CC BY
31
УДК 539,3
Б.Е. Победря*, А. Родригес**
Московский государственный университет ** Daytona Beach Community College
О МОДЕЛЯХ ПОВРЕЖДАЕМОСТИ РЕОНОМНЫХ РЕГУЛЯРНЫХ СТРУКТУР
Abstract
The linear rheonomous statement constitutive relations for an inhomogeneous medium with explosive on coordinates by material functions are considered. The evolutionary destructions taken into account by introduction to constitutive relations of a tensor destruction. By an average technique the algorithm for a solution of the quasistatic problems of composite mechanics with the accepted constitutive relations is described.
Операторные определяющие соотношения, учитывающие меру повреждаемости, были рассмотрены нами в работах [1, 2], Материальные функции определяющих соотношений для неоднородных сред зависят от пространственных координат и для композитов являются разрывными функциями этих координат. В работе [1] подробно проанализирован простейший случай физически линейной реономной среды, а в работе [2] рассмотрены и некоторые нелинейные среды.
Пусть нам заданы выражения напряжений 0(/через деформации е и повреждаемость в виде
Соотношения (1) являются частным случаем общих операторных соотношений 1 ]. При этом для тензора повреждаемости % (О запишем выражен ие
Для сокращения записи воспользуемся символическим операторным обозначением [3] и запишем соотношения (1) в виде
<*ч = |Г/;*,(ЛТ) е;,(т)^т + JУіік1{іЛ ) Хн (X) dт .
О)
о о
(2)
О
(3)
а соотношение (2) в виде
Из (3 ) и (4 )
т.е. мы получили соотношения, формально совпадающие с соотношением классической теории термовязкоупругости [4]. Заметим, что традиционно в соотношениях (2) тензор повреждаемости связывают с напряжением [5]
/ , ,
Xij = (т ) dx = Yijki с w. (б)
О
Подставив (6) в (3), получим
О V
О I j '=- Г; / к І Є ^ / 4“ V } j т п У т н К I (7 ^ )
Введём единичный тензор четвёртого ранга А [6],
Ankt = ^( 5і*8.,7 +5,;5,0- (8]
Тогда (7) можно записать в виде
■и CJ v_:
^ ■ ; т п У /'■ - л / ) О" л : —Г t jkl Є j-: . ' 1 1
v_/
Пусть тензор-онєрагор IV.jkl является обратным по отношению к опера-юру, заключённому в левой части (9) в круглые скобки, т.с.
(Д/;</ —V, ( т я Ymnkl^W к! РЯ —A. ,v,y . (10)
Тогда соотношения (9), а значит и (7) можно, как и прежде, записать в виде (5И,
2
только теперь оператор 5,-;*? имеет вид не (5) , а
S . jkl ~ W ; / ГГ П Г" л> /: к. ( I )
Таким образом, доказана эквивалентность записей (2) и (6).
Разумеется, мы будем считать определяющие соотношения (5) обратимыми, i .e. их можно разрешить относительно деформаций
і'-)
где
S4«»Qmnti=bm- С--’'
Определяющим соотношениям (12) соответствуют две исходные формы записи:
гТГ1=кцы ак, + Ацк, Хи- О4)
Одна форма в виде (6), а другая в виде (4). В первом случае
Q; : I : = К ! , к I + А ! щ II V гп п к1 , ( 1 Г )
а во втором
Q,jki -Btjre К.„„к:, (16)
где тензор-оператор является обратным к тензору-оператору Д,-ік,-АЧтп Xтпк!.
т.е.
где
В,]к1 (Дк1т„ -Ак1рЧ X рЧтп)•
Таким образом, и в случае (14) обе формы записи (4) и (6) эквивалентны. Для изотропного случая соотношения (14) могут быть записаны в виде
е, / -К .V. + А % . ,
^ 1 О
а+ — Ах х .
