О моделировании условий начала трогания частиц несвязного зернистого материала Текст научной статьи по специальности «Физика»

II университета

'ЖУРНАЛ водных / / коммуникации

М. А. Михалев,

д-р. техн. наук, проф., СПбГПУ

О МОДЕЛИРОВАНИИ УСЛОВИЙ НАЧАЛА ТРОГАНИЯ ЧАСТИЦ НЕСВЯЗНОГО ЗЕРНИСТОГО МАТЕРИАЛА

MODELING OF CONDITIONS FOR STARTING OFF THE PARTICLES OF NON-COHESIVE GRANULAR MATERIAL

В статье на базе методов физического моделирования гидравлических явлений решается вопрос о скорости начала трогания (размывающей или неразмывающей) частиц несвязного зернистого материала. Для обоснования основных положений и выводов привлекаются проверенные временем результаты лабораторных исследований известных авторов.

On the basis of the method ofphysical modeling of hydraulic events we try to solve the problem of stating off speed (outwashing or not) of bulk granular material particles. To ground the main ideas and conclusions the results of laboratory research offamous authors were used.

Ключевые слова: физическое моделирование, гидравлическое явление, динамическая скорость потока, несвязный грунт

Key words: physical modeling, hydraulic event, dynamic speed of the stream, non-cohesive material

Ч

АЩЕ всего, говоря об условиях начала трогания частиц несвязного зернистого материала, слагающих русло водотока, имеют в виду скорость течения. Но тогда это задача о неразмывающей (или размывающей) скорости потока, при которой заканчивается (или начинается) процесс взаимодействия двух фаз: жидкой и твердой. Нужно сказать, что в этой области существует немало публикаций. Однако в большинстве своем авторы даже не имеют представления о методах физического моделирования. И это несмотря на то, что еще в первой половине прошлого столетия появилась прекрасная работа А. Шильдса [1], положившая начало исследованиям в этой области, тесно увязанным с достижениями в гидромеханике, а также в области физического моделирования. В нашей стране большой вклад в проблему движения наносов был сделан В. С. Кнорозом [2-5]. Непосредственное отношение к затронутой здесь теме имеет его работа [2]. В ней автор не только обобщил достижения в этой области знаний за прошедшие времена, но и сделал заметный шаг вперед по сравнению с работой [1]. В первую очередь это касается метода учета сопротивления движению воды

в момент начала трогания частиц несвязного зернистого материала, находящихся на дне водотока. Однако работы [1; 2] имеют общий недостаток, который заключается в том, что их результаты представлены не в критериальной форме. Одна из возможных форм критериального уравнения была получена в [6] в результате анализа размерностей. Ниже будут рассмотрены и другие формы критериальных уравнений, соответствующие условиям начала трогания частиц несвязного зернистого материала в процессе взаимодействия жидкой и твердой фазы.

Прежде всего, остановимся на особенностях условий начала трогания вышеупомянутых частиц, с которыми непосредственно связана существующая в этой области терминология. Обычно исследователь получает сведения о начале движения частиц в результате непосредственного наблюдения за состоянием поверхности зернистого материала, уложенного на дно остекленного лотка, в котором можно плавно изменять скорость течения воды. К сожалению, не существует единой методики проведения подобного рода опытов. У одних исследователей за начало трогания принимаются условия, при которых наблюдаются

