О минимизации h2 нормы передаточной матрицы для систем запаздывающего типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929.2

Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2014. Вып. 1

В. А. Сумачева

О МИНИМИЗАЦИИ H2 НОРМЫ ПЕРЕДАТОЧНОЙ МАТРИЦЫ ДЛЯ СИСТЕМ ЗАПАЗДЫВАЮЩЕГО ТИПА

Санкт-Петербургский государственный университет, 199034, Санкт-Петербург, Российская Федерация

H.2 норма играет важную роль в исследовании динамических систем. Входной сигнал часто рассматривают как внешнее возмущающее воздействие, поэтому важно получить управление, которое минимизирует его влияние на замкнутую систему. Уровень подавления оценивается H2 нормой передаточной матрицы системы, и H2 норма выступает в роли критерия оптимальности. H2 оптимальное управление для систем обыкновенных дифференциальных уравнений широко обсуждено. Однако данные системы неприменимы для описания таких явлений как передача информации, принятие решений или динамика популяций. Это ведет к появлению нового класса динамических систем — систем с запаздываниями. Отличительной их особенностью является то, что состояние системы зависит от предыдущих состояний. Необходимо получить закон управления, который включает в себя информацию о запаздываниях в системе. Одним из решений проблемы H2 оптимального управления является метод последовательных приближений Зубова, основанный на теории функций Ляпунова. Эта теория была распространена на случай систем с запаздываниями, используя функционалы Ляпунова—Красовского, и может быть применена к проблеме минимизации H2 нормы передаточной матрицы системы с соизмеримыми запаздываниями, рассмотренной в данной работе. Библиогр. 8 назв.

Ключевые слова: запаздывание, управление, H2 норма, матрица Ляпунова.

Sumacheva V. A. On minimization of the H2 norm of a transfer matrix of delay systems // Vestnik of St. Petersburg University. Ser. 10. Applied mathematics, computer science, control processes. 2014. Issue 1. P. 128—137.

The H2 norm of a transfer matrix plays an important role in the study of dynamical systems. The input signal is usually considered as an external disturbance, therefore it is important to obtain a control that minimizes its influence in the closed-loop system. The rejection level is estimated by the H2 norm of a transfer matrix of the system, and the H2 norm acts as an optimality criterion. The H2 optimal control for the systems of ordinary differential equations is widely discussed. However such systems don't apply to the description of some phenomena like information transmission, taking decisions or populations dynamics. It led to the appearance of a new class of dynamical systems — time-delay systems. The distinctive feature of such systems is that the system's state depends on the previous states. It is necessary to obtain the control law that includes information about the delays in the system. One solution of the H2 optimal control problem is the Zubov method of approximations, based on the theory of Lyapunov functions. This theory was extended to the case of time-delay systems using the Lyapunov—Krasovskii functional, and it can be applied to the problem of minimization of the H2 norm of a transfer matrix of a time-delay system with commensurate delays considered in this work. Bibliogr. 8.

Keywords: delays, control, H2 norm, Lyapunov matrix.

Введение. Норма передаточной матрицы играет важную роль в изучении динамических систем. С ее помощью производится оценка влияния внешних воздействий на выходной сигнал системы. В качестве внешнего входного сигнала часто рассматриваются возмущающие воздействия и помехи, которые присутствуют, например, в виде порывов ветра или волн в задачах стабилизации движения летательных аппаратов и морских объектов. Поэтому важной задачей является построение управления, при котором замкнутая система испытывала бы как можно меньшее влияние внешних

© В. А. Сумачева, 2014

возмущений. Уровень их подавления оценивается с помощью Н2 нормы передаточной матрицы, которая в задаче выступает в качестве критерия оптимальности.

Задача Н2-оптимального управления широко исследована в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако не все процессы в природе могут быть корректно ими описаны. В частности, при моделировании явлений, связанных с передачей информации или принятием решений, возникает новый более широкий класс систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, которые описывают состояние системы на основе ранее известной о ней информации [1, 2]. Такие явления возникают естественным образом, и построение управления без учета эффекта запаздывания отрицательно сказывается на его качестве. Необходимо построить закон управления, который не компенсировал бы запаздывание, а считал его неотъемлемой частью системы.

Одним из классических решений задачи Н2-оптимального управления является метод последовательных приближений, основанный на теории функций Ляпунова [3]. Эта теория представляет собой мощный аппарат исследования динамических систем и имеет обобщение на случай систем с запаздываниями, где вместо функций используются функционалы, что позволяет принять во внимание эффект запаздывания. Потому функционалы Ляпунова-Красовского можно применять для построения управления, уменьшающего Н2 норму передаточной матрицы системы с запаздываниями.

