CC BY
54
3. Юшко Г. Н. Научно-дидактические основы организации самостоятельной работы студентов в условиях рейтинговой системы обучения: авто-реф. дис. ... канд. пед. наук. Ростов н/Д, 2001. 23 ^
4. Фаустова Э. Н. Студент нового времени: социокультурный профиль. М., 2004. 72 с.
5. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: учеб. пособие для студентов пед. ин-тов / А. Я. Блох, Е. С. Канин, Н. Г. Килина и др.; сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. М.: Просвещение, 1985. 336 с.
6. Задачник по курсу математического анализа: учебное пособие для студентов заочных отделений физико-математических факультетов педагогических институтов / Н. Я. Виленкин, К. А. Бохан, И. А. Марон, И. В. Матвеев, М. Л. Смолянский, А. Т. Цветков. М.: Просвещение, 1971. 343 с.
7. Григорьев Е. А. Числовые и функциональные ряды. Теория и практика. М.: Науч. мир, 2004. 216 с.
8. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: учеб. пособие. 18-е изд. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1997. 624 с.
УДК 511 ББК 22.13
О МЕТОДАХ СОСТАВЛЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ ЗАДАЧ И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КАК СРЕДСТВА ОРГАНИЗАЦИИ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ СТУДЕНТОВ
ABOUT THE METHODS OF DRAWING UP SOME TYPES OF TASKS
AND THEIR USE AS A MEANS OF ORGANIZING STUDENTS' RESEARCH ACTIVITY
Г. Г. Хамов, Л. Н. Тимофеева
Данная статья посвящена актуальной теме организации исследовательской деятельности студентов педагогических вузов. Рассматриваются задания на составление диофантовых уравнений, требующие от студентов знания определенных вопросов по теории чисел и творческого их применения.
Ключевые слова: исследовательская деятельность, теория чисел, диофантовы уравнения, составление уравнений, делимость чисел.
В современных условиях совершенствование учебного процесса как в школе, так и в вузе идет в направлении развития активных методов обучения, которые позволяют не только глубже проникнуть в суть изучаемых фактов, но и повысить интерес к обучению вследствие личного участия в получении новых знаний. Одним из видов таких активных форм обучения является исследовательская деятельность обучаемых, где главным является овладение методами познания, самостоятельная работа, творческое использование полученных знаний, средств и способов деятельности [1]. Способы и средства организации исследовательской деятельности рассматриваются во многих работах [2-3].
В данной работе предлагается организацию исследовательской деятельности студентов осуществлять посредством составления заданий на исследование и ре-
G. G. Khamov, L. N. Timofeeva
This article is devoted to the actual question of organizing students' research activity at pedagogical institutions of higher education. The tasks for drawing up the Diophantine equations are considered. These tasks demand from students the knowledge of certain questions on the theory of numbers and their creative application.
Keywords: research activity, theory of numbers, Dio-phantine equations, drawing up equations, numbers' divisibility property.
шение диофантовых уравнений. Задания на составление диофантовых уравнений могут быть выполнены при условии овладения студентами соответствующими методами решения таких уравнений. Одним из методов исследования и решения неопределенных уравнений является вычисление возможных остатков от деления левой и правой частей уравнения на одно и то же натуральное число. При этом как при решении уравнения, так и при составлении используются следующие свойства: квадрат числа и квадрат его остатка при делении на одно и то же натуральное число дают равные остатки, это верно для кубов и других степеней; произведение чисел и произведение их остатков дают равные остатки при делении на одно и то же число. Кроме того, квадраты, кубы и другие натуральные степени целых чисел не-
которые из возможных остатков при делении на выбранное натуральное число давать не могут.