внезапные перемещения скачком отдельных частиц. Другие считают, что этим условиям соответствует скачкообразное перемещение многих частиц грунта. Третьи принимают в качестве условий, отвечающим размывающей скорости потока, «начало массового перемещения частиц». Можно утверждать, что процесс перехода частиц грунта из состояния покоя в состояние движения является случайным, и здесь уместно использование методов теории вероятностей. Из сказанного следует, что начало трогания частиц происходит при шероховатости дна водотока, обусловленной размерами самих частиц. Они определяют сопротивление движению воды, следовательно, и величину средней скорости потока, отвечающей этим условиям, которую в этом случае называют «размывающей». Если скорость потока превышает размывающую, то на поверхности грунта появляются простейшие виды русловых форм — песчаные волны (гряды, ри-фели). В процессе взаимодействия фаз наблюдается перемещение этих русловых форм, которое сопровождается движением наносов по их поверхности. Если в потоке, на дне которого образовались песчаные волны, постепенно уменьшать скорость движения воды, то можно добиться таких условий, когда перемещение наносов полностью прекратится. Средняя скорость потока, отвечающая этому условию, называется «неразмывающей». Отметим, что именно таким способом (путем постепенного уменьшения концентрации частиц при течении многофазных систем в трубах и экстраполяции опытных кривых до нулевых значений концентрации) находилась в [7] средняя скорость потока, при которой процесс переноса частиц прекращался. Таким образом, прекращение движения частиц происходит в условиях, когда на дне потока имеются ранее образовавшиеся, «застывшие» русловые формы. Теперь уже они определяют сопротивление движению воды и величину средней скорости потока. Но размеры русловых форм намного превышают размеры частиц грунта, из которого образованы эти формы, поэтому сопротивление движению воды увеличивается, а средняя скорость уменьшается. Отсюда следует, что неразмывающая скорость потока в таких исследованиях получается меньше раз-

мывающей. В проведенном анализе не были учтены различия в характере воздействия потока на частицы, лежащие на плоском дне и находящиеся на поверхности русловых форм. Так что различия в двух характерных приведенных выше скоростях потока могут превышать те, которые объясняются только разными величинами сопротивления движению потока. Конечно, если исследования проводить так, что они начинаются в условиях, когда на дне потока уже присутствуют ранее образовавшиеся песчаные волны, то, скорее всего, величины размывающей и неразмывающей скоростей потока совпадут. Отсюда следует неукоснительное правило при определении средней скорости, при которой начинается движение частиц, учитывать состояние дна водотока: наличие на нем русловых форм или крупных частиц, определяющих сопротивление потоку, если грунт обладает значительной неоднородностью и т. п.

В [1; 2] в качестве характерной принята динамическая скорость потока, отвечающая началу трогания частиц и0„. В связи с этим уместно обсудить вопрос о постановке задачи исследований, о том, что в ней задано и что нужно будет определить в процессе проведения опытов. Заданы плотность и вязкость воды, плотность материала частиц и кривая их гранулометрического состава, по которой можно определить средний размер частиц. Все интересующие исследователя параметры потока заранее не известны. Расход воды, скорость ее течения, глубина потока, уклон его свободной поверхности при равномерном режиме течения определяются в процессе проведения опытов. Им соответствуют такие условия, при достижении которых частицы грунта, находящиеся на дне потока, выходят из состояния покоя и начинают двигаться. С помощью метода размерностей из заданных величин можно получить критерий Архимеда. Остальные числа подобия критериями не являются, поэтому потребуются преобразования их с целью получения критериев подобия либо использования чисел подобия, содержащих интересующие исследователя величины, в качестве функций в критериальных уравнениях.

Представляет интерес методика проведения опытов и определения динамической

00 о-

скорости потока. Опыты проводились при равномерном режиме течения, что при отсутствии лотка с переменным уклоном создавало дополнительные трудности [2]. Они заключались в том, что всякий раз методом последовательных приближений приходилось укладывать песчаный материал на дне лотка таким образом, чтобы его уклон совпадал с уклоном свободной поверхности в момент начала тро-гания частиц грунта.

У исследователя [2] были три возможности определения динамической скорости потока, отвечающей началу трогания частиц грунта. Согласно первой эту скорость можно найти, используя одну из разновидностей формулы равномерного движения

u

0*

= ^¡gЩ) >

где R — гидравлический радиус потока;

¿0 — уклон свободной поверхности;

g — ускорение силы тяжести.

Другая возможность состоит в определении градиента скорости течения по результатам измерения скорости в непосредственной близости ко дну потока [8]. Но в этом методе требуется большая точность измерения скорости течения, что связано с необходимостью использования соответствующей аппаратуры, какой у автора исследований в ту пору, естественно, не было. Наконец, в [9; 10] описан еще один способ вычисления динамической скорости потока. В основе его лежит метод определения коэффициента гидравлического трения по результатам измерения скорости течения в нескольких точках на вертикали с использованием логарифмического закона распределения скорости в различных зонах сопротивления. Зная среднюю скорость потока и коэффициент гидравлического трения, можно расчетом определить динамическую скорость. По той же причине, что и второй способ, третий не был использован автором.

