CC BY
25
ИНФОРМАТИКА И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
УДК 517.2
В.М. Богданова
О МОДЕЛИРОВАНИИ СЕПАРАТРИСНЫХ ЦИКЛОВ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ОСОБОЙ ТОЧКОЙ ТИПА ДВУХСЕПАРАТРИСНОЕ СЕДЛО
Псковский государственный политехнический институт
The article considers problems connected with the practical task of trajectories imaging. Inflections of trajectories are fully investigated: parametric equations of the curve that entirely consists of inflections have been discovered; its behavior in infinity has been analyzed. Examples of imaging of two-separatrix cycles formed by the separatrix coming from the saddle to the same saddle are given.
Динамические системы служат математическими моделями многих задач естествознания. Область их применения расширяется с получением новых экспериментальных данных в технических и других областях науки.
Цель настоящей работы — экспериментальная проверка достижимости полученной в [2] верхней границы оценки существования сепаратрисного цикла у динамических систем йх йґ йу
■ = y + ax2 + bxy + cy2 = P( x,y),
(1)
dt
= x2 - m 2y2 = Q(x,y),
T (1) = T1,2 ="
где a,b,c,m e R. Любая система этого семейства имеет в начале координат двухсепаратрисное седло.
Предполагаем, что am Ф 0 . Не уменьшая общности, считаем, что a > 0, m > 0. Введем обозначения:
p, = am2 + bm + c , p2 = am2 -bm + c . Если p,p2 Ф 0, то система (1) имеет в конечной части плоскости особые точки M, I —m, —11 и M 21 , —11. Характери-
1l p, p, J { p2 p2 J
стические числа в точках M, и M2 имеют вид
= 2m2 - 2am -b ±yj(m2 - 2am -b) + 8mp,
2 pi ,
^ ( 2) = 2m 2 + 2am - b ±yj(2m 2 + 2am - b) - 8mp2 ^1,2 = ~ .
2 p 2
Если p, > 0, p2 > 0, то точка M, — седло, точка
M 2 — антиседло.
Особые точки на бесконечности удовлетворяют уравнению [2]:
f(v) = v3 - av2 - (b + m2)v - c = 0.
При любых значениях a, b, m параметр c может быть выбран так, что точка M, — седло, точка M 2 — фокус, а на бесконечности лишь одно состояние равновесия (узел). В этом случае система (1) может иметь пре-
дельный цикл, рождающийся из сложного фокуса и исчезающий через петлю сепаратрисы седла. В работе
[2] доказано, что предельный цикл исчезает при изменении параметра Ь в интервале (2т2 - 2ат, 2ш2 - ат].
Доказательство основано на сравнении системы (1) с консервативными системами [1]
x = y + 2m 2 xy + (p2 + 2m 3 )y 2
xy
2 2 2 y = x - my
x = y + 2m2xy + pj - 2m3)y2
2 2 2 y = x - my.
(2)
(3)
Система (2) имеет с системой (1) общее седло, а система (3) — центр, совпадающий с фокусом.
В настоящей работе решена практическая задача: получено графическое изображение сепарат-рисного цикла системы (1). Вместе с тем ряд результатов представляет и теоретический интерес.
Рассмотрим вопрос о точках перегиба траекторий системы (1). Продифференцируем почленно уравнение фазовых траекторий системы (1) йх _ Р(х,у)
dy Q( x, y)
(1)
по y. Получим
d2x (PX + py )Q - P(Q'xx'y + Qy )
dy2
Q2
т.е.