Опишем процесс составления уравнений с двумя и более переменными, содержащие, например, число 2014 и решаемые путем исследования остатков от деления левой и правой частей уравнения на число 7. Вначале определяем возможные остатки от деления на 7 квадрата целого числа х2 (это числа 0; 1; 2; 4), куба х3 (это числа 0; 1; 6), используя при этом сформулированные выше свойства степеней числа и той же степени остатка. Отсюда заключаем, что если в уравнении квадрат переменной х2 при делении на 7 будет давать остатки 3, 5 или 6, то такое уравнение в целых числах неразрешимо. Аналогичная ситуация в случае, если число х3 при делении на 7 будет давать в остатке одно из чисел 2; 3; 4; 5. Для составления уравнения используем формулу, вытекающую из теоремы о делении с остатком: а = 7g + г, где число а -делимое, 7 - делитель, g - частное, г - остаток, 0 < г < 6. Вводим в эту формулу переменные, полагая а = х2, g = у, число г заменяем каким-нибудь числом, например 2014. Получаем уравнение х2 = 7 у + 2014, которое в целых числах неразрешимо, так как 2014 при делении на 7 дает остаток 5. Уравнения более общего вида, неразрешимые в целых числах: х2 ± 7у" = 2014, х2 ± 7у2014 = 7г + г, п - натуральное число (в дальнейшем, показатели степеней - натуральные числа), г = 2; 3; 4; 5.
Для составления квадратного уравнения более общего вида разрешимого в целых числах с числом 2014, добавляем в левую часть уравнения х2 - 7у = 2014 слагаемое вида 2ах, при этом подбираем число а так, чтобы после выделения в левой части полного квадрата (х + а)2 в правой части получилось число, которое при делении на 7 будет давать один из остатков 0, 1, 2, 4. Такому свойству удовлетворяет, например, число 4х. Получаем уравнение х2 + 4х - 7у = 2014, которое преобразуется к виду (х + 2)2 - 7у = 2018. Из полученного уравнения следует, что число (х + 2)2 при делении на 7 должно давать остаток 2, что возможно при х + 2 = 7t + 3 и х + 2 = 7t + 4 и множество решений уравнения определяется формулами:
1х = 7t +1 1х = 7t + 2
] 2 ] 2 ^2.
[у = 7Г + 6t - 287, [у = 7Г + 8t - 286,
Аналогично составляются уравнения третьей степени. Например, уравнение х3 ± 7у" = 2014 не имеет целых решений, а уравнение х3 + 3х2 + 3х - 7у = 2014 имеет бесконечное множество решений:
Гх = 7 г + 2 Гх = 7 г + 4
Например, множество решений уравнения 3х2 - 7у = = 2014 определяется формулами:
Гх = 7г ± 2
у = 21Г ± 12?- 286 ,
t - целое, знак в формулах одинаков. Заметим, что при большем показателе переменной у сделать вывод о числе целых решений уравнений такого вида данным методом не представляется возможным.
Аналогичным методом составляем кубические уравнения. Например, (7г + г)х3 ± 7у" = 2014, г = 0; 1; 2; 4; 6. Решений нет.
2х3 - 7у = 2014. Множество решений: х = 7г + 3 Гх = 7 г + 5
[у = 49г3 + 63г2 + 27г - 284, [у = 49г3 + 105г2 + 75г - 270.
Далее исследуем возможные остатки от деления на 7 числа ах2. Так как число 2014 при делении на 7 дает остаток 5, то определяем, при каких а число ах2 остатка 5 при делении на 7 давать не будет: а = 7г + г, г = 0; 1; 2; 4. Поэтому уравнения вида (7г + г)х2 ± 7уп = 2014, г = 0; 1; 2; 4, в целых числах неразрешимы.
Проведенное исследование показывает также, что уравнения вида (7г + г)х2 ± 7у = 2014, г = 3; 5; 6 имеют бесконечное множество решений.
У = 98г3 + 126г2 + 54г - 280 , Г у = 98г3 + 210г2 + 150г - 252 .
Также составляются уравнения с коэффициентом 2014 при х2, х3:
2014х2 ± 7у" = 7г + г, г = 1; 2; 4. Решений нет. 2014х3 ± 7у" = 7г + г, г = 1; 3; 4; 6. Решений нет. При составлении разрешимых уравнений степень п = 1, остатки: 0, 3, 5, 6 - для квадратных; 0, 2, 5 - для кубических.
Примеры неразрешимых уравнений, исследуемых с помощью других делителей:
(3г + г)х2 ± 3у" = 2014, г = 0; 2.
