О многогранниках с центрально симметричными гранями Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 11 Выпуск 1 (2010)

Труды VII Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной памяти профессора Анатолия Алексеевича Карацубы

О МНОГОГРАННИКАХ С ЦЕНТРАЛЬНО СИММЕТРИЧНЫМИ ГРАНЯМИ1

Н. П. Долбилин, М. А. Козачок (г. Москва) dolbilin@mi,ras.ru

Аннотация

Изучаются достаточные условия центральной симметричности многогранников. Приводится простое доказательство теоремы А. Д. Александрова и G. Shephard’а о центральной симметричности выпуклого многогранника с центрально симметричными гипергранями. Доказывается теорема, усиливающая теорему Александрова-Шепарда. Рассматриваются приложения к теории параллелоэдров.

Введение.

В конце XIX века в теории выпуклых многогранников в связи е введением понятия параллелоэдра была открыта важная глава. Напомним, что паралле-лоэдр d измерений определяется как евклидов выпуклый d-мерный многогранник, который своими параллельными копиями разбивает пространство Ed нормальным образом. Разбиение пространства на многогранники нормально, если любые две ячейки разбиения, имеющие непустое пересечение, пересекаются по целой общей грани некоторой размерности. Понятие и термин параллелоэдр были введены выдающимся русским кристаллографом Е.С.Федоровым [1]. Он же определил все 5 комбинаторных параллелоэдров.

Вскоре после этого к изучению параллелоэдров приступил Минковекий и в 1897 году открыл и доказал фундаментальную теорему о параллелоэдрах.

Теорема 1 (Минковекий, [2]). Если P - d-мерный параллелоэдр, то

(1) P - центрально симметричный;

(2) все его гиперграни - центрально симметричны;

(3) проекция P вдоль каждой его (d — 2)-грани - либо параллелограмм, либо центрально симметричный шестиугольник.

1работа отчасти поддержана РФФИ, грант 08-01-00565-а

Важно, что Б,А, Венков ([4]) показал, что необходимые условия (1-3) в теореме Минковекого являются и достаточными.

Основной пункт теоремы 1 - это пункт (1), Чтобы его доказать, Минковский нашел одну из самых замечательных теорем в теории выпуклых многогранников.

Теорема 2 (Минковский, 1897, [2], [3]). Дано множество Т = {^\,..., Рк} С И векторов, удовлетворяющее условиям (1) и (2):

(1) ярап(Т) =

(2) £‘=1Е = 0.

Существует выпуклый д-многогранник Рек гипергранями такими, что векторы ,..., 1^ являются, внешними перпендикулярами к соответствующим, гиперграням, а длины векторов равны, (д — 1)-объемам гиперграней.

Более того, многогранник Р определяется множеством Т однозначно с точностью до параллельного переноса.

Заметим, что систему Т векторов иногда называют ежом, многогранника. Теорема Минковекого 2 о еже имеет множество приложений. Из нее, например, следует, что выпуклый многогранник с центрально симметричным ежом сам центрально симметричен. Поэтому, в частности, параллелоэдр центрально симметричен. Свойство (2) параллелоэдра в теореме 1 несложно вытекает из свойства (1) и условия замощения пространства параллельными копиями параллелоэдра. Таким образом, у параллелоэдра все гиперграни центрально симметричны.

Оказалось, что теорема Минковекого о выпуклых многогранниках дает замечательный инструмент для исследования многогранников с центрально симметричными гранями, В этой работе мы получим свойства многогранников, у которого есть то или иное подмножество центрально симметричных граней.