d2x = Q2py + PQ(px -Qy)-PQ
dy 2
63
В точках перегиба решений уравнения (1') выполняется равенство
Р20,Х - Рб(РХ - 0,’у) - б2ру = 0. (4)
Пусть И = ак2 + Ьк + с, g = к 2 - да2. Полагая х = ку в уравнении (4), получим
(у(1 + Иу))2 2ку - (у(1 + Иу))gy 2(2ак + (Ь + 2т2))у -
- g 2 у 4(1 + (Ьк + 2с) у) = 0,
3
что после сокращения на у дает
и
(1 + Иу) 2к - (1 + Иу)g (2ак + Ь + 2т 2)у -
- g 2 у(1 + (Ьк + 2с) у) = 0, (1 + 2Иу + И 2 у 2)2к - (у + Иу 2) g (2ак + Ь + 2т2) -
- g 2у - (Ьк + 2с)g 2у 2 = 0, т.е. у2(2кИ2 - (2ак + Ь + 2m2)Иg - (Ьк + 2с^2) +
+ у(4кИ - (2ак + Ь + 2т2)g - g 2) + 2к = 0. Обозначим а(к) = 2кИ2 -(2ак+Ь+2m2)Иg-(Ьk+2с^2,
Р(к) = 4кИ - (2ак+Ь+2т2)£ - £ 2.
Итак, получены параметрические уравнения кривой у, состоящей из точек перегиба решений
уравнения (1 ):
а(к) у 2 + Р(к) у + 2к = 0, х = ку.
В общем случае а(к) — многочлен пятой степени. Число корней а(к) определяет число идущих в бесконечность ветвей кривой у.
Лемма 1. Если V* (у* ,0) — особая точка системы (1) на экваторе сферы Пуанкаре, то а(у*) = 0 .
Доказательство. Особые точки на бесконечности удовлетворяют уравнению
а(к) = -(Ьк2 + 2(ат + с)к + Ьт )/(к).
(6)
(5)
а( к) = 0 <»
Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Если система (1) имеет в конечной части плоскости два седла или два антиседла, то а(к) имеет не более трех корней.
Доказательство. Из равенства (6) следует, что Ьк 2 + 2(ат 2 + с)к + Ьт 2 = 0,
_ / (к) = 0.
Кубический многочлен /(у) имеет не более трех корней. Найдем дискриминант Б = (ат2 + с)2 -
- Ь 2т 2 = (ат 2 + Ьт + с)(ат 2 - Ьт + с) = рхр2. Если Б > 0 , то одна из точек М12 — седло, а другая — антиседло; если Б < 0 , то точки М12 — седла или
антиседла. Лемма 2 доказана.
Из леммы 2 следует, что может реализоваться случай, когда у уходит на бесконечность лишь в одном направлении (рис.1). По лемме 1 в этом направлении есть особая точка. Рис.1 выполнен для случая фокуса в I четверти и узла в IV четверти.
Если Б > 0, то может существовать пять направлений, три из которых идут в особую точку (рис.2). На рис.2 штрихпунктирной линией изображены два направления ветвей кривой у, удовлетворяющие уравнению
Рис.1
/ (у) = у3 - ау2 - (Ь + т2)у - с = 0. Многочлен а(к) имеет вид а(к) = -Ьк5 + (аЬ - 2(ат2 + с))к4 +
+ (Ь2 + 2а(ат2 + с))к3 + (3Ь + 2т2)(ат2 + с)к2 +
+ (2с(ат2 + с) + Ьт 2(Ь + т 2))к + Ьт2с.
Тогда
а(к) = -Ьк5 + аЬк4 + Ь2к3 + Ь(ат2 + с)к2 + т2(Ь + т2)к + + Ьт2с - 2(ат2 + с)к(к3 - ак2 - (Ь + т2)к - с), а(к) = (-Ьк2 - Ьт2)/(к) - 2(ат2 + с)/(к),
Рис.2
Ьк2 + 2(ат2 + с)к + Ьт2 = 0.
Рис.2 выполнен для случая фокуса в I четверти и седла во II четверти.
р
Заменим формально в уравнении (4) а t:
t2 2 х - t(2ax + (Ь + 2т2) у) - (1 + Ьх - 2су) = 0.
