О многообразиях алгебр, подпрямо неразложимые алгебры которых являются армендеризовскими Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.49

A.C. Кузьмина

О многообразиях алгебр, подпрямо неразложимые алгебры которых являются армендеризовскими

В данной работе рассмотрены ассоциативные алгебры над полем F.

Определение. Алгебра R называется ар-мендеризовской, если для любых многочленов f(x) = ад + а±х + ... + amxm и g(x) = Ъ$ + Ъ\х + ... + Ъпхп € R[x] из того, что f(x)g(x) = 0, следует aibj = 0 для в сех i = 0,1,..., m и j = ОД,..., п.

Понятие армендеризовского кольца введено в 1997 году М.Rege и S.Chhawchharia в работе [8]. Позже были опубликованы другие работы, посвященные исследованию армендеризовских колец (см., например, [1-5]). Представляет интерес изучение многообразий алгебр, все или часть алгебр которых являются армендеризовскими.

Лемма 1. Пусть F-алгебра A = (а, Ъ\а? = 0 = Ъ2,аЪ = —Ъаф 0) и F-алгебра B = (а, Ъ\а? = 0 = Ъ2 ,аЪ = Ъа ф 0) . Тогда алгебры A B

алгебра A изоморфна подалгебре алгебры M±(F), порожденной матрицами а = e2i — ^з, Ъ = в31 + 642, а алгебра B изоморфна подалгебре, порожденной матрицами а = e2i + 643, Ъ = e3i + е42, где 6ij - матричные единицы.)

Доказательство. Нетрудно показать, что для любого (0) ф I < A 0 ф аЪ € I и для любого

(0) ф J < B 0 ф аЪ € J. Таким образом, алгебры AB

Лемма доказана.

Замечание 1. Отметим, что в случае, когда FA ской, в то время как алгебра B, если chMrF ф 2, критической не является.

Действительно, для любого (0) ф I < A 0 ф аЪ € I. Следовательно, (A/I'y = 0, т.е. x^^b A/I. Покажем, что xy € T(C) для любой собственной подалгебры C алгебры A.

Итак, пусть C - собственная подалгебра алгебры A. Тогда dimFC < 2. Если dimFC = 1, то xy € T(C), поэтому рассмотрим случай, когда dimp C = 2.

Пусть C = Fu + Fv, где u,v € A, т.е. u2 = v2 = 0. Если C2 = 0, то все доказано. По-C uv

u = аа + /ЗЪ + ^аЪ,^ = а\а + [3\Ъ + yаЪ, где

а, e,Y,a.i,f3i,Yi € F. Тогда 0 ф uv = (afíi — ахв)аЪ, т.е. аЪ € C. Следовательно, C = Fz + F^) для некоторого z € A. Нетрудно проверить, что в этом случае xy € T(C). Таким обра-

зом, многочлен ху является критическим для алгебры А.

Пусть charF ф 2. Рассмотрим собственную подалгебру С = (а+ Ь) С В. Заметим, что Т(С) = {[х,у],хух}т С ТВ). Таким образом, алгебра В щи ^агF ф 2 критической не является.

Предложение 1. Пусть Ш - многообразие У-алгебр (У - поле), для которого выполняется одно из следующих условий:

(1) любая подпрямо неразложимая алгебра Ш

(2) любая нильпотентная индекса 3 алгебра Ш

(3) любая трехмерная антикоммутатив-

Ш

ТШ

Ш

ху + [(х о у)+ ^ т,

degw>3

где [3,0^ Є У, т - слова от х иу, х о у = ху + ух.

Доказательство. Рассмотрим алгебру

А = (а, Ь\а2 = 0 = Ь2, аЬ = -Ьаф 0) . Заметим, А

Действительно, если положить /(х) = а + Ьх Є А[х], то /2(х) = 0, но аЬ ф 0. Поскольку алге-А

мерной, антикоммутативной и пильпотентпой индекса 3, то А Є Ши найдется многочлен /(хі, ...,хп) Є Т(Ш)\Т(А), существенно зависящий от переменных хі, ...,хп. Поскольку Т{А) = {х2, хух, ху + ух}т, то п < 2.

