CC BY
0
Вычислительные технологии, 2022, том 27, № 6, с. 33-44. © ФИЦ ИВТ, 2022 ISSN 1560-7534
Computational Technologies, 2022, vol. 27, no. 6, pp. 33-44. © FRC ICT, 2022 elSSN 2313-691X
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
D01:10.25743/ICT.2022.27.6.004
0 начально-краевой задаче моделирования эффективного способа селективного забора воды из стратифицированного водоема
И. Д. Музаев1'2'*, К. С. Харебов1, Н. И. Музаев1
1 Геофизический институт — филиал ВНЦ РАН, 362002, Владикавказ, Россия
2Владикавказский филиал Финансового университета при Правительстве РФ, 362002, Владикавказ, Россия
*Контактный автор: Музаев Илларион Давидович, e-mail: illarion .muzaev@yandex .ru Поступила 20 мая 2022 г., доработана 13 сентября 2022 г., принята в печать 23 сентября 2022 г.
Поставлена и решена контактная начально-краевая задача математической физики о моделировании селективного водозаборного процесса в двухслойном стратифицированном водоеме при условии, что из него вода забирается через две трубы, подведенные к разным слоям и расположенные одна над другой. Задача решена аналитически методом двукратных тригонометрических рядов Фурье с привлечением интегрального преобразования Лапласа и методов операционного исчисления для нахождения оригиналов по вычисленным изображениям. Получена совокупность расчетных формул для вычисления поверхности раздела слоев в процессе водозабора через обе трубы. Верхняя труба предназначена для обеспечения селективности водозабора через нижнюю трубу, чтобы он проходил исключительно из нижнего придонного холодного слоя водоема. В результате включения верхней вспомогательной трубы разность средних скоростей в слоях воды резко уменьшается и расширяется промежуток вариации числа Ричардсона, в котором выполняется критериальное условие устойчивости течения разноплотностных слоев воды. Забираемая вода используется для нужд охлаждения тепловыделяющих элементов различных промышленных предприятий, в том числе тепловых и атомных электростанций.
Ключевые слова: начально-краевая задача, стратифицированный водоем, селективный водозаборный процесс, критическое положение поверхности раздела слоев воды, критическое значение скорости и расхода забираемой воды, интегральное преобразование Лапласа, изображение и оригинал функции, число Ричардсона.
Цитирование: Музаев И.Д., Харебов К.С., Музаев Н.И. О начально-краевой задаче моделирования эффективного способа селективного забора воды из стратифицированного водоема. Вычислительные технологии. 2022; 27(0):33 I I. D01:10.25743/ICT.2022.27.6.004.
Введение
Для охлаждения и отвода излишнего тепла от высокотемпературных тепловыделяющих элементов различных производственных предприятий, в том числе тепловых и атомных электростанций, в летнее время необходима подача охлаждающей воды к упомянутым элементам из глубинного холодного слоя стратифицированного водоема — источника
водоснабжения. Однако даже при весьма низких скоростях забора воды водозаборная труба захватывает воду не только из глубинного слоя, но и из всей толщи водоема. В связи с этим необходимо подобрать параметры водозаборного процесса таким образом, чтобы вода из других слоев не затекала в водозаборную трубу. Забор воды должен происходить только из такого слоя, где мутность и температура воды соответствуют нормам технического водоснабжения. Такой способ забора воды называется селективным.
При математическом моделировании и дальнейшем проектировании селективного водозаборного процесса в двухслойном стратифицированном водоеме прежде всего необходимо определить критические положение поверхности раздела слоев и значение скорости забора воды через трубу.
При заборе воды из нижнего слоя, как это показано на рис. 1, а, предельное положение поверхности раздела, при котором она опускается до верхней кромки водозаборной трубы, называется верхним критическим положением, а соответствующее значение скорости забора воды через трубу — критической скоростью. При заборе воды из верхнего слоя (рис. 1,6") предельное положение поверхности раздела, при котором она поднимается до нижней кромки водозаборной трубы, называется нижним критическим положением, а соответствующее значение скорости забора воды через трубу — критической скоростью.