Постановка задачи. Рассмотрим линейную стационарную систему с кратными запаздываниями

т

х(г) = Акх(Ь - кН) + Б1ю(г) + В2и, (1)

к=0

у(г) = Сх(г) + Би(г), (2)

в которой Н > 0 - положительное запаздывание, непрерывные функции х(Ь) € К", и(Ь) € Кг, € К, у(Ь) € Кя являются текущим состоянием системы, управляющим, входным и выходным сигналами, Ао,... ,Ат, В\, В2, С, Б - вещественные матрицы соответствующих размерностей. Будем полагать, что матрицы БТБ и СтС обратимы.

Для того чтобы получить единственное решение системы, необходимо задать начальную функцию € РС ([-тН, 0], К") такую, что

х(Ь) = ф(Ь), £ € [-тН, 0].

Соответствующее решение будем обозначать х(Ь, у) или просто х(£), если выбор начальной функции не существенен.

Введем понятие допустимого управления.

Определение 1. Управление вида

т 0

и = г0х(г) + ^ / гк (в)х(г + е)ё,в, (3)

к=1-кН

где ^0 - вещественная матрица, Г\(в),..., Ет(0) - вещественные непрерывные мат-ричнозначные функции, будем называть допустимым, если замкнутая им система (1) экспоненциально устойчива.

Определение 2 [4]. Система (1), замкнутая допустимым управлением вида (33), называется экспоненциально устойчивой, если существуют 7 ^ 1 и а > 0 такие,

что все решения х(г, ф) .замкнутой системы при т(г) = 0 удовлетворяют оценке

\\х(г,ф)\\ < 1е-а Мь , г > 0.

Понятие передаточной матрицы системы тесно связано с понятием преобразования Лапласа.

Определение 3 [5]. Образом Лапласа функции / (г) называется функция комплексного переменного

сю

Р(г) = у /(±)в—*М.

о

Пусть функции У (г), \¥(г) являются образами Лапласа входного и выходного сигналов у(€),т(€), тогда можно сформулировать следующие определения.

Определение 4 [5]. Передаточной матрицей .замкнутой допустимым управлением системы (1), (2) называется матричнозначная функция комплексного переменного О(г), удовлетворяющая соотношению

У (г) = С(г)Ш (г).

Определение 5 [5]. Прообраз Лапласа передаточной матрицы Н(г) называется импульсной характеристикой.

Определение 6 [6]. Н2 нормой передаточной матрицы замкнутой допустимым управлением системы (1), (2) называется

сю

/ Тг(С*(гш)С(гш))сЬ.

— с

Согласно теореме Парсеваля, Н2 норма может быть выражена через импульсную характеристику

сю

\\g\2 = 1 Тг Нт(г)н(г)) ¿г.

0

Н2 норма передаточной матрицы системы (1), (2) будет зависеть от выбора управления, и наша задача заключается в том, чтобы построить допустимое управление и = и, которое уменьшает значение Н2 нормы передаточной матрицы замкнутой им системы:

\№)\\2 < \\с(0)\\2.

Для удобства нахождения такого управления выразим Н2 норму передаточной матрицы системы через выходной сигнал. Рассмотрим входные сигналы вида (г) = = 1,...,1, где в^ - з-й базис пространства Мг. Решения системы (1), замкнутой произвольным допустимым управлением и вида (3), с нулевыми начальными данными и входными сигналами будем обозначать х^(г), соответствующее ему

управление - и

Такому выбору входного сигнала, управления и начальных данных отвечает выходной сигнал вида у^^(Ь) = Н3 = 1,...,1, поэтому Н2 норма может быть представлена следующим образом:

1 сю

\\о(и)\\2 = ]Г / ())Ту(Л№ =

(Сх(^)(г) + Би00Т (г)+Би(^)(г)) ¿г =11(хи)(г),ии)(г))А,

з=1 о з=1 о

где квадратичная форма /(х, и) имеет вид

/(х, и) = хТСТСх + хТСТБи + иТБТСх + иТБТБи.

Этот же выходной сигнал (г) = Н(г)в(^), 2 = 1,...,1, будет у системы с нулевым входным сигналом и начальной функцией

(г) = г = °,

|о, г< о.

Поэтому сначала построим управление, которое будет уменьшать значение функционала

сю

1 (и) = J / (х(г),и(г))А

о

при произвольных начальных данных и нулевом входном сигнале. Затем докажем, что данное управление уменьшает также и Н2 норму передаточной матрицы замкнутой им системы.

