CC BY
31
УДК 510.21
О МИРОВОЗЗРЕНЧЕСКИХ АСПЕКТАХ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИН В ТЕХНИЧЕСКИХ ВУЗАХ
© В.И. Фомин
Ключевые слова: объект математики; закон отрицания отрицания; математическая модель; математическая аксиома; аксиоматический метод.
Обсуждаются вопросы, способствующие формированию у студентов естественно-научного представления об объекте и целях математики, о сущности математического знания, о природе аксиом математики.
ВВЕДЕНИЕ
Одной из движущих сил современного научно-технического прогресса является математизация широкого круга наук, вторжение математики в нетрадиционные для нее области интеллектуальной и практической деятельности человека (экология, медицина, генетика, геология и т. д.). В связи с этим нужно в процессе преподавания математических дисциплин выработать у студентов правильное научное представление об объекте и целях математики, ее особенностях и методологических принципах, ее подлинном месте в системе других наук о природе, в трудовой и общественной деятельности людей.
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
Будущему инженеру необходимо знать, что:
1) несмотря на непрерывное и все возрастающее расширение и обогащение объекта математики, вызываемое развитием естествознания, практики и внутренними потребностями самой математики, математика была и остается наукой о пространственных формах и количественных отношениях реального мира, если понятия «пространственные формы» и «количественные отношения» наполнять новым содержанием, отвечающим современному уровню развития естествознания и практики;
2) в математических понятиях, аксиомах и теориях находят верное отражение определенные свойства и связи предметов и явлений реального мира;
3) математике присущи такие особенности, как высокая степень абстрактности и идеализации, умозрительный характер ее методов, сложность эмпирического подтверждения математических знаний;
4) математические знания обладают высокой степенью общности: одна и та же математическая модель или теория может описывать объекты и процессы из различных областей естествознания и практики;
5) математика способна получать и получает знания, которые в данное время опережают развитие знаний о реальном мире; со временем с расширением предметной деятельности человека эти чисто математические знания могут превратиться в знания о реальных предметах и явлениях.
Такие особенности математики, как высокая степень абстрактности и идеализации, умозрительный характер ее методов, сложность эмпирического подтверждения математических знаний, не только ставят математику в число наиболее трудных для изучения дисциплин, но и способствуют появлению у студентов ложного представления о ее оторванности от реального мира, практической деятельности человека. Поэтому важно, чтобы в процессе обучения будущие специалисты понимали, что математика, изучая пространственные формы и количественные отношения действительного мира, отражает в своих понятиях, аксиомах и теориях его диалектическую сущность, ибо «...объективная диалектика царит во всей природе.» [1, с. 540]; что способы такого отражения, т. е. логические методы математики тоже имеют диалектический характер, т. к. «.наше субъективное мышление и объективный мир подчинены одним и тем же законам, и что поэтому они не могут противоречить друг другу в своих результатах, а должны согласовываться между собой.» [1, с. 588]. Проявление в математике одного из основополагающих принципов диалектики - принципа движения, изменения, развития - можно показывать на примере переменных величин в процессе преподавания теории пределов, дифференциального и интегрального исчисления, теории случайных процессов. Другой основополагающий принцип диалектики - принцип всеобщей взаимосвязи, взаимозависимости, взаимодействия - отражается во взаимосвязи математических понятий, аксиом, теорий, в частности в фундаментальном понятии математики - понятии функциональной зависимости. Проявление одного из основополагающих законов диалектики - закона единства и борьбы противоположностей - можно объяснить на примере следующих понятий и операций: положительное и отрицательное, конечное и бесконечное, ограниченное и неограниченное, дискретное и непрерывное, дифференцирование и интегрирование и т. д. Другой основополагающий закон диалектики - закон отрицания отрицания - отражается в отрицании старого через свое обобщение: новые математические понятия и теории, развиваясь на базе старых понятий и теорий, отрицая устаревшие знания, вбирают в себя все ценное, все положительное, что было в них. Например, анализ развития понятия функции показывает, что отрицание
старых взглядов о функции, вскрытие их ограниченности происходит в процессе выработки нового понятия функции через обобщение прежних представлений о функции. Аналогичная картина наблюдается в процессе развития понятия интеграла.
Одной из задач математического образования является формирование у студентов верного понимания сущности математического знания.
