Научная статья на тему 'О модификации двухступенчатого метода предобуславливания при численном решении задачи многофазной фильтрации вязкой сжимаемой жидкости в пористой среде'

О модификации двухступенчатого метода предобуславливания при численном решении задачи многофазной фильтрации вязкой сжимаемой жидкости в пористой среде Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
287
105
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ФИЛЬТРАЦИЯ / ПРЕДОБУСЛАВЛИВАТЕЛЬ / ПОРИСТАЯ СРЕДА / ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Борщук Олег Сергеевич

Для решения линейной системы, возникающей при численном моделировании многофазной фильтрации вязкой сжимаемой смеси в пористой среде, рассмотрен предобуславливатель CPR. Предложена модификация предобуславливателя CPR на основе декомпозиции расчетной области на устойчивую и неустойчивую при фиксированном временном шаге и неявной дискретизации по времени. Проведено сравнение эффективности предобуславливателей CPR и ACPR на реальных двух и трехфазных задачах.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Борщук Олег Сергеевич

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

About the new two-stage linear solver preconditioner for numerical solution of viscous multiphase flow in porous media

For solution of the linear system arising at numerical modelling of multiphase filtering of viscous compressed mixture in the porous environment, it is considered предобуславливатель CPR. Modification предобуславливателя CPR on the basis of decomposition of settlement area on steady and unstable is offered at the fixed time step and implicit sampling. Efficiency matching предобуславливателей CPR and ACPR on real two and three-phase tasks is spent.

Текст научной работы на тему «О модификации двухступенчатого метода предобуславливания при численном решении задачи многофазной фильтрации вязкой сжимаемой жидкости в пористой среде»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ

УДК 519.6:532

О. С. БОРЩУК

О МОДИФИКАЦИИ ДВУХСТУПЕНЧАТОГО МЕТОДА ПРЕДОБУСЛАВЛИВАНИЯ ПРИ ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ МНОГОФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ВЯЗКОЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

Для решения линейной системы, возникающей при численном моделировании многофазной фильтрации вязкой сжимаемой смеси в пористой среде, рассмотрен предобуславливатель ОРЯ. Предложена модификация предобуславливателя ОРЯ на основе декомпозиции расчетной области на устойчивую и неустойчивую при фиксированном временном шаге и неявной дискретизации по времени. Проведено сравнение эффективности предобуславливателей ОРЯ и АОРЯ на реальных двух и трехфазных задачах. Фильтрация ; предобуславливатель ; пористая среда ; линейная система

ВВЕДЕНИЕ

Задача полномасштабного гидродинамического моделирования процессов нефтегазодобычи сопряжена с ресурсоемкими вычислениями, кроме того, размеры моделей постоянно увеличиваются. Так, еще 5-6 лет назад большинство гидродинамических моделей содержало не более 100 тысяч ячеек, теперь же средний размер модели достигает 1 млн ячеек и более. С учетом роста размерности моделей особую роль играет эффективность методов решения разреженных систем линейных алгебраических уравнений большой

размерности, тем более, что процент времени решения линейной системы в общем времени расчета составляет от 80% до 90%.

В статье предложена модификация предобуславливателя ОРЯ, который совместно с каким либо методом подпространства Крылова, является одним из самых быстрых при решении линейных систем в пакетах гидродинамического моделирования залежей углеводородов. Тестирование нового метода проводилось на 2-х и 3-х фазных моделях и показало преимущество в скорости в среднем на 20%, в количестве требуемой оперативной памяти на 35-40%.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим систему уравнений, описывающих двухфазную фильтрацию вязкой сжимаемой жидкости в пористой среде [1] (все

изложенное ниже может быть продолжено на случай трехфазной фильтрации):

ам„

дґ

м

дґ

-У(КХ № ) =

-У{КХ0УФ0 ) = д0,

(1)

(2)

где М, = фрЛ, Мо = ФРо (1- Sw), I р =р р -

Ц р

мобильность фазы р={о, w}, Фо = р -Роё^Е ,

Ф * = Р + Рсош - Р , * - врем^ ф = ф(р) -

пористость, Sw - насыщенность воды, р, = р,(р, Sw), Ро = р0(р) - плотности воды и нефти,

к =

УУ

к.