2014х2 ± 3у" = 3г + 2.
(5г + г)х2 ± 5у" = 2014, г = 0; 2; 3.
2014х2 ± 5у" = 5г + г, г = 2; 3.
х2 + у2 + г2 - 2г = 2014.
х4 + у4 - г4 = 2014.
х3 + у3 - 3/ + 3у + г3 - 3г2 + 3г = 2014. Другой метод решения неопределенных уравнений предполагает возможность разложения многочлена, содержащего все входящие в уравнение переменные, на множители, которые затем приравниваются возможным делителям числа, стоящего в другой части уравнения, и таким путем находят целые решения данного уравнения. Процесс составления таких уравнений осуществляется в обратном порядке. Например, берем известную формулу (х + а)(у + Ь) = ху + Ьх + ау + аЬ. Составляемое уравнение имеет вид
ху + Ьх + ау = 2014. (1)
Подбираем числа а и Ь, например, таким образом, чтобы получилось уравнение (х - а)(у - Ь) = 1. Видим, что тогда аЬ = -2013 = -3 • 1 • 61. Один из возможных вариантов а = 33, Ь = -61. Получаем уравнение ху - 61х + 33у=2014, множество решений которого {(-32; 62), (-34; 60)}. Если подбирать числа а и Ь так, чтобы получилось уравнение (х - а)(у - Ь) = с, где с - аЬ = 2014, то число решений уравнения равно числу различных пар делителей числа с, произведение которых равно этому числу.
Формулу (1) можно использовать для составления уравнений, когда одна из переменных (или обе) имеет более высокую степень. Например,
х2у + 2011х2 - у = 2014 <=> (х2 - 1 )(у + 2011) = 3. Решения {(0; -2014), (±2; -2010)}.
х3у + 1006х3 - 2у = 2014 <=> (х3 - 2)(у + 1006) = 2. Решения {(0; -1007), (1; -1008)}. хзу + 183х3 - 11у2 = 2014. Решений нет. Рассмотрим процесс составления уравнений с использованием формулы (ах + Ь)(су + й) = / <=> асху + айх + Ьсу + Ьй = /<=> асху + айх + Ьсу = / - Ьй и числа 2014.
Пусть/ = 1, тогда/ - Ьй = 2014, если Ьй = -2013. Один из вариантов Ь = -11, й = 183. Получаем уравнение
(ах - 11 )(су + 183) = 1. Отсюда
<=>
ax = 12 cy = -182 ax = 10 cy = -184
{ах -11 = 1 [су +183 = 1 ах - 11 = -1 [су +183 = -1
Поэтому, чтобы искомое уравнение имело целые решения: число а - делитель 12, с - делитель 182, или а - делитель 10, с - делитель 184. При других а и с целых решений не будет.
Примеры:
а = 3, с = 13 : 39ху + 549х - 143у = 2014. Решение х = 4, у = -14.
а = 5, с = 23 : 115ху + 915х - 253у = 2014. Решение х = 2, у = -8.
а = 3, с = 13 (х заменяем на х2): 39х2у + 549х2 - 143у = = 2014. Решение х = ±2, у = -14.
Ь = -33, й = 61, а = 4, с = 2 (х заменяем на х3): 8х3у + 244х3 - 66у = 2014. Решение х = 2, у = -31.
Опишем процесс составления уравнений с использованием формулы (х + ау)(х + Ьу) = х2 + (а + Ь)ху + аЬу2.
Из уравнения (х + ау)(х + Ьу) = с (2)
Г х + ау = т следует [ , где т • п = с
[ х + Ьу = п
и (а - Ь)у = т - п, то есть данное уравнение будет иметь целые решения, если число с представимо в виде произведения двух чисел, разность которых делится на а - Ь. Например, если а = 53, Ь = 38, то есть аЬ = 2014, то уравнение (2) будет иметь целые решения, если с = т • п и т - п делится на 15.
Примеры:
х2 + 91ху + 2014у2 = 16 .
Решения {(± 4;0), (37;-1), (-37;1), (54;-1), (- 54;1)}.
