CC BY
13ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
2010 Математика. Механика. Информатика Вып.2(2)
УДК 531/534
О мемуаре Н.И. Лобачевского по механике
Н. Н. Макеев
Институт проблем точной механики и управления РАН, Россия, 410028, Саратов, ул. Рабочая, 24 nmakeyev@mail.ru
В феврале 2010 г. исполнилось 175 лет публикации мемуара по теоретической механике "Условные уравнения для движения и положение главных осей в твердой системе" [1], автором которого является великий российский математик Николай Иванович Лобачевский (1792-1856), создатель неевклидовой геометрии, названной впоследствии его именем. Публикация этого научного труда имела определяющее значение для последующего развития методов научного исследования проблем динамики твердого тела; она наглядно продемонстрировала эффективность и возможности применения геометрического метода в механике.
Забытая страница истории науки, связанная с научным творчеством Н.И. Лобачевского, во многом поучительна, интересна и заслуживает внимания наших современников.
Ключевые слова: история, механика, Н.И. Лобачевский.
Широко известны выдающиеся научные труды Н.И.Лобачевского в различных областях математики: неевклидовой геометрии, математическом анализе, алгебре. Гораздо менее известна (почти забыта) его новаторская работа по теоретической (рациональной) механике.
Мемуар Н.И.Лобачевского [1] был опубликован в журнале "Ученые записки Московского университета" в 1835 г. Эта работа была издана при его жизни, в период наиболее полного расцвета его творческих сил и таланта, когда он являлся профессором и ректором Казанского университета. Этот мемуар, в отличие от остальных его трудов - единственная работа Н.И. Лобачевского, опубликованная не в изданиях Казанского университета.
Чем объясняется интерес математика Н.И. Лобачевского к механике и связанное с этим появление его мемуара? Можно предположить, что он представлял законы геометрии, свойства наглядных геометрических объектов как отражение свойств движения реальных механических объектов. Так, в частности, он писал: "В природе мы познаем собственно только движение... Все прочие понятия, на-
© Н. Н. Макеев, 2010
пример геометрические, произведены нашим умом искусственно, будучи взяты в свойствах движения..." [2].
Н.И. Лобачевский жил и работал в эпоху, когда в первой трети XIX в. в период, предшествующий публикации его мемуара, в этой области механики появились работы С. Пуассона ("Трактат по механике", т. 1, 2, 1811 [3]), Ж. Бине ("О теории сопряжённых осей и моментов инерции тел", Journal de l’Ecole Polytechnique, 1811, 1813), А. Ампера ("О некоторых свойствах главных осей тел", Paris me'm. Acad. sci., 1821), Л. Пуансо ("Новая теория вращения тел", 1834 [4]). Эта новая для того времени область механики, восходящая к Л. Эйлеру (Mem. Acad. sei. В т. XIV, 1765 (1758). Р. 131-153), раскрывает динамические свойства твердых тел, зависящие от характера распределения в них массы. Она вошла составным элементом в теорию динамики механических систем.
Работая вдали от центров научной математической мысли, Н.И. Лобачевский жил передовыми научными идеями своей эпохи, избирал объектом исследований проблемы, занимавшие умы величайших ученых того времени, таких как Гаусс, Эйлер, Даламбер, Лагранж, предвосхищая открытиями дости-
Знаменитое открытие XIX века
жения своих современников и исследователей прошлого века. В тот период математическая наука в лице Н.И. Лобачевского получила ". великого мыслителя-философа и блестящего искусного аналитика, и геометра-синте-тика, и ученого, глубоко понимавшего тогдашние течения и в области механики .." [5].
Мемуар по механике занимает особое место в ряде других работ Н.И. Лобачевского. Направляющая идея, лежащая в его основе, -применение чисто геометрического метода для решения задач аналитической механики, в частности кинематики, геометрии масс механических систем и твердых тел. Н.И. Лобачевский проводит исследование оригинальным путем, отличным от методов Эйлера, Лагранжа и Пуансо. Он был первым исследователем, открывшим, что ". геометрическое свойство главных осей инерции может быть доказано без помощи Механики и даже Дифференциального Исчисления" [1, полн. собр. соч., т.5, с.365], т.е. чисто геометрическим путем.
Работа Н.И. Лобачевского [1] является оригинальным и глубоко содержательным исследованием, состоящим из двух независимых частей. Первая часть посвящена кинематическим свойствам неизменяемой механической системы, состоящей из конечного числа материальных точек, и содержит вывод основной кинематической теоремы Л. Эйлера, опубликованной им в его знаменитом мемуаре "Открытие нового принципа механики" [6] в 1750 г. Фундаментальная теорема кинематики, доказанная аналитически Л. Эйлером, утверждает, что всякое твердое тело (или неизменяемая механическая система), вращающееся вокруг неподвижной точки, имеет такое же распределение скоростей его точек, как и тело, вращающееся в данный момент времени вокруг некоторой оси, проходящей через неподвижную точку.
Именно эта теорема явилась предметом применения геометрического метода Н.И. Лобачевского, хотя и в несколько иной, лагран-жевой формулировке. Согласно этой формулировке произвольное, бесконечно малое перемещение неизменяемой механической системы является суперпозицией ее бесконечно малого поступательного перемещения и бесконечно малого вращения вокруг некоторой мгновенной оси.
