О методах моделирования геометрических характеристик проекционных изображений трехмерных объектов Текст научной статьи по специальности «Прочие технологии»

УДК 681.3

О МЕТОДАХ МОДЕЛИРОВАНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПРОЕКЦИОННЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ ТРЕХМЕРНЫХ ОБЪЕКТОВ

Т.Н. Байбикова, Е.П. Доморацкий

METHODS OF MODELING THE GEOMETRIC CHARACTERISTICS OF THE PROJECTION IMAGES OF THREE-DIMENSIONAL OBJECTS

T.N. Baybikova, E.P. Domorackiy

Аннотация. Рассмотрены аналитический и численный (с программой) методы моделирования базовых геометрических признаков эталонных проекционных изображений трехмерных объектов неправильной формы, аппроксимируемых набором эллипсоидов вращения.

Ключевые слова: метод моделирования, геометрические характеристики, проекционное изображение, базовые признаки.

Abstract. Analytical and numerical (with a program) methods for modeling of basic geometrical characteristics of reference projection images of irregular shape which are approximated by a set of ellipsoids of revolution are under consideration.

Keywords: modeling method, geometrical characteristics, projection image, basic characteristics.

Задача извлечения полезной информации возникает в различных областях знаний: в медицине, в радио-, тепло- и гидролокации, исследовании космического пространства, контроле качества изделий, картографии, экологии и т.д. Используемые при этом томографические, оптикоэлектронные, телевизионные, радиографические и другие методы основаны на получении, анализе и синтезе различного рода одномерных и двумерных проекционных изображений объекта [ 1, 8].

Данная работа относится к области морфологической обработки изображений, и ее цель заключается в разработке математических моделей операций получения исходного (синтаксического) проекционного изображения трехмерного объекта неправильной формы и преобразования его в семантическое (смысловое) изображение путем выбора и определения его базовых геометрических признаков и получения на этой основе числовых значений геометрических

МОСКОВСКИЙ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МФЮА

размеров и формы проекционного (прагматического) изображения объекта [9; 3; 4, с. 597-604].

В данной работе в качестве математической модели, аппроксимирующей геометрические характеристики выпуклого трехмерного объекта неправильной формы (его трехмерное изображение - образ) выбран обобщенный эллипсоид вращения, состоящий из набора частных эллипсоидов вращения. При этом линейные геометрические (габаритные) размеры каждого эллипсоида определяются числовыми значениями его большой 2А и малой 2В осей, а средний диаметр (D) и фактор формы (Кф) определяются соответственно

из соотношений: D = А + В; К, = А /В.

ф

На рис. 1 показаны проекционные изображения эллипсоида вращения на ортогональные плоскости хОу, уОг, хОг. Они пред-

ставляют собой изображения контуров эллипсов с осями 2а (большая ось) и 2Ь (малая ось). Оптимальные базовые признаки изображений выбираются на основе численного анализа их информативности методом максимальной энтропии [9; 4; 5, с. 42-45.].

В данной работе в качестве базовых признаков каждого проекционного изображения выбраны координаты точек «касания» объекта (эллипсоида вращения) с плоскостями, параллельными плоскостям наблюдения (координатным плоскостям хОу, уОг, хОг).

На рис. 2 показана проекция эллипсоида на плоскость наблюдения (контур эллипса) и координаты точки касания контура эллипса С(К, Н) с прямой, параллельной оси координат Ох.

Существует шесть базовых точек: А1(И1, К, К6), А2(К2, Н2, К), А/К, К, Н), А1(И1, К' К'), А'(К', н2, К3), А3(к;, к4, Н), которые однозначно определяются в пространстве по проекциям объекта (эллипсоида) и описываются 18 координатами (рис. 1).

Для определения эллипсоида вращения достаточно четырех координат [7], поэтому избыточный объем первичной информации из 18 координат можно использовать для получения множества частных эллипсоидов вращения, каждый из которых однозначно определяется по одному из наборов координат базовых точек.

