О наилучшем приближении дискретного мультиотображения алгебраическим полиномом Текст научной статьи по специальности «Математика»

\\8Щ <с(р)ак-^ыр.

1-р г

С помощью этих результатов доказываются прямые и обратные теоремы приближения в Ср(Я). Пусть Аа(/)р [Аа(/)£ ] - наилучшее приближение / еСр{я)[Ьр{к)) целыми функциями экспоненциального типа

не выше а. Тогда имеет место аналог теоремы Джексона-Стечкина [2, с. 272]

Верен также аналог обратной теоремы С.Б.Стечкина-А.Ф.Тимана-М.Ф.Тимана [2, с. 353]

/ Р У = 1

Следует отметить также такой результат. Пусть 1 < р <<я, /е Ьр(й)

ОО (/_,

и ряд У т'р Ат(/)1 сходится. Тогда /(*) эквивалентна/о(*)е Ьр(я)

т = 1 Р

АМр<С(Ап(/)1р ПУ"+ Ь^'1А,(/)г

V. 1 = 71 + 1

В случае 2п-периодических функций аналогичные результаты были получены А.П. Терехиным [1].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Терехин А. П. Приближение функций ограниченнойр-вариации // Известия вузов. Сер. Математика. 1965. № 2. С. 171 - 187.

2. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1960.

УДК 519.853.3 + 517.518.82 И. Ю. Выгодчикова

О НАИЛУЧШЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ ДИСКРЕТНОГО МУЛЬТИОТОБРАЖЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ПОЛИНОМОМ

1. Пусть в точках ¡к, к е [0 : Л^], 0 < < <... < ^ < 1, заданы значения функций 7,(0 и 7,(0: у1к =у^к), у2,к ~ У2)> причём у1к >уи, А: е [ОгЛ']. Рассмотрим дискретное мультиотображение (м.о.) Ф(-), значе-

25

нием которого в каждой точке ¡к, к е [О: М] является отрезок

Ф('к) = 1У\к' У2 к!- Обозначим через рп(А^) = а0+...+а„(" полином

п-й степени с вектором коэффициентов А = (а0,а1,...,а„)е /?я+1.

Рассмотрим следующую задачу о наилучшем приближении м.о., заданного дискретно в узлах 1к, полиномом п-й степени:

тахХф{1к), рп(А,1к))-> М . (1)

*е[0:ЛЧ Ае Д"+1

Здесь /г (с/, к) = тах ] вир ~ И > виР - расстояние Хаус-

[ые£/ V6^' „€у иеи ]

дорфа между множествами /7 и V из Я1.

Обозначим через р = М шах к (Ф (¡к), рп{А,1к)). Ясно, что

У 7 к ~ У\ к

р > шах —-—. Путём несложных преобразований исходная задача

2

(1) сводится к следующей:

шах шах {у2к-р„(А^к), рМ>Ч)~ У\,к]-> , ■ (2)

А е [0 : Л/] А еЛл+1

2. Нетрудно показать, что для N <п при переборе всех возможных значений параметров гк е [-1; 1], к е [0 : /V], решение систем уравнений

Рп(^к)~гк(я-Як)=Ук, *е[0:ЛГ],

- У\,к +У2,к Уг,к-У\,к У2,к -' У\,к

где Л——; у—; - - ~

даст нам все решения задачи (2). При этом р = . Решение будет единственным только при N = п и дк = у, к е[() : Л'].

3. Принципиальный интерес представляет случай, когда N = п + 1. Запишем задачу (2) в виде

ср(л)= шах /{А,к)-> М , (3)

где / (А,к) = тах {у2 к - рп(А, 1к), рп(А,хк)~уик\.

ТЕОРЕМА 1. Решение задачи (3) существует. Для того чтобы вектор А* был решением задачи (3), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий:

а) в некоторой точке е [0:гс +1]

Рн(А*>1*)-Уи=Уг.*-Рн(*'>*з)=

б) для всех к е [0: п +1] имеет место равенство

26

S* (vi,A -))+ (l-<=t)(v2,t -))= (-l)5t A, где h= max f\A*,k). При этом p = h.

*g[0:n + l] v

Приведём краткую схему доказательства. Существование полинома наилучшего приближения pn(^A*,tj получено из доказанной ограниченности при любом с > О множества

Мс ={а g R"+1 / max

[ *e[0:n+lj' J

Достаточность условия а) очевидна.

Предположим, что выполняется б) и, например, = 1. Тогда (4) можно представить в виде

ук-рп{А\ь)={-\)к+1к, *6[0:и + 11 где {ук}, к е [о : п +1] - селектор м.о., принимающий значения

Ук

(5)

>>, к, если = 2т, у2 к, если = 2 т + 1.

Согласно теореме 2.1 [1, с. 14], ввиду условий (5), р„[л', *) - полином наилучшего приближения для селектора {ук}, при этом

А € Л А е [0 : л+lj

(6)

С другой стороны, в соответствии с условием б), имеем

inf max |vt - Р„(А , tt) < inf max f(A,k)<

< max f{A*,k)=h.

*e[0:n + l] '

Из (6) - (7) следует, что A - решение задачи (3) и р- И. Необходимость. Пусть рп[а* ,t) - полином наилучшего приближения м.о. Ф(1), и при этом не удовлетворяет условию а). Это, в частности, означает, что

hL max / ¡А*,к)> max Уг'к ~Уи. (8)

*e[0:« + l] ' /te[0:n+l] 2

Можно показать, что из (8) следует

й = /(л\*),*е[0:л + 1]. (9)

Далее, используя (8) - (9), теорему 2.1 [1, с. 14], а также выпуклость функции ф(л) доказывается, что имеет место б).

4. Наконец, доказано, что имеет место следующая ТЕОРЕМА 2. Если выполняется неравенство

h > max —:-—, (10)

i Е [о : n+l] 2

где h определено в (8), то решение задачи (3) единственно.

Простые примеры показывают, что неравенство (10) не является необходимым условием единственности решения задачи (3). Пример. Пусть

п = 0, i0 = 0, f, = 1,

У\, о=1> У1,1=°> •Уг.о = !> Уг\ = 1

В этом случае условие (10) не выполняется, но задача (3) имеет единственное решение - полином р0{л*, i)= 1, t е [0 ; l],

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Демьянов В. Ф., Малоземов В. Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972.

УДК 514.764

С. В. Галаев, А. В. Гохман

ПОЧТИ СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ СВЯЗНОСТИ НА НЕГОЛОНОМНОМ МНОГООБРАЗИИ

На гладком многообразии Хп рассматривается неголономное многообразие X", заданное вместе с оснащением Хпп~т. Вводится понятие допустимой тензорной структуры, в том числе, - допустимой почти сим-плектической и допустимой симплектической структур. Определяются симплектическая и почти симплектическая допустимые связности. Доказывается, что в отличие от голономного случая существуют не замкнутые почти симплектические формы, допускающие симметричные почти сим-плектические связности.

Под неголономным многообразием будем понимать тотальное пространство X" векторного подрасслоения ц = (Х",Р,Х„) касательного расслоения т = (Т(Хп), л, Хп) гладкого класса С°° многообразия Хп. Многообразие X"' задано вместе со своим оснащением Х"~т. Число т называется размерностью, а (п-т) - коразмерностью многообразия X™ . Под допустимыми тензорными структурами типа (я, г) будем понимать гладкие

сечения тензорных расслоений X™ ®...®Х™ <8> (X™)' , где в

■___' ^_^__1

1 I

каждой точке х е Хп пространство (X™ )* является пространством линей-