Пусть п = 1. Тогда /(х) = чх + х2д(х), где 7 Є У,д(х) Є У[х], причем 7 ф 0.

Пусть п = 2. Тогда /(х, у) = аху + [(х о у) + а^т, где а, [,а^ Є У, т - слова от х и у, х о у = ху + ух, причем аф 0.

ТШ

вида ху + [(х о у) + Т,ае^>з аwт или х + х2д(х).

у

чим многочлен вида ху + [(х оу) + аwт

(при [ = 0). Предложение доказано.

Ш

У-алгебр (У - поле), для которого выполняется одно из следующих условий:

(1) любая подпрямо неразложимая алгебра Ш

(2) любая нильпотентная индекса 3 алгебра из Ш является армендеризовской;

(3) любая трехмерная коммутативная алгебра из Ш является армендеризовской.

Тогда идеал тождеств T(Ш) многообразия Ш содержит, многочлен следующего вида:

xy + j[x,y] + ^2 Vw w,

degw>3

где y, Vw & F, w - слова от x uy, [x, y] = xy-yx.

Доказательство. Рассмотрим алгебру B = ('a, Ъ\о? = 0 = b2 ,ab = ba ф О) . Заметим, что ал-B

ствительио, если положить /(x) = a + bx,g(t) = a-bx & A[x], то /(x)g(x) = 0, но ab ф 0. Посколь-B

мерной, коммутативной и нильпотентной индекса 3, то B & Ш. Рассуждая так же, как при доказательстве предложения 1, можно показать, что

Ш

гочлен вида xy + y[x, y] + J2degw>s Vww. Предложение доказано.

Теорема 1. Пусть Ш - многообразие FF

следующих условий:

(1) любая подпрямо неразложимая алгебра Ш

(2) любая нильпотентная индекса 3 алгебра Ш

Ш

ся армендеризовской.

Тогда идеал тождеств T(Ш) многообразия

Ш

xy + ^ Pw w,

degw>

где pw & F, w - слова от x uy.

xy

Y[x,y] + Y,degw>3 Vww & T(Ш), где Y,Vw & F. Подставив y = x, получим, что x2 + x3g(x) & T(Ш), где g(x) & F[x]. Линеаризовав этот многочлен, имеем x о y + J2degw>3 $ww & T(Ш), где 5w & F. По предложению 1 xy + f(x о

y) + J2degw>3 aww & T( Щ, ОДЄ f,aw & F.

Вычтя из последнего многочлена многочлен fix о y) + fJ2degw>3 5w^получим, что xy + J2degw>3 Pww & T(Ш). Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть Ш - многообразие FF

условия эквивалентны:

Ш

зовскими;

(2) все подпрямо неразложимые алгебры из

Ш

(3) многообразие Ш не содержит алгебр А и В, где А = (а, Ъ\а2 = 0 = Ъ2,аЪ = —Ьа ф 0) и В = (а, Ъ\а2 = 0 = Ъ2,аЪ = Ъа ф 0) ;

(4) Т{Ш) = {ху}т.

Доказательство. Заметим, что импликации (1) ^ (2) и (4) ^ (1) очевидны. Доказательство импликации (2) ^ (3) следует из того, АВ

являются армендеризовскими (см. доказательства предложения 1 и предложения 2).

Докажем импликацию (3) ^ (4). Рассуждая так же, как при доказательстве предложения 1, предложения 2 и теоремы 1, можно показать, что поскольку А, В £ Ш, то идеал тождеств Т(Ш) содержит многочлен вида ху + 12аеды>з Р™ад, где е^,^^шва от хну. По-

ле Г бесконечно, поэтому идеал тождеств мно-Ш

ху Т Ш .

доказана.

Замечание. Условие (2) в теореме 2 может быть заменено одним из следующих условий: (2') все нильпотентные индекса 3 алгебры из

Ш

(2") все трехмерные алгебры из Ш являются армендеризовскими.

