха, коэффициенты М и N в уравнении (46) возрастают, а значит Рт уменьшается.

2. С увеличением потерь энергии от трения воздуха в трубах величина Рт тоже стремится к увеличению. Действительно, в выражения для коэффициентов М и N коэффициент В, характеризующий величину потерь энергии от трения воздуха в трубах, входит в знаменатель, с увеличением В коэффициенты М и N уменьшаются, а значит Рт стремится к возрастанию.

3. Сварка труб уменьшает величину А, характеризующую величину потерь энергии от утечек и тем самым способствует возрастанию Рт и уменшению разрыва между фиктивным наивыгоднейшим и реальным значением Рт.

4. Величина диаметров воздухопроводов, а также способ соединения воздухопроводных труб не оказывают существенного влияния на величину потерь энергии от охлаждения воздуха. При существующих условиях работы рудничных воздушно-силовых установок эта категория потерь энергии менее всего поддается нашему воздействию.

5. Для уменьшения разрыва между наивыгоднейшим фиктивным и реальным средним давлением в сети полезно и необходимо изменять время от

•времени диаметры воздухопроводов на отдельных участках. Предварительные подсчеты показывают, что для целого ряда уже работающих установок подобное изменение должно быть сделано в сторону уменьшения существующих диаметров труб. Этот вывод противоречит установившемуся взгляду, согласно которого необходимо стремиться к возможно меньшей потере давления от трения (не свыше 0,1 ата), что может быть достигнуто лишь путем увеличения диаметров труб. Подобное расхождение во взглядах по столь важному вопросу получилось потому, что мы рассматривали экономику рудничной воздушно-силовой установки в целом, тогда как сторонники увеличения диаметров труб исходят из условия, чтобы давление воздуха у приемников не упало ниже допустимой для них величины. Выше мы уже видели, что увеличение диаметров воздухопроводов увели-

чивает потери, на утечки пропорционально-----, тогда как потери энергии

от трения уменьшаются в 13. Казалось бы, что увеличение диамет-

ров труб всегда выгодно, так как одна из составляющих суммарной величины потерь растет сравнительно медленно, а другая падает очень быстро. Однако это верно лишь в том случае, когда первоначальные потери энергии от трения велики, а потери энергии от утечек выражаются сравнительно скромной цифрой. Если же, как это чаще всего бывает в сетях большой протяженности, потери от утечек значительно больше, нежели потери энергии от трения, то увеличение диаметров труб не только не уменьшит суммарные потери, но даже увеличит их. Поясним это примером: пусть потери энергии от утечек 2.106 кгм в час, а от потери давления 400000 кгм в час; суммарные потери выразятся цифрой 2400000 кгм в час. При увеличении

диаметров на 10% потери соответственно будут 2200000 и — 250000,

1,1°

а суммарные потери 2450000 км, т. е. на 50000 кгм больше, нежели в первом случае. Этот простой пример показывает, что с точки зрения уменьшения суммарных потерь энергии иногда выгодно не увеличение диаметров труб, а наоборот, уменьшение их. Понятно, что рекомендуя уменьшение диаметров труб на отдельных участках сети, мы одновременно оставляем в полной силе условие, что давление у приемников не падает ниже допустимой для них величины.

§ 9. О влиянии фасонных частей и арматуры на величину наивыгоднейшего давления в сети и у компрессора.

Наблюдающийся обычно разрыв между теоретическими наивыгоднейшими давлениями в сети и компрессора и действительными значениями этих величин уменьшается иногда весьма значительно, если учесть влияние фасонных частей и арматуры. В самом деле, наличие в воздухопроводной сети фасонных частей и арматуры равносильно увеличению длины сети на 10—15 %. На величине теоретического наивыгоднейшего Рга увеличение длины сети, благодаря прибавлению фиктивных длин, компенсирующих наличие арматуры и фасонных частей, почти не отразится или отразится очень мало. Действительно, величина Рш в этом случае обусловлена главным образом соотношением коэффициентов А и В при прочих равных условиях. Поэтому в тех случаях, где потери от охлаждения воздуха можно считать постоянными, введение в расчет фиктивных длин сети вместо реальных почти не изменит величины Рт, так как и А и В увеличатся почти

А

в одинаковом отношении, т. е. — остается почти неизмененным.