Результаты обработки опытных данных были представлены в виде зависимости

= f (Re*),

(1)

где Fr*p -

ло Фруда;

u

.2 0*

с

\

плотностное чис-

Pi -р

V P У

Re*- ^

gd

число Рейнольдса;

V

d — средний диаметр частиц грунта; V — кинематическая вязкость жидко -

сти;

Р1 и р — соответственно плотность материала частиц и воды.

В связи с тем, что динамическая скорость потока является искомой, зависимость (1) не является критериальным уравнением. Ее график приведен на рис. 1.

Как было отмечено выше, критериальное уравнение было получено в [6] в результате анализа размерностей в таком виде:

4F%=v(Red}

(2)

dV pgd „ „

где Red — — критерий, названный

V

автором «формой числа Рейнольдса»,

Pi -Р

Р

Р

Но по сути дела « форма числа Рейнольд-

са» является корнем квадратным из критерия

л gd ,

Архимеда: Аг = Яей = 2 р'. График зави-

V 2

симости (2) дан на рис. 2. Легко убедиться в том, что он был пересчитан из графика, приведенного на рис. 1, с использованием комбинации двух чисел подобия, в результате которой была получена упомянутая выше форма числа Рейнольдса: Яеа =

Прежде всего сформулируем задачу исследований на физических моделях явления начала трогания частиц несвязного зернистого материала, находящихся на дне водотока. Обычно исследования проводят при установившемся равномерном движении жидкости. В таком случае явление определяется тремя числами подобия: Рейнольдса, Фруда и Эй-

лера. В качестве характерной скорости потока принимаем динамическую скорость , которая связана с касательным напряжением Т 0, приложенным к частицам, находящимся на дне, и выводящим их из состояния покоя:

^0 = —0 В качестве характерного ли* М р

нейного размера принимаем средний диаметр частиц С, считая, что частицы имеют шарообразную форму. Тогда можно записать упомянутые числа подобия в таком виде:

Я« = ГГ,= *, Ец=- "

V

2

где р — давление потока на частицу.

В связи с тем, что во все числа подобия входит заранее неизвестная динамическая скорость потока, среди них нет ни одного критерия подобия. Но прежде, чем их получить, необходимо учесть явные связи между числами подобия [11]. С этой целью используем интегральное условие предельного равновесия частицы, лежащей на дне водотока. Таких условий может быть несколько, обычно рассматривают следующие. Во-первых, это равенство моментов сил, удерживающих частицу, моментам сил, опрокидывающим ее, при повороте частицы вокруг центра вращения. Во-вторых, это равенство силы лобового сопротивления силе трения качения. И наконец, равенство двух сил: тяжести и подъемной. Последняя возникает из-за несимметричного характера обтекания потоком частицы, лежащей на дне. В силе тяжести, естественно, должна быть учтена архимедова сила. Но, как будет показано ниже, абсолютно безразлично, какое условие предельного равновесия частицы принимать во внимание. Дело в том, что принятое условие предельного равновесия позволяет установить связь между коэффициентом сопротивления тела, лежащего на дне потока, с такими параметрами, которые зависят от формы обтекаемого потоком тела и практически не поддаются строгой количественной оценке. К ним, например, можно отнести плечи сил, действующих на частицу, относительно центра вращения; отношение подъемной силы к силе лобового сопротивления; отношение объема частицы к площади

проекции ее на плоскость дна и др. Один и тот же коэффициент сопротивления будет по-разному выражаться через неизвестные параметры формы тела в зависимости от принятого условия предельного равновесия. Следовательно, целесообразно рассмотреть наиболее простое условие предельного равновесия, а именно равенство подъемной силы Рп силе тяжести С, действующей на частицу с учетом архимедовой силы

Рп = С. (3)

Далее принимаем связь подъемной силы с силой лобового сопротивления в таком виде:

Рп = к/Рд , (4)

где Рл — сила лобового сопротивления;

к/ — коэффициент, зависящий от формы частицы.

