О множестве разреза в некоторых экстремальных задачах, связанных с перемещением в поле скоростей Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2017. № 4-1

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2017. No. 4-1

УДК 517.977 DOI 10.23683/0321-3005-2017-4-1-37-43

О МНОЖЕСТВЕ РАЗРЕЗА В НЕКОТОРЫХ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ, СВЯЗАННЫХ С ПЕРЕМЕЩЕНИЕМ В ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ

© 2017 г. П.В. Николенко1

Ростовский государственный экономический университет, Ростов-на-Дону, Россия

ON THE SET OF CUT IN SOME EXTREMAL PROBLEMS OF MOVEMENT

IN THE VELOCITY FIELD

P.V. Nikolenko1

1Rostov State University of Economics, Rostov-on-Don, Russia

Николенко Петр Вадимовиич - кандидат физико-мате- Petr V. Nikolenko - Candidate of Physics and Mathematics,

матических наук, доцент, кафедра фундаментальной Associate Professor, Department of Fundamental and Ap-

и прикладной математики, Ростовский государст- plied Mathematics, Rostov State University of Economics,

венный экономический университет (РИНХ), B. Sadovaya St., 69, Rostov-on-Don, 344000, Russia, e-mail:

ул. Б. Садовая, 33, г. Ростов-на-Дону, 344000, Россия, [email protected] e-mail: [email protected]

Рассматриваются управления, переводящие объект, находящийся в поле скоростей, заданном в фазовой плоскости, из одного заданного положения в другое. Для функционала качества, взятого из заданного семейства, требуется определить управление, минимизирующее значение функционала. Экстремали Понтрягина указанных задач имеют непрерывные управления. Если из какой-либо точки фазового пространства исходят две экстремали, ведущие в финальную точку, и значение функционала на экстремалях одинаково, то такую точку называют точкой разреза. Если экстремаль проходит через точку разреза, то она не оптимальна. Совокупность точек разреза образует гладкую кривую (или несколько кривых), которая, пересекая семейство экстремалей Понтрягина, отделяет от них неоптимальную часть. Построена конструкция для вычисления множества разреза. Приводится пример задачи, в которой реализована предложенная конструкция для вычисления множества разреза.

Приведены условия, которые обеспечат сходимость встречающихся итераций, а также условия отсутствия точек разреза в заданном множестве. Если векторное поле удовлетворяет указанным условиям, то для обследования полосы потребуется конечное число шагов, количество которых обусловлено размерами полосы, константами, описанными в условиях, и требуемой точностью вычислений.

Ключевые слова: поле скоростей, принцип максимума Понтрягина, множество разреза, экстремаль.

Controls are considered that transfer an object located in a velocity field specified in the phase plane from one preset position to another. For a quality functional taken from a given family, it is required to determine the control that minimizes the value of the functional. Pontryagin's extremals of these tasks have continuous control. If two extremals emanate from a point in the phase space leading to the final point and the value of the functional on the extremals are the same, then such a point is called the cut point. If the extremal passes through a cut point, then it is not optimal. A set ofpoints of a cut form a smooth curve (or several curves) that intersects the Pontryagin family of extremals separating the non-optimal part from them. A construction is constructed to calculate the set of the cut. An example of a problem is presented in which the proposed construction for computing the set of a cut is implemented.

The conditions that ensure the convergence of the iterations encountered, as well as the conditions for the absence of cut points in a given set are given. If the vector field satisfies the specified conditions, then a finite number of steps will be required to survey the band, the number of which is due to the strip sizes, constants described in the conditions and the required accuracy of calculations.

Keywords: velocity field, Pontryagin maximum principle, set of cut, extremal.

