CC BY
20
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ
О МЕТОДИЧЕСКИХ ОСОБЕННОСТЯХ ИЗУЧЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ВЫСШЕЙ СТЕПЕНИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ Останов К.1, Хайитмурадов Ш.С.2, Азизова Т.3 Email: Ostanov699@scientifictext.ru
1Останов Курбон - кандидат педагогических наук, доцент, кафедра теории вероятностей и математической статистики, математический факультет, Самаркандский государственный университет; 2Хайитмурадов Шерзод Сагдуллаевич - преподаватель, кафедра точных наук, Самаркандский областной институт повышения квалификации и переподготовки
педагогических кадров; 3Азизова Турсуной - преподаватель, кафедра точных наук экономико-технического направления, академический лицей при Самаркандском филиале Ташкентский университет информационных технологий, г. Самарканд, Республика Узбекистан
Аннотация: в статье рассмотрены методические особенности изучения уравнений высшей степени в средней школе. Приведены примеры задач, приводящие к уравнениям высшей степени. Даны определения двухчленных и трехчленных уравнений, различные способы нахождения их решения. Даны способы решения трехчленных уравнений, основанные на общем способе, и исследуются различные случаи расположения их в различных числовых множествах. Используя свойства корней уравнения, исследуются решения в зависимости от параметра и степени данного уравнения. Приведены примеры и упражнения для самостоятельного решения.
Ключевые слова: уравнение, двучленное уравнение, трехчленное уравнение, способ, корень, комплексные числа.
ON METHODOLOGICAL FEATURES OF STUDYING EQUATIONS OF THE HIGHER DEGREE IN SECONDARY SCHOOL Ostanov K.1, Hayitmuradov Sh.S.2, Azizova T.3
1Ostanov Kurbon - Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor, DEPARTMENT OF PROBABILITY THEORY AND MATHEMATICAL STATISTICS, FACULTY OF
MATHEMATICS, SAMARKAND STATE UNIVERSITY; 2Khayitmuradov Sherzod Sagdullaevich - Teacher, DEPARTMENT OF EXACT SCIENCES, SAMARKAND REGIONAL INSTITUTE FOR AD VANCED STUDIES AND RETRAINING OF
PEDAGOGICAL PERSONNEL; 3Azizova Tursunoy - Teacher, DEPARTMENT OF EXACT SCIENCES OF THE ECONOMIC AND TECHNICAL DIRECTION, ACADEMIC LYCEUM AT THE SAMARKAND BRANCH TASHKENT UNIVERSITY OF INFORMATION TECHNOLOGIES, SAMARKAND, REPUBLIC OF UZBEKISTAN
Abstract: the article discusses the methodological features of studying equations of the highest degree in secondary school. Examples of problems leading to equations of the highest degree are given. Definitions of two-term and three-term equations, various ways of finding their solutions are given methods for solving three-term equations based on the
general method are given and various cases are being investigated. Using the properties of the roots of the equation, solutions are investigated depending on the parameter and degree of the given equation. Examples and exercises for independent solution are given. Keywords: equation, two-term equation, three-term equation, method, root, complex numbers.
УДК 372.851
1.Двучленные уравнения. Определение. Уравнение вида
xn — a = 0 (1) называется двучленным уравнением, где (а-данное число ).
Уравнение pxn + q = 0, p Ф 0 эквивалентна уравнению xn — a = 0. Корни
этого уравнения (1) находятся по формуле x = .
Используя свойства корней анализируем корни уравнения (1): если а=0, то (в произвольном поле чисел) уравнение имеет единственное решение х=0; если а^0 и действительное число, то на множестве действительных чисел при п=2к+1 уравнение
имеет единственное решение x = 2хtfa ; если а>0 и п=2к , то уравнение на
множестве действительных чисел имеет два решения x = +2k~a ; если а <0 и п=2к, то на множестве действительных чисел уравнение не имеет решения; если а^0 и произвольное комплексное число( в частном случае действительное ), то на множестве комплексных чисел имеет п решений. Эти решения являются различными
значениями Ца .
Пример 1. Решить уравнение х3-1=0.
Решение. Уравнение равносильно уравнению (х-1)(х2+х+1)=0. Отсюда найдем
-1 ± /л/3
Х! = 1, X = - .
2
Пример 2. Найти значения \[\ .
Решение. Решим уравнение х4-1=0. Разложим левую часть на множители (х-1)(х+1)(х-у)(х+у)=0, найдем корни х1=1, х2=-1, х3И, х4=^
Пример 3. Вычислить значение V-!.