9
г-' - О' ст . і ;, а . = ст 5. +- V , х,. - - X ^ , " У ■
7 1 °
е = е,-ЗаЬ, с = -с„к, %=%и,
^ К\ -3 К 1 и
К, т = — 8,; 8И +и (5;, 8,,, + 8,, 8 п ),
у 2.
1,, =А^5(..^ + 1^(8|Д, + 6(;5^).
Соотношения (6) в этом случае примут вид
О V,
% = I”* О,
где аналогично (20):
и и
^ У<-3 У )
Уиы = —8,у.5і/+-У(5„6у;+5і/5,*).
Поэ'юму соотношения (12) могут быть записаны в виде
<\ '4^..
Так что для этого случая
ег = 2, о . д = к + а у,
и и 1 и и
0, = К, + — А\У\ .
(17)
(18) (19)
(20)
(2!)
[21
(23)
(24)
Опишем теперь, каким образом можно отыскать экспериментально ядро О (/;.
О
соответствующее оператору £? в (23). Для простоты будем считать ядро О разностного
типа Q(t-x), а форму записи (23) - соответствующей форме Больцмана - Вольгерры, т.с. в виде интеграла Стилтьеса:
I
е,,0) = о%(т) . *2о
а
При этом из (24) следуег
O(t) = К(г)+ ^A(t-x)dY(x). 1261
О
Эффективные ядра релаксации
Стремление расширить область применения феноменологического подхода к описанию деструкции материала с учётом его структуры за счёт введения новых параметров (моментных напряжений, дислокаций, объектов повреждаемости) связано со многими причинами. Это не только учёт концентраторов шероховатости поверхности, надрезов, отверстий и т.п., но и наличие неоднородности структуры. Будем считать, что эта неоднородность носит регулярный характер, т.е. материальные функции определяющих соотношений (1) предыдущего раздела являются периодическими функциями координат. В этом случае разработан достаточно эффективный аппарат методики осреднения [7,8]. Этим аппаратом мы и воспользуемся для описания деструкции композитов в процессе их деформирования.
Рассмотрим, например, изотермический случай подобных определяющих соотношений. Уравнения равновесия среды запишем в виде
ст;; у+р/; =0 . С)
Вводим малый геометрический параметр а [7] и, считая ядра S,,< /)
операторов Зим (4) (пред. раздела) функциями быстрой переменной £ [81.
е х
5=-, (2)
сх
запишем уравнения равновесия (1) в виде
— 5, ,-*/|/ uk, + S, ,!■< и,, +pF =; 0 . (3)
а
Вектор перемещений и(х,с) представим в виде асимптотического ряда по степеням о :
с’ “ : ^ J ' ;
ик -ук +ссАг vw , + а ; A'tv„ , h + а ' Ni,v, .,+. (4)
где '•локальные” операторы N (с), Гч (£), N (£,) зависят oi быстрой
переменной, а '‘среднее” поле перемещений v(x) - от координаты v. Тогда
дифференцируя (4), имеем
и01 ( ^ ' ^ ^
Н-.1 = Уь.І+Ь'ктЬЧ УЯ|1. + ОСІ Л' ь',/,/, К,і 1 /,/ + Л' !ьі,■ I К,.,, і, 1 +
•+'а " ( Л' >*./,,,/ + Л" I™ У*,,J+ ($>
+ а3 ^ Ут,ч1г1,1 +М д-1^ ут,^ +..............