Множество разреза где управление u - кусочно-непрерывная функция

со значениями в компакте K; f ф - гладкие функ-

Пусть рассматривается задача теории управления . . , nn

J ^ ^ f j f ции; время fr-fa не фиксировано; x0 е R является

ti

Y(х, u) = J f (x, u)dt ^ min, параметром, т.е. изучается вопрос о минимуме Y

t для всех x0, которые могут быть переведены каким-

• нибудь управлением u в начало координат. И пусть

x = ф(х uX u е K, задача такова, что экстремали (x, u) принципа мак-

x(t0) = x0, x(tj) = 0, симума Понтрягина имеет непрерывные управле-

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 4-1

Uj(f) = -

. Очевидно, что Xj( t1) = 0 и

ния. Если (x, ii) - экстремаль, определенная на отрезке [to, ti], экстремаль [x,и] определена на отрезке е (t0,О, х(~) = x(~), ii(~) * и(~)

ti ^ ? и J f (x, ii)dt = J f (x, ü)dt, то процесс (x, ii) на от-t0 t0 резке [ti, to] не оптимален. Действительно, определим на отрезке [t0, tx] управление ui, полагая

fü (t), t e[to, t0) [u(t), t е [t0, t1] Y(x,ii) = Y(xx,üj) . Но процесс (xi, ui) не оптимален, поскольку ui имеет разрыв. Следовательно, (x, ii) также не оптимален. Таким образом, точка x (t0) отделяет неоптимальную часть траектории x. Саму точку x (t0) называют точкой разреза, а совокупность всех таких точек - множеством разреза.

Ниже приводится конструкция для вычисления множества разреза в семействе экстремальных задач, связанных с перемещением в поле скоростей.

Экстремали Понтрягина в задачах о перемещении в поле скоростей

Рассмотрим перемещения в фазовом пространстве R2, подчиняющиеся закону x = v(x) + ü . Здесь

v: R2 ^ R2 - векторное поле класса С2; v(0) = 0; управление u - кусочно-непрерывная, непрерывная справа, с разрывами лишь первого рода вектор-функция такая, что |ü| < 1.

Рассмотрим управления, которые объект из положения х0 переводят в начало координат. Пусть поставлен вопрос о выборе такого управления, которое минимизирует величину J(1 + a||u||2)dt. Таким образом, рассматриваются следующие задачи:

Y(x, ü) = J0 (1 + a\|ü(t)||2 )dt ^ min,

x = v(x) + ü, щ < 1, (i)

x(t0) = x0, x(0) = 0, a> 0.

Здесь t=0 - момент завершения процесса; момент начала процесса to не фиксирован.

При a=0 получается задача быстродействия. Если a>0, то экономится не только время, но и энергия, затраченная на перемещение. Изменяя значение а, можем менять значимость указанных факторов. Для того чтобы выделить экстремали задачи (i), воспользуемся принципом максимума Понтрягина [1, с. 74].

Пусть (x, u) - оптимальный процесс. Составим функцию Понтрягина:

II 1|2

H = у0(1 + | u ) + y(v(x) + u). Константа у0 принимает значение либо нуль, либо минус единица. Согласно принципу максимума, для некоторого решения системы

у = —yv'(x(i)), функция H принимает максимальное значение по параметру u (v' - матрица Якоби отображения v).

Рассмотрим случай у0 = 0 . Поскольку вектор

(у0, у) нетривиален и у = —yv'(x) , то у не обращается в нуль. Следовательно, H принимает

максимальное значение при u = -¡¡у . Так как в фи-

IMI

нальный момент H = 0 и v(0) = 0, получаем u(0) = 0, что противоречит условию необращения в нуль вектора у. Таким образом, случай у0 = 0 экстремалей не выявляет.

Рассмотрим случай у0 = — 1. Тогда

H = —| |u||2 + уи + уу — 1 = = —| |ll||2 + | |у III |ii|| cos / + уу — 1,

где 3 - угол между векторами у и u.

Ясно, что максимальное по u значение величина H будет достигать при / = 0. Запишем Н в виде

н= -.(|| u|| -И )2 +&-11 11 2а 4а

+ yv — 1. Отсюда следует,

что

u = <

У ii и_____

—, У < 2а

2а

У и и . .

м—¡г J У > 2а

. 11у11

Удобно записать u в виде g(y)y , где

g (У) =

-1, ¡У! < 2а 2а 1 и и „

м—¡¡-, y > 2а

У

Используем условие

Н = 0 при ? = 0. Поскольку у(0) = 0, имеем

у2(а 2 (у) + я(у)) = 1.

Если ||у0|| < 2а, то у2 = 4а , ||у(0)|| = 2л/а при а > 1 (при а < 1 решений нет).

