О мономиальности конечной группы с небольшим числом классов сопряженных элементов вне нормальной подгруппы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Краткие сообщения

УДК 512.542 + 512.547.2

О МОНОМИАЛЬНОСТИ КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ С НЕБОЛЬШИМ ЧИСЛОМ КЛАССОВ СОПРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ВНЕ НОРМАЛЬНОЙ ПОДГРУППЫ

С. Н. Федоров

В статье [1] исследовалась конечная гpyппa G, которая обладает нормальной подгруппой N и вне которой лежат один, два или три класса сопряженных элементов. Были найдены необходимые условия наличия такой подгруппы для каждого из трех случаев. Можно показать, что эти условия являются и достаточными, но в настоящей работе мы ставим другой вопрос: что можно сказать о мономиальности группы с означенным свойством? Как результат будут получены некоторые достаточные условия мономиальности группы на основе информации о числе классов сопряженных элементов, лежащих вне некоторой нормальной подгруппы. Они сформулированы в теоремах A, B и C.

Предварительные сведения. Рассматриваемые далее группы предполагаются конечными, характеры — обыкновенными (над C), p обозначает простое число.

Пусть A — некоторое подмножество группы G, обозначим через kc(A) минимальное количество классов сопряженных элементов группы G, объединение которых содержит A. Характер группы G называется мономиальным, если он индуцирован линейным характером некоторой подгруппы группы G. Группа, у которой все неприводимые характеры мономиальны, называется мономиальной или М-группой. Если все подгруппы М-группы G мономиальны (что не всегда справедливо [2]), то G называют М-группой.

Сформулируем достаточный признак мономиальности группы, который понадобится в дальнейшем.

Теорема 1 (Г. М. Зейц [3]). Пусть (У — объединение всех классов 1t разрешимых групп, удовлетворяющих следующим условиям:

(1) Н. замкнут относительно взятия подгрупп и гомоморфных образов;

(2) Ft состоит из М-групп;

(3) G/Z(G) лежит в Ft тогда и только тогда, когда G лежит в Ft.

Пусть G — разрешимая группа, N < G и G/N лежит в Пусть силовские р-подгруппы N не имеют сечений, изоморфных группе кватернионов для p = 2 и экстраспециальной группе порядка p3 экспоненты p для нечетного p. Тогда G — М-группа.

Докажем также простую лемму, которую мы используем ниже при установлении основных результатов.

Лемма. Пусть G — группа Фробениуса с дополнением H. Если H абелева, то G — М-группа.

Доказательство. Как известно, каждый неприводимый характер группы Фробениуса либо является продолжением неприводимого характера факторгруппы по ядру группы, либо индуцирован неприводимым характером самого ядра (см., например, [4, теорема 18.7]). Неприводимые характеры данной группы Фробениуса, соответствующие первой возможности, имеют степень 1, так как факторгруппа по ядру абелева. Ядро группы Фробениуса нильпотентно [4, теорема 16.7], и, следовательно, его неприводимые характеры мономиальны. Поэтому неприводимые характеры группы G, соответствующие второй возможности, мономиальны согласно транзитивности индуцирования. Таким образом, G — М-группа.

Рассмотрим теперь произвольную подгруппу A в G и покажем, что и она мономиальна. Возможен один из трех случаев.

1. Если подгруппа A полностью содержится в ядре N группы Фробениуса G, то она нильпотентна и, следовательно, мономиальна.

2. Если A П N = 1, то \AN\ = \A\ ■ \N|. Так как N < G, то NA — подгруппа в G = NH. Поэтому \A\ делит \H\. Подгруппа H холлова в G, т.е. (\H\, \G : H\) = 1, и G разрешима вследствие мономиальности. Значит, по теореме Ф. Холла [5, § 20] A < Hg = H для некоторого g £ G, т.е. группа A абелева.

3. Остается ситуация, когда M = A П N =1 и L = A П Hg = 1 для некоторого g £ G (будем считать, что g = 1). Тогда A — группа Фробениуса с дополнением L. Действительно, имеем L < H. Значит, L П Lg = 1 для любых g £ A — H С G — H, и по теореме Фробениуса получаем то, что требовалось. Поскольку L абелева, то A мономиальна по доказанному выше. □

Основные результаты. Посмотрим теперь, когда конечная группа G будет М-группой при условии, что она содержит нормальную подгруппу не более чем с тремя классами сопряженных элементов вне ее.

Теорема A. Пусть G — конечная группа, имеющая нормальную подгруппу N со следующим условием: ka(G — N) = 1. Тогда G — JJ-группа.