Выберем на дне водотока единичную площадку. Принимаем, что все частицы, находящиеся на ней, одинаково воспринимают касательное напряжение, тогда на каждую отдельную частицу действует сила —

Р = л N

(5)

где N — число частиц в пределах единичной площадки, равное

1 •£

N = -

(6)

здесь Юс — площадь проекции одной частицы на поверхность дна;

£ — коэффициент, характеризующий плотность укладки частиц (£ = 1 для квадрата, £ = 0,7 0,75 для шара).

В результате имеем:

Р =—0 = Р и0*Юс л N £ ■

Подставляем (7) в (4), получаем:

(7)

Р =

Р и02*ЮД

/

(8)

Принимаем далее, что Ю^ = к • С , где к1 — коэффициент, зависящий от формы частицы. Отсюда имеем:

р и^С2к/ к1

во о-

£

£

Сила тяжести с учетом архимедовой силы равна:

С =я(р!-р)Г = g(p1 -р)йъ кг, (10)

3

где V = к2 С — объем частицы;

к2 — еще один коэффициент формы. Принимая во внимание (10) и (9), получим из (3):

р и0 *с к/к1 ( ч 3

---= ё (Р1 -Р)С к2.

£

Отсюда имеем:

Р и^^Т = ё (р1 -Р)С

(11)

(12)

где

Сш = к/к1 2 £ к2

— обобщенный коэффици-

ент формы частицы или половина коэффициента ее сопротивления при выбросе. Следовательно,

= gd Р1 -Р= 1

(13)

2 «о* Р

г- Щ* Р

где рг* =—--!- — плотностное число

Р gd Р1 -Р

Фруда, которое можно представить в таком

и

Го*

виде: рг =—; gl = g

gld Р

Найдем подъемную силу, действующую на частицу, связав ее с коэффициентом сопротивления С№: и 2

Рп =Р "2* С№8, (14)

где 8 — площадь приложения силы.

Тогда давление р , испытываемое частицей при ее выбросе, равно:

Р1 -Р

Р„

2 СШ

8 = Р ^ 2 .

Отсюда имеем число Эйлера:

Рп = Р = СШ

Ей =

Р и2* 8 Р и1 * 2

(15)

(16)

Таким образом, роль числа Эйлера играет в задаче половина коэффициента сопротивления. Подставляя (16) в (13), получим:

2

—Еи„ —-

1

РгР

(17)

Следовательно, имея в виду интегральное условие предельного равновесия, получаем, что вместо трех чисел подобия явление описывается только двумя: Яе* и Рг*р.

Среди этих двух чисел подобия нет ни одного критерия подобия. Путем известной комбинации этих чисел подобия получим критерий Архимеда [11]:

Яе2

Рг*Р

gdu

V

Р1-Р

^ Р ,

=Лг.

(18)

Отсюда можно записать первый вид критериального уравнения:

Яе = / (Лг).

Но из формулы (18) следует

Яе*2 = ЛгРг*Р.

(19)

(20)

Используя зависимость (20), заменим число Рейнольдса в (19), получим второй вид критериального уравнения:

Рг*р =ф(Лг). (21)

Можно видеть, что критериальное уравнение в виде (21) фактически совпадает с критериальным уравнением (2), полученным в [6], поскольку Я4 = Лг. Нужно отметить, что В. С. Кнороз был близок, как это следует из его работы [2], к тому, чтобы получить критериальное уравнение в виде (19), но почему-то не воспользовался этой возможностью.

Приведем теперь формулы, полученные в результате обработки опытных данных, содержащихся в [2], соответствующие первому и второму виду критериальных уравнений [10]. Вначале покажем зависимости, вытекающие из критериального уравнения (19).