икп = у*,;, + — # *«/, + [ ^ \У.1,мут,1 : + t--.It V , + Ыы1,ч V , | +
а V
( .^О) 0(2) и(2, ^.(3 1
+ а | N к„и Ут1 у + Л7 + Л7*-ш + ^кт,,,,,з ! -'/ у,„.| +
\ ’ ’ /
^ Л, ( ; ) о ( 2 ) ( 3 ) и (* )
+а N кпй | / 2 + Л?*«/.(;<,!/ + Л **!.(., 5/ Ут + N кт1,1г1:,Ц10 Ч„.. ,,,,.\
+......... (6)
Подставим теперь разложения (5) и (6) в (3) и соберём слагаемые при одинаковых степенях а. Тогда получим
| ^(-0 Л(0> Л(1) ^ л(2)
— 5/™,-, V,,,, +а5/«,,/><1 V* ,, -а2 5,>„-,-4 у„, , +...+р^ = 0, (7)
а '1 ' ’ '2 1' 2
лН) л(0) ЛС>
где определены однородные тензоры - операторы: 5/*,-, =0, , 5™,,,-/, ,.. т.е.
операторы, не зависящие от координат <;,
,и / О
3”1 51,т, +3:;кпЧк1Ш111 | =0 . ( Ь )
Л!°)
ґи &
*5* І]к1 N і т: . , /
V /';/
•Ч&*, ) +5«5«лй>!Д(,ш,1 , (9)
, V ' Л
] 4 й/*Л, 1 +к^м+К»Л'и . (10)
V У; V /|/
+5„4„^|М>,+5(^„^;',... (Г..)
V У|/ V ■■ ):,
Проводя осреднение в правых частях выражений (8)-(1 Г), т.е. интегрирование по ячейке периодичности, и учитывая, что в силу периодичности структуры осреднение от производной равно нулю [7], получим
Л® /и .... \
>5 =^5и,к! |, (12)
л(° /и . “ .г- \
^/т/,,-2/3 ^'ы,, I ’ <■1 3 )
Л<2' /о \
Бimi.i-.i~i, — ( ; I ,+.. ) (14)
У !
и т.д.
... ГО) Л (1) Л::2)
Для определения тензоров-операторов , 5(д:я„.... необходимо
и О) и (2) и (3)
найти локальные операторы Nцк , Л',,*-/ , Ж,<*/т , ................. для чего требуется решшь
задачи на ячейке периодичности, которая определяет структуру рассматриваемого композита.
Система уравнений для этих задач выписывается из соотношений (8)-( 10):
1 =~$Ц т/, / ’
А)'
=ДлА'^, | , ( 16,
А / - '' ;
Н \ : . (:7,
V ■ )и V
Итак, зная структуру композита, мы из решения задач (15), (16), (17) определяем
локальные ядра релаксации ^}(£,0 > А')Л;/ (£, г) . (§,;) ,.... Операцией
осреднения по ячейке периодичности мы по формулам (12)-(14) находим “эффективные” ядра релаксации «У,-"*,(/), 6,,(‘!.г„, (!), (О,
Если теперь мы в качестве определяющих соотношений в формулах (I ). (3) первого раздела используем соотношения (1) первого раздела с ядрами релаксации Г./*/(х>0; которые предполагаются нами также периодическими функциями координат, то, повторяя все выкладки, проведённые в этом разделе, мы найдём эффективные ядра релаксации Г,*"*', (/) , Г ,-д,,„(0 , Г^,пн (О , ..
Заметим, что определение указанных эффективных ядер связано с решением уравнений равновесия (!).
Чтобы найти эффективные ядра, описывающие определяющие соотношения (5) первого раздела, связывающие тензор повреждаемости с тензором деформации е .
нам, строго говоря, нужно рассмотреть кинетические уравнения для величин % . Однако мы примем в качестве гипотезы, что процедура осреднения, описанная т$ данном разделе, применима и для тензора повреждаемости % . Применяя эту процедуру, мы найдём эффективные ядра А',1"*. (/), А.1 (г), Х)-:'и (г), ....
Эффективные ядра У,'}", (г) , У,%тп (/) находятся из операторного соотношения:
V — ( р - Г ) • IV . IV = V , (18 )
где №' - оператор, обратный к оператору V , т.е.
(т) = Д„.