Решение. Решим уравнение х4 +1=0. Разложим левую часть на множители: (х2 +-\[2х +1)(х2 -лр2х +1) = 0 и отсюда найдем решения данного уравнения и
они являются значениями выражения V — 1
2.Трехчленные уравнения .Определение 2. Уравнения вида
ах2п + Ьхп + с = 0(а Ф 0) (2)
называется трехчленным уравнением. Если ввести обозначение хп = у, то трехчленное уравнение (1) сводятся к квадратному уравнению относительно переменной (у):
ах2 + Ьх + с = 0
_ , — Ь ± V Ь — 4ас Вследствие получим следующие корни этого уравнения х = ±п/-.
V 2а
В частном случае, при п=2 , имеем биквадратное уравнение и для всех четырех корней найдем формулу
- Ь ± л/ Ь2 - 4ас
2а
Исследование корней биквадратного уравнения при а>0.
1. Если D=b2-4аc>0, с>0, Ь>0, то корни уравнения ах2 + Ьх + с = 0 положительные и различные. Биквадратное уравнение имеет четыре действительных корня.
2. Если D>0, с>0, то для х2 получим два значения с разными знаками. Биквадратное уравнение имеет два действительных, два мнимых корней.
3. Если D>0, с>0, Ь>0, то для х2 получим две отрицательные значения. Биквадратное уравнение имеет только мнимые корни.
4. Если с=0, то вспомогательное уравнение ах2 + Ьх = 0 имеет два корня
2 2 Ь
у1=х =0, у 2 = х =--. При Ь^0, Ь>0 биквадратное уравнение имеет двух кратный
а
корень х=0 и два действительных корня, а при Ь=с=0 биквадратное уравнение имеет четырехкратный корень х=0.
5. Если D<0, то для х2 найдем два сопряженных мнимых значения. Биквадратное уравнение имеет четыре различных (попарно сопряженных) мнимых корней.
6. Если D=0, то вспомогательное уравнение имеет два кратные корни
2 Ь
у = х =--. Биквадратное уравнение при Ь>0 имеет, два двухкратных мнимых
2а
корня, а при Ь<0 два двухкратных действительных корня. Пример 4. Решить уравнение х6-3х3-2=0. Решение. Обозначая у=х3, найдем вспомогательное уравнение у2-3у+2=0, его корни уг=1, у2=2. Вследствие имеем два уравнения х3=1 и х3=2. Эти уравнения равносильны соответственно уравнениям
(х-1) (х2+х+1)=0 и (х-^2 )(х2 + \[2х + з14 ) = 0 . Из первого уравнения найдем
-1 - 7л/3 -1 +/^3 -1 - ^
х,=1, х, =-, х =-, из второго х. = ^2, х =-;=-,
2 2 2 4 5
х6 =■
-1 + ¿у/з
3/4
Для закрепления изученного материала целесообразно предлагать учащимся следующие упражнения тренировочного характера
1. Решить различными способами двучленные уравнения и сравнить полученные решения.
1) х3-8=0 5) х4-16=0
2) х3+8=0 6) х4+16=0
3) х5-32=0 7) х4-81=0
4) х5+32=0 8) х4+81=0
2. Найти решения следующих трехчленных уравнений и исследовать их решения, обобщить и систематизировать полученные выводы:
1) х4+5х2-36=0 5) х4+3х2-18=0
2) х4-8х2-9=0 6) х4+4х2-32=0
3) х4-х2-6=0 7) х4+х2-1=0
4) х4+2х2-15=0 8) х4-2х2+4=0.
г- J ж + 2жк . ж + 2жк Л Ответы: 2) х^-2, x34 = 1 ± iv 3; 4) xk = 21 cos----Ъ i sin--- I,
к=0,1,2,3,4; 6) x1 2 3 4 = ±42 ± i'V2; 8) x1 2 3 4 = 1 (± 3л/2 ± i3yp2) . 2) ± 3; ± и; 4) ± л/3; ± i'V?; 6) ± 2, ± i2^.
Список литературы/References
1. Останов К., Султанов Ж., Хайитмурадов Ш.С. & Остонов М.К., 2019. Об использовании нестандартных задач в процессе активизации мышления учащихся. // Проблемы науки. 12 (48).
2. Султанов Ж. и др. Использование различных способов доказательства на уроках алгебры // European Research: Innovation in science, education and technology, 2018. С. 57-59.
3. Останов К., Султанов Ж., Файзуллаева Г.С. Об изучении методов решения показательных уравнений и неравенств //ББК 72 П111, 2019.
4. Абдуллаев А.Н., Инатов А.И., Останов К. & Усанов Р., 2016. Повышение эффективности применения интерактивных технологий в процессе обучения математике. Молодой ученый. 11. 1403-1405.