Исследование системы при и = 0. Прежде чем приступить к построению искомого управления, отметим несколько полезных свойств системы (1), (2) при нулевом управлении.

Определение 7 [4].

Фундаментальной матрицей системы (1) при и = 0 называется матричнознач-ная функция К (г), удовлетворяющая уравнению

з=о

и начальным условиям

К (0) = Е, К (в) = 0пхп, в < 0.

Определение 8 [4]. Матрицей Ляпунова V (т) системы (1) при и = 0 будем называть матричнозначную функцию, удовлетворяющую следующим свойствам:

• динамическое свойство

, т

-^и{т) = ^и{т-ЩАк, 0;

к=0

• свойство симметрии

V(-т) = VТ(т), т > 0;

• алгебраическое свойство

т

АТV(кН) + V(-кН)Лк] = -СТС.

к=0

Лемма 1 [4]. Если система (1) экспоненциально устойчива, то матрица Ляпунова существует, единственна и может быть выражена как

и (т ) = ! кт (г)ст ск(г + т )&.

Матрицы Ляпунова, так же как и их аналог в классической теории, играют важную роль в изучении систем. Нам будут важны следующие два результата. Один из них позволяет непосредственно вычислить норму.

Лемма 2 [8]. Н2 норма передаточной матрицы системы (1), (2) при и = 0 может быть найдена по формуле

12 = т; в

Второй результат вводит функционалы Ляпунова-Красовского, которые используются при исследовании устойчивости системы.

Лемма 3 [4]. Если система (1) при и = 0, ■т(г) = 0 экспоненциально устойчива, то для квадратичной формы /(х, 0) = хтСтСх существует функционал «о(ф) такой, что вдоль решений системы (1) выполнено уравнение

||СЦ2 = Тт(вТи(0)вО.

вм0(хг)

¿г

и этот функционал имеет вид

= -/(х(г), 0),

(1),и=о^(ь)=о

«о

т 0

&) = (0)и(0)^(0)+ 2^т(0)^ / и(-кн- е)Аку(е)м +

I__1 ^

о

+ J (вмт (у и((з - к)н + 01 - в2)Ак ¿61. (4)

■=1 k=1-jh \-кН /

Построение управления. Будем использовать функционал Ляпунова-Красовского (4) для построения управления.

Выберем произвольную начальную функцию € РС ([-тН, 0], К") и построим при ненулевом управлении и нулевом входном сигнале т(г) = 0 соответствующее этой начальной функции решение х(г) = х(г, ц>).

Рассмотрим вспомогательную функцию, зависящую от управления:

с1У0(Х¿)

Ь(и) =----+ т(хЩ,и).

При нулевом управлении Ь(0) =0 по построению функционала. Найдем управление и = и, доставляющее минимальное значение функции:

( т 0 \

ь(и) = 2хт (г)ст Пи + ит вт Пи + 21 хт (г)и (0) + хт (г + в)Ат и (кн + в)ав\в2и.

V )

о

Точка минимума существует и единственна, а искомое управление

т 0

и = -(ВТВ)-1 [БТи(0)+ ВТС]х(Ь) - (ВТВ)-1 БТ^ / и(-кк - в)Акх(г + в)3,в. (5)

к=1-кк

Очевидно, что при этом управлении получим Ь(й) ^ 0.

Теперь покажем, что управление (5) является допустимым и уменьшает значение Н2 нормы передаточной матрицы.

Лемма 4. Система (1); замкнутая управлением (5), является экспоненциально устойчивой.

Доказательство. Так как Ь(и) ^ 0, имеет место неравенство

сЬ0 (хг)

&

(1)

и=и,'Ш

(г)=о

< -/(х(г),и),

что влечет за собой экспоненциальную устойчивость системы при данном управлении. Теорема 1. Для управления (5) справедливо следующее неравенство:

\\0(и)\\\ < ||С(0)||2.

Доказательство. Как отмечалось, Н2 норма передаточной матрицы может быть представлена как

з=1 о

/ (х(з)(г),и(з)) +

\\0(и)\Ц = £ / /(х(з) (1),ФУ)А = ¿у0(х(з))

¿г

3 = 1 о (з))

(1),и=и,-ш(г)=о

¿г - Иш у0(хТз)) + у0(ри)) =

I с

= Е/ - (и(3)) Т °Тш(3) ¿г + {е(3)) Т БТи(0)Б1в(з) =

з=1 о

СЮ I

= Тг Б и (0)Б1) - ( ]Г 3 Т Вт Вй(з)сМ.