Таким образом, теорема 2 может быть сформулирована следующим образом.

Теорема 2 '.Пуст ь Ш - многообразие Г-алгебр (Г - бесконечное поле). Тогда следующие условия эквивалентны:

Ш

зовскими;

(2) все подпрямо неразложимые алгебры из

Ш

(3) все нильпотентные индекса 3 алгебры из

Ш

Ш

армендеризовскими;

(5) многообразие Ш не содержит алгебр А и В, где А = (а, Ъ\а2 = 0 = Ъ2,аЪ = —Ъа ф 0) и В = (а, Ъ\а2 = 0 = Ъ2,аЪ = Ъа ф 0) ;

(6) Т(Ш) = {ху}т.

Теорема 3. Пусть Ш - многообразие Г-алгебр, где Г = ОГ(ц). Тогда следующие условия эквивалентны:

Ш

зовскими;

(2) С = (ГГ) / Ши ху +

12аеди>>з ™ е Т(Ш), где а™ е Г,ю - слова от

х, у

(3)все подпрямо неразложимые конечномер-

Ш

ми;

И

Ш

ются армендеризовскими и В Є Ш, где В = (■а, Ь\а2 = 0 = Ь2 ,аЬ = Ьа ф 0).

Доказательство. Докажем импликацию (1) ^ (2). Поскольку алгебра С

не является армендеризовской [3, пример 1], то С Є Ш. Алгебры А и В, где А = (а,Ь\а2 = 0 = Ь2,аЬ = —Ьа ф 0) и В =

(а, Ь\а? = 0 = Ь2,аЬ = Ьа ф 0) , также не являются армендеризовскими, поэтому А, В Є Ш. Используя те же рассуждения, что и при доказательстве предложения 1, предложения 2 и теоремы 1, можно показать, что ху + ^^^3 т Є Т( Ш).

Далее, докажем импликацию (2) ^ (3).

Пусть Е Є Ш - подпрямо неразложимая конечномерная У-алгебра. Рассмотрим следующие случаи.

Случай 1. Пусть 1{Е) = 0.

Е

мо неразложима, то Е = Мп(Уі), ще Уі- поле такое, что Уі Э У. Если п > 3, то, сделав подстановку х = е12 ,у = е2з в тождество ху + аwт, получим ві3 = 0, противоре-

чие. Пусть п = 2. Тогда С С Е = М2(Уі), т.е. С Ш,

Е

Е

Случай 2. Пусть Е = 7(Е).

Еп . Е

творяет тождеству вида х^ 12^ди>>з а^т, то Е" = 0. Следовательно, ¿ішрЕ = 1. Итак, Е а\ а Е

ризовской.

Случай 3. Пусть Е ф 7(Е) и 1(Е) ф 0.

Е

ству ху + Т,ае^>з аwт, то Л(Е)2 = 0. По теореме Веддерберпа-Мальцева Е = В + Л(Е), где ,1{В) = 0, т.е. В = В Ф ... Ф Ви, Ві - простые алгебры, і = 1,..., к. Пусть еі - единица Ві,і = I,..., к, и е = ві+ ... + вк. Запишем пир-совское разложение алгебры Е: Е = еЕе+еЕ(1 — в) + (1 — е)Ее + (1 — е)Е(1 — в). Далее, заметим, что еЕ(1 — е) + (1 — е)Ее + (1 — е)Е(1 — е) С ,1(Е). Е

еЕ —е , —е Ее, —е Е —е

ются идеалами, то два из этих множеств равны нулю. Рассмотрим возможные случаи.

еЕ — е ,

(1 — е)Ее = 0 и (1 — е)Е(1 — е) ф 0.

Тогда еЕе < Е и (1 — е)Е(1 — е) < Е, причем

еЕе П (1 — е)Е(1 — е) = (0), а это противоречит Е

— е Е — е .

еЕ — е ,

(1 — в)Ев = 0.

