CC BY
9Обратные задачи 119
О моделировании римановых метрик в задачах рефракционной томографии
Е. Ю. Деревцов
Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН
Email: dert@math.nsc.ru
DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10346
Явление рефракция луча, вдоль которого распространяется сигнал, возникает в процессе зондирования неоднородной среды любым физическим полем. В ряде постановок, например в рамках сейсмической томографии, рефракция столь значительна, что пренебречь ею становится уже невозможно. Влияние степени рефракции на точность восстановления функции исследовалось в [1].
Задачи восстановления 2D функции или тензорного поля по их экспоненциальному лучевому преобразованию при известном коэффициенте поглощения и заданной рефракции поставлены и решены, например, в [2-4]. Решение задач рефракционной томографии удается получать лишь приближенными методами в рамках математической модели рефракционной томографии, и моделирование рефракции заданием подходящих римановых метрик - один из важных элементов при построении моделей. Приведены краткие сведения о римановых 2D и 3D метриках, пригодных для реализации в численных экспериментах, методы их построения и основные характеристики.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект Российского фонда фундаментальных исследований ННИО_а 19-51-12008).
References
1. Derevtsov E.Yu., Dietz R., Louis A.K. and Schuster T. Influence of refraction to the accuracy of a solution for the 2D-emission tomography problem. J. Inverse Ill-posed Problems. 2000. V. 8. P. 161-191.
2. Svetov I.E., Derevtsov E.Yu., Volkov Yu.S., Schuster T. A numerical solver based on B-splines for 2D vector field tomography in a refracting medium. Mathematics and Computers in Simulation. 2014. V. 97. P. 207-223.
3. Derevtsov E.Yu., Maltseva S.V. Reconstruction of the Singular Support of a Tensor Field Given in a Refracting Medium by Its Ray Transform. J. of Applied and Industrial Mathematics. 2015. V. 9, No. 4. P. 447-460.
4. Derevtsov E.Yu., Maltseva S.V., Svetov I.E. Determination of Discontinuities of a Function in a Domain with Refraction from Its Attenuated Ray Transform. J. of Applied and Industrial Mathematics. 2018. V. 12, No. 4. P. 619-641.
A reconstruction of a tensor field and its discontinuities by tomography data
E. Yu. Derevtsov
Sobolev Institute of Mathematics SB RAS
Email: dert@math.nsc.ru
DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10198
A problem of recovery of a tensor field and its discontinuities by certain types of ray transforms is investigated. Detailed decomposition of a symmetric tensor field, its representation through potentials and application of ray transforms [1] allow to reconstruct the field by means of suggested in [2] back-projection operators. The description of kernels and images of new types of ray transforms, the inversion formulas for sought-for tensor field or for its potentials are obtained. The problem of reconstruction of discontinuities of a tensor field given in refracting medium is considered. To solve this problem, we construct some operators of the inhomogeneity indicator, which enables to identify the set of points of discontinuities of the field. Back-projection operators and differential operators of tensor analysis are used. The operators form a set of algorithms for reconstruction of discontinuities [3]. A generalization for attenuated ray transform (ART) is suggested [4]. Connections between ART of various orders are established and their differential equations are obtained. Angular moments of ART as generalization of back-projection operators are developed.
The work was funded partially by RFBR and DFG according to the research project No. 19-51-12008. References
1. Derevtsov E.Yu., Svetov I. E. Tomography of tensor fields in the plane. Eurasian J. Math. Comp. Appl. 2015. V. 3, N. 2. P. 24-68.
2. Derevtsov E.Yu., Maltseva S. V., Svetov I. E. Mathematical models and algorithms for reconstruction of singular support of functions and vector fields by tomographic data. Eurasian J. Math. Comp. Appl. 2015. V. 3, N. 4. P. 4-44.
3. Derevtsov E.Yu., Maltseva S. V., Svetov I. E. Determination of Discontinuities of a Function in a Domain with Refraction from Its Attenuated Ray Transform. J. Applied and Industrial Mathematics. 2018. V. 12, N. 4. P. 619-641.