Если

> 2а, то

2

о

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. 1 1

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 4-1

¥ 2(0)(

ü) = 1. Откуда

1к(0)Г 1к(0)||

||у(0)|| = 1 + а при а < 1 (при а > 1 решений нет).

Таким образом, экстремали задачи (1) определяются решением следующей задачи Коши с пятью компонентами фазового пространства и моментом завершения ^ = 0:

х о = 1 + а£ 2(у)у2 х = у(х) + g , (2)

у = -уу'(х)

х0 (0) = 0, х(0) = (0,0), у(0) = 6(008 5)

2л[а, а > 1 1 + а, 0 < а < 1 Решение задачи (2) определяет экстремаль задачи (1); х = (х1, х2) - координаты кривой; и = g-

управление; |х0| - значение функционала.

Итерационные формулы для вычисления параметров точки разреза. Правильность

Введя обозначение = (х3, х4), придадим

системе (2) единообразную форму записи

хг+1 = х - (х0 ) модифицированного метода Ньютона, решения уравнения Е(х) = 0. В случае если Е:Я2 ^Я2 и Е(т,5) = f(/) -f(5), где f : Я ^ Я2, формулы метода Ньютона имеют вид

(5)

Для того чтобы применить формулу (5) к уравнению (4), решаем систему в вариациях

'г+1 Г ' /1' (Г1) - /1' (S) ' -1 ' /i(r) - /(s)л

V Si+1) V S ) г 1 /2(Г ) - /2 (Si), v /2 (r) - /2 (s) y

(6)

где b =

х = f (хХ У = f'(х)У [х(0) = Ф(5), у(0) = ф'(5)

отстемы (3) на промежутке [т,0](? = ?(х°, 5)) таком, что х (^, 5) = х0. В следующих формулах для сокращения записи в величинах хг (?, 5) , у (?, 5) значения аргументов либо не указываются, либо указывается значение второго аргумента.

I ~ , Т -.Л

Ч' =

0

Уо 1

> ( (Т')-1 =

/о-

о

- УоЛ-1

g' = Ф'Т'-1 =

V /2

У1

У2

-1

J 00

о

- УоЛо 1

1

Г/0 _1/ - №0/0-1 + у V /0 ~1/2 - /гУ0/0 -1 + У 2, Таким образом, формулы (5) для уравнения (4) имеют вид

Л

f

Sil g\2

\

S 21 S 22,

(7)

x = f (x) х(о) = ф( s)

(3)

где f: Я5 ^ Я5, ф(5) = (0,0,0, Ь 008(5), Ь зт(5)).

Рассмотрим отображения

Ч^, 5) = (5), 5),

Ф(Г, 5) = (Х1 (1,5), х2 (Г, 5)) , где х^,5) = (х0,..., х4)(1,5) - решение задачи (3); g = ФЧ-1 (отображение Ч-1 определено, поскольку х0 > 0). Если

б(Х0,7) = Х0,5) (т* 5 + 2лк,к е г) , (4) то g(х0,т) - точка разреза.

Определение 1. Тройку чисел (х0,т,5) назовем параметрами неоднозначности, если выполняется равенство (4).

Для решения уравнения (4) при фиксированном х0 будем пользоваться формулами

fr

i+1 VSi+1J

Г

V Si J

(8)

/ ^Тг) - gÍ2(5г) ТУ g1(Tг) - g1(SI ) ^ V g 22 (Тг ) - g22(5, ) J V g 2(Тг ) - g2(sг ) у , где g^- компоненты матрицы g'; gг - компоненты вектора g.

Если в формуле (8) в матрице g-1 значения аргументов (т0,50) оставить неизменными, то получим формулу модифицированного метода Ньютона [2]. Определение 2. Точку разреза g(х0,т) назовем

правильной, если в окрестности х параметры (хо,т,5) образуют гладкую функцию параметра х0, причем т'(х0) * 0,5(х0) * 0 . Докажем утверждение.