1 о з=1

Так как слагаемое, стоящее под знаком интеграла, неотрицательно, то

СЮ I

\\о(и)\\1 = \\С(0)\\2 - []Г (и(з))твтВи3¿г < \\0(0)Ц. 0 з=1

Таким образом, построенное управление является допустимым и уменьшает значение Н2 нормы передаточной матрицы системы.

Исследование системы при и = и. Замкнутая управлением (5) система (1), (2) примет вид

т т 0

х(г) = А0х(г) + Акх(г - кН) + ^ / Рк(в)х(г + в) ¿в + Б1т(г), (6)

и_1 и_1 V

к=1

к=1

-кк

т 0

у(г) = Сх(г) + ]Т J Як(в)х(г + в)м, (7)

где

Ао = Ао - В2(БтБ)-1 Вт и(0) + ПтС]

^т рл-^ттттг

Рк (в) = -В2(Пт Б)-1Вт ит (кН + в)Ак, к =1,...,т,

С = С - Б(Пт Б)-1 В и (0) + Бт С] ,

Qk(в) = -Б(Пт Б)-1Вт ит (кН + в)Ак, к = 1,...,т.

Найдем значение Н2 нормы передаточной матрицы замкнутой системы (6), (7). Для этого нам понадобится матрица Ляпунова для замкнутой системы (6), (7).

Определение 9 [4]. Фундаментальной матрицей системы (6) называется мат-ричнозначная функция Ь(€), удовлетворяющая уравнению

т т 0

ь(г) = ь(г)Ао + Цг - кН)Ак + ^ / ь(г + вр (в)м

к=1 к=1-кл

и начальным условиям

Ь(0) = Е, Ь(в) = 0пхп, в< 0.

Определение 10 [4]. Матрицей Ляпунова V(т) системы (6) будем называть матричнозначную функцию, удовлетворяющую следующим свойствам:

• динамическое свойство

, т т °

-У{в) = у{в)АТ0 + - ЩА1 + ^ / + к=1 ^-"к

• свойство симметрии

V (-в) = Vт (в),

• алгебраическое свойство

т

-ввт = V(0)1т + ^(0) + [V(-кН)Ат + АкV(кН)] +

к=1

+ Е / [V(ОРт(О + Рк(-№т(О] ¿е

7„_ 1 "

Лемма 5 [4]. Если система (6) экспоненциально устойчива, то матрица Ляпунова существует, единственна и может быть представлена как

сю

V (в) = у ь(г)в1в'т ьт (г + в) ¿г.

о

С ее помощью можно выразить норму таким образом: 134

Теорема 2. Н2 норма передаточной матрицы системы (6), (7) равна

\\G\2 = Тг\СУ(0)СТ + 2С£ / V(в)ОТ(в)М +

к=1

кк

+ ЕЕ I дк(в1) J У(в2 -в1)0Т(в2)в¿01

к=1 з=1-кк -зк

Доказательство. Передаточная матрица системы (6), (7) имеет вид

С(г) =

т

С + Е / ев7-Цкшв к=^кк

Ь(г)Б1,

где Ь(г) - образ по Лапласу фундаментальной матрицы Ь(г). Тогда импульсную характеристику системы можно записать следующим образом:

т 0

н(г) = Сь(г)Б1 + ^ / Як(в)Ь(г + в)овБ1,

7„_Л "

кк

Тг

и для вычисления нормы передаточной матрицы можно воспользоваться теоремой Пар-севаля

СЮ

\\GWl = т^ н (г)нт (г) ¿г =

0

т 0

Сь(г)Б1Б'Тьт(г)СТ + 2Сь(г)Б1БТ^ / ьт(г + в)дТ(в^в +

к=1-кк

0 0 ~ т

+ Е I Як(в1 )Ь(г + в1)сЮ1Б1БТ^ ] ьт(г + в2)оТТ^¿в2

з=1-зк

т 0

СУ(0)СТ + 2С/ У(в)дТшв +

¿г

к=1

-кк

= Тг

к=1

-кк

+ ЕЕ / ®к (в1) У(в2 - вМТ (в2^2 ¿в1

к=1 з = 1-кк -]к

Таким образом, для вычисления Н2 нормы передаточной матрицы замкнутой управлением (5) системы (6), (7) достаточно найти матрицу Ляпунова У (в) при в € [-шк, 0].

Вычисление матрицы Ляпунова замкнутой системы. В общем случае не существует алгоритма нахождения матриц Ляпунова для систем с распределенным запаздыванием. Одним из способов выхода из этой проблемы является расчет приближенных

0

0

0

0

0

0

значений матрицы Ляпунова V(в) замкнутой системы (6), (7) и, таким образом, вычисление приближенной величины нормы передаточной матрицы. Однако такой подход не позволяет более-менее точно определить, насколько уменьшилась норма.

