2013 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 1 Вып. 4
МАТЕМАТИКА
УДК 519.2
О МЕРЕ ЗАПОЛНЕННОЙ ЧАСТИ ОТРЕЗКА В ЗАДАЧЕ «ПАРКОВКИ»*
С. М. Ананьевский1, Е. А. Шульгина2
1. С.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, доцент, ananjevskii@mail.ru
2. С.-Петербургский государственный университет, студент, katrin52@mail.ru
Пусть х — длина отрезка, на котором случайным образом размещаются интервалы длины /. Под / мы будем понимать положительную случайную величину. Процесс размещения интервалов следующий. Первый интервал длины / размещается на отрезке [0, х] таким образом, что его левый конец равномерно распределен на отрезке [0, х — /]. Пусть положение левого конца размещенного интервала это точка 4. Тогда наш отрезок [0, х] разбит на три части: две части (это отрезки [0,4], [4 + /,х]) не заполнены, а одна часть (интервал (4,4 + /)) заполнена. Далее, незаполненные части [0,4] и [4 + /, х] заполняются по такому же правилу и независимо друг от друга. Пусть носитель распределения случайной величины / отделен от нуля, т. е. существует положительное а такое, что Р(/ > а) = 1. В этом случае процесс заполнения отрезка [0, х] обязательно когда-нибудь закончится. Обозначим через Мх меру Лебега множества, занятого разместившимися интервалами. В настоящей работе изучаются асимптотические свойства распределения случайной величины Мх при безграничном увеличении длины отрезка [0, х]. Случай, когда величина / является неслучайной и / = 1, рассматривался в работах Реньи [1], Нея [2], Дворецкого и Роббинса [3]. В 1995 году в статье одного из авторов настоящей работы изучалась асимптотика математического ожидания числа разместившихся интервалов, когда / — случайная величина, принимающая два разных значения [4]. Далее мы будем рассматривать только случай, когда Р{1 = 1) = Р{1 = 2) =
* Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант № НШ-1216.2012.1).
© С. М. Ананьевский, Е.А.Шульгина, 2013
Теорема. Существуют константы V и п такие, что
БМ^щ+^ + О^У^У (2)
где с — некоторая константа.
Доказательство теоремы. Докажем сначала утверждение (1). Введем следующее обозначение. Пусть [Их|£] означает меру Лебега множества, занятого разместившимися интервалами, при условии, что £ — левый конец первого разместившегося интервала. Тогда справедливы равенства
[ИХ+1Щ = Иг + Ых+1-г-1 + I, (3)
и соответственно
Е[МХ+1Щ = ^Е(Мг + Мх-г + 1) + ^Е(Мх + Мх+1+2). (4)
Пусть далее т(х) = ЕИХ. Отсюда следует
/ х х
1/1^,,, 1
ЕМХ+1 = т(х + 1) = ^ {~J + ~J т(х ~ ^ + 1 ] +
V 0 0 )
(х — 1 х — 1 \
! т(г)Л-\--™>{х-г- 1)Л + 2\ =
00
х х—1
1 { 1 { 3
= - т(г)Л-\--/ тШсИ -\—. (5)
х ] х — 1 ] 2
Если ввести новое обозначение ц(х) = т(х) + то (5) перепишется в следующем
виде:
х х—1
11
я(х + 1) = - + [ ч{ь)аь. (6)
х ] х — 1 J
х 7 х — 1
00
В работе [4] в теореме 2 показано, что существует такое положительное число V, что выполняется соотношение
д(х) = их + — V + О ) ^ (ж —> оо)
при некотором положительном с.
Если последнее записать в терминах функции т(х), то получаем утверждение (1) доказываемой теоремы:
3 3 (, т[х) = 1/х — — + —V + О I у I (х —> оо).
Замечание. Легко вычисляются начальные значения функции т(х): т(х) =0, 0 < х < 1,
1 < х < 2,
1
т(х) = —, К ) 2>
(х) = 2 -
2(х - 1)
. . 4х — 11 — 1п(х — 2) 4х — 9
т{х) = -—-—--\-
2(х - 1)
2(х - 2)
2 < х < 3,
3 < х < 4.