х 2 + 125ху + 2014 у 2 = 88.
Решения {(18;-1), (-18;1), (107;-1), (-107;1)}.
Уравнение х2 + 125ху + 2014у2 = с, где 0 < с < 87 и с ф к2 целых решений не имеет.
Аналогичным способом составляются уравнения с использованием формулы
(ах + Ьу)(сх + dy )= асх2 + (а/1 + Ьс)ху + Ьdy 2.
Полагаем,например,а = 38 ,с = 53 ,(38х + Ьу )(53х + /у) = к и исследуем систему
Г38х + Ьу = к1
[53х + /у = к2
Если составляем разрешимое в целых числах уравнение, то подбираем числа Ь, й, кх, к2, при которых данная система имеет целочисленные решения. Примеры:
, ki • = k.
2014x2 + 129xy + 2y2 =-11, {(1;-27), (-1;27)}. 2014x2 + 220xy + 6y 2 =-2 , {(-1;18), (1;-18)}. Формула
(x - a)(y - b)z - c)= xyz - ayz - bxz - cxy + abz + acy + bcx- abc
может быть использована для составления уравнений с тремя переменными. Например, учитывая разложение 2013 = 3 11 • 61, с помощью данной формулы получим уравнение:
xyz - 3yz - 11xz - 61xy + 33z +183y + 671x = 2014 ,
{(4;12;62), (4;10;60), (2;12;60), (2;10;62)}.
Составление задач, решаемых с помощью свойств наибольшего общего делителя чисел и многочленов, можно начать с подбора двух взаимно простых многочленов. Например, многочлены 2 x2 +1 и x3 позволяют со-
ставить уравнения вида (2 x +1)/(y) = 2014x
(3)
Так как подобранные нами многочлены взаимно просты, то, чтобы уравнение (3) имело целочисленные решения, число 2 х2 +1 должно быть делителем 2014. Находим значения х, при которых это возможно: х = 0, х = ±3. Наиболее интересный вариант уравнения, имеющего целые решения х = ±3, поэтому подбор функции / (у) осуществляем соответственно этому условию. Например, /(у)=у3 + а. Из уравнения (3) получаем: при х = 3, у3 + а = 2862; при х = -3, у3 + а = -2862. Варианты целых решений: х = 3, а = 118, у = 14 или а = -513, у = 15; х = -3, а =-118, у = -14 или а = 513, у = -15 .
Примеры:
(2х2 +1)3 +118)= 2014х3, х = 3, у = 14 .
(х2 +1)3 -118 ) = 2014х3, х = -3, у = -14 .
Рассмотрим еще одну пару взаимно простых многочленов 3х2 -1 и х2014. Опишем процесс составления разрешимого уравнения вида (3х2 -1)2 + 2ау + Ь) = 2014х2014.
Целое число вида 3х2 -1 делит 2014 при х = ±1 или х = 0. Рассмотрим нетривиальный случай х = ±1. Задача сводится к нахождению таких чисел а и Ь, при которых уравнение у2 + 2ау + Ь = 1007 имеет целое решение. Это возможно, если а2 + (1007 - Ь) является квадратом целого числа. Приходим к уравнению а2 + (1007 - Ь)= с2, то есть 1007 - Ь = с2 - а2. Подобрать пару чисел с и а можно разными способами, например, с = 30, а = 15, тогда ь = 332. Получаем уравнение (3х2 -1)2 + 30у + 332) = 2014х2014, решения которого: х = ±1, у = 15; х = ±1, у = -45.
Пример кубического уравнения: (3х2 -1)3 + 7) = 2014х2014, х = ±1, у = 10.
Опишем процесс составления некоторых видов разрешимых уравнений второй и третьей степеней, решаемых с помощью свойств сравнений по некоторому модулю (например, 7).