- диагональный тензор

абсолютной проницаемости, к*, = к,,^,), кго = = кго^„) - относительные фазовые проницаемости воды и нефти, Ц, = Ц,(р, Sw), Ц0 = Цо(р) -вязкости воды и нефти, р - давление, рС0№= = рС0ш (Я„) - капиллярное давление между

нефтяной и водной фазой, ё - ускорение свободного падения, Б - глубина и qw, до -массовые плотности источников воды и нефти.

Отметим, что уравнения (1, 2) представляют собой уравнения сохранения массы для воды и нефти.

Дискретизируя уравнения (1, 2) по

пространству с помощью метода конечных

объемов, получим систему нелинейных

уравнений:

V (к) (м*) = £ Р, + еН, (3)

]'еМ1 (Н)

уг (к)-(Мо) = £ Уо] + ~@о, V/ е Н, (4)

]еЫ‘ (Н)

где О — множество ячеек дискретной сетки, У - объем г-ой ячейки, N(0.) - множество соседних ячеек для ячейки г, М - шаг по времени, Q - источник или сток, а - означает, что значение переменной (функции) а берется с нового временного слоя,

Р, = Т1,]к, (ф* -Ф*) - поток водной фазы через границу между ячейками г и ], рч = т1’}хо (фо -фго) - поток нефтяной фазы через границу между ячейками г и , Тг, -проводимость между ячейками г и ] (зависит от тензора К ), ё - ускорение свободного падения. Отметим, что мобильности к*] и к о вычисляется против потока.

Нелинейная система (3, 4) состоит из 2 X п уравнений (п - число ячеек сетки) и 2 X п неизвестных (давление и насыщенность воды в каждой ячейке). Для решения систем нелинейных алгебраических уравнений наиболее часто используется метод Ньютона. Возникающая при этом несимметричная линейная система алгебраических уравнений (матрица Якоби) представляет собой разреженную матрицу состоящую из блоков:

ЭRL ЭRi

Э^

R

ЭS^

Эp1

R

ЭpJ

i, є W,

(5)

где - уравнения (3), а Яо - уравнение (4).

Отметим, что в строке 1 линейной системы количество ненулевых блоков равно количеству соседей ячейки г плюс диагональный блок.

2. ПРЕДОБУСЛАВЛИВАТЕЛЬ СРЯ

Как было показано ранее, система линейных алгебраических уравнений

Ах = Ь, (6)

получающаяся в методе Ньютона при решении системы (3, 4) представляет собой несимметричную разреженную матрицу с блочной структурой. При этом все блоки имеют размер 2 X 2 .

Наиболее популярными и быстрыми методами решения разреженных систем большой размерности являются методы подпространства Крылова GMRES [4] и BiCGStab [4], в которых используются различные методы предобуславливания. При этом вместо системы (6) решается эквивалентная система

(7)

где M - матрица предобуславливателя, удовлетворяющая следующим условиям:

1. det(M) ф 0;

2. MT1 - легко вычисляема;

3. M ~ A.

Отметим, что скорость сходимости метода напрямую зависит от выбора предобуслав-ливателя M.

Сложность решения рассматриваемых нами систем связана со смешанным характером исходной системы уравнений (1, 2). Так, в [1] показано, что система (1, 2) является

параболической по давлению p и гиперболической по насыщенности Sw. Для упрощения будем называть гиперболическими, эллиптическими или параболическими линейные системы алгебраических уравнений полученные при дискретизации

дифференциальных уравнений в частных производных соответствующего типа.

Известно, что алгебраический

многосеточный метод (AMG) [З] хорошо

подходит (как предобуславливатель) для решения эллиптических и параболических линейных систем, но при этом неэффективен для гиперболических систем. С другой стороны неполное LU разложение (ILU0) [4] и его модификации хороши при решении

гиперболических систем, но с трудом справляются с эллиптическими и

параболическими системами.

Так как линейная система имеет смешанный характер, был предложен двухступенчатый предобуславливатель Constrained Pressure Residual

(CPR) [2]:

• из исходной линейной системы построить систему на давление при условии, что насыщенность меняется слабо;

• решить полученную параболическую систему на давление (первая ступень CPR), используя алгебраический многосеточный метод;

• полученное решение на давление использовать как начальное приближение для неполного LU разложения (вторая ступень CPR).

Таким образом, CPR позволяет эффективно решать рассматриваемую систему смешанного типа. Результаты численных экспериментов можно найти в [5].