В справочных литературных источниках, а также в строительных нормах и правилах [1-4] для проектирования и математических расчетов вышеуказанных двух схем внутренних водозаборных устройств рекомендуется пользоваться следующими двумя упрощенными эмпирическими формулами, полученными в основном опытными исследованиями.
Для определения верхнего критического положения поверхности раздела слоев и вычисления соответствующей критической скорости рекомендуется формула Харлемана
a
б
Z
q
Qr
ХХХХхХХХХХхХХХЬ<Х;(ХХХХХХХ>Ь<ХХхХХХ><
Рис. 1. Расчетные схемы для эмпирических формул Харлемана (а) и Давидиана- Гловера (б) Fig. 1. Calculation schemes for the empirical formulas of D. Harleman (a) and Da,vidian Glover (6)
где Н2 — толщина нижнего слоя; с1 — диаметр трубы; р^ р2 — плотность воды в верхнем и нижнем слоях соответственно [1-4] (рис. 1, а). Эта формула пригодна только для случая, когда труба расположена заподлицо с дном водоема.
Для определения нижнего критического положения поверхности раздела слоев и вычисления соответствующей критической скорости рекомендуется формула Давидиана-Гловера [1-4]:
h
VKP = 5.67 ( -
6) fd
Р2 - Р1 Р1
где к — расстояние от поверхности раздела слоев до нижней кромки водозаборной трубы (рис. 1, б); остальные величины — те же, что и в формуле Харлемана.
Для обеспечения устойчивого селективного водозаборного процесса помимо критической скорости необходимо соблюдать условия, при которых не нарушаются разно-плотностные течения двухслойного потока воды вблизи отверстия водозаборной трубы. Известно, что условия возможности существования разноплотностного течения определяются по критерию устойчивости Ричардсона или плотностному числу Фруда. В результате теоретических исследований доказано, что разноплотностное течение воды нарушается, как только число Ричардсона становится меньше критического [1, 2]:
R, =
р2 - pi дН
р i - v
2 < R*kp ,
где У\ и и2 — скорость течения воды в верхнем и нижем слоях соответственно; Н = Н\ + Н2 — общая глубина (толщина) потока воды. Диапазон вариации критического числа Ричардсона И^ е (0.1; 2).
В настоящей статье предложен новый способ забора воды из двухслойного стратифицированного водоема. Способ позволяет забирать воду из нижнего холодного слоя с расходом и скоростью, существенно превосходящими критические значения, вычисленные по вышеприведенным формулам Харлемана и Давидиана-Гловера. Суть способа заключается в следующем. Над основной водозаборной трубой к верхнему слою на некотором расстоянии от поверхности раздела слоев подводится вспомогательная
i
Рис. 2. Расчетная схема начально-краевой задачи селективного водозаборного процесса через две трубы
Fig. 2. Calculation scheme for the initial boundary value problem of the selective water intake process through two pipes
труба, через которую забирается вода из верхнего слоя, как это показано на рис, 2, По мере увеличения расхода либо скорости забора воды через вспомогательную трубу опущенная вниз искривленная поверхность раздела слоев выпрямляется и при некотором определенном значении расхода (скорости) через вспомогательную трубу она становится практически первоначальной горизонтальной поверхностью. Одновременно значения скорости и расхода забираемой воды через нижнюю основную трубу можно увеличивать выше критических значений,
В статье приведена математическая модель предложенного селективного способа забора воды из нижнего слоя стратифицированного водоема. Модель представляет контактную начально-краевую задачу математической физики, В результате аналитического решения поставленной задачи получена совокупность расчетных формул, на основании которых с привлечением современных средств компьютерных технологий доказано следующее утверждение.