Теорема 1. Пусть g( х0,т) - точка разреза с хг+1 = хг -Г'-1(хг^(хг) мет°да Ньютона, либо параметрами (х0,т, 5 ). Если определитель

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 4-1

Д =

отличен от нуля, то в некоторой

Д1 =

Д2 =

£п(т) - й^) £'22(^) - £22

окрестности х0 параметры (х0,т,s) являются гладкой функцией х0. Если, кроме того, определители

ЯпФ -

Й21(^> - £21 я'22(в) '

-

й21 - й21('?) 8,22(^) отличны от нуля, то точка разреза g(х0,т) правильная, причем т'(Х0 ) = —1, ^' (Х0 ) = —2 .

А —

Доказательство. Рассмотрим отображение Р : Я3 ^ Я3, заданное формулой

Р(Х0, т, 5) = (Х0 - Х0, е(Х0, т) - Х0, 5)) .

Оно непрерывно дифференцируемо.

( 1 0 0 ^

Р" (Х0,т, 8) = й'Дг) - £'и(3) £12 (т) £12(5)

ч £ 21(т) - £ 21(8) £ 22(т) £22 ,

Поскольку определитель матрицы Р" отличен от нуля, отображение Р обратимо в некоторой окрестности точки (Х0,т,8). Точки вида являются параметрами точек разреза. Это доказывает первое утверждение теоремы.

Производная параметров точки разреза в точке (1 ^

х0 есть вектор (F') 1

0

V 0 у

. Этот вектор есть реше-

ние системы F'X =

Г1 ^

V 0 у

. По формулам Крамера по-

решением задачи Коши

X = f (X)

x(0) = ф(я).

Если

Х(?,т) = Х(?,5), 8Фт + 2лк , (9)

то Х(?, т) - точка разреза. Чтобы записать формулы, аналогичные (8), для уравнения (9), решаем систему в вариациях

X = f (x), y = f '(x)y . [x(0) = ф(5) y(0) = ф'(я) Получаем

(T \ i+1

VSi+1у

VS у

(10)

(11)

У1(т,) - У^, ) ^ ( Х1(т ) - х^,)

У2(т ) - У2('Ь )) \ Х2(т. ) - Х2(8)

Как и в формуле (8), значение первого аргумента не указано.

Организация вычислений, сходимость итерационного процесса

Сделаем следующее замечание. Пусть по результатам вычислений для ^ < ^ параметры неоднозначности т и 8 тройки ^,т, 5) заменяют множество А. Тогда для / < ^ нас интересуют лишь такие решения уравнения (9), для которых т и 5 не принадлежат А .

Будем предполагать поле v таким, что известна

функция С2(?), для которой ||Х(?,8)<С2^) для

всякого решения задачи (10).

Например, легко видеть, что для поля

у(хх,х2) = (х2,0) за функцию С2(?) можно при-

нять t в m-норме x = max , х

:|х1, |х21} ;

для поля

лучаем т'(Х0) = —1,5(Х0) = —2 . Теорема доказана. А А

Отметим, что компонента /0 векторного поля f

из формулы (3) заключена в границах [1, 1 + а] .

Рассмотрим векторное поле Г (х) = /01(х)Г(х) . Поскольку поля Г и f коллинеарны, траектории определяемых ими фазовых кривых одинаковы. Символом Х(?, 5) будем обозначать компоненты с номерами 1 и 2 вектор-функции Х^, 8), являющейся

у(Х, х2) = (0, X2) такой функции не существует, так как за конечное время точка может переместиться на бесконечность. При сделанных предположениях относительно поля v можно записать аналогичные неравенства для производных первого и второго порядка функции Х(?, 8) , поскольку указанные производные являются решениями уравнения в вариациях (10) либо уравнения в вариациях, соответствующих системе (10).

Далее нам потребуется следующая

Лемма 1. Пусть X,У - банаховы пространства, и с X , /: и ^ У дважды дифференцируемо по Фреше, причем

\\/'Л Х)||- = I, |\/"|| < с.

Если г < — , то: с

0

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 4-1

а) / инъективно в шаре В(х, г) , кроме того, /'(х) обратим, если х е В(х, г);

б) образ указанного шара содержит шар В(/(х), г(1 - сг)) .

