О методах численного решения двумерных уравнений Буссинеска для свободной конвекции Текст научной статьи по специальности «Математика»

строительная теплофизика и энергосбережение

О методах численного решения двумерных уравнений Буссинеска для свободной конвекции

А.Н. Машенков, Е.А. Косолапов

Наружные ограждающие конструкции во многом определяют показатели энергоэффективности зданий. О тепловой защите ограждающих конструкций зданий в нашей стране речь идет с шестидесятых годов прошлого столетия, а об обоснованности этих требований с середины девяностых того же столетия [1, 2].

Навесная фасадная система с вентилируемым зазором представляется одной из наиболее приемлемых и перспективных. С теплотехнической точки зрения — это удачное решение, т.к. термическое сопротивление послойно растет по направлению теплового потока, а сопротивление паропроница-нию снижается в том же направлении. Конструкция имеет основной конструктивный слой из бетона, железобетона либо кирпичной кладки и следующего за ним слоя эффективного утеплителя, защищенного специальной мембраной от ветра и атмосферных осадков, но пропускающей диффузионную влагу. Затем следует продуваемая воздушная прослойка, расположенная между укрытым мембраной утеплителем и облицовочным штучным материалом, чаще всего керамогранитом или композитными панелями. Облицовочный штучный материал крепится к металлической подсистеме из кронштейнов и направляющих, которые в свою очередь крепятся к конструктиву стены. Движущей силой обменных процессов в прослойке служит явление свободной конвекции. Специфика воздушного, температурного и влажностного режимов прослойки заключается в наличии системы периодических разрывов со стороны облицовочного слоя — рустов, расположенных горизонтально.

Много внимания математическому моделированию перечисленных режимов уделяется проф. В.Г. Гагриным и его сподвижниками [3, 4, 5, 6].

Натурный экспериментальный стенд по изучению процессов тепло- и массобмена навесных фасадных систем с вентилируемым зазором, их теплотехнической однородности, построен и функционирует с 2005 г. на территории ООО «Юкон Инжиниринг» [7, 8, 9].

В основе модельных представлений лежат уравнения Навье-Стокса [10]. Авторами предпринята попытка перехода от модельных представлений одномерной конвекции в воздушном зазоре [11]

к двумерной модели слабого конвективного теплообмена.

Задачи расчета двумерной слабой конвекции (приближение Буссинеска) возникают в разных областях технических приложений. При этом система уравнений Буссинеска в двумерном приближении, в виду своей сложности, может быть решена только численными методами. С учетом особенностей в постановке задач для конкретных приложений существует достаточно много подходов и методов численного решения указанной системы уравнений [12, 13]. В основном эти особенности связаны с постановкой граничных условий. Например, для расчета свободной конвекции в воздушном зазоре навесных фасадов зданий необходимо учитывать тепло- и массообмен через щели облицовочных плит.

Представим температуру Т и давление р в виде добавки к соответствующим параметрам в нижней части расчетной области TQ и pQ:

(1)

где р — плотность; д — ускорение силы тяжести, г — вертикальная ось.

Тогда система уравнений Буссинеска в векторной форме примет вид [14]

div V = 0

+(v V)V = - Vp + vA V-ßgT di V ' p H

dT dt

(2)

+ (V V)T = xAT

где V — коэффициент кинематической вязкости; t — время;

в — коэффициент объемного расширения; X — коэффициент температуропроводности.

Для обезразмеривания системы уравнений (2) используются комплексы, приведенные в таблице. В таблице:

¿. — характерный размер;

р — плотность теплового потока через какую-либо границу;

строительная теплофизика и энергосбережение

Величина длина время скорость температура давление число Грас-гоффа число Прандтля

Обозначение 1, г / V Т Р вг Рг

Обезразмеривающий комплекс 1 Щм фТ01? V или 9 Хм То или Ф X РЭРУ- или рд(3Ч12 эРУ-3 V2 или дрд*-4 ^У2 V X

Таблица 1. Комплексы, использующиеся для обезразмеривания системы уравнений.

X — коэффициент теплопроводности. В безразмерном виде система уравнений (2) запишется таким образом

<ЯУ V = 0

— + Эг (VV) = -Ур + АТк

+ Ог (V У)Т = АТ

Ы у ' Рг

(3)

где к — орт по оси г.