Из них можно получить грубые оценки V:
■ ( 4(х) ^ ^ 4(х)
1111 -о- < V < вир -о",
1<ж<3 Ж + | 1<х<ЗХ+ +
0, 5714 < V < 0, 8571. Доказательство утверждения (2). Введем в рассмотрение случайную вели-
чину
К (х) = vx + V/ — /
и отметим, что выполняется равенство
К (х) = К (4) + К (х — 4 — /) + /.
Если через [Мх |/,4] обозначить меру Лебега занятого места на отрезке [0, х] при условии, что длина первого разместившегося интервала равна / и его левый конец находится в точке 4, то будет иметь место равенство
Мх|/,4] = Мг + Мх-г-1 + /,
причем случайные величины Мг и Мх-г- независимы. Далее введем функции
Фк(х) = Е(Мх — К(х))к, к = 0,1, 2,
Тогда,
Фк (х) = Е (Мх — К (х))к = Е (Е [(Мх — К (х))к |/, 4]) =
= Е (Мг + Мх-г-1 — К (4) — К (х — 4 — /))к = = Е (Е [(Мг — К (4) + Мх-г-1 — К (х — 4 — /))к |/]) =
к х-1
1 к /■
т=0 0
Если случайная величина I распределена так, что Р(1 = 1) = Р(1 = 2) = то
к х
1к
+ 1) = — С™ / - *)<Й+
т=0 0
к х-1 1к
2(х 1) т=0
При к = 2 имеем
2 хх
+1) = ^ ]Г с? [фт(4)ф2_т(х -
т=0 0
2 х-1
+ о( - П ^ / =
(х ) т=0 0
х х х-1
- /Ф2(*)<й + - /Ф1(*)Ф1(я-*)сй+—/ х У х У х — 1,/
0 0 0
х-1
н—— [
х — 1 .]
0
Итак, получено соотношение
х У х У х — 1,/
0 0 0
х-1
+ —Ц- [ (7)
х — 1 7
0
Для решения соотношения (7) докажем следующую теорему. Теорема (А). Пусть
х х-1
/(х + 1) = - /"/(*)<& + —Ц- [ №<М+р(х + 1), (8)
х у х — 1 7
00
где /(х) —ограничена на [0, 1], р(х) —непрерывная функция и такая, что р(х) =
о((Г+а)-
Тогда существует такое положительное в, что
3 / / Г\ х+а+1\
/(х)=/Зх + -/? + ОЦ-) ^ (9)
Доказательство теоремы (А).
Пусть х > 1, у > 1, у > х. Тогда из (8) получаем
х-1 У
/(*/+!)= I + ± I №<и+р(у + 1)
0 у 1
и
(2у-1)х(х-1),, (2у-1)(х-1) Г
У(У~ 1)(2Х-1)ПХ + 1)= +1)+ у(у- 1)(2х-1) .1 тЛ~
х—1
х—1 У
2у — 1 1 / ,, (2у — 1)х(х — 1)
/ '»к*-; / + + +
у(у — ^ У у У у(у — 1)(2х — 1)
х—1 у —1
Таким образом,
хх
ПУ +1)= У(У-1)(2Х-1)ПХ + " у(у-1)(2х-1) .1 тЛ+
х—1
х—1 У
+ / '<«>*+; / '«** - ШZШZT>"I<"»
х—1 у—1
Заметим, что если р(х) = 0, то функция f(x) = х + | удовлетворяет равенству (10). Тогда
х у
3 (2у — 1 )х(х — 1) / 5\ 2у — 1 Г 3, , 1 Г, 3,
х—1 у—1
С*-1**-1) (11)
Возьмем х < у < х + 1 и положим
Тогда из (10) и (11) получим, что
у(у — 1)(2х — 1) У V 2
х1
з •
2
+ ^ЗТ) /(/(() - с +1' ■ +; / (/<" -(< + §>
х—1 у —1 хх
(2у — 1)(х — 1) Г , , , 3, , (2у — 1)х(х — 1) ,
х1
(2у — 1)х(х — 1) (( 5\ ,
у(у — 1)(2х — 1) ^ ; V 2
х—1
х
х
Введем еще одно обозначение:
px = sup |p(t)|, (x > 1).
x<t<x+1
Из определения Ix и px получаем неравенство
f(y + 1) - (у + 1 + ^ 1Х > 0 + 0 + 0 + 0 - рх+1 - Рх+1 = -2рх+1.