Доказательство. Пусть х1, х2 е В(х, г) , по теореме о среднем [1, с. 53]

||/(х) - /(х2) -/'(х)(хх - *2)|| = = ||(/ -/'(х))(х) - (/ -/'(х))(^ <

^^ЛУ '(с) - ^(х)'^ - < ^ - х2|.

С другой стороны, ||/' (х)(х1 - х2|| > /||хх - х2|| , поэтому если сг < I, то /(хх) * /(х2) .

Если оператор А обратим и А такой, что Ца-а|| < 1, то А + А обратим, поэтому

/'(х) = /'(х) + (/'(х) - /'(х)) обратим, если ||/'(х)-1(/'(х) - /'(х))|| < 1, но

||/'(х)-1(/'(х) - /'(х))|| < 1 Сг . Что доказывает а).

Докажем б). В силу неравенства ||/' (х)х|| > , отображение /'(х) накрывает с константой I (образ любого шара радиуса а содержит шар радиуса 1а: /' (х)(В(х, а)) ^ В(/' (х)х, 1а) . В силу приведенного неравенства отображение /(х) - /' (х)х - липшицево с константой Сг. По теореме Милютина [3, с. 221] отображение

/ = /' (х) + (/ - /' (х))

накрывает с константой 1-Сг. Лемма доказана.

Далее символы , обозначают указанные частные производные.

Лемма 2. Пусть в точке 51) (5 £ А)

'ч-Ъ 11 -1

F ' (r,s) =

Рассмотрим отображение Е(т, 5) = Х(^, т) - Х(^,5) (первый аргумент фиксирован). Тогда

'Ух(т) - У1(5) ^ .

(как и в формуле

уУ2(т) - У2(5)) (11), обозначение параметра времени опущено). Для 2-й производной выполняется оценка

Е'' < 2С (С - константа из леммы 2).

1

выполняется неравенство ||(Х') (^, 5 ) < I, -Ойх7| < С (для тех значений (?,5) , которые

рассматриваются). Пусть 5 =1 . Тогда ¿-окрестность точки 51,51) не содержит параметров

неоднозначности.

Доказательство. Поскольку константа С служит оценкой для второй производной отображения (?, 5) ^ х(?, 5) в силу леммы 2, указанное отображение инъективно в ¿-окрестности точки (^, ) ,

т.е. ¿-окрестность точки (/^ 51,51) не содержит параметров неоднозначности. Лемма доказана.

Лемма 3. Пусть в точке (т,5) ||Е' | = - . Если

12 I

Е(т, 5) <-, то при 5 =- F инъективно в ¿II 'II 4С

окрестности (т, 5) , итерации (11) сходятся (при

(т0, 50 ) = (т, 5) ) к решению (т*, 5*) уравнения

Е = 0, причем

2||(т0 , 50 ) - (т1,51 Ц > ||(т0 , 50 ) - (т*, 5* Ц .

Доказательство. Согласно лемме 1, F инъективно в ¿-окрестности (т, 5) при 5 =-<- и

4С 2С

образ окрестности содержит шар В(Е(т, 5), 5(1 - 2С5)) ,

I I 12

5(1 - 2С5) = — (I - 2С —) = —.

4С 4С 8С

Поскольку выполняются условия А =|Е'-1|| = —, ||Е 11< 2С = С ,

Н II В 11 11

1/2 / ||е'-1(т, №(т, 5)|| < = — = В0,

II II I 8С 8С

то АВ0С0 < 1, что, согласно известной теореме [4,

с. 460], обеспечивает сходимость итераций. Лемма доказана.

Рассмотрим также отображение

Ф^, т, 5) = (I - Х(?, т) - Х^, 5)). Для второй производной Ф" выполняется оценка ||Ф" 11 < 2С .

Пусть т, 5 £ А, ? = ^ и ^ = Ф ' (1, т, 5)

II - — II 12 I

Теорема 2. Если Ф01 ,т,5) , 5 = —^ ,

11 11 8^ 4С

12

5 = то для ? таких, что и - ? <5 , ¿-окрест-

8С

ность точки (и,т,5) содержит параметры неоднозначности, которые образуют гладкую кривую параметра t.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 4-1

Доказательство. Согласно лемме 2, отображение Ф инъективно в ¿-окрестности точки (/ , т, 8) и образ этой ¿-окрестности содержит ^-окрестность точки Ф(/ ,т, 8 ). По теореме об обратной функции параметры неоднозначности образуют кривую < ¿1). Теорема доказана.