Доказательство. Если группа G абелева, утверждение очевидно. В противном случае по предложению 2.1 из [1] она является группой Фробениуса с дополнением порядка 2. Остается применить лемму.

□

Теорема B. Пусть G — конечная группа, имеющая нормальную подгруппу N со следующим условием: ka(G — N) = 2. Тогда G — JJ-группа, если выполнено одно из условий (здесь P G Sy^(G)) :

(а) IG/N I = 2;

(б) IG/N I =2 и подгруппа P не изоморфна группе кватернионов;

(в) IG/NI =2, P — группа кватернионов и силовские p-подгруппы N свободны от экстраспециальных сечений порядка p3 экспоненты p.

Доказательство. (а) Возможны только случаи (1) и (2) из теоремы 2.2 [1], т.е. G изоморфна группе S3 (очевидно, мономиальной) или группе Фробениуса с дополнением порядка 3, которая, согласно лемме, является JJ-группой.

(б) При таких условиях имеет место п. (3,a) или (3,с) теоремы 2.2 [1]. Рассмотрим (3,а). Пусть M<G — нормальное абелево 2-дополнение, т.е. G/M — 2-группа. По теореме 1 группа G мономиальна. Любая подгруппа A группы G тоже имеет нормальное 2-дополнение: M * = A П M < A. Поэтому, рассуждая так же, как и для G, получаем мономиальность подгруппы A. В случае (3,с) у G есть абелево 2-дополнение, т.е. для нечетных p силовские p-подгруппы группы G абелевы и у них не может быть экстраспециальных сечений. Силовская 2-подгруппа P изоморфна группе диэдра D4 и, следовательно, не изоморфна группе кватернионов. Теперь, если мы возьмем в теореме 1 N = G, то получим, что G — J -группа. Аналогично у любой подгруппы группы G силовская 2-подгруппа изоморфна подгруппе из D4, a остальные силовские подгруппы абелевы. Таким образом, G — JJ-группа.

(в) Здесь возможен только случай (3,b) теоремы 2.2 [1]. Значит, существует M < G — нормальное 2-дополнение и группа G/M, очевидно, нильпотентна. По условию силовские p-подгруппы M свободны от экстраспециальных сечений порядка р3, экспоненты р. Так как класс нильпотентных групп удовлетворяет всем условиям, наложенным на Ii в теореме 1, то группа G мономиальна. Для любой ее подгруппы все эти условия тоже выполнены. □

Примером в теореме B может послужить группа G = S4 порядка 24 с нормальной подгруппой N = A4 индекса 2. Действительно, три класса сопряженных элементов (с длинами 1, 3 и 8 и представителями 1, (12)(34) и (123) соответственно) составляют A4 и вне ее лежат оставшиеся 2 класса. Очевидно также, что у A4 не может быть сечений порядка p3. Все это означает, что S4 является J-группой.

Теорема C. Пусть G — конечная разрешимая группа, имеющая нормальную подгруппу N с условиями IG/NI =2 и ka(G — N) = 3. Тогда G — JJ-группа.

Доказательство. Условие IG/N I = 2 отсекает возможность выполнения пп. (5)—(7) теоремы 3.6 из [1]. Группа диэдра из п. (4) очевидно является JJ-группой. Остается рассмотреть пп. (1)—(3).

(1)—(2) Согласно примеру, приведенному перед теоремой, группа S4 является JJ-группой, а значит, это же верно для ее подгруппы A4.

(3) Группа Фробениуса с циклическим дополнением, согласно лемме, является JJ-группой. □

Что касается поиска достаточных условий мономиальности группы G с четырьмя классами сопряженных элементов вне некоторой нормальной подгруппы N, то потребуются еще более жесткие ограничения. Достаточно рассмотреть группу G = SL(2, 3) порядка 24. В качестве N возьмем подгруппу в G, порожденную матрицами (0 "01) и 1). Тогда IG/NI = 3, ka(G — N) = 4, что проверяется непосредственно, и G разрешима (ср. с условиями теоремы C). Но при этом G = SL(2, 3) — не J-группа, это минимальный по порядку пример немономиальной группы [4, п. 24.7,с].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Qian Guohua, Shi Wujie, You Xingzhong. Conjugacy classes outside a normal subgroup // Communs Algebra. 2004.

32, N 12.4809-4820.

2. Ito N. Note on A-groups // Nagoya Math. J. 1952. 4. 79-81.

3. Seitz G.M. M-groups and the supersolvable residual // Math. Z. 1969. 110. 101-122.

4. Huppert B. Character theory of finite groups. Berlin; N.Y.: Walter de Gruyter, 1998.

5. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.

Поступила в редакцию 14.03.2007