Утверждение. Предложенный способ забора воды с использованием верхней вспомогательной трубы позволяет существенно увеличивать скорость и расход забираемой воды из придонного холодного слоя, не нарушая селективности водозаборного процесса и одновременно двухслойного разноплотностного потока воды.
1. Постановка задачи при заборе воды из внутреннего пространства водоема двумя водозаборными трубами
В прямоугольной системе координат Охуг часть пространства, ограниченная условиями —Ь < х < Ь, —Ь < у < Ь, — Н2 < г < Н1, занята двухслойной идеальной несжимаемой жидкостью, представляющей собой стратифицированный водоем. Приняты следующие обозначения: 2 Ь — длин а, 2 Ь — ширина, Н1 — толщина верхнего слоя воды, Н2 — толщина нижнего слоя, р1 и р2 — плотность верхнего и нижнего слоев. Вода из слоев забирается двумя трубами, как это показано на рис, 2, Нижняя труба предназначена для забора воды из нижнего холодного слоя для нужд охлаждения высокотемпературных тепловыделяющих элементов некоторого промышленного предприятия. Верхняя вспомогательная труба — для сдерживания поверхности раздела слоев в первоначальном горизонтальном положении с тем расчетом, чтобы не нарушался селективный водозаборный процесс из придонного слоя водоема (т, е, чтобы вода из верхнего слоя не затекала в нижнюю трубу). Ниже будет доказано утверждение о том, что поставленная цель достигается путем вариации расхода воды через верхнюю вспомогательную трубу в рамках линейной безвихревой теории поверхностных и внутренних волн.
Математическая модель вышеописанного гидродинамического процесса представляет контактную начально-краевую задачу математической физики [5-14], которая имеет следующий вид:
А^1(х,у,г,1) = — Я14^еУ) Ш при 0 < г < Нъ (1)
А^2(х,у,г,1) = — (12{(1,У) /2(г) при — Н2 < г < 0, (2)
4 аое
<Р1 = ^2 = = при Ь = 0, (3)
др2
дх д'\
дх д'2
и =
д д
рщ + Р2Я2
8 Ь(рН + р2Н2),
д '
и при х = —Ь,
и при у = —Ь,
д 2'1 , д'1
+ 9
др\ др2
д х д '
д х д ' 2
д 2
д2 ' д ' д2 ' 2 д ' 2 \~0t2 +9ж)= 4^2" + дЖ)
д ' 2
д д О при г = Н,
— и х = Ь,
— и = Ь, ' д ' 2
О,
д д'2 д
= О,
(4)
О при г = — Н2. (5)
' ' 2
(х,у, г) — пространственные координаты; Ь — время; и д2 — расход забираемых вод через верхнюю и нижнюю трубы соответственно; А — дифференциальный оператор Лапласа по пространственным координатам (х,у, г) /(х, у), /2(г) — вспомога-
тельные функции, имеющие вид
f(х, У) ( )
f2(z)
1 при (х, у) Е [—а; а] х [—Ь;Ь],
О при (х, у) Е [—а; а] х [—Ь;Ь],
О при г Е [г 1 —
:1 ,1РИ ,Е [—2+,].
О при г Е [—г2; — + £].
(6)
Очевидно, что процесс затекания воды в водозаборные трубы в начально-краевой задаче смоделирован в виде стоков, непрерывно распределенных в прямоугольных параллелепипедах, примыкающих к поперечным сечениям труб. Размеры горизонтальных сторон параллелепипедов обозначены через 2а и 2 Ь. Высоты обоих параллелепи-
что диаметры водозаборных труб на несколько порядков меньше, чем протяженность Ь
пренебрегается,
В составленной начально-краевой задаче принято предположение о том, что поперечные живые сечения труб считаются прямоугольниками со сторонами 2а и 2Ь. Если живые сечения труб представляют собой круги с диаметром то величины а и Ь подбираются с учетом равенства площадей живых сечений 4аЬ = жсР/4.