Рассмотрим параметрическое семейство прямых
х^2 -2at-Ь) -у((Ь + 2т2^ + 2с) -1 = 0. (7)
Это семейство имеет огибающую Г. Найдем ее уравнение. Продифференцируем равенство (7) по ^
х^ - 2а) = у(Ь + 2т2).
Рис.4
Обозначим ™ _ у(Ь + 2т ). Тогда ґ _ ™ а. Под-4х 2
ставляя ґ в уравнение (7), получим
-у
-1 _ 0,
т.е. х| 2™ 2 + 2 ™а + а— 2™а - а 2 - Ь J - у (Ь + 2т 2) ™ -
а(Ь + 2т 2) + 4с
- у--------------z---------------1 _ 0,
2
х| 2 у2(Ь + 2т2)2 --ЬЇ (Ь + 2т2)2у2
у
16 х2 2
2 ( (Ь + 2т 2)2 (Ь + 2т 2)2
4х
у (а (Ь + 2т 2) + 4с)
2
- 1 _ 0 :
8х
4х
у{а{Ъ + 2т 2) + 4с)-|1 + а2 + 2Ь х ,_ 0
2 ^ 2 Умножим последнее равенство на -8х. Получим у 2(Ь + 2т2)2 + 4(а(Ь + 2т2) + 4с) ху +
+ 4(2х + (а2 + 2Ь)х2) _ 0. (8) Уравнение (8) определяет некоторую кривую второго порядка. На рис.3 огибающая Г — эллипс (штрихпунктирная линия). На рис.4 Г — гипербола (в верхней части рисунка практически сливающаяся с у). На рис.4 также изображены изоклины вертикального и горизонтального наклонов.
Перейдем к изображению сепаратрисного цикла системы (1).
Основная сложность заключается в выборе начальных условий вблизи особой точки М1. Эта проблема упрощается с применением уравнений (5).
На определенном этапе вычислений, при приближении траектории к изоклине вертикальных наклонов, система (1) рассматривалась в полярных ко-
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
1 1 ^ -У / \/ 1 1 1 1 ^1 1 /
' ит / /У ' /~ / / / // / // \ /У / -
У
—^7
\
\ 7 /
\ / /
\ / /
\ / /
\ / /
\ / /
ч //
У
1 1 / 1 "т-. 1 1 1 1
-2 -1
Рис.5
0 1 2 Рис.6
3 4 5 6
Рис.7
Рис.8
ординатах.
На рис.5 пунктирной линией изображены петли сепаратрис седел консервативных систем (2) и (3). Доказано [2], что обе петли касаются прямой х - 2ту _ 0
о| 2т -1 1 2т
в точках і |--------, — I и Т
-1
соот-
Р2 Р2 ) VР\ - 4т3’ р1 - 4да3 ветственно. Сплошной линией изображена петля сепаратрисы седла системы (1).
Для достаточно большого числа систем получено, что образование петли сепаратрисы седла системы (1) происходит с касанием на прямой х - 2ту _ 0. При этом точка касания Я совпадает с серединой отрезка 8Т . В середине отрезка 8Т
р1 + р2 - 4т3 , „ 3
у _ —1-----2-------_ Р2 + тЬ - 2т 3 .
На рис.6-7 горизонтальная прямая у _ р2 + тЬ - 2т3 проходит через точку касания Я .
Рис.8 выполнен при а = 0,475, Ь = -0,048, т = 0,1, р = -0,2 . Здесь мы видим, что петля сепаратрисы пересекает прямую х - 2ту = 0 в двух точках. Параметр Ь был выбран так, что Ь < -ат . В этом случае расположение точки £ иное (выше) относительно изоклины вертикальных наклонов, чем на рис.5-7. В проведенных расчетах образование петли
происходило при Ь є (2т -1,6ат, 2т2 - 1,4ат).
1. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976. 496 с.
2. Богданова В.М. // Тр. Псковского политехи. ин-та. 2005. № 9.1. С.6-11.