Тогда Е = еЕе + еЕ(1 — в). Пусть N = ,1{еЕе)ф (0). Тогда N = е.1{Е)е С Ц(Е). Можно показать, что N<Е. Однако еЕ(1 — е)<Е и N П еЩ! — е) = 0, что противоречит подпря-

Е.

зом, N = (0) и еЕе = Вх ® ... ® Вк = В, где В— простые, г = 1,...,к. Нетрудно показать, что ехЕ(\ — е) <Е и е2Е(1 — е) < Е, при-е Е — е П е Е — е .

к

мер, е1Е(1 — е) ф0, а, е2Е(1 — е) = 0,..., екЕ(1 — е) = 0. Если к > 2, то, заметив, что В2 < Е и В П е1Е(1 — е) = 0, придем к противоречию с

Е

^^и^ Г) + еЕ(1 — е), где Гг расши-

рение поля Г. Если предположить, что п > 2, то, сделав подстановку х = ецг, у = е2з в тождество х^ + ^2аедш^ атт, придем к противоречию. Пусть п = 2. Подставив х = е12, у = еа(1 — е), а е Е в тождество, снова получим противоре-Е Г еЕ — е .

Олшр1 (еЕ( 1 — е)) = 1, поэтому ^ + Га =

Г Г ^. Непосредственной прооеркой леж

ко убедиться, что алгебра Е = ( Г Г

является армендеризовской.

еЕ — е , — е Ее ,

рассматривается аналогично. Проведа такие же

Г Г Е

еЕ — е ,

(1 — е)Ее = 0.

Е еЕе е Е

другой стороны, Е = В + Ц(Е), где Ц(В) = 0, т.е. В = В Ф ... Ф Вк,Вг — простые алгебры, г = 1,..., к. Пусть е1 .ЦЕ) ф 0 и е2.1(Е) ф 0. Следовательно, е17(Е)<Е и е2Ц(Е) <Е, причем е1 Ц(Е) П е2Ц(Е) = 0, что противоречит подпрямой неЕ

но и только одно из множеств е^^Е), г = \, ...,к, может быть ненулевым. Положим, например, еЦ(Е) ф 0,еЩЕ) = 0,...,екЦ(Е) = 0. Рассуждая аналогично, покажем, что Ц(Е)е( Ф 0 для некоторого Ь е {{,2,..., к} и Ц(Е)ев = 0 для любого в е {1,2,..., к} такого, что в фЬ. Возможны два случая: Ь = 1 и Ь ф 1.

Рассмотрим сначала случай, когда Ь ф

1. Пусть, например, Ь = 2. Тогда

е1 ЦЕ) = Ц(Е)е2 = = Ц(Е) ф 0. Нетрудно проверить, что В3 < Е и Ц(Е) П В3 = (0), что противоречит подпрямой неразложимости алгебры Е. Итак, ясно,что к = 2. Следовательно, Е =

рассуждения, получим, что Е =

(Bi ® B2) + J(R). Заметим, что Bi - толя, ¿=1,2 (в этом нетрудно убедиться, сделав следующие подстановки в тождество xy+J2degw>3 aww x = ei2 £ Bi,y = y' £ JR, i = 1,2). Таким образом, R= (Fi ® F2) + F\o,F2, где Fi,F2 - расширения поля F, F±aF2 — одномерный (Fi,F2)-бимодуль.

( F FxF2 \

Отсюда R = ( q f " ) , гДе FiF2- композит полей F и F2 [6]. Следовательно, C С R, что противоречит условию теоремы.

Рассмотрим случай, когда t = 1. Тогда eiJ(R) = J(R)ei = J(R) ф 0. Нетрудно заметить, что Bi = (0) для всех г ф 1. Таким образом, R = B + J(R). Аналогично тому, как это

B

т.е. R = F + J(R)J(R)2 = (0). Следовательно, R ^ ( a ) \a,b £ F,a £ AutF11 [6].

Непосредственной проверкой можно убедиться, R

Таким образом, мы показали, что все подпрямо неразложимые конечномерные алгебры многообразия Ш являются армендеризовскими.

