О методе непосредственного интегрирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

О методе непосредственного интегрирования Алдабергенов А. К.

Алдабергенов Абай Капанович /ЛШаЬв^впоу ЛЬаг КарапоугеИ - кандидат технических наук,

доцент ВАК СССР, профессор, кафедра энергетики и машиностроения, Костанайский инженерно-экономический университет, г. Костанай, Республика Казахстан

Аннотация: в работе методом непосредственного интегрирования без ввода каких-либо дополнительных условий и ограничений получены уравнения деформаций, совпадающие с известными уравнениями метода начальных параметров. В этом заключается ее научная новизна.

Ключевые слова: балка, деформация, изгиб, уравнение, нагрузка, растяжение, сжатие, кручение.

В статье [1, с. 47] приведены универсальные формулы для определения постоянных интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки в виде:

ь2 -3 - с3

С = ЕЮ, + тг ■ а, — р •ь- — д, ■ ;

2 6

а2 Ь3 -4 — с4 С1ч

Бп = Е/ж0 — тг •а+ Р •ь+ дг •--1-.

п 0 г 2 г 6 ' 24

где, п — номер участка; I — номер нагрузки; а., Ь , С и — - характерные

расстояния от начала координат до нагрузок. Замечено, что в выражениях первого и второго интегралов дифференциального уравнения имеются общие закономерности. Поэтому для балки (рис. 1) ограничимся приведением лишь следующих интегралов:

Рис. 1. Изгиб балки

первый интеграл пятого участка:

.2

а) Е/въ = —М о • х — б, • у — т • (х — а,) —

х2 — Ь,х — а,х ^ Ь — ах3 ^ (* — ^)2

— д • (Ь1 — а1)-^-- — дт2 ■ (х — С) — Р2

2 1 6 24 1' 2 2

X — 1X С л X — -| С, /г% ч

• (—1 "С1>-1- '

X2 X3

вторые интегралы всех участков: Е1м>2 = Е!м>0 + ЕЮ0 • х -М0 — - 00 —;

2 6

х2 х3 (х-а)2 (х-а)3 (х-а)4 •

Е1щ = Е/щ + ЕЖ • х-М„—-0„—-т, ---Л ---д, --;

2 0 0 0 2 0 6 1 2 1 6 1 24

Е/щ = Е/щ + Е/Щ • х - М„— - ^ — - т (х-Й1) - Л (х-Й1) -

3 0 0 0 2 0 6 1 2 1 6

3 2 2 3 д4 4

,, , х х . О -о, о, -о, .

-Л1 • (01 -о1)(^"-о1^)-^^^ х + 24;

Е1щ = Е/щ + Е1вп • х - М„ — - Оа — -т, (х-01) - Л (х-01) -4 0 0 0 2 0 6 1 2 1 6

..х3 , х2 х2 О? -а? о4 - а4

- • (01 -о1)(^" -01 у -о1 ^ - х + -

(х-С!)2 (х-С!)3 (х-^)4 ;

- т-1— Л-1— л-1—

2 2 2 6 2 24

б)пг ЯТ Т7ТО ^ х2 ~ х3 (х-о1)2 (х-а1)3

уЕ/щ = Е/щ + Е/вп • х- М„--0„--т-1--Л-1--

5 0 0 0 2 0 6 1 2 1 6

¡1 и х2 х\ 03 -о? 014 -04

-Л. • (0. -о1)(— -О — -о. —)-д1 —--х + л -1-

л 1 ^6 1 4 1 4 ' л 6 1 24

^ ..3 ..2 ..2 л3 3 „4

(х-С) (х-С) х х х2 —1 -С, —, -С, (3)

2 26 21 1 6 1 4 1 4 26 2 24

-т2-~- ^2

Проанализируем систему уравнений (3). В первых четырех уравнениях системы наблюдаются следующие закономерности: 1) в уравнениях содержатся только те силы, которые расположены левее данного участка; 2) каждый вид нагрузки входит в уравнение в виде слагаемого определенного типа; 3) в уравнении деформаций данного участка полностью сохраняются уравнения деформаций предыдущих участков. А на участке (пятый), последующем за участком с распределенной нагрузкой, эти закономерности нарушаются. Возникла мысль: может быть, имеется нарушение лишь по внешним видам уравнений? Чтобы получить ответы на этот вопрос, преобразуем уравнения а):