Лемма 4. Пусть константа С1 такова, что

l2

b

Ф' <C . Если Ф(Г,т,s) = b > , S<— , то 8

8C

C

окрестность точки (t,т,s) не содержит параметров неоднозначности.

Доказательство. Согласно теореме о среднем,

Ф(В((/ ,т, 8),Ь)) с В(Ф(/ ,т, 8), Ь), но последняя окрест-

С1

ность не содержит начало координат. Лемма доказана.

Пример. Рассмотренная конструкция реализована в задаче о наискорейшем перемещении в начало координат в поле скоростей, заданном формулой

у(X,Х2) = { 2(х2'0); Х2 <0 .

1 2 [(х22 + 0,1х26,0), х > 0

На рисунке изображена часть множества разреза (обозначена цифрой 1).

Ох1

Часть множества разреза / Part of the plurality of slit

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 4-1

Перемещение от точек построенной части кривой 1 в начало координат по экстремали вида 2-11 может занять время от 2,5 до 7 единиц. Вообще же, как следует из результатов работы [4], множество разреза берет своё начало в точке я

(——,0) . Экстремалям вида 2-11 отвечает финальное условие (0,0,cos^,sin^), где

я , я

--< ф < —.

2 2

Для экстремалей вида 12-16 |ф| > Я . В таблице

приводятся время и значение ф для изображённой части экстремалей.

Время и значение функции ф / Time and the value of the function ф

№ Время t Значение ф

1 Множество разреза

2 [0; -7] -1,55

3 [0; -7] 1,51

4 [0; -6,4] -1,54

5 [0; -6,4] 1,49

6 [0; -5,5] -1,52

7 [0; -5,5] 1,45

8 [0; -4,3] -1,44

9 [0; -4,3] 1,34

10 [0; -3,1] -1,05

11 [0; -3,1] 0,98

12 [0; -3,5] -

13 [0; -5] -

14 [0; -5,5] -

15 [0; -7] -

16 [0; -7] -

Заключение

Предложенная конструкция позволяет определять параметры точек разреза. Если в исследуемых

точках (t, Т,s) константа l1 окажется отделенной

от нуля числом l0 > 0 и l1 > l0, то для исследова-

Г l2 ]

ния полосы j (t,т,s): |t — tj| < ,т,s g A > потребуется конечное число шагов, количество которых зависит от констант l0,Ci, C.

Автор благодарен А.В. Дмитруку за критические замечания и ценные советы.

Литература

1. Галеев Э.М., ЗеликинМ.И., Конягин С.В. [и др.]. Оптимальное управление. М. : МЦНМО, 2008. 320 с.

2. Николенко П.В. О наискорейших перемещениях в поле скоростей // Диф. уравнения. 2011. Т. 47, № 5. С. 736-743.

3. Николенко П.В. Множество неоднозначности и задача о наискорейших перемещениях в поле скоростей // Диф. уравнения. 2014. Т. 50, № 3. С. 376-384.

4. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М. : Наука, 1967. 659 с.

References

1. Galeev E.M., Zelikin M.I., Konyagin S.V. [i dr.]. Optimal'noe upravlenie [Optimal control]. Moscow: MTsNMO, 2008, 320 p.

2. Nikolenko P.V. O naiskoreishikh peremeshcheniyakh v pole skorostei [On the steepest displacements in the velocity field]. Dif. uravneniya. 2011, vol. 47, No. 5, pp. 736-743.

3. Nikolenko P.V. Mnozhestvo neodnoznachnosti i zadacha o naiskoreishikh peremeshcheniyakh v pole skorostei [The set of ambiguities and the problem of steepest displacements in the velocity field]. Dif. uravneniya. 2014, vol. 50, No. 3, pp. 376-384.

4. Demidovich B.P., Maron I.A. Osnovy vychislit-el'noi matematiki [Fundamentals of computational mathematics]. Moscow: Nauka, 1967, 659 p.

Поступила в редакцию /Received

29 мая 2017 г. /May 29, 2017