у

х

N

Рисунок 2. Проекция эллипсоида на плоскость

Значения базовых признаков К и Н определим (с целью их сравнения) двумя методами: аналитическим и численным.

Аналитический метод. Получим зависимость координат базовых точек (базовых признаков) от параметров эллипса на плоскости проекции (рис. 2). Каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат представлено выражением [7]:

где a и b - большая и малая полуоси эллипса соответственно.

Относительный поворот эллипса и декартовой системы координат (ракурс) относится к аффинным преобразованиям и определяется выражениями [7]:

S xn = x cos у + y sin y (2)

\ yn = -x sin y + y cos y

или

{ x = xn cos y - yn sin Y (3)

y = xn sin y + yn cos y ,

x, y и xn и yn - координаты некоторой точки соответственно в неповернутой и повернутой декартовых системах координат; Y - угол поворота (ракурс) в градусах.

Используя уравнение эллипса (1) в прямоугольной системе координат x Oy и переходя к системе координат xOy, оси которой повернуты относительно первой системы на угол у, получим уравнение эллипса в виде [7]:

x (a2 - b2) sin y cos y ab (a2 cos2 y + b2 sin2 y - x2)1/2

где а и Ь - большая и малая полуоси эллипса соответственно.

Искомые базовые признаки проекционного изображения - координаты точки касания контура эллипса С(К, Н) с прямой, параллельной оси координат Ох, определим из условия равенства нулю первой производной функции у(х):

_2 y2

--1--

а2 b2

(1)

y (x)

a2 cos2 y + b2 sin2 y

(4)

Г H2 = a2 sin2 у + b2 cos2 у (5)

^ K2 = (a2 - b2) sin2 у cos2 y /H2.

Численный метод. Эллипс представляет собой геометрическое место точек, расположенное симметрично относительно координатных осей Ox и Oy, поэтому для нахождения искомых базовых признаков (точек касания эллипса с линиями, параллельными осям Ox и Oy), достаточно определить координаты точки касания C, находящейся в первом квадранте, и распространить полученные значения для другого квадранта.

Уравнение кривой эллипса, расположенной в первом квадранте, получим из выражения (1) в виде:

y = __ (a2 - x2)1/2. (6)

Поворот кривой эллипса в декартовой системе координат осуществляется в соответствии с уравнениями (2) и (3) и показан сплошной линией на рис. 3 для значений угла у = 0°, 45°, 90°.

Определение координат базовой точки осуществляется путем поиска экстремума кривой эллипса, расположенной в первом квадранте численным методом одномерной оптимизации (методом сканирования) [2].

Соответствующая программа в MATLAB с комментариями приведена ниже (листинг 1).

Рисунок 3. Поворот эллипса в декартовой системе координат

Листинг 1. Программа определения базовых признаков К и H проекционного изображения объекта

function [H, K] = findmax (a, b, gamma)

# a - большая полуось эллипса, b - малая полуось эллипса

# gamma - угол поворота

x0 = 0; y0 = b; #начальная точка контура эллипса xend = a; yend = 0; #конечная точка эллипса

gamma = gamma *pi/180; #перевод угла gamma из градусов в радианы ymax = 0; xforxmax = 0;

for i=0:0.005:xend # цикл для поиска экстремума xn = x0+i;

yn = (b / a)*sqrt(a*a - xn*xn);

x = ((xn * cos(gamma))-(yn*sin(gamma)));

y = ((xn * sin(gamma))+(yn*cos(gamma)));

if(y > ymax)

ymax = y;

xforxmax = x;

end

end # конец цикла for

H = ymax;

K = xforxmax;

end # конец программы

Результаты работы аналитического и численного методов определения числовых значений базовых признаков проекционных изображений эллипсоида вращения для семи значений углов поворота координат (ракурсов) в диапазоне от 0° до 90° с шагом 15° и размеров полуосей эллипса a =2; b = 1 приведены в табл. 1.