В матричном виде двухступенчатый предобуславливатель может быть записан как

М- = М 2-1 [Е - ЛМ~1 ]+М-1, (8)

где М1 и М2 - матрицы предобуславливателей первой и второй ступени, Е - единичная матрица. В случае предобуславливателя CPR (8) примет вид:

М-РК = М~1и [Е - ЛМр ]+Мр.

Рассмотрим алгоритм метода CPR подробнее. Для построения системы на давление отсортируем столбцы и строки линейной системы (6) таким образом, чтобы вначале шли переменные на давление (индекс р), а потом переменные на насыщенность (индекс 5):

(9)

Предполагая, что насыщенность в ячейках меняется слабо и не зависит от соседних ячеек, исключим из Лрх все недиагональные элементы ВРх=В(ЛРх), то же самое проделаем и с Л^, то есть 06.6=0(Л6.6). С учетом этого приближения система (9) примет вид

Пусть нам надо решить MCPRx = b (или

1 A pp I ps A 1 x p I 1 о p I

I Asp I Ass 1 sx 1 I bs I

" App I ps Dp 1 x p I I p b 1

_ Asp I Dss I xs I I bs I

(lO)

Далее, так как - диагональная матрица, а

следовательно, легко вычисляема, выразим

х^ из второго матричного уравнения системы (10)

Г.-1

xs=Dlbs - DssAspxp

(ll)

и подставив это выражение в первое матричное уравнение системы (10) получим систему на давление:

(Лрр - вр*в- Ар)хр=ър- вр°-ь*’

или

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

лрхр=гр .

В матричном виде систему на давление можно представить как Лр = СтЫЛС, где

E - DpsD-sl

CT = [E O], N = ps ss , a матрицу

I O E I

предобуславливателя Mp как M-1 = CA-lCTN .

x = M-1pRb), тогда алгоритм будет следующим:

1) rp=bp - DpsD-lbs ( rp=CTNb ) - расчет

правой части для системы на давление;

2) Ap=App - DpsD-sl Asp (Ap=CTNAC) -

построение системы на давление;

3) Ap5xp = rp - решение системы на дав-

ление;

4) 5x = (6xp,0)T (Sx = C6xp ) - расширение вектора Sxp ;

5) b = b - A6x - обновление правой части;

6) MILUx = b - решение системы, где Milu=ILU 0(A) матрица неполного LU разложения для A;

7) x = x + Sx - коррекция решения. Отметим, что в пункте 4 алгоритма не используется выражение переменных xx через переменные xp, это связано с нестабильностью получаемых при этом результатов вблизи источников, стоков или фронта вытеснения.

3. ПРЕДОБУСЛАВЛИВАТЕЛЬ ACPR

При всех преимуществах предобуславливателя CPR (быстрая сходимость, фактически линейный рост времени решения в зависимости от размерности задачи) он обладает одним существенным недостатком. Этим недостатком является повышенное требование к объему оперативной памяти. Так, для решения системы с использованием предобуславливателя CPR требуется в среднем в 1,5-2,0 раза больше оперативной памяти, чем при использовании предобуславливателя ILU0.

В данном разделе предложена модификация предобуславливателя CPR, названная ACPR (Adaptive Constrained Pressure Residual), которая позволяет сократить затраты оперативной памяти, а также уменьшить общее время построения решения.

Основная идея ACPR состоит в разделении всего множества ячеек сетки Q на два непересекающихся подмножества Qe и Q;, где

- множество ячеек, для которых решение на насыщенность может быть получено из решения на давление с использованием формулы (11), а Q = Q/Q е - все оставшиеся ячейки. Так как решение на давление мы получаем на первом шаге предобуславливателя CPR, то для ячеек из множества Qe строить неполное LU разложение не требуется. Таким

i,j

O;

образом, матрица предобуславливателя М^и строится не на основе матрицы А, а на основе матрицы А , которая получается из матрицы А по следующим правилам:

• если г е Ог и у е Ог , то агу = а,

• если г е и у е Оа , то а; .

I ^ а I,]

• если г = ] и г е Ое , то аг у = аг у ;

• если г е Ое и г Ф ], то аг у = 0.

Здесь I - индекс строки, j - индекс столбца, аг у и аг у - блоки матриц А и А

соответственно.