1. Математическое знание, как и любое другое научное знание об окружающем мире, имеет относительный характер, ибо а) любая математическая модель представляет собой теоретический образ изучаемой предметной области действительного мира, оторванной от ее связи с другими областями действительного мира, абстрактное и идеализированное отражение лишь отдельных отношений и связей изучаемой области, поэтому знание, полученное в рамках данной модели, не может быть абсолютным; б) несмотря на высокую общность той или иной математической теории, она, выражая лишь часть связей и явлений действительного мира, имеет хотя и достаточно широкую, но все же ограниченную область применения; в) в ряде случаев появление математического знания опережает его строгое обоснование.
2. Некоторые результаты математики, например большинство результатов элементарной математики, представляют собой «.. .вечные истины, окончательные истины в последней инстанции» [1, с. 79].
3. Степень истинности математического знания, уровень его соответствия свойствам и связям изучаемых предметов и явлений действительного мира определяются а) содержанием основных понятий и аксиом: чем точнее они отражают фундаментальные свойства и связи предметов и явлений действительного мира, тем выше степень истинности математического знания об окружающем мире; б) содержанием логических средств математики: чем строже обоснованы логические приемы, тем точнее математическое знание, получаемое с их помощью.
4. Основным критерием истинности математического знания, как и любого другого научного знания, является практика, ибо «Вопрос о том, обладает ли человеческое мышление предметной истинностью, -вовсе не вопрос теории, а практический вопрос. В практике должен доказать человек истинность, т. е. действительность и мощь, посюсторонность своего мышления» [2, с. 1].
В различных математических дисциплинах, изучаемых в вузах, например в геометрии, теории вероятностей, функциональном анализе, широко используется аксиоматический метод получения математического знания. В связи с этим актуальна задача формирования у студентов правильного, научного понимания сущности математических аксиом, ибо они составляют основание любой аксиоматической теории и тем самым являются фундаментом любого математического знания, полученного аксиоматическим методом. Изучающим математику полезно понимать следующее.
1. Математические аксиомы отражают фундаментальные свойства и связи предметов и явлений действительного мира, поэтому математическое знание, полученное на их основе, дает более или менее верное представление о реальных процессах и объектах. На-
пример, аксиомы теории вероятностей имеют естественное происхождение, т. к. исходными предпосылками для них являются свойства частот событий, установленные эмпирическим путем, поэтому результаты теории вероятностей и базирующейся на ней математической статистики находят многочисленные и разнообразные применения в естествознании и практике.
2. При выборе математических аксиом соблюдаются определенные логические требования, в которых заключен опыт адекватного отражения действительности: любая система аксиом обязательно должна быть непротиворечивой и желательно полной и независимой.
3. Аксиомы математики нельзя рассматривать как некие абсолютные истины, ибо а) они являются результатом идеализации при абстрагировании от предметов и явлений действительного мира, а при абстрагировании происходит огрубление действительности, отвлечение от ряда связей и отношений окружающего мира; б) любая система аксиом, будучи исторически конкретной и, следовательно, неполной и ограниченной, не может отобразить всего многообразия и содержания изучаемого реального процесса или объекта.
4. Критерием степени соответствия математических аксиом и, следовательно, математического знания, полученного на их основе, реальному миру является практика: интерпретация аксиом и математического знания в естествознании и практической деятельности людей.
5. Возможны системы аксиом априорного характера, которые отражают определенную предметную область действительного мира, но эта область еще не попала в поле зрения естествознания, практики.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Необходимость и важность обсуждения философских вопросов математики в процессе ее преподавания обусловлены тем, что математика, являясь наукой о пространственных формах и количественных отношениях действительного мира, вносит существенный вклад в создание естественно-научной картины мира и тем самым играет определенную роль в формировании мировоззрения будущих выпускников вузов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Маркс К., Энгельс Ф. Избранные сочинения: в 9 т. М., 1986.
Т. 5.
2. Маркс К., Энгельс Ф. Избранные сочинения: в 9 т. М., 1985.
Т. 2.
Поступила в редакцию 1 марта 2015 г.
Fomin V.I. ABOUT PHILOSOPHICAL ASPECTS OF MATHEMATICAL DISCIPLINES TEACHING IN TECHNICAL UNIVERSITIES
The issues that contribute to the formation of students' science understanding of the object and purpose of mathematics, about the nature of mathematical knowledge, the nature of the axioms of mathematics are discussed.
Key words: mathematics object; negation of negation law; mathematic model; mathematic axiom; axiomatic method.
Фомин Василий Ильич, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры прикладной математики и механики, e-mail: vasiliyfomin@bk.ru
Fomin Vasiliy Ilyich, Tambov State Technical University, Tambov, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Associate Professor of Applied Mathematics and Mechanics Department, e-mail: vasiliyfo-min@bk.ru