Многогранники с центрально-симметричными гипергранями

Р

симметричны, и ^ = Q0 С Р - (д — 2)-грань, Нам понадобится понятие по-ясаБ (^), соответствующего (д — 2)-грани Q, Пусть Q0 (д — 2)-грань является общей для двух гиперграней Р0 ПБ1 ^ етсть Q1- (д — 2)-грань, симметричная

грани Qo относительно центра симметрии гиперграни Б\. Пусть Q1 = Б1 П Б2 и Q2 - (д — 2)-грань, симметричная грани Q1 относительно гиперграни Б2. Пусть Qi = Б, П Б,+1 Qг+1 - (д — 2)-грапь, симметричная грани Q1 относительно центра симметрии гиперграни Б,+1. Все определяемые таким образом (д — 2)-грани лежат в параллельных аффинных (д — 2)-плоскостях, Поэтому последовательность Б^0) (д — 2)-граней Q0, Q1, Q2,..., Qk = Q0, начинающаяся с грани Q0, должна закончиться в ней же.

P

клически замкнутая последовательность B(Q0) = {Q0, Qi, Q2, • • •, Qk = Q0}

d — 2

Qi и Qi+1 принадлежат одной гиперграни и симметричны относительно ее

Qo

грани, входящей в эту последовательность).

Заметим, что у параллелоэдра, в силу свойства (3) теоремы 1 каждый пояс имеет длину k либо 4, либо 6.

Следующая теорема была доказана А. Д. Александровым для d = 3 и

d

Теорема 3 (А.Д.Александров [3] (d = 3), G, Shephard (1970)). Если у выпуклого многогранника P размерности d, где d > 3, все гиперграни центрально P

Ниже мы представим упрощеннное доказательство теоремы 3, но прежде сделаем пару замечаний.

Замечание 1. Очевидно, что центральная симметричность гиперграней является, достаточным, но не является, необходимым условием центральной симметричности многогранника. Например, октаэдр центрально симметричен, но его 2-грани, - нет. Отметим, что теорем,а, 3 верна, лишь для, d > 2.

Замечание 2. Вследствие теорем,ы, Александрова-Шепарда свойство (1) в теореме 1 следует из (2). В силу же теорем, 1 и 3, а также теорем,ы, Венкова, замкнутый выпуклый многогранник является, параллелоэдром тогда, и только тогда, когда, все его гиперграни центрально симметричны и все пояса, и,м,еют длину 4 или 6.

P

существует конгруэнтная ей гипергрань, лежащая в параллельной гиперплоскости. Отсюда будет следовать, что соответствующий еж центрально снммет-

P

Пусть F - произвольная гипергрань многогранника P и П =aff(F) - аффинная оболочка грани F. Очевидно, что П - опорная гиперплоскость многогранника P, прпчем П П P = F, Обозначим через П' - опорную к P гиперплоскость,

П

(d — 2) Q F

кажем, что параллельная опорная гиперплоскость П' содержит (d — 2)-грань Q' 6 B(Q). Рассмотрим соответствующий пояс B(Q), и пусть гиперграни Fi соответствуют этому поясу. Ясно, что гиперплоскости aff(Fi) параллельны (d — 2)-плоекоетям aff(Qj), Qj 6 B(Q). Поэтому проекция многогранника P вдоль (d — 2)-плоскоети aff(Q) на двумерное дополнение П2 есть выпуклый многоугольник M, вершины которого суть проекции (d — 2)-грапей из B(Q), а стороны - проекции гиперграней, соответствующих этому поясу. При этом проекция

рг(П) есть опорная прямая Ь к многоугольнику М, которая содержит сторону f =рг(Б). При этом рг(П') является также опорной прямой Ь, содержащей, если не сторону, то, по крайней мере, вершину. Эта вершина есть проекция некоторой (д — 2)-грани Q/ € Б(Q), которая, очевидно, содержится в опорной плоскости П/,

Таким образом, для любой (д — 2)-грани Q С Б С П, параллельная опорная гиперплоскость П/ содержит (д — 2)-грань Q/ € Б(Q), которая параллельна грани Q , Поэтому имеем

с11т(сопу(ид/сп' Q/) = д.