Для разделения множества О на множества

и Ое будем использовать критерий CFL (Courant-Friedrichs-Lewy) [6] (в русскоязычной

литературе число Куранта). Критерий CFL является критерием устойчивости явной схемы дискретизации по времени для гиперболических дифференциальных уравнений, и позволяет определить величину шага по времени, при котором решение является устойчивым. Для случая уравнений многофазной фильтрации в пористых средах, величина CFL для ячейки г вычисляется по формуле:

CFL = max(CFLw , CFLio),

(іг)

где

(

CFLiw = AtApi l'w • max

к^кж

Axi ’ Ay

д.

Az1

CFL0 = AtAp' X0 • max

kL k' hi

\

_______yy___

Ax’ ’ Ay1 ’ Az1

Если выполнено условие CFL1 < 1, то ячейка i является устойчивой.

Будем выбирать множество Qe по

следующему алгоритму:

1) Qe = Q,

2) Qe = Qe/{i: | QW \ + \Ql0\> 0} - убрать все ячейки в которых есть источник или сток,

3) Qe = Qe/{i: CFL > 1} — убрать все ячейки для которых не выполнено условие CFL.

4. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Численные результаты получены в пакете гидродинамического моделирования трехфазных пластовых систем углеводородов «BOS» нефтяной компании Роснефть.

При тестировании были использованы следующие гидродинамические модели:

1) двухфазная модель SPE10 — 1122000 ячеек, 4 добывающих скважины, 1 нагнетательная;

2) трехфазная модель - около 850000 ячеек, 83 добывающих скважины, 17 нагнетательных.

Полученные результаты представлены в таблице (1)

Т аблица 1

Результаты замеров, где N - число временных шагов, Ы„ - число Ньютоновских итераций, N -число линейных итераций, Т - общее время решения линейных систем, Ут - объем оперативной памяти

Модель 1 2-х фазная Модель г 3-х фазная

Nt 408 1б3

Nn 1235 540

CPR Ni 3879 г371

T (минут) 348 403

Vm (ГБ) 1,25 1,89

ACPR Ni 3886 г399

T (минут) 276 гб8

Vm (ГБ) 0,83 1,08

При

Qe

этом доля ячеек множества ое относительно множества О составила для 2-х фазной модели 3%, а для 3-х фазной 4,5%.

Отметим, что все результаты

представленные в таблице (1) получены при следующем условии выхода из итерационного метода решения систем линейных алгебраических уравнений

|Ь - Ах\\

„ „ 2 < 10-4.

ВЫВОДЫ

Предложена модификация предобуслав-ливателя СРЯ, позволяющая сократить время решения разряженных систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при гидродинамическом моделировании залежей углеводородов, на 20% и объема требуемой оперативной памяти на 35-40%. Проведено тестирование предложенного алгоритма на 2-х и 3-х фазных задачах. Отметим, что при наличии в моделях свободного газа и больших градиентах по давлению, эффективность метода АСРЯ падает, так как при этом доля ячеек множества Ое, возрастает. В худшем случае Ое = О и предобуславливатель ACPR становится эквивалентен предобуславливателю CPR.

Отличительной особенностью метода ACPR является его способность адаптироваться под условия в течении всего процесса численного решения.

а

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Aziz, K. Pertoleum reservoir simulation / K. Aziz, A. Settari. Blitzprint Ltd., 2002. 480 p.

2. Wallis, J. R. Constraint residual acceleration of conjugate residual Method / J. R. Wallis, R. P. Kendall, T. E. Little // SPE 13536, 1985.

3. Stuben, K. Algebraic multigrid (AMG): An introduction with applications / K. Stuben // GDM Report 53, 03.1999.

4. Saad, Y. Iterative methods for sparse linear systems / Y. Saad, 2002.

5. Behie, A. Comparison of nested factorization, constrained pressure residual, and incomplete factorization preconditionings / A. Behie // SPE 13531-MS, 1985.

6. Coats, K. H. A note on IMPES and some IMPES based simulation models / K. H. Coats // SPE 65092, 2000.

ОБ АВТОРЕ

Борщук Олег Сергеевич, асп. каф. математики. Дипл. магистр прикл. математики и информатики (УГАТУ, 2005). Иссл. в обл. числ. моделир-я течения вязких, сжимаемых многофазн. жидкостей в пористой среде.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.