х = Ь = Ь
удовлетворяют балансовому соотношению, т, е, объем и масса забираемой через трубы воды в единицу времени равна объему и массе затекающей в водоем воды через ее наружные условные границы,
' ' 2
ется по формуле [9, 11, 13]
V(х,У, =
д '
2
' 2
(Р2 — р\)д дъ (р2 — р\)д дъ
= О.
(7)
2. Решение задачи
Отметим, что исходная начально-краевая задача (1)-(5) поставлена симметрично относительно координатных плоскостей х = 0 и у = 0, Искомые потенциалы и уравнение волновой поверхности раздела слоев воды будут четными функциями относительно х
угольника (х, у) € [—Ь; Ь] х [-Ь; Ь] к его первому квадранту, т. е. к (х, у) € [0; Ь] х [0; Ь].
Приступая к решению поставленной начально-краевой задачи (1)-(7), необходимо применить подстановку
^г = 'Фг -
РгЯг + Р2Я2
х2 + у2
8 Ь(р \Н\ + Р2Н2) 2Ь <£г = фг, г = 1, 2 при Ь
1 = 1, 2 при Ь > 0,
0,
В результате таких преобразований контактная начально-краевая задача (1)-(7) приводится к следующей контактной краевой задаче относительно новых искомых функций ф\ и ф2.
дф\ дф2
дх дх
Аф-1 Аф2
Ч\ f(х, У) 4аЪе Р
0.2$(х, У) 4 аЬ £ Р
/2(г) +
Р\Ч\ + Р2Ч2
4Ь2(Р1Н +Р2Н2)Р}
р\д\ + Р2Ч2 4 Ь2( р 1Н1 + Р2Н2)Р}
дф1 дф2
0 при х = 0 и х = Ь, —— = —— = 0 при у = 0 и у = Ь,
Р 2ф1 + д
дф1 д
0 = Н1 ,
д д
дф1 дф2
д
= 0,
(р'2ф'1 + 'Щ ="\р2ф2 + °§)
= 0,
дф2 д
= 0 = - Н2 ,
Р
Неизвестные функции ф1 и ф2 ищутся в виде двукратных тригонометрических рядов
х
те те
ПТ1
тп
фг(х, У,г,Р) = фцп,т(?, Р) сов —х СОв —у, 1=1, 2.
т=0п=0
Ь
Согласно методу Фурье - Лапласа для неизвестных функций ф^ получится следующая контактная краевая задача для двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка:
й2ф г,п,т л 2 I е / \ , (р 1Я1 + Р2Я2)Рп
- ^п,шфг,п,ш = - М^ + 4Ь2(р Н + р2Н2)Р , * = 1 2 ^
р2-i,n,m + ,n,m = о при z = H,
az
+ д ^ = ^р2 ^ + оР и, = 0,
d—l n,m d—2,n,m n d—2,n,m n тт
---= --- при z = 0, ---= 0 при z = — H2, (9)
4 sin ana sin amb
an,m = J2--, n,m =1, 2,...,
— Ün
2b sin ana 2a sin ашЪ ab пк тк
&n,o = Y2 , ao,m = Y2 , = ~T2 , a'a = ~T, üm = ~¡~,
A = An,m = Val + arn, fin,m = 0 При n + т> 0, fi°,° = 1. Общие решения дифференциальных уравнений (8) имеют вид
Z
-1 ,n,m(z) = cishAn,mz + C20hAn,mz — - h(OshAn,m(z — £)d£,
4ab£P An,m J °
z
-2,n,m(z) = c3shAn,mz + c4chAn,mz — - Í2(OshAn,m(z — £)d£.