(19)
о
і і к Р Г ’
(20)
о
где £^]\кітп - единичный тензор шестого ранга:
(21)
К сожалению, найти единичный тензор нечётного ранга не удаётся, и поэтому не удаётся найти эффективные ядра У,)'к1„: (0.
Так что, если мы считаем, что моментныс напряжения могут возникать только за счёт неоднородности материала, то в качестве таких моментных напряжении можно
выбрать макроскопические напряжения, определяемые операторами или
Примем теперь за основу изотермический вариант определяющих соотношений в форме (11) (первый раздел). При этом будем считать, что тензор повреждаемости %
связан с тензором напряжений соотношением (5) первого раздела. Если композит является ре!улярной структ урой, то ядра ползучести ()ик! (х, /) и К, к/ (х, I) являются
периодическими функциями координат, и мы в праве и туг применить разработанную в [7]технику осреднения.
Будем считать для простоты, что объёмные силы отсутствуют. Тогда уравнения равновесия (1) второго раздела удовлетворяются тождественно, если ввести симметричный тензор функций напряжений ф по правилу
после подстановки в них соотношений (11) первого раздела и (1) приобретут вид
Эффективные ядра ползучести
^ ] тп Ф к п ,і т '
Уравнения совместности деформации [3]:
Л г.< вЄ,рвЄ,„ Є,,,,,, -0
(I)
(2)
(3)
іде
Я = (= с: (1 { >')
г .V к н / /ч и! >■ р и л / ^ / к ! / т г. •*- р V / ;
Рассмотрим асимптотическое разложение тензора ср (I) по малому параметр) а:
I 1 ; , 2 I
Ф =¥*,+ « V,.,;,.. + «2 Мкпкхп,,,ы у* -
(о)
и I ■>' , ‘
+ а3 + <ХА М к'К'хЬН':.’, V*, я, + ......
( о. .
где М , а = 1, 2, 3,.......... - локальные операторы, зависящие от быстрых координат £
(2) (раздел 2), а \|/. - гладкая тензор-функция, зависящая от координат х . Дифференцируя (6) по координатам, имеем
и П) ( и (1 ) (2 )
9,я./ = у*я , + Мкнк,п1/1и V*.,,,.,, + а| Мк я*, я,<. + М* ! +
СП
. ( (5 ’
+ а'і Л/*-,,а-,.. у.
^ ■ ■ - ......
“Г М
и, /, і. I, Ц\1 \jZi._ П| ,4
+
ф. . = +—Мкнк,»,1, /«\|К - , + АІ К Л к У, , - Л^.,л
а I I,.; |
(2;
-Мк*к,п я, <,
+ а
(П
(2!
П)
Мкг,к{ *1, /, \{/ ,, + /V/ А 'Г л- Г \{/-, ,, ; + М я- V
+ Л/.;
V, j+■
Представим теперь тензоры деформаций е и напряжений а в виде разложения по малому параметру а:
0Г;..=—т;:'4т!;,+ат11.’+а"т':'+. а
(9)
У'7 +у;/+«у /+а‘у;-;'
а
Из (1), (8) и (9) следует, что
: о і
^ ) } * —^ ; к I ^ / тг /{ г' ' ‘ ' Ф /, -
( ... О;
^■7 =Х,,=еш^,тп I ¥*я,/т+^^:-:<. V
+ л/г
V/
I . і I
(2)
+ Л/^яі, и,/, ;,|/т ,
(12)
( и (1)
;,м І МкпкіПіЦ
(2)
(2)
А/а-я^| Я5/( ;2 !ш А/£ я*, я, ^ ?\ <ь і/*ті Ч^я- і, /.
(13)
т<2,=є є
1 <; ^ік! ]шп
О)
М* я*■, Я, І!\)/^ Яі ^ ;-2 /т + Мкпк, Я, ,, і, /, |/ \|/^ ,(11(..