Полученные базовые признаки можно использовать для определения числовых значений геометрических характеристик размеров и формы двумерного проекционного (прагматического) изображения из соотношений:

l . + l ..

maxi mim

D' =---; K'=l . /l.., (7)

2 ф maxi mimi7 v '

где:

D' и Кф - соответственно средний проектируемый диаметр и коэффициент формы двумерного проекционного изображения (эллипса); i - номер проекционного изображения.

Таблица 1

Результаты работы методов моделирования базовых признаков проекционных изображений

Ракурс изображения (град.) Базовые признаки проекционного изображения

K H

Аналитический метод Численный метод Аналитический метод Численный метод

0 0,00 0,00 1,00 1,00

15 0,68 0,69 1,10 1,09

30 0,99 0,98 1,33 1,32

45 0,96 0,95 1,57 1,58

60 0,71 0,72 1,80 1,80

75 0,38 0,37 1,95 1,94

90 0,00 0,00 2,00 2,00

При этом для эталонного проекционного изображения l = 2a, l . = 2b, а при получении экспериментальных данных

max mm г J г

о форме объекта (например, телевизионным методом) l и l

т ^ / max mm

являются соответственно максимальным и минимальным габаритными размерами дискретного контура, определяемыми способом автоматического анализа геометрических характеристик дискретных телевизионных изображений [6, с. 125-129].

Геометрические размеры и форму обобщенного эллипсоида вращения можно определить, например, методом статистической реконструкции из соотношений:

N l + l max {l }

maxi mixi ( mmX

D = £ ; КФ= min {l } , (8)

1 1 ( mini

где l . и l . . - соответственно максимальный и минимальный габаритные размеры

^ maxi mim г г г

каждого из N контуров, различно ориентированных в пространстве двумерных проекционных изображений объекта (эллипсоида).

Анализ полученных результатов моделирования показывает практически полное совпадение числовых значений базовых признаков К и H для аналитического и численного методов моделирования во всем диапазоне ракурсов. Таким образом, численный метод может

применяться автономно для определения базовых геометрических признаков проекционных изображений, либо для тестирования аналитического способа расчетов.

Приведенные в данной работе методы моделирования позволяют определять числовые значения базовых признаков проекционных изображений выпуклых объектов неправильной формы, аппроксимируемых сферой, эллипсоидами вращения и общего вида.

Полученные математические модели могут быть использованы при разработке оптимизации и исследовании способов получения, обработки, анализа и синтеза изображений объектов при оценке качества изображений; при разработке способов реконструкции размеров и формы трехмерных изображений объектов по проекциям; при геометрическом проекционном контроле двумерных и трехмерных объектов; при распознавании образов.

Библиографический список

1. Беляев С.П., НикифороваН.К., СмирновВ.В. Оптико-электронные методы изучения аэрозолей. М., 1983.

2. Васильков Ю.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании. М., 2002.

3. Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. М., 2005.

4. Доморацкий Е.П. Алгоритм синтеза геометрических характеристик проекционных изображений трехмерных объектов // Информационные технологии. 2016. Т. 22. № 8.

5. Доморацкий Е.П. Методика оценки информативности геометрических характеристик проекционных изображений микрообъектов // Качество. Инновации. Образование. 2014. № 2.

6. Доморацкий Е.П., Байбикова Т.Н. Способ автоматического анализа геометрических характеристик дискретных телевизионных изображений. // Фундаментальная информатика, информационные технологии и системы управления: реалии и перспективы. FIITM-2014: материалы международной научно-практической конференции. Красноярск, 2014.

7. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия: учебник для вузов. М., 1999.

8. Левин Г.Г., Вишняков Г.Н. Оптическая томография. М., 1989.

9. Методы компьютерной обработки изображений / под ред. В.А. Сойфера. М., 2003.

Т.Н. Байбикова

старший преподаватель Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики» (НИУ ВШЭ), аспирант Московского финансово-юридического университета МФЮА E-mail: tbaibicova@hse.ru

Е.П. Доморацкий

доктор технических наук, профессор профессор Московского финансово-юридического университета МФЮА, профессор Финансового университета при правительстве Российской Федерации E-mail: Domorackiy.E@mfua.ru