4a0£p An,m J °
В процессе удовлетворения граничным условиям (9) для определения неизвестных Cj, j = 1; 4, запишем линейную систему алгебраических уравнений
'S1C i + S2C2 = P 2rI +gAR2, S3C1 — S4C2 = P 2R;t,
C3 = Ci,
Pl P2 — Pl ,
C4 = — C2--=рг- g A c\,
P2 P2P2
Si = P 2shAH + gAchAH, S2 = P 2chAH± + gAshAНъ
Ss = p2P2 chAH2 + (p2 — pi )gAshAH2, S4 = p\P2shAH2,
ñ qi®n,m cchA(Hi — z 1+e) — c:hA(Hi — z 1) Ri =
R2 =
Rs =
4аЪ £ P A2
Ql&n,m sh A( H — z i+e) — sh A( H — z 1)
4 ab £ P A2
Ч2ап,т sh A( H2 — Z2) — sh A( H2 — Z2 + e)
4аЪеР X2
где X = Хщт.
В результате применения интегрального преобразования Лапласа и разложения функции г/(х,у, Ь) в двукратные ряды Фурье для коэффициентов ?]пт получается вы-X
ражение г]п,т =
Дальнейший путь завершения решения поставленной начально-краевой задачи становится очевидным. Обратным ходом после определения оригиналов от изображения по Лапласу для вычисления процесса колебания поверхности раздела слоев получается совокупность расчетных формул
оо оо
Г)(х, у, t) = Vn,m(t) cos anx cos amy,
n=0 m=0
Л
dn,m(líl — M2)
К (í^i sin u\t — sin t) + дЛК2
(
sinu2t sin^í
Л = V an + am
&n¡
ПП
T,
—
К — Р^ЛН2^ + R
2
'ch Л Н ch Л Н'
mu
К2
d
Í2 pk
= 1 + — thЛНг ^ЛН', 2
RзthЛН1 р^'^ЛН'
ch Л Н2
+
p2 ch Л Н\
. Л71 — Vi' — 4Ъ X7i + V lí — 4Ъ í = у 9Л-^-, = у дЛ~
th ЛНг + th ЛН2 d ;
'
О—г)
^ЛН -^ЛН'
Vo,o(t) — 0,
Rk — PR\, k — 1;3.
(10)
3. Программная реализация расчетных формул и управление селективным водозаборным процессом
Проведено компьютерное моделирование возмущенной поверхности раздела слоев воды по совокупности расчетных формул (10), Рассмотрен частный случай, когда ширина фиктивных параллелепипедов равна ширине водоема, т. е. Ь = Ь. При этом поставленная трехмерная пространственная задача вырождается в вертикально двумерную задачу. Соответствующая совокупность расчетных формул существенно сокращается и принимает вид
оо
r](x, t) = y^
(К + 9 a К'
ф'
,п )
п=1 dn (íÍ,П — Ш2,п)
cos anx,
п = 2 sin gna d = A +Pith Н th =птг
an — —-, an — 1+--th anMi thannan — ——,
T an p' T
ts P1^ и Sl,n Qi S3,n q' pi S',n qi Бз,п q2
К ,n — —thantí.'——----— — , К',п — — th antí.'——---thanMi-— — ,
P' S4 4a p' S4
С _ „-anZ! -ani'Hi-z{) q _ „-anZ! , -UnCHi-zi)
Si ,n — с — a , S',n — e + e ,
Sz,n — e-a"Z2 + e-a"('H2-Z2), S4tn — 1 + e-'a"Hl, SWn — 1 + e-'^2, (n)
th апН + th апН' Л pi \ th апН • th апН'
Ъ ,n =--, Ъ,п — 1--
í ,5
an P'J a
Ъ,п -
N
ll,n — yj l'n — 4Ъ,П Ъ,П + yj l\.n — 4 Ъ 9 an-2-, ш',п = \
gar,
2
sin nt sin í nt
Ф1,п(t) — í,n sin í,nt — sin Ш',nt, ф',п^)
Mi ,n
Гиперболические тангенсы целесообразно вычислять по следующим формулам:
1 _ g -'anHi 1 _ g -'a„H2
th an Нл —--——, th an Н' —-—тг.
n 1 1 + g anHi ' n ' 1 + е-'апH2
Вычислительные процедуры па компьютере проводятся в такой последовательности:
1) вводятся входные параметры водоема и водозаборных труб в соответствии с рис, 2;
2) открывается цикл по времени £ с выбираемым шагом Д£ (обычно ДЪ = 1 с);
3) открывается цикл по натуральному номеру щ
4) по совокупности форму,:: (11) вычисляется положение поверхности раздела слоев у водозаборных труб в каждый момент времени г/(0,£).