Отсюда последует неравенство
Iy > Ix - Ax (y > x > 1), (12)
где
Аналогично рассмотрим и получим
Из (12) получим, что
Ax = 2^
px+i
\ х + г + |'
i=i 2
fit)
SUP ГТ"з
x-1<t<xA*
x-l<t<x+l t + 2
Sy < Sx +Ax (y > x> 1). (13)
lim inf Iy > Ix — Ax.
y—
И пользуясь тем, что Ax = o(1), заключаем
lim inf Iy > lim sup Ix.
y—x—
Аналогичные рассуждения с Sx приводят к тому, что существуют ITO = lim Ix и
x—
STO = lim Sx и —то < ITO < STO < то.
x—
Учитывая эти неравенства и определения Ix и Sx, делаем заключение, что f (x) = O(x). Из (10) получаем
у-1
ft .n fC .п (у-х)(ж + у-2жу-1) (2у - 1)ж [
ЛУ + 1} " ЛЖ + у(у-1)(2х-1) ЛЖ + 1} + у(у-1)(2*-1) J fm+
x — 1
x y
(y — x)f.. 1/x/w (2y — 1)x(x — 1)
+ R^ghy I fm + LJmdt+P(y+1). +1,.
y—1
И, следовательно,
sup |f (y +1) - f (x +1)| = O(1)+2px.
x<y<x+1
Тогда условия теоремы и определения Ix и Sx позволяют сделать заключение, что Sx — Ix = o(1) и, кроме того, ITO = = ±то.
щ.
X—>СЮ Ж+,2
Из (12) и (13) следует, что Ix — Ax < в < Sx + Ax, (x > 1). Заметим, что для
Положим /3 = lim Ix = lim Sx = lim x+,
f(Xn)
Иначе получаем противоречие с определениями Ix и Sx. Тогда
любого x > 1 существует xn £ [n — 1, n +1] такое, что
< Ax.
3
f(xn) - /3(хп + -)
< (n + 2)An
Введем в рассмотрение функцию f*(x) = f(x) — [3{х + |) и заметим, что она удовлетворяет равенству (8) и, следовательно, равенству (10).
Положим x = xn — 1 (n — 2 < x < n) и пусть n — 1 < y < n; тогда справедливы неравенства
(2y-l)x(x-l) 2y-l
" + (-X + l)+y{y- 1)X
x( sup |f *(t)| + sup |f *(t)A +
\n-3< t<n-2 n- 2< t<n- 1 /
+ m n f SUP SUP SUP l/^WlV
y(y — 1)(2x — 1) \n—3<t<n—2 n —2<t<n—1 n—1<t<n /
+ "f sup |/*(i)| + sup If (t)|) - (2y " " + 1) + 1)
y Vn —2<t<n—1 n—1<t<n / y(y — 1)(2x — 1)
sup |/*(i)| < — ( sup |/*(t)|+ sup |/*(t)| + sup |/*(t)| +
n—2<t<n—1 n n—3<t<n—2 n—2<t<n—1 n—1<t<n
(2n — 1)n (2n — 1)n
+ (n-2)(2n-5)(n + 3)A"+1 + (п-2)(2п-5Л+Ь
где C1 — абсолютная константа.
Докажем, что существуют положительные константы с и сз такие, что
/ с \ x+a+1
irwi<c3(-) . (14)
Доказательство проведем по индукции. Пусть при x < n неравенство (14) верно; покажем его справедливость при x £ (n, n + 1]. Для этого заметим, что по условию существует положительное c2 такое, что
\ n+1+a
c
2рп + 1 < 2 с2
,n + 1
Тогда
Pn+i+1
(п + 3)Д„+1 = 2(п + 3) ]Г /"У1 з <
^Е —^ttttti— ^2с* Е
n+1+a+i
n+ 1+a+i
n+l + i+f \n+l + i
2 i=1 x
и
|/*(t)|< sup |/*(t)|<£ix
n<t<n+1 П
x( sup |f *(t)| + sup |f *(t)| + sup |f *(t)|) +
\n—3<t<n —2 n —2<t<n—1 n-1<t<n /
oo / \ n+1+a+i
+ 2c2^( , .) +2р„+1<
^ V n + 1 + г/
<-f sup |f(t)| + sup |f(t)|+ sup |f(i)f) +
n \n—3<t<n — 2 n —2<t<n—1 n—1<t<n /
n+ 1+a+i
+ 2c2 V ( ---'
Воспользовавшись индукционным предположением, получаем
/ ч n—3+а+1
|/*(х)|< sup \f*(t)\ < — ( —^Ц- ) +
n<t<n+1 n \n - 3)
/ ч n — 2+a+1 / ч n—1+a+1
+ +
oo / \ n+1+a+i / \ n—3+a+1 oo / \ n+1+a+i
+ 1 + ~ n \n — 3 J + i
i=0 4 ' 4 ' i=0 4
Необходимо показать, что
/ \ n—3+a+1 , , -> oo / \ n+1+a+i
С4С3 / С \ fn\n+a+1 ^ / С \
— U^J +2сЛ~) М^гггй; -C3'
4 y i=0
Рассмотрим каждое слагаемое отдельно. Преобразуем первое слагаемое:
n-3+a+l / ч (f-l)rt~g+"+1
С4С3 / с ^ ^ с4с3 1 V3 ; --1
пуп — 3/ пу ^ — 1
отметим, что
lim 1 + ----= е3.