О0

В

Юб. сб. ТИИ. 26.

Другое дело с падением давления от трения, С увеличением длины сетга оно, естественно, увеличивается на столько же процентов, если все остальные величины (диаметры воздухопроводов, расход воздуха) остаются неизменными. Так как в большинстве случаев теоретическое наивыгоднейшее давление Рт, зависящее между прочим и от падения давления от трения, получаются меньше для данных конкретных условий, то введение в расчет вместо реальных длин сеги ее фиктивных длин не только является принципиально более правильным, но и дает более близкую к действительности картину и одновременно уменьшает разрыв между теоретическими и действительными величинами Рт.

Несколько сложнее будет обстоять дело в том случае, когда потери энергии от охлаждения нельзя считать постоянными. В этом случае учет влияния фасонных частей и арматуры на величину Рт скажется меньше, хотя все же скажется в сторону, благоприятствующую уменьшению вышеупомянутого разрыва. Однако, поскольку мы сами склонны рассматривать решение вопроса о наивыгоднейшем давлении в сети и у компрессора для этого случая, как решение весьма приближенное, не претендующее на точность, считаем излишним рассматривать здесь более подробно влияние фасонных частей и арматуры в случае изменяющихся потерь от охлаждения воздуха.

§ 10. Графоаналитический метод определения наивыгоднейшего

среднего давления в сети.

Сложность конечных выражений для наивыгоднейшего среднего давления в воздухопроводной сети и неизбежное обычно расхождение между величиной фиктивного наивыгоднейшего давления и реальным давлением в сети при данных условиях, создают большие трудности при определении Рш в каждом конкретном случае. Однако эти трудности могут быть значительно облегчены применением графического метода как для нахождения величин, знание которых необходимо для определения Рт, так и для решения аналитически сложных уравнений.

В первую очередь графическим путем могут найдены эквивалентные длины для отдельных групп приемников. Действительно, преобразовав

, , / D 1 Vx\2 Р* , , / D / КЛЬ852

выражение 4 = 1J } -у- в равноценное ему 4 = /^—j

т. е., избавившись от двух переменпых, мы можем определять 4 для каждого конкретного случая, пользуясь номограммой, представленной на фиг. 3. При этом для I правильнее брать фиктивные длины, т. е. реальные длины участков, умноженные на коэффициент 1,1 —1,2, а в среднем 1,15.

С помощью номограмм же могут быть найдены:

а) Скорости воздуха на отдельных участках, необходимые для определения средней скорости воздуха в сети, по которой из кривых Флейшера, фиг. 2-й определяется коэффициент динамического режима.

Номограммы для определения скоростей в отдельных трубопроводах представлены на фиг. 4 и 5.

4V

Номограммы построены исходя из формулы С—-:- . . (50),

60ir d2Pm

где V—количество протекающего через сечение воздухопровода свободного воздуха в куб. м в минуту (включая и потери), d — диаметр воздухопровода в м, а Рт — среднее давление воздуха на данном участке. Без большой погрешности Рт можно принять 6,75 ama; при этом допущении скорости воздуха на некоторых участках получаются преуменьшенными (у ответвлений), а на других — преувеличенными, так что возможные ошибки

частично скомпенсируются. Формула для скорости примет более простой вид, если (1 в мм:

4 К1 ООО2 .-> 3200 V ,-1Ч

С =- или С —--м в сек. . . . (51)

60*. 6,75. <Р>

в) Коэффициент А. Номограмма для его определения представлена на фиг. 6-й.

Номограмма построена на основе уравнения: А = 0,266 КсОср£1, причем для И наиболее правильным будет брать сумму фиктивных длин, т. е. сумму реальных длин, увеличенных на 10-^15%.

Способ пользования номограммой очень прост. Из точки оси абсцисс, соответствующей величине данного среднего диаметра, восстанавливается перпендикуляр до пересечения с лучем И. Из точки пересечения проводится прямая, параллельная оси абсцисс. Эта прямая пересечет шкалу 21 в некоторой точке. Проведя луч из этой точки, восстанавливают перпендикуляр из точки оси абсцисс, соответствующей значению Кс до пересечения с этим лучем. Из точки пересечения проводят прямую, параллельную оси абсцисс, которая и отсечет на оси А искомое его значение. На номограмме показан случай определения А для следующих данных:

Бср = 110,0 мм, И = 16С00 м и Кс = 0,7.