Отсюда следует, что опорная плоскость П/ содержит также гипергрань Б/ многогранника Р. Рассмотрим гиперграни Б и Р/, Это выпуклые (д — 1)-много-

П

и П, соответственно. Мы покажем, что к (д — 1)-многогранникам Б и Б/ можно применить теорему 2, Действительно, в (д — 1)-многограниике Б каждая пара симметричных (относительно центра Б) его (д—2)-граней Q1, Q2 имеет в (д—1)-многограннике Б/ пару симметричных друг другу (д — 2)-граней Q/1 и Q/2. Более того, грани Q1 и Q/1, а также Q2 и Q/2, соответственно, конгруэнтны друг другу и лежат во вполне параллельных друг другу (д — 2)-плоекоетях, Из этого следует, что ежи (д — 1)-многогранников Б и Б/, лежащие в параллельных гиперплоскостях, равны и параллельны друг другу. Поэтому из теоремы 2 получаем, что (д — 1)-многогранники Б и Б/ конгруэнтны и параллельны друг другу. Откуда следует, что в д-многограннике Р все его гиперграни Б и Б/ попарно параллель-

Р

следовательно, симметричен и многогранник Р, Теорема доказана, □

Из теоремы 3 непосредственно следует

Следствие 1. Пусть Р - выпуклый д-многогранник, д > 3. Пусть также для некоторого к, 2 < к < д — 1, все его грани размерности к, где центрально симметричны. Тогда, для любого к < к/ < д — 1 все его грани размер ности к/ и сам, многогранник также центрально симметричны.

2<к

Многогранники с центрально-симметричными гранями коразмерности 2

Сейчас мы докажем основную теорему этой работы:

Теорема 4. Если у выпуклого многогранника Р размерности д все грани размерности (д — 2) центрально симметричны, то все его грани размерности (д — 3) также центрально симметричны.

Доказательство. Заметим, что при д < 4 утверждение теоремы тривиально, так как в этом случае д — 3 равно 1 или 0, что соответствует симметричности отрезков и вершин. Поэтому будем считать, что д > 5.

Так как все (д — 2)-мерные грани д-многогранника Р центрально снмметрич-

Р

но симметричны. Будем считать (д — 3)-мерные гр ани ^ эквивалентными, если существует цепочка (д — 3)-мерных граней Q1 = Q,Q2,...,Qs = Q/ такая, что для любого г, где 1 < I < 5 — 1, Б, и Б,+1 принадлежат какой-нибудь (д — 2)-мерной или (д — 1)-мерной грани и симметричны относительно её центра. Рассмотрим класс С^) (д — 3)-граней, эквивалентных грани ^ массе С^) очевидно присутствуют замкнутые цепочки четной длины. Например, те, которые соответствуют поясам вокруг центрально симметричных, по сказанному выше, д — 1-граней, Но если какая-либо грань из С^) входит в замкнутую цепочку эквивалентных граней нечетной длины, то Q - центрально-симметрична. Действительно, в этом случае грань Q переходит в себя в результате суперпозиции нечётного числа симметрий. Покажем, что в выпуклом многограннике с центрально симметричными (д — 1)-гранями для любой (д — 3)-грани Q в классе С^) найдется замкнутая нечетная цепочка.

Спроектируем д-многогранник Р па трёхмерное подпространство, ортогональное к (д — 3)-мерной плоскости аА^), В проекции получится центрально симметричный трёхмерный многогранник Р3, Назовём носителем (класса С^)) любую грань многогранника Р размерности (д — 1) (д — 2) ми (д — 3), которая содержит грань из класса С^),

Р3

екциями соответствующих (д — 3)-, (д — 2)- или (д — 1)-носителеи в Р.

Рассмотрим опорную гиперплоскость П много грани ика Р, такую ч то ППР = Q, При проекции эта гиперплоскость перейдёт в опорную 2-плоскость многогранника Р3, которая будет пересекаться с ним только по проекции (д—2)-грани

Следовательно, в Р3 хотя бы одна его вершина является проекцией (д — 2)-ноеителя,

Рассмотрим теперь ребро от/ многогранника Р3, вде V - проекция носителя. Докажем, что v/ - тоже проекция носителя. Рассмотрим опорную плоскость П2, которая пересекает Р3 то ребру от/, Плоскость П2 является проекцией гиперплоскости П^-1, которая является опорной для многограппика Р, При этом П^-1 содержит (д — 3)-мерную грань, которая проектируется в V. Так как при этом грань, лежащая в опорной плоскости П^-1, проектируется в ребро, то имеем

ёт(ай(Пй-1 П Р)) = д — 2.