Количество членов в бесконечном тригонометрическом ряде дня достижения достаточной сходимости определяется в результате компьютерных вычислительных экспериментов, Дня данной задачи достаточно 10 ООО членов.
В качестве тестового примера на рис, 3 представлены графики зависимости ^(0,£) от времени £ и расхода д1. Входным параметрам присвоены числовые значения: полудлина водоема Ь = 1000 м; толщина слоев воды Н1 = Н2 = 5 м; полудлина фиктивного параллелепипеда а = 0.5 м; плотность воды в верхнем и ни жнем слоях р1 = 998 кг/м3 и р2 = 1000 кг/м3 соответственно; расстояния от поверхности раздела слоев до водозаборных труб г1 = ¿2 = 0.5 м; расход воды, забираемой через нижнюю основную трубу 0_2 = 0.5 м3/с, В качестве управляющего параметра водозаборным процессом выбран расход воды через верхнюю вспомогательную трубу д1. Этот параметр варьировался от 0 до 0,7 м3/с с шаг ом Дд1 = 0.1 м3/с.
Как видно из графиков на рис, 3, при закрытой верхней трубе, когда = 0, поверхность раздела слоев опустилась более чем на 0,9 м. Критическое значение ^(0,£) в данном примере составляет 0,5 м. Следовательно, нарушается селективность водозаборного процесса из нижнего слоя. При включении верхней трубы и постепенном увеличении расхода поверхность раздела слоев выпрямляется и при = 0.5 м3/с становится практически горизонтальной. При дальнейшем увеличении расхода воды поверхность раздела поднимается наверх к вспомогательной трубе.
Отсюда можно сделать заключение: путем вариации параметра можно управлять водозаборным процессом и добиться его селективности, т. е, того, что в нижнюю
Рис. 3. Графики зависимости положения поверхности раздела слоев воды у водозаборных труб от времени и расхода воды, забираемой через верхнюю трубу, при q\ = 0 0.1, ..., 0.7 м3/с (кривые 1 8 соответственно)
Fig. 3. Graphs of the dependence of the position of the water interface of the layers at the intake pipes versus time and versus the flow rate taken through the upper pipe for q\ = 0 0.1, ..., 0.7 m3/s (curves 1 8 respectively)
основную трубу вода поступает исключительно из нижнего слоя водоема. Кроме того, в результате включения верхней вспомогательной трубы разность средних скоростей в слоях воды резко уменьшается и тем самым промежуток вариации числа Ричардсона, в котором выполняется критериальное условие устойчивости течения разноплотноет-ных слоев воды, резко расширяется.
Заключение
Поставлена и решена контактная начально-краевая задача, моделирующая селективный водозаборный процесс в двухслойном стратифицированном водоеме, когда из него вода забирается через две трубы, установленных одна над другой в разных слоях водоема.
По полученной совокупности расчетных формул с привлечением компьютерных вычислительных ресурсов доказано, что путем вариации расхода (скорости) воды, забираемой через верхнюю трубу, можно регулировать водозаборный процесс и обеспечить его селективность, т, е, вода в нижнюю трубу будет поступать исключительно из нижнего придонного слоя. Забираемая вода используется для нужд охлаждения тепловыделяющих элементов различных промышленных предприятий, в том числе тепловых и атомных электростанций.