1. В зоне квадратичного сопротивления, которая для кварцевого песка с относительной плотностью Р1/Р = 2,65 при температуре воды, приблизительно равной 20 0С реализуется при следующих условиях: Яе* > 21, Лг > 1,62 -104, ё > 1,0 мм, справедлива формула:

Яе,= 0,162 Аг0 5. (22)

2. В переходной зоне при условиях:

3,5 < Яе,< 21; 2,53 • 102 < Аг < 1,62 • 104; 0,25мм < й < 1,0 мм справедлива формула:

Яе,= 0,314 Аг0432 (23)

3. В зоне гидравлически гладкого русла, где 1,4 < Яе, < 3,5, 16,2 < Аг < 253, 0,1мм < й < 0,25 мм имеем:

0,35

Re* _ 0,502 Ar0

(24)

Далее покажем зависимости, вытекающие из критериального уравнения (21) (нумерацию зон сопротивления оставим прежней, приведем в них формулы, относящиеся к этим зонам). Однако критериальное уравнение (21) удобно представить в следующей форме, которая непосредственно получается в результате преобразования критериального уравнения (19) с использованием зависимости (20):

4Fr*Pp=&(Ar ) 1. .FP- 0,162.

2.

4Fr*~p =

0,314

0,068 '

Ar

0,502

Ar0Д5 ■

(25)

(26)

(27)

Сравнивая формулы (25)-(27) с формулами (22)-(24), приходим к выводу, что представление результатов исследований в соответствии с критериальным уравнением (21) имеет некоторые преимущества по сравнению с представлением в виде критериального уравнения (19). В области квадратично -го сопротивления плотностное число Фруда, как об этом свидетельствует формула (25), постоянно и не зависит от критерия Архимеда. Следовательно, эту область легко обнаружить, если результаты исследований дать в виде графика. Что касается представления результатов измерений в форме критериального уравнения (19), то здесь область квадратичного сопротивления (ей соответствует форму-

ла (22)) обнаружить сложнее, так как в этой области число Рейнольдса пропорционально корню квадратному из критерия Архимеда.

В [2] результаты опытов даны также в виде графика зависимости отношения динамической скорости потока, отвечающей началу трогания частиц, к гидравлической крупности от числа Рейнольдса: 0 - f (Re* ). Од-

Ю0

нако эта зависимость не является критериальным уравнением. Приведенные здесь и в [10; 11] результаты позволяют привести в критериальной форме соответствующие формулы.

В зоне квадратичного сопротивления получено

= 0,135.

(28)

В переходной зоне найдена такая фор-

(29)

мула

u*0 _ 5,65 + 0,19 Ar05

ю,

'0

Ar

0,568

И наконец, в зоне гидравлически гладкого русла справедлива зависимость

u*0 9,04

ю0 Ar

0,65 '

(30)

К тем же формулам можно прийти, если использовать зависимости (25)-(27).

График зависимости ^ = /(Яе,), приведенный в [2, рис. 6], полученный в результате обработки опытов, выполненных различными авторами, дает большой разброс данных исследований. Это можно объяснить двумя причинами. Во-первых, большими погрешностями измерений и гидравлической крупности, и динамической скорости, отвечающей началу трогания частиц, находящихся на дне водотока. Во-вторых, различиями в формулах, которые использовались для обработки опытных данных. Расчеты по формулам (28)-(30) дают результаты, которые практически совпадают с опытной кривой Шильдса.

В [2] было доказано, что в момент выхода частиц грунта из состояния покоя величина коэффициента гидравлического трения хорошо согласуется с формулами Зегжды [12].

во о-

Здесь уместно сделать следующее замечание. В постановке задачи исследований выше было отмечено, что геометрические, кинематическое и динамические параметры потока до проведения опытов не известны. Но, как только исследователь заметил первые подвижки частиц грунта, можно сказать, что основная цель опыта была достигнута, и неизвестные до этого момента параметры потока становятся известными. К ним относятся: расход воды, площадь живого сечения потока, его гидравлический радиус, уклон свободной поверхности, средняя скорость течения иоо, которую в этом случае можно назвать размывающей. Эти параметры позволяют найти динамическую скорость потока, а также еще