Система (3) «похожа» на уравнения Навье-Сто-кса для несжи маемых течений (отличается только конвекционным членом в уравнении импульсов). Поэтому, обы чно, для ее решения применяются подходы и методы для системы Навье-Стокса. Существуют два основных подхода — использование системы уравнений в физических переменных и в переменных внхрь — функция тока-температура. Рассмотрим первый подход.

Для двумерного случая система уравнений (3) при мет вид

ди дм

— + — = 0 дх дг

ди _ ( ди ди

— + вг и — + V —

д1 у дх дг

дм _ ( дм дм

— + Сг\ и — + V —

дt I дх дг

д2и

дх Т Эх;

д2и

дТ г— + Сг

дf

дт дт

и— + V — дх дг

.ЁЕ

дг ~ Рг

+ ■

д\

дх2

,2т

д2м

дг2

+ г

(4)

г -> ■> \

д2т д2т

удх2 дг2 J

где ось х направлена горизонтально, а и и V — проекции скорости на оси х и г соответственно.

Система уравнений (4) содержит четыре неизвестных функции: и, V, р и t. Из этой системы, также как и для полных уравнений Навье-Стокса можно получить уравнение Пуассона для давления [12, 13]. Для этого нужно продифференцировать вто-

рое уравнение системы (4) по х, а третье — по г. После преобразований, используя уравнение неразрывности, получим уравнение Пуассона для давления в виде

Эх2 дг2 дг Г

ди ^ + ^ ди ду + Г ду дх) дг дх I дг

или

32р д2

дх д

д р д р _ дТ ^ ( ди дУ оУ ди дг дх дг дх

(5)

(6)

где и, и — проекции скорости на оси х и у — соответственно.

Уравнения (5) или (6) заменяют в системе (4) первое уравнение. Таким образом, система уравнений в физических переменных примет вид

ди

— + вг дf

ди ди

и — + V

дх

д2

дм _ — + вг дt

дм дм

и — + V — дх дг

дТ г

— + вг

с4

дТ дТ

и— + V — дх дг

др д2и д2и Эх Эх2 Эг2

др д2м д2м ,_

— + —- +—- + Т

дг дх2 дг2

_1 Рг

/ о -> \

д2Т д2Т

\

дх2 + дг2

дх дг'

дг

(7)

ди дУ дУ ди

уд г дх дг дх у

Для приложений обычно ищется стационарное решение. В системе уравнений (7) присутствие производных по времени связано с одним из основных направлений решения этой системы — метода установления.

Для случая конвективного течения вдоль вертикальной стенки Т. Себиси и П. Брэдшоу [15] пренебрегают давлением и диффузионными членами вдоль течения. Это позволяет перейти, с использованием автомодельных переменных, к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Эта процедура подобна решению задачи Блазиуса в теории пограничного слоя.

строительная теплофизика и энергосбережение

Для перехода к переменным функция тока — вихрь, введем функцию тока ф по формулам:

Эф _ Эф

= и,

_ _u

dz дх

а вихрь Ю по формуле

Эи Эи

Ю _ ■

дх dz

(8)

(9)

Введенная функция тока автоматически удовлетворяет уравнению неразрывности (первое уравнение в системе (4)).

Возьмем производную по г от первого уравнения системы (7) и производную по х от второго. Вычитая полученные уравнения и выполнив преобразования, получим уравнение переноса завихренности:

dt

Зго „ ( дсо <Эю . — + Gr и — + V — =

дх

д2(й

dz J дх2

д2(й

дТ

dz

2 + дх "

(10)

Отметим, что в уравнении (10) отсутствует давление, что и является основанием для введения функции Ю.