Список литературы
[1] Аверкиев А.Г., Макаров И.И., Синотин В.И. Бесплотинные водозаборные сооружения. М.; Л.: Энергия; 1969: 164.
[2] Большаков В.А. Справочник по гидравлике. Киев: Вища школа; 1977: 223-225.
[3] Соколов A.C., Макаров И.И., Кравец В.И., Филиппова З.Р. Методические указания по технологическим расчетам водоемов-охладителей. СПб.: ВНИИГ; 2003: 116.
[4] Craya A. Recherches theorignes sur l'ecoulement de couches superposees de fluides de densites defferents. La Houil le Blanche. 1949; (4):44—55.
[5] Музаев И.Д., Харебов К.С., Музаев H.И. Математическое моделирование способа управления селективным водозаборным процессом в стратифицированном водоеме. Вычислительные технологии. 2020; 25(5):4—16. D01:10.25743/ICT.2020.25.5.002.
[6] Музаев И.Д., Созанов В.Г. К теории поверхностных гравитационных волн Коши-Пуассона в узких непризматических водоемах. Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 1995. (3):40-43.
[7] Шокин Ю.И., Рынков А.Д., Хакимзянов Г.С., Чубаров Л.Б. О численных методах решения задач о накате волн на берег. I. Сравнительный анализ численных алгоритмов для одномерных задач. Вычислительные технологии. 2015; 20(5):214-232.
[8] Белолипецкий В.М., Костюк В.Ю., Шокин Ю.И. Математическое моделирование течений стратифицированной жидкости. Новосибирск: Наука. Сибирское отделение; 1991: 176.
[9] Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука; 1977: 815.
[10] Ламб Г. Гидродинамика. М.; Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы; 1947: 929.
[11] Harleman D.R.F., Stozenbach K.D. Fluid mechanics of heat disposal from power generation. Annual Review of Fluid Mechanics. 1972; ( I):7 32.
[12] Котляков H.C., Глинер Э.Б., Смирнов M.M. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа; 1970: 710.
[13] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука; 1977: 830.
[14] Гинзбург И.П. Теория сопротивления и теплопередачи. Л.: Издательство Ленинградского университета; 1970: 378.
Вычислительные технологии, 2022, том 27, № 6, с. 33-44. © ФИЦ ИВТ, 2022 ISSN 1560-7534
Computational Technologies, 2022, vol. 27, no. 6, pp. 33-44. © FRC ICT, 2022 elSSN 2313-691X
MATHEMATICAL MODELLING
DOI: 10.25743/ICT.2022.27.6.004
On an initial boundary value problem that models an effective method of water intake from a cold layer of a stratified reservoir
MUZAEV ILLARION D.1'2'*, KHAREBOV KONSTANT1N S.1, MUZAEV NUZGAR I.1
1 Geophysical Institute — the Affiliate of VSC RAS, 362002, Vladikavkaz, Russia
2
*
Received May 20, 2022, revised September 13, 2022, accepted September 23, 2022.
Abstract
The purpose of the paper is to formulate and solve a contact initial boundary value problem of mathematical physics which models a selective water intake process in a two-layer stratified reservoir, provided that water is taken from it through two pipes connected to different layers and located one above another. The problem is solved analytically by the method of two-fold trigonometric Fourier series involving the integral Laplace transform and operational calculus methods for finding originals from computed images. A set of formulas for calculating the interface of layers in the process of water intake through both pipes is obtained. In addition to the geometric dimensions of the reservoir and intake pipes, the thicknesses and densities of water in the layers, they contain the flow rate (speeds) of the water taken through the lower main pipe and the upper auxiliary pipe. The upper pipe is designed to provide selective water intake through the lower pipe — so that the water intake passes exclusively from the lower bottom cold layer of the reservoir. In addition, as a result of the inclusion of the upper auxiliary pipe, the difference in average velocities in the water layers decreases sharply and thereby the interval of variation of the Richardson number sharply expands, in which the criterion condition for the stability of the flow of different density layers of water is fulfilled. The collected water is used for the needs of cooling the fuel elements of various industrial enterprises, including thermal and nuclear power plants.