Следовательно, ребро от/ есть проекция некоторого (д — 2)-мерного носителя Б^-2, Тогда вторая вершина v/ также есть проекция (д — 3)-мерного носителя, который симметричен прообразу вершины V относительно центра (д — 2)-гранп Бй-2. Так как реберный остов выпуклого многогранника связен, каждое ребро и

каждая вершина являются проекцией д — 2- ил и д — 1-носителя, соответственно.

Р2

(д — 2)-носителей,

Р3

Тогда, как хорошо известно из формулы Эйлера для сферы, среди 2-граней Р3 Б2 Б2 параллелограммом, так как это проекция центрально симметричной (д — 1)-грани многогранника Р. Выберем в грани Б2 три вершины v1, v2 и v3, В эти вершины проектируются (д — 3)-грани Q1, Q2, Q3 € С^), Эти три грани образуют замкнутую цепочку длины 3, Действительно, Q1 переходит в Q2, а Q2 в Q3 симметриями в центрах двух (д — 2)-граней, проектирующихся в ребра v1v2 и v2v3, соответственно. Грань Q3 симметрична г рани Q1 относительно центра (д — 1)-грани, проектирующейся в Б2, Итак, Q1 перейдёт в себя посредством трех симметрий. Следовательно Q1, а, значит, и Q, центрально симметрична. Теорема 4 доказана. □

Из доказанных теорем 3 и 4 следует:

Следствие 2. Пусть Р - многогранник размерности д, целое к, где 2 < к < д — 2, центрально симметричны. Если в Р все к-мерные грани центрально

Р

симметричны.

Замечание 3. Из доказательства теоремы следует, что никакие две неэквивалентные грани данной размерности не лежат во вполне параллельных плоскостях соответствующей размерности. В противном случае при проекции вдоль направления этих плоскостей в вершины многогранника проектировались бы два класса граней, что невозможно по доказанному.

Замечание 4. В теореме 4 условие 1 < к < д — 1 существенно. Так, из симметричности отрезков (к = 1) не следует центральная симметричность граней больших размерностей. С другой стороны, для, любого д > 4 существуют д-многогранники, у которых все гиперграни центрально симметричны, но не все таковы грани меньших размерностей. Так, в правильном 4-мерном 24-граннике Р4 все 3-грани суть октаэдры, но все 2-грани, - треугольники. Очевидно, что многогранник Р4 х /й-4 представляет собой многогранник, у которого все гиперграни центрально симметричны, но не та,ковы, вообще говоря, грани коразмерности 2.

Замечание 5. Пример многогранника, у которого все грани центрально симметричны, - это зонотоп, то есть сумма Минковского п отрезков в Наиоболее известный из них - пермютоэдр. Пермютоэдр размерности д определяется как выпуклая оболочка (д + 1)! точек в Ед, координаты которых являются, перестановками д + 1 чисел, 1, 2,..., д + 1. Отметим также, что д-мерный пермютоэдр представляет пример параллелоэдра для, любого д.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Федоров Е. С., Начала учения о фигурах. С.-Петербург, 1885.

[2] Minkowski Н,, Allgemeine Leherzatze tiber konvexe Polyeder . Naeh, Ges. Wiss. Gottingen. 1897. C.198-219.

[3] Александров А. Д., Выпуклые многогранники. М.-. I.. 1950

[4] Венков Б. А., Об одном классе эвклидовых многогранников. Вестник Ленинградского Университета, сер. мат., физ,, хим., 1954. Том. 9, 11-31.

Математический институт им.В.А.Стеклова РАН Московский государственный университет им.М.В.Ломоносова Поступило 30.05.2010