Уравнение для функции тока получается подстановкой уравнений (8) в уравнение (9):

d 2ф d2ф дх2 + dz2

(11)

Таким образом, система уравнений Буссинеска в терминах вихрь — функция тока — температура, в совокупности с определениями (8)—(9), примет вид:

дю _ ( дю дю

--+ Gr I u--+ и-

dt { дх дz

д2ю д2ю ЭТ

дх2 дz2 дх

д2ф + д2ф дх

дz

дТ _ ( дТ дТ — + Gr I u — + v —

dt { дх дz

1 Pr

Гд2Т д2Тл

(12)

дх 2

дz 2

д2р д2р дТ ^ —т- + —v _ — + 2Gr дх2 dz2 dz

д2ф д2ф дх2 dz2

С Va V

д2ф dxdz

. (13)

Уравнения переноса решаются методами установления. Задаются начальные распределения функций, а затем разностными аналогами уравнений переноса находятся распределения этих функций на следующем шаге по времени. Эти вычисления продолжаются до тех пор, пока не получится стационарное решение. К таким методам относятся: метод MAC Харлоу, метод искусственной сжимаемости Чорина, метод SIMPLE Патанкара, вариант метода MAC Хирта-Кука, метод крупных частиц Давыдова, метод конечных элементов и т.п. [12, 13, 16, 17, 18]. При этом используются явные и неявные разностные схемы, расщепления исходных уравнений, разнесенные разностные сетки и другие приемы, направленные на устойчивость счета и улучшение сходимости [19, 20].

На каждом временном шаге необходимо решать соответствующее уравнение Пуассона. Это уравнение может решаться прямыми (матричными) и итерационными методами. Матричные методы, ввиду трехдиагональности основной матрицы, сводятся к методу матричной прогонки. К итерационным методам относятся: метод Якоби, метод Гаусса — Зай-деля, псевдонестационарный метод, метод последовательной верхней релаксации и др. [12, 13, 21].

В заключение, получим уравнение переноса для дивергенции скорости, которое может быть полезно при использовании подхода в физических переменных. Для этого выразим производные от давления из первого и второго уравнений системы (7):

(14)

Возьмем производные по х от первого уравнения и по г от второго, затем сложим полученные уравнения. После преобразований, получим:

Для определения давления, может быть использовано уравнение (6), с подстановкой в него функции тока (8):

д2p д2p _Эт _ао Э^ Э^

дх2 dz2 _ dz dt дх2 dz2

_Gr

dD dD

u--+ U--+

дх dz

„ du du ( du

+ 2--+ I —

dz dx I dz

, (15)

Таким образом, в обоих подходах необходимо численно решать уравнения переноса: первое, второе и третье уравнения в системе (7); первое и третье уравнения в системе (12), а также — уравнение Пуассона: четвертое — в системе (7) и второе — в системе (12).

где D — дивергенция скорости:

„ ди Dv

D = — + — . дх dz

(16)

Подставим выражение (15) в уравнение (5), в результате получим:

строительная теплофизика и энергосбережение

dt

SD f SD SD — + Gr и — + V — =

dx

dz

d2D

d2D

dx2 dz¿

(17)

Важной особенностью этого уравнения является отсутствие в нем температуры и давления, что значительно упрощает его использование в различных методах. Представляется, что его можно использовать вместо одного из уравнений закона сохранения импульса.

Литература

1. Изменения №3 СНиП II-3-79* Строительная теплотехника.

2. Гагарин В.Г. К обоснованию повышения теплозащиты ограждающих конструкций зданий / / Стройпрофиль. — 2010. — №1. — С. 21-23.

3. Гагарин В.Г., Козлов В.В. Методика проверки выпадения конденсата в воздушном зазоре вентилируемого фасада: Строительная физика в XXI в. Материалы научно-техн. конф. М.: НИИСФ РААСН,

2006. С. 73-80.

4. Козлов В.В. Аналитический метод расчета движения воздуха в воздушном зазоое вентилируемого фасада с облицовкой, содержащей перирдичечкие разрывы: Строительная физика в XXI в. Материалы научно-техн. конф. М.: НИИСФ РААСН, 200(5. С. 65-72.

5. Гувернюк С.В., Синявин A.A. К расчету ес-тествеоной конвекции в воздушной проолойк е веи-тилируемого фасада с учетом щелев ой проницаемости внешнев о ограждения . Срроительная физика

в XXI в. Материалы научно-техн. конф. М.: НИ-ИСФ РААСН, 2006. С.108-112.

6. Гагарин В.Г. Модель тепловой конвекции в воздушной прослойке вентилируемого фасада с учетом проницаемости внешнего ограждения.// Гувернюк С.В., Козлов В.В., Синявин А.А./ Тез. докл. научн. конф. «Ломоносовские чтения»./МГУ им. М.В. Ломоносова, секция механики. — М., 2007. С. 53-54.