Точный метод построения матриц Ляпунова известен для систем, ядро которых представляет собой полином. Поэтому аппроксимируем матрицу Ляпунова исходной системы и (т) полиномами, построим соответствующее новой матрице и (т) управление вида (5) и вычислим Н2 норму передаточной матрицы системы, замкнутой этим новым управлением. Таким образом, получим управление, немного отличающееся от теоретически найденного, однако для него можем точно установить, насколько уменьшилось значение Н2 нормы.

Пример. Рассмотрим скалярную систему с одним запаздыванием:

¿(г) = -2х(г) - х(г - 1) + ■ю(г) + 2и, (8)

у(г) = ¿(г) + и(г). (9)

Н2 норма передаточной матрицы системы (8), (9) при управлении и = 0 будет равна

||С||2 = и (0) = 0.26.

Матрица Ляпунова (которая в данном примере является скалярной функцией) позволяет найти управление, уменьшающее значение нормы:

о

и = -(2и(0) + 1)х(г) + 2 ! и(-1 - в)х(г + в)в,в.

-1

Интерполируем функцию Ляпунова полиномами Чебышева

и(т) « а0 + а1т + а2(2т2 - 1) + а3(4т3 - 3т), т е [-1, 0]. Получим следующее выражение для искомого приближения:

и(т) = 0226 + 0.49т + 0.33т2 + 0.13т3, т е [-1,0],

и рассмотрим систему, замкнутую управлением:

0

и = -1.52х(г) + 2 ! и(-1 - в)х(г + в)вв,

1

о

х(г) = -5х(г) - х(г - 1) + ! (4.87 + б.21в + 2.92в2 + 0.53в3) х(г + в)ё,в + ю(г), (10)

-1

0

у(г) = -0.52х(г) + ! (2.43 + 3.1в + 1.46в2 +0.26в3) х(г + в)3,в. (11)

1

Н.2 норму передаточной матрицы этой системы можно вычислить по формуле

о

\\а\\1 = 0.27V(0) + У (-2.56 - 3.260 - 1.53в2 - 0.28в3) V(в)3,в +

о о

+ У (2.43 + 3.101 + 1.46в? + 0.26в?) У V(в2 - в1) (2.43 + 3.1в2 + 1.46в| + 0.26в|) ¿в23в1.

-1 -1

Для того чтобы определить все слагаемые в последнем выражении, найдем функцию Ляпунова Ув системы (10), (11), воспользовавшись алгоритмом, описанным в [4]. Тогда находим, что

\\g\\2 =0.13.

Таким образом, мы на примере проиллюстрировали, что данное управление действительно уменьшает H.2 норму.

Заключение. В настоящей работе рассматривалась проблема построения управления, уменьшающего значение H2 нормы передаточной матрицы линейной системы с запаздываниями. Получено явное выражение для управления, доказаны его необходимые свойства и предложена процедура, позволяющая вычислить H2 норму передаточной матрицы системы, замкнутой этим управлением.

Литература

1. Мышкис А. Д. Общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Успехи матем. наук. 1949. Т. 4, вып. 5. С. 99-141.

2. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. 296 с.

3. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 496 с.

4. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения / пер. с англ. А. М. Зверкина, Г. А. Каменского; под ред. Л. Э. Эльсгольца. М.: Мир, 1967. 548 с. (Bellman R., Cooke K. Differential-differebce equation.)

5. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.

6. Zhou К., Doyle J. C., Glover K. Robust and Optimal Control. New York, Engelwood Cliffs: Prentice Hall, 1996. 586 p.

7. Kharitonov V. L. Time-Delay Systems: Lyapunov Functional and Matrices. Boston: Birkhauser, 2013. 327 p.

8. Jarlebring E., Vanbierviet J., Michiels W. Explicit expression for the H2 norm of time-delay system based on the delay Lyapunov equation // Proc. of the 49th IEEE Conference on Decision and Control. Atlanta, USA, 2010. P. 164-169.

Статья рекомендована к печати проф. В. Л. Харитоновым. Статья поступила в редакцию 31 октября 2013 г.

Контактная информация

Сумачева Виктория Александровна — аспирант; e-mail: [email protected]

Sumacheva Victoria Aleksandrovna - post-graduate student, St. Petersburg State University, 199034, St. Petersburg, Russian Federation; e-mail: [email protected]