Рассмотрим уравнение / (х)= 7 у + 2014, (4)
где /(х)=х2 + 2ах и будем подбирать число а таким образом, чтобы выполнялось сравнение
2014 + а 2 = 2(шоё7) (5)
При таком выборе, добавляя в левую и правую части уравнения (4) число а2 , мы придем к сравнению вида (х + а) = 2(шоё7), которое имеет целые решения. Сравнению (5) удовлетворяют числа вида 7г + 2, 7г + 5. Напри-
мер, при а = 2 получаем уравнение х2 + 4х = 7у + 2014. Более того, в качестве коэффициента при х можно взять любое число сравнимое с 4 по модулю 7, например 11. Получим уравнение другого вида х2 + 11х = 7 у + 2014, приводящееся к сравнению (х + 2)2 = 2(тоё7), а его решения определяются по формулам: (х = 7 г +1 (х = 7 г + 2
| у = 7 г2 + 13г - 286 , ( у = 7 г2 + 15г - 284 .
Аналогично составляем кубическое уравнение. Куб целого числа при делении на 7 может давать остаток 6, поэтому, добавив к числу 2014 единицу, получим число дающее остаток 6. Следовательно, уравнение вида х3 + 3х2 + 3х = 7 у + 2014 будет иметь решения. Коэффициенты при х и х2 заменяем сравнимыми по модулю 7 числами. Например, уравнение хз + юх2 _ 4х = 7у + 2014 имеет множество решений, определяемое формулами:
(х = 7г + 2 (х = 7г + 4
(у = 49г3 + 112г2 + 48г _ 282 , (у = 49г3 + 154г2 + 124г _ 258.
Рассмотренные выше примеры показывают лишь некоторые возможности применения диофантовых уравнений при изучении теоретико-числового материала. Важно, чтобы приучение к исследовательской деятельности было составляющей любой темы и занятия, тогда формирование учителя
будущего, готового к творческому подходу при решении любых педагогических ситуаций, станет обязательной составляющей современного выпускника педагогического вуза.
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1. Латышева Л. П., Скорнякова А. Ю. О формировании исследовательских компетенций студентов педвуза при обучении математике с использованием информационно-коммуникационной среды // Вестн. Вятского гос. гуманитар. ун-та. Педагогика и психология: науч. журн. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2012. № 4(3). С. 67-72.
2. Латышева Л. П., Черемных Е. Л. О формировании профессиональных компетенций будущих магистров педагогического образования // Вестн. Вятского гос. гуманитар. ун-та. Педагогика и психология: науч. журн. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2012. № 4(3). С. 62-67.
3. Секованов В. С., Тарасова Н. Б., Хапкова Ю. А. Использование информационных технологий и фракталов в образовании с целью формирования эстетических и культурных ценностей студентов // Педагогическая информатика: науч.-метод. журн. М., 2012. С. 46-52.
УДК 378.147 ББК 74.023
РАЗВИТИЕ ТВОРЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ СТУДЕНТОВ НА ЗАНЯТИЯХ СПЕЦИАЛИЗАЦИИ «НОВЫЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ДОШКОЛЬНОМ ОБРАЗОВАНИИ»
DEVELOPMENT OF STUDENTS' CREATIVE ACTIVITY AT "NEW INFORMATION TECHNOLOGIES IN PRE-SCHOOL EDUCATION" SPECIALIZATION CLASSES
Т. В. Калинина, Ю. А. Дмитриев
Статья посвящена проблеме развития творческой активности студентов в процессе их подготовки к использованию новых информационных технологий в образовании детей дошкольного возраста. Рассмотрены сущность, формы и методы развития творческой активности будущих педагогов дошкольного образования в процессе освоения ими специализации «Новые информационные технологии в дошкольном образовании».
T. V. Kalinina, Yu. A. Dmitriev
The article is dedicated to the problem of students' creative activity development during their preparation for new information technologies implementation in preschool education. The explored aspects are: the essence, forms, and methods of future pre-school teachers' creative activity development in the process of mastering the "new information technologies implementation in pre-school education" specialization.
Ключевые слова: творческая активность, информационные технологии в дошкольном образовании, информационная компетентность будущего педагога дошкольного образования, компьютерно-игровая деятельность дошкольников.
Keywords: creative activity, information technologies in pre-school education, information competence of future pre-school teacher, pre-school students computer-playing activity.