+
^(3) с<4)
+ М к пк> и, /') /, ^ (т
,і<> V*,
(Н)
с«)
Т;:к,
. .< м Тик
т,
Введем тензоры-операторы Г/д,(а = -1,0,1,2,....................) по формулам
(15)
Т І і і, Я, і, £ Є, 4М к п кі «2 І\ і/ т ,
4 \ + Є/М: Єу/,«, + Є- Є
^<0 и<2і
Мкпк^а^і, А/ + Мкчк
+ Л/к пк, я, /, ь і'і |/т
_/ А ; ,1 , , / . / - і 4
<2!
7 5 , + Мі-
/'■_,и> (3; ,^(-Н
Мкпк^ці і2 А|,„:.,4 + Мк„1с, я, і і, ,,|/ 5„,,^ + М(„(,
V
/ « , ;' . к , (16)
(17)
Н, < 1-і ;|Ш
Н" Л''/ к пк) П\ '<,(■> <\ і.х 11 т
)
:і8>
Используя операторі! (І5)-(18), соотношения (11)-( І4) можно записать в виде
Т)г1) = У*,,,,.,,,
г( П >
' ч и
Ті, -Т,ік,\(/, : *Є,иЄ7и„ '^А-я./я, >
ГС2) _
,(2)
Т,)кі,иі^,ііл у*
(19)
(20) (21) (22)
Т ог да
I -Т(„0 + + V-i'ps + +
tv = 4*’ - Р = -1.0,1,2,........... (23)
ч(П w;::
Чтобы найти локальные операторы ползучести М , ,\1 ...... нужно
воспользоваться уравнением (3) или (Г). Имеем из последних:
( 1
ГР*-*>Я ^
или. подставляя в (24) определяющие соотношения (23), получим
S ТГ | =0- '25>
ч=1 V У,иг
Принимая во внимание (19)-(22), имеем для (25)
1 ■ ,:'!) 1
т;'!,,,= —т Tij*,,,, <„ъ1ип Т, \|/* ,, „ +
(х "" а ■
1
+ - T.i, WJ|, + 7V,* Ч'м а = - 1,0,1,2,. .. . (26)
а. II.--
(о 1
Производные от операторов Т , входящие в (26) легко определяются из выражений (15)-(18), которые можно записать сокращённо в виде
,, ( Я ) ( и <'‘1 ,.(«^-11
Til** л .. I,,.. ~ imp I М* Р*. ”. !■ 1, А,,,., + М,рг, „. ! 8„
u (П-1 ) (Л+’j
+ Мкрку п, I, jm btj ,+ Mkpl-.ч,: /в , f 2"7)
где а = -1, 0. 1, 2, при этом
^ (-! ) « 0 , ^ Г 0 :
М = 0 ; М = Д ( Мкак,п, = Аш „ ). (28)
Итак, процедура осреднения позволяла полностью оггисагь алгоритм решения квазистатических задач механики композитов, определяющие соотношения компонентов которых подчгашются законам линейной теории вязкоупругости с учетом эволюционной деструкции.
На основе этого ал!оритма можно рассматривать конкретные композиционные структуры: слоистые волокнисше, слоисто-волокнистые и г, и. [7],
Библиографический список
1. Победря Б.Е. О моделях повреждаемости реономных сред// МТТ. 1998..V::4. - С. 128-148.
2. Pobedria В.Е., Rodriguez A. Compound loading of space and aircraft i: Proceedings. First International Conference on Nonlinear Problems in Aviation and Aerospace. Davtcna Beach. Florida. U.S.A., 1996. - P. 565-573.
3. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1995. - 365 с.
4. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости.
- М.: Наука, 1970. - 280 с.
5. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. - М.: Наука, 1974. - 3312 с.
6. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. - М.: Изд-во Моск/ун-та, 1986. - 264с.
7. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. - М.: Изд-во Моек, ун-та, 1984.-36 с.
8. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. - М.: Наука, 1984.-228 с.
Получено 23.02.2001