из одной формулы равномерного движения, а

именно U0 =

— коэффициент гид-

Хп

равлического трения % о • Величина этого коэффициента проверялась на соответствие формулам Зегжды в различных зонах сопротивления. Одновременно решался важный вопрос о соотношении между высотой выступов шероховатости А и средним размером частиц грунта d • При решении этого вопроса в [2] были использованы опыты Зегжды и Базена. В результате выполненного анализа автор предложил следующую зависимость, к сожалению, не удовлетворяющую принципу размерностей:

Д = 0,785 й °'75. (31)

Однако подобного рода зависимость можно получить, не нарушая принцип размерностей. Для этого, прежде всего, введем в

рассмотрение два числа Галилея: =

а А3 V 2

и Ояа = —2 . Корень кубичный из чисел Га-V 2

лилея представляет собой числа подобия, в

которые средний размер частиц грунта и высота выступов шероховатости входят в первой степени, что несколько упрощает последующий анализ и преобразования. Из двух чисел подобия ^ Оай является критерием, а ^—

числом подобия. После обработки результатов исследований Зегжды и Базена была получена следующая формула связи между ними:

3VGaT = )

0,713

(32)

После преобразований из (32) следует:

(33)

v 0,191

д = 3,5 ^ d а713

(34)

„ 0,096

о

Если положить в (33) V = 0,01 см2/с и g = 981 см2/с , то получим А= 0,75 d0•713, что практически совпадает с формулой (31). Можно предложить и такую зависимость, которая получается в результате преобразования приведенных выше формул

А = 3,5 Оай 0'096. й й

Формула (34) может быть использована

для определения высоты выступов шероховатости для несвязных однородных грунтов. В опытах Кнороза коэффициент неоднородности 8 = dд5 / d5 изменялся от 1,4 до 2,2. Здесь dg5 и d5 — размеры частиц, которых в пробе материала содержится соответственно меньше 95% и 5% от массы всей пробы. Для несвязных грунтов с большей неоднородностью частиц автор рекомендует принимать А = dg)5•

Выводы, вытекающие из выполненного выше анализа: дальнейшее продвижение вперед при решении трудных вопросов речной гидравлики в области взаимодействия жидкой и твердой фаз может быть достигнуто только в том случае, если в основу исследований будут положены строгие методы физического моделирования гидравлических явлений.

Список литературы

1. Schields A. Anwendung der Ahnlichkeitmechanik und der Turbulenzforschung auf die Geschiebebewegung // Mitteilungen der Preus. Versuchsanstalt fur Wasser- und Schiffbau. — Berlin, 1936. — Heft 26. — S. 26.

2. Кнороз В. С. Неразмывающая скорость потока и факторы, ее определяющие // Известия ВНИИГ им. Б. Е. Веденеева. — 1958. — Т. 59. — С. 62-81.

3. Кнороз В. С. Естественная отмостка русел, образованных материалами неоднородной крупности // Известия ВНИИГ им. Б. Е. Веденеева. — 1962. — Т. 70. — С. 21-51.

4. Кнороз В. С. «Неразмывающие» (предельные) скорости разнозернистых по крупности несвязных материалов // Известия ВНИИГ им. Б. Е. Веденеева. — 1962. — Т. 71. — С. 19-38.

5. Кнороз В. С. Влияние грядовой формы дна на характеристики турбулентности безнапорных водных потоков // Известия ВНИИГ им. Б. Е. Веденеева. — 1965. — Т. 78. — С. 142-170.

6. Леви И. И. Моделирование гидравлических явлений. — Л.: Энергия, 1967. — С. 235.

7. Соу С. Гидродинамика многофазных систем. — М.: Мир, 1971. — С. 29-59, 167-169, 201-

8. Фабрикант Н. Я. Аэродинамика. — М.: Наука, 1964. — 814 с.

9. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1973. — С. 421-433, 612-694.

10. Кумина Т. Д., Михалев М. А. Инженерная гидрология: учеб. пособие. Л.: Изд-во ЛПИ, 1989. — 84 с.

11. Михалев М. А. Теория подобия и размерностей: учеб. пособие. — СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2001. — 68 с.

12. Зегжда А. П. Теория подобия и методика расчета гидротехнических моделей. — Л.; М.: Госстройиздат, 1938. — 162 с.

209.

во г

о