. , ,х2 -сх- —х —3 -с3 3—х2-3—Сх-3—2х-3сх2 + 3с2х + 3-сх + —3 -с3 + х3 -х3_ ч(--с)---+ д—-— = д---

2 6 6

(х-с)3 (х-—)3

= д[ ] (индексы опущены);

аналогично, в уравнении б) получим слогаемое:

г( х-с)4 ( х-— )\

-д[---]

24 24

С учетом этих преобразований последние уравнения (2) и (3) запишутся так:

а)ЕЮ5 = ЕЩ -М^-боу-т(х-а)-Рд[(х-)3• (2а)

б)ш ш , ша ы х2 „ х3 (х-а)2 р(х-й)3 г(х-с)4 (х-— )4 . (3а)

)Е/щ5 = Е/щ0 + Е/е0х-М0—-<20—-д[ 24 - 24 ] ( )

Как видим, в уравнениях (2а) и (3 а) соблюдаются все вышеуказанные закономерности. Оказалось, что в прежних уравнениях закономерности существуют в скрытой форме. Для обобщения полученных выше результатов перейдем к новым

обозначениям расстояний. Расстояния от начала координат до сосредоточенного момента щ обозначим через д (прежние а. ^ а., с ^ а ); до сосредоточенной силы

Р - через Ь (прежние а ^ ьг, с ^ Ь); до начала и конца распределенной нагрузки

д - через с (прежние а, ^ с,, сг ^ с) и — (прежние Ьг ^ -, — ^ —). Для общего

случая изгиба уравнения(2) и (3) можно обобщить и записать в виде:

Е/вх = Е/во — М, • х — б, • х2 — тг • (х — аг) — р • ^Ь^ — Чг -[^СЛ- —];

Е/жх = Е/щ + Е/в0-х—м0 ■ ^—б ■ ^—т ■(х)2 — р • ^—д •[(х—^—]' (4)

х 0 0 0 2 0 2 ' 2 ' 6 д [ 24 24 ]

Эти уравнения назовем универсальными уравнениями деформаций изгиба. Ими можно пользоваться при расчете балки, состоящей из любого количества участков. В них содержатся две константы интегрирования Е/в0 и Е/ж0. Поэтому утверждение о том, что метод непосредственного интегрирования неудобен для расчета балок с большим числом участков, не состоятельно. Насколько известно автору, такое решение ранее никем еще не получено. Нетрудно заметить, что эти уравнения полностью совпадают с известными универсальными уравнениями метода начальных параметров.

По результатам работы можно сделать следующие выводы:

1) продолжая известный метод непосредственного интегрирования, без ввода каких-либо дополнительных условий или ограничений, получены решения (4) дифференциального уравнения изогнутой оси любой балки при любых нагружениях. В этом и заключается ее научная новизна;

2) в отличие от данной работы, в методе начальных параметров для вывода уравнений введены дополнительные условия [2, с. 339]. Поэтому его надо отнести к категории некорректного метода;

3) методы непосредственного интегрирования и начальных параметров не следует рассматривать как самостоятельные методы. Второй вытекает из первого при соблюдении дополнительных условий.

В данной работе доказано, что дифференциальное уравнение для любого случая изгиба имеет решения (4), полученные Алдабергеновым. Следовательно, от методов начальных параметров и непосредственного интегрирования можно полностью отказаться.

Литература

1. Алдабергенов А. К. Новое в методе непосредственного интегрирования.

2. Проблемы современной науки и образования. № 5 (47). Иваново, 2016 г. Изд. «Проблемы науки».

3. Писаренко Г. С. Сопротивление материалов. Киев: Изд. тех. литературы, 1963. 792 с.