с) Коэффициент В. Из выражений:

д 7,62.10 ь 2,86

П =-—---и Ра

Т0Оь Пу й0'148

после освобождения от % получим:

В= 4,05.10».(лй)а'»и Л9лСРш

Ъ

(52)

Номограмма для определения В (в виде логарифмических шкал) представлена на фиг. 7. Способ пользования ясен из номограммы.

Коэффициент С1, необходимый для определения реального падения давления в сети, может быть легко найден из выражения

С'=.-............(53)

1,3.105 (пА) 4 >

(I) Наконец, в тех случаях, когда потери в сети от охлаждения воздуха можно считать неизменными и членом Ртъ можно пренебречь, уравнение 2А (2а 4-1)2 (а 1) р*т _ За 2 рт _ з = 0 можно решить графически.

По нашей просьбе, доцентом Сибирского горною института при кафедре математики А. Е. Миловидовым разработан простой и изящный метод графического решения этого уравнения. Номограмма уравнения представлена на фиг. 8-й. Она состоит из четырех шкал: трех неподвижных— шкала Е, шкала Э и шкала X (или Рт) и одной подвижной шкалы X (или Рт). Для решения уравнения необходимо определить сначала величины Е и О для данного конкретного случая. Выражения, из которых они определяются, указаны на номограмме. Затем подвижная шкала ставится так, чтобы ее нуль совпал с полученным значением Е. Далее берется линейка и вокруг точки, соответствующей значению О для данного случая, как вокруг центра, поворачивается до тех пор, пока не совпадут значения X на подвижной и неподвижной шкале. Так, например, для случая Е= 1600 и

D = 0,91 (D вообще близко к I и чаще всего будет лежать в пределах 0,9 — 0,95), X = Рт = 7,1 ata.

Заключение.

Настоящая работа, конечно, не претендует на исчерпывающее решение вопроса. Сложность взаимозависимостей различных величин, обусловливающих величину Рт, невольно толкала на путь замены этих зависимостей другими, математически более простыми, дающими тождественные результаты, но не выражающими истинной сущности происходящих процессов. Некоторые допущения, особенно для случая изменяющихся потерь от охлаждения воздуха, заставляют смотреть на решение вопроса для этого случая лишь как на первое приближение к действительности. Однако, поскольку затронутые нами вопросы почти не освещены в нашей и иностранной литературе, мы считаем решение их даже в таком виде известным шагом вперед.

Ln О О

eoo

о о о

s

с к

Сл

8

i 400

i— ¡J

У о®

КЗ

0\

а

о

—á

500

К

Зависимость потерь чзрзз неплотности от скорости ьозЭдха в воздухопроводе.

о/0 йоблеии/! избыточные (манометрические,*

*У= 0 \ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 И 15 16 17 18 10 ' М/СвК

фиг. 2

I

2000 1750 1

<500 1250-f

i 0Ü0

JOQ 850 +

800 " 750" 700-650.

eoo-

550 -500 -

450 400

350-1-300

Z50--

200--175..

150-.

125

too

90

80 75 70 65

60 55-50 45 40 Ь5 j-30 251

НОМОГРАММА для определения

еэ- е(^)5тШ2

/

Хэ гло^т

о*

9.Î04--

вло*--

7И04- ■ 6.104

5.104-.

4.10* ЗЛО*

2Л0* .

104.-£М0* -8.10* 7-103-6.10*-5.Ю3-

4-103- ! /

a.to3--

/

/ 2.ЮЗ_.

о

_ у.

Vx D

~ "ж

- о

- i

/

1,5,10*.

10 V

9.ipj.

7.10 - -6-102..

5.502-4.102

3.Í02-

г,\о2

tfÂ

ioU 90

--■<4,4

"s

n.