Докажем импликацию (3) ^ (4). Пусть все подпрямо неразложимые конечномерные алгебры из Ш являются армендеризовскими. Ясно, что в силу своей подпрямой неразложимости и конечномерности всякая критическая алгебра из Ш B

номерна, но не является армендеризовской (см.

доказательство предложения 2). Следовательно, B £ Ш.

Докажем импликацию (4) ^ (1). Пусть все Ш

ризовскими и B £ Ш. Покажем, что любая ал-

Ш

зовской.

Пусть R £ Ши f(t),g(t) £ R[t], такие, что f(t)g(t) = 0. Пусть также f (t) = a0 + a^t + ... + antn,g(t) = Ь0 + Ь\Ь + ... + bmtm, где ai,bj £ R для всех i,j. Рассмотрим конечно порожденную подалгебру S = F (oq,..., an, Ь,..., Ьт) . Заметим, что поскольку каждая критическая алгебра из Ш является армендеризовской, то A £ Ш, где A = (a, Ь\о? = 0 = Ь2,ab = —ba ф 0). Далее, так

же как при доказательстве теоремы 1, можно показать, что идеал тождеств многообразия Ш содержит многочлен вида xy + J2degw>3 pww, где Є F, w - слова от x и y. Подставив y = x В многочлен xy + J2degw>3 w, получим, что x2 = x3p(x) Є T(Ш), гДе p(x) Є F[x:].

Итак, алгебра S удовлетворяет тождествам px = 0 для некоторого простого x3p(x),

S

S

ется подпрямым произведением некоторых подпрямо неразложимых алгебр, и каждая из этих подпрямо неразложимых алгебр является критической (см. [9]), следовательно, армендери-

S

прямое произведение армендеризовских алгебр, т.е. сама является армендеризовской. Поскольку f(t),g(t) Є S[t], то aibj = 0 для в сех i,j. Таким образом, алгебра R является армендеризовской. Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть Ш - многообразие F-алгсбр, где F = GF(2”). Тогда следующие условия эквивалентны:

Ш

зовскими;

(2) с = (FF) Є Ши xy +

J2degw>3 aww Є T(Ш), где aw Є F,w слова от x, y

(3)все подпрямо неразложимые конечномер-

Ш

ми;

Ш

армендеризовскими.

В работе [4] вводится понятие слабого армен-деризовского кольца.

R

бой армендеризовской, если из того, что произ-

Rx

но нулю, следует, что всевозможные попарные произведения коэффициентов этих многочленов равны нулю.

Замечание 2. Нетрудно заметить, что все доказанные выше теоремы справедливы и для слабых армендеризовских алгебр.

Литература

1. Anderson D.D. Armendariz rings and Gaussian rings / D.D. Anderson, V. Camillo // Journal of Algebra. - 1999. - V. 217.

2. Huh C. Armendariz rings and semicommu-tative rings / C. Huh, Y. Lee, A. Smoctunowicz //

Communications in algebra. - 2002. - Vol. 30.

_ jys2.

3. Kim N.K. Armendariz rings and Reduced rings / N.K. Kim, Y. Lee // Journal of Algebra. -2000. - V. 223.

4. Lee T.-K. On Armendariz rings / N.K. Kim, Y. Lee // Houston Journal of Mathematics. - 2003.

- Vol. 29. - №3.

5. Lee T.-K. Armendariz and Reduced Rings / T.-K. Lee, Y. Zhou // Communications in algebra.

- 2004. - Vol. 32. - №6.

6. Mcdonald B. Finite rings with identity. -New York, 1974.

7. Mal’cev Y.N. The srtucture of associative algebras satysfying the polynomial identities and

varieties of algebras. - Barnaul, 1994.

8. Rege M.B. Armendariz rings / M.B. Rege,

S. Chhawchharia // Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 1997. 73.

9. Мальцев Ю.Н. Критические кольца и многообразия ассоциативных колец: Дисс. ... д-ра физ.-мат. наук. - Барнаул, 1985.