7. Машенков A.H. Натурный эксперимент на стенде с навесным фасадом системы U-kon / А.Н. Машенков, Е.В. Чебурканова / / Технологии строительства. — 2006. — №7 (48). — С.30-31.

8. Машенков A.H. Определение коэффициента теплотехнической однородности навесных фасадных систем с воздушным зазором / А.Н. Машенков, Е.В. Чебурканова // Строительные материалы. -

2007. — №6 (630). — С. 10-12.

9. Машенков A.H. Исследование воздушного режима навесных вентилируемых фасадов на экспериментальном стенде U-kon /А.Н. Машенков, Е.В. Чебурканова / / Лучшие фасады и кровли. — 2009. — №1 (21). — С.10-13.

10. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений На-вье-Стокса./ Полежаев В. И., Буне A.B., Вырезуб Н.А. и др. М.: Наука, 1987. С. 272.

11. Машенков А.Н. Свободная одномерная конвекция в воздушном зазоре навесных фасадов зданий с разными тепловыми потоками через облицовочный слой и стенку здания /А.Н. Машенков, Е.А. Косолапов, Е.В. Чебурканова / / Жилищное строительство — 2009. — №9. — С. 27-31.

12. Флэтчер, К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. Т.2 / К. Флэтчер. М.: Мир, 1991.

— 552 с.

13. Андерсон, Д. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. Т.2 / Д.Андерсон, Дж. Танне-хилл, Р. Плетчер. — М.: Мир, 1990. — 728 с.

14. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифщиц / / Т.IV. Гидродинамика.

— М.: Наука, 1988. — 736 с.

15. Себиси, Т. Конвективный теплообмен / Т. Себиси, П. Брэдшоу. — М.: Мир, 1987. — 592 с.

16. Белоцерковский, О.М. Метод крупных частиц в газовой динамике / О.М. Белоцерковский, Ю.М. Давыдов. — М.: Наука, 1982. — 392 с.

17. Давыдов, Ю.М. Численное моделирование двухфазных течений в соплах методом крупных частиц / Ю.М. Давыдов, Е.А. Косолапов. — М.: Изд. Нац. Академии прикл. наук, 1998. — 86 с.

18. Полежаев, В.И. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье-Стокса / В.И. Полежаев, А.В. Бунэ, Н.А. Верезуб и др. - М.: Наука, 1987.

— 271 с.

19. Марчук, Г.И. Методы расщепления / Г.И. Марчук. — М.: Наука, 1988. — 264 с.

20. Косолапов, Е.А. Метод установления с расщеплением для решения уравнений пограничного слоя / Е.А. Косолапов / / Повышение эффективности судовых энергетических установок: межвуз. сб. — Н.Новгород: НГТУ, 1998. — С.146-152.

21. Роуч, П. Вычислительная гидродинамика / П. Роуч. — М.: Мир, 1980. — 616 с.

О методах численного решения двумерных уравнений Буссинеска для свободной конвекции

Рассматривается задача движения воздуха в прослойке вентилируемых фасадов. В приближения Буссинеска, описывающих слабую конвекцию в прослойке, предлагается провести замену переменных. Вместо параметров температуры и давления вводится функция ток-вихрь. Дан обзор численных методов решения задачи.

строительная теплофизика и энергосбережение

About methods of the numerical decision of two-dimensional Bussinesk's equations for free convection by A.N. Mashenkov, E.A. Kosolapov The problem of air flow in the layer ventilated facades is considered.

In the Boussinesk approximation, describing the weak convection in the layer, is proposed to change the variables.

Instead, the parameters of temperature and pressure is introduced function current-vortex. A survey of numerical methods for solving the problem is given.

Ключевые слова: метод численного решения, приближения Буссинеска, навесной фасад здания, воздушный зазор, математическая модель, свободная конвекция, отсутствие переменных температуры и давления, введение параметра функции ток — вихрь.

Key words: numerical solution method, Bussinesk's approximation, rear ventilated cladding facade, air gap, mathematical model, free convection, absence variables of temperature and pressure, introduction parametre function of the current - hirlwind.