Keywords: initial boundary value problem, stratified reservoir, selective water intake process, the critical value of the speed and flow rate of the water taken, the integral Laplace transform, the image and the original of the function, the Richardson number.
Citation: Muzaev I.D., Kharebov K.S., Muzaev N.I. On an initial boundary value problem that models an effective method of water intake from a cold layer of a stratified reservoir. Computational Technologies. 2022; 27(0):33 i i. D01:10.25743/ICT.2022.27.6.004. (In Russ.)
References
1. Averkiev A.G., Makarov I.I., Sinotin V.I. Besplotinnye vodozabornye sooruzheniya [Damless water intake structures]. Moscow; Leningrad: Energiya; 1969: 164. (In Russ.)
2. Bolshakov V.A. Spravochnik po gidravlike [Reference book on hydraulics]. Kiev: Vyshcha Shkola; 1977: 223-225. (In Russ.)
3. Sokolov A.S., Makarov I.I., Kravets V.I., Filippova Z.R. Metodicheskie ukazaniya po tekhnolo-gicheskim raschetam vodoemov-okhladiteley [Guidance on technological calculations of water coolers]. SPb: VNIIG; 2003: 116. (In Russ.)
4. Craya A. Recherches theorignes sur l'ecoulement de couches superposees de fluides de densites deflferents. La Houil le Blanche. 1949; (4):44-55.
5. Muzaev I.D., Kharebov K.S., Muzaev N.I. Mathematical modelling of the method for controlling selective water intake process in a stratified reservoir. Computional Technologies. 2020; 25(5):4-16. DOI: 10.25743/ict.2020.25.5.002. (In Russ.)
6. Muzaev I.D., Sozanov V.G. To the theory of surface gravity waves Cauchy-Poisson in narrow non-prismatic reservoirs. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedeniy. Severo-Kavkazskiy Region. Estestven-nye Nauki. 1995; (3):40-43. (In Russ.)
7. Shokin Yu.I., Rychkov A.D., Khakimzyanov G.S., Chubarov L.B. On numerical methods for solving run-up problems. I. Comparative analysis of numerical algorithms for one-dimensional problems. Computational Technologies. 2015; 20(5):214-232. (In Russ.)
8. Belolipetskiy V.M., Kostyuk V.Yu., Shokin Yu.I. Matematicheskoe modelirovanie techeniy stratifitsirovannoy zhidkosti [Mathematical modelling of stratified fluid flows]. Novosibirsk: Nauka; 1991: 176. (In Russ.)
9. Sretenskiy L.N. Teoriya volnovykh dvizheniy zhidkosti [Theory of wave motions of a fluid]. Moscow: Nauka; 1977: 815. (In Russ.)
10. Lamb G. Gidrodinamika [Hydrodinamics]. Moscow; Leningrad: Gosudarstvennoe Izdatel'stvo Tekhni-ko-Teoreticheskoy Literatury; 1947: 929. (In Russ.)
11. Harleman D.R.F., Stozenbach K.D. Fluid mechanics of heat disposal from power generation. Annual Review of Fluid Mechanics. 1972; (4):7-32.
12. Koshlyakov N.S., Gliner E.B., Smirnov M.M. Uravneniya v chastnykh proizvodnykh matemati-cheskoy flziki [Partial differential equation in mathematical physics]. Moscow: Vysshaya Shkola; 1970: 710. (In Russ.)
13. Korn G., Korn T. Mathematical handbook for scientists and engineers. McGrow-Hill Book Company; 1968: 818.
14. Ginzburg I.P. Teoriya soprotivleniya i teploperedachi [The theory of resistance and heat transfer]. Leningrad: Izdatel'stvo Leningradskogo Universiteta; 1970: 378. (In Russ.)