D

12,0 11,0 top

9,0

ö.c

.. 7,0

-- 6,0 - 5,5

s

ФагЗ,

S

4,0 3,5

3,0

2,75

2,5

-2,25

.2,0 1,9 1,6

\P 1,в

1,5

i,25 Í.2

■<и 1,0

\

У. Vx

300 -250

•200 150

.. 100

u

+ 85°

8 О 75 70 6s ... go 55 50 45 40

-.35

-- 30

25

--20

-15

4

Ш

+III

7,5 7,0 6,5 6,0 5,5 3,0 4,5

4,0 ■3 75

- ■ З'.й -.3,25

- -3,0

- -2,75 .2,5

2,0 +v5

-1,25 1Ш

250+ у

,0|

1,5 + 1,75 2,0--

3,54

4.0-

ЧН

5,0-

Д5-

6,0-615-7,0-7,5-8,0-8,5-9р -

10,0-

12,5-15,0-

3200V ¿2

ИЗ

+ <50

125 119

94,5-1

76

И 0 6,5 100,5

[-ав,5

90 ^

70

Ь 64

+ 50

+37,5

+ 25

1(8,75

+20,0 +19,0 18,0 •17,0 + «6,0 +15,0 <4,0

Г »2,0 •11,0 ■10,0

; 9,0

''7,0 --6,5 6,0

-»•5,5 4,5

4,0 3,5 +3,0

2,5 -2,0

-1,5

Номограмма для определения скорости боздуоса б воздухопроводе для V от / до 2,5 куб. м б тн.

фигЛ

-1,0

. ъ 4 £ ^ *

А'

* Г

•с»

4,0 Ts

\

50

6,0 t

7,и

а,о

9,o

íú ■ H

11,5 ■ 12 12,5

13 13,5

14 14,5

15

16 17 lö

19

20

22

24

26 26

30 .32

\

• \

\

\

N

\

\

\

\

\

\

\

î

T 450

350

4 300 275 - 250 -225

\

h

200 \

\

4- 175 4

V, ^

s

Í50 \

\

\

4 125

\

Y

\

Y

г 2ü0

•190 •-160 --170 •• 160

-• 150

- 140

•• 13C

■ 120 -- 110 1Ü0

--90

-•80 -•75 --70

65 4 60

\

\

100

\

75

50'

- 55 --50

•4ö

4 С -44 -42 -40

за

■36

34 4

за •

30

2Ь

26 -27 • 26 25

liOfiOrpdMMà для определения скорости ôojdgxi & воздухопроводе для У ого 25 до 200 куб.м 5 /¡ин.

фаг 5

¿pur. 6

26,6.10 26,1û5

24.10s

22.10s

20.10

16.10 ^

16. IOS

14.10

10.10

sco 00

45000

40OOÛ

35000

30000

25000

20000

16000 15000

10000

5000

80 J00 120 140 160 130 200

— Вер

НОМОГРАММА для определения В

бэср

500 т

550 • -600--

650 --

700 . -

750- •

800 т 850-еоо. 950-

0,75-Ю6

1,0

\

1000- г 1100

1200- ■

«300-1400-1500- -1600 ■ 1700-

1800-1900 2000.

2250 - •

2500--2750 ■ ■

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

л

6,5 7,0 -7,5 8,0-8,5 9,0 -

10,0.

11,0 12,0.

13,0 14,0. 15,0. 16,0 ¡7,0 18,0 19,0 20,0.

225..

\

1,5 ..

2,0

2.5 ..

3,0 ..

3,5

4,0

4,5 ■ -

\ 5.0 ..

\

ч

\

\ 5,5 Ч

\

Ч

6,0 . .

ч \|

6,5

7,0 7,5 8.0 ■■

Р

• - пк --Ъ -

- о -

- Сэср -

Л

г 400

• - 350

ьоо

275

250

- 225

-. 200

пк

тЗОО

175

150

25,0-.

3000+ 27,5-.

350О 4-

4000Х

Фаг 7

35,0--

40,0- -

45,0

5Ц0--55,а -6 од.

9,0 - -

10,0 и,о „

12,0 <3,0--

15,0--

-hz5

Д-ioo

--55

-50 --4Ô -46 -.44 - -42 ..40

номограмма уравнения

2000

£*

тг

40С - Рт<б

1 4,__ЗВЯЭ-2_

с " 1 2000А(2Д.Н)2(оС+1)

сз 3 с: с;

э -

пс « £ I 4

ш СЗ

го ••

'¿.Щкдла подвижная опускается внш иэ длину *£ /-

Фиг. б

а -

7,9

7,6'

7,7

7,6-

7,5-

7,4 Н

7>

72'

7,Н

7

6,7 6,6

6Л

03

^

6И

2500