V f-ly
Тогда
/ ч n—3+а+1
limC4C3/^_\ =0
n^TO n yn — 3/
Следовательно, при достаточно больших n будет выполнено неравенство
n—3+а+1 С4С3 I С \ с3
n V n — 3 / 2
Далее,
/П\n+a+1 ~ / c Xn+l+«+i ,nч n+a+1 ~ , c чп+а+1+i
2c2 (-) eutth) EÜ
i=0 v 7 i=0
/ П \ n+a+1 / c \ n+a+1 1
= 2 c2
. сУ 1 — - '
n 10
Таким образом, для больших n
n+ 1+a+i
Ч7
сз
. n+1 + г У ~ 2
о 4 у
Теорема (А) доказана.
Продолжим доказательство соотношения (2) из основной теоремы. Применим теорему (А) к функции Ф2(х), где
x ж— 1
р(х) = - ( i{t)4> i{x - t)dt А--— í -t - l)dt.
x J x - 1 J
о
Необходимо проверить, что так определенная функция p(x) удовлетворяет условиям теоремы (А).
Заметим, что для любой положительной константы с, начиная с некоторого места, существуют со и ci такие, что
< (-Y < (21V
xxx
Покажем, что
sup \*1(t)*1(x-t)\ = Ol'(-Y). (15)
0<t<x Wxy J
Из определения функции ^i(x) имеем
t / ^ x — t |*i(t)*i(x-t)| <c2 I C1
t / V x — t
Для доказательства (15) достаточно показать, что справедливо неравенство
с2 <fC3^
£ / у х ^ / V х /
или, что то же самое, справедливо неравенство
21п с + £ 1п С! — £ 1п £ + (х — £) 1п ех — (ж — £) 1п(х — £) < х 1п с3 — х 1п х.
Последнее неравенство равносильно следующему:
£ 1п£ + (х — £) 1п(х — £) > 21п с + х 1п сх — х 1п с3 + х 1п х.
Пользуясь выпуклостью функции х 1п х, получаем, что
хх
+ (ж -¿)1п(ж -¿) > 2 — 1п = х 1пх — ж 1п 2.
Если сз > 2с1, то
сз
ж 1п ж — ж 1п 2 > 1п с — ж 1п--1- ж 1п ж,
С1
начиная с некоторого места. Это заканчивает доказательство неравенства (15).
Отсюда делаем вывод, что функция p(x) удовлетворяет условиям теоремы (А). Так как DMx — ^2(x) = — (^(x))2, получаем, что существует константа п такая,
что
3 (г с\x—1\
DMx = E{Mx-m{x)f = щ +-г] + О U-j J,
что окончательно доказывает теорему. Литература
1. Renyi A. On a one-dimensional problem concerning space-filling // Publ. of the Math. Inst. of Hungarian Acad. of Sciences. Vol. 3. 1958. P. 109-127.
2. Ney P. E. A random interval filling problem // Annals of Math. Statist. Vol. 33. 1962. P. 702-718.
3. Dvoretzky A., Robbins H. On the "parking" problem // Publ. of the Math. Inst. of Hungarian Acad. Of Sciences. Vol. 9. 1964. P. 209-226.
4. Ananjevskii S. M. The "parking' problem for segments of different length // Journal of Mathematical Sciences. 1999. Vol. 93. P. 259-264.
Статья поступила в редакцию 27 июня 2013 г.