В своем исследовании Н.И. Лобачевский, придерживаясь общей идеи метода Лагранжа [7], вводит предположение о конеч-
ности числа материальных точек механической системы и ее неизменяемости. Такая постановка задачи приводит к замене оператора Лагранжа оператором конечной разности. Это, в свою очередь, приводит в дальнейшем к снятию искусственных предпосылок, содержащихся в выводе Лагранжа [7, рус. пер., т.1, с. 217-229]. Н.И. Лобачевский отмечал: "Лагранж в Аналитической Механике выводит условные уравнения, которые первый дал Эйлер, для движения сплошного твердого тела, полагая бесконечно малые расстояния вещественных точек постоянными и принимая, для простоты решения, тоже постоянным дифференциал одной из трех перпендикулярных друг к другу координат, которыми определяется положение точки в теле" [1, полн. собр. соч., т.5, с.357].
Такой подход позволяет в наиболее общей и полной форме выразить условие неизменяемости исследуемой механической системы. Однако это же обстоятельство одновременно обусловливает и существенные осложнения кинематического анализа. Тем не менее Н.И. Лобачевский провел доказательство теоремы Эйлера, с высоким искусством преодолевая все трудности. Тонкий анализ, глубина замысла, высокая математическая эрудиция были характерной особенностью исследований Н.И. Лобачевского.
Вторая часть мемуара содержит геометрическое доказательство существования трех главных направлений тензора инерции механической системы в данной точке.
Следует отметить, что полную теорию главных осей инерции твердого тела впервые изложил Даламбер в мемуаре [8], где он получил характеристическое уравнение третьей степени, действительные корни которого определяют направления этих осей.
Задачу о нахождении главных направлений тензора инерции Н.И. Лобачевский решает оригинальным способом, отличным от методов Эйлера, Даламбера [8] и Лагранжа [7]. Историческое значение содержания второй части мемуара Н.И. Лобачевского состоит в том, что Н.И. Лобачевский привнес геометрический метод в новый для того времени раздел механики, получивший впоследствии название "геометрия масс". Этот термин впервые введен Гупийером Haton de la Goupil-lie're // Journal de l’Ecole Polytechnique, 1893. T. 37. (См. также [9, с. 15]).
Эта работа Н.И. Лобачевского, занимая
Н. Н. Макеев
особое место в ряде других его работ, органически вписывается в цикл его обширных геометрических исследований и является ярким примером применения геометрии в механике, наглядно иллюстрируя состоятельность и универсальность геометрического метода. Есть основания полагать, что Н.И. Лобачевский был глубоко убежден в существовании неразрывной взаимосвязи геометрии и механики. Более того, ". Лобачевский по своим воззрениям на геометрию, механику . стоял не только на уровне идей таких мировых колоссов, как Лаплас, Лагранж, Пуассон, Ампер, Фурье, Гаусс, но в части, касающейся принципиальной обоснованности геометрии, механики ... он смотрел дальше, чем они: он дал первый ... начало аксиоматического обоснования основ геометрии и евклидовой и неевклидовой, . он думал о таком же строгом обосновании и аналитической механики ..." (Н.Н. Парфентьев) [10, с.12].
Выдающиеся научные труды Н.И. Лобачевского по геометрии и механике имеют непреходящую научную и историческую ценность, составляя часть научного и культурного в целом наследия. Эти труды отражают разносторонность и широту его научных интересов, глубину и оригинальность его замыслов. Его работы " . поражают читателя своей глубиной: почти каждая строка носит на себе следы ... глубоко проникновенного ума автора" [5].
Сравнивая Лобачевского с Коперником, английский математик Уильям Клиффорд писал: "Коперник и Лобачевский ... Каждый из них произвел революцию в научных воззрениях, и обе эти революции имеют одинаково громадное значение - это революции в нашем понимании Космоса" [11]. Как отмечал американский математик Э.Т. Белл: "Это не преувеличение называть Лобачевского Коперником геометрии, так как геометрия есть только часть более широкой области, которую он обновил" [11, с.227].
В эту область составной частью входит
и теоретическая механика.
Список литературы
1. Лобачевский Н.И. Условные уравнения для движения и положение главных осей в твердой системе // Уч. зап. Императ. Моск. ун-та, 1835. Февраль, ч.8. С. 169-190 / Полн. собр. соч. В 5 т. М.; Л., 1946-1951. Т.5, 1951. С.349-378.
2. Лобачевский Н.И. Полн. собр. соч. В 5 т. М.; Л., 1946-1951. Т.2. Геометрия. Новые начала. 1949. С. 158-159.
3. Poisson S.D. Traite' de Me'canique. Paris: Bachelier, Imprimeur - Libraire pour les math., 1833. Vol. 2. 782 p.
4. Poinsot L. The'orie nouvelle de la rotation des corps. Paris, 1834 (2 me éd.: Journal Math, pures et appl., 1851. Vol.16. P.9-130, 289-336).
5. Парфентьев Н.Н. Натурфилософия Н.И. Лобачевского // К 125-летию Казанского гос. ун-та. Казань, 1930. С.33-42.
6. Euler L. De'couverte d’un nouveau principe
de Me'canique // Me'moirés Acad. Roy. Science. Berlin. 1752 (1750). Vol.6.
P.185-217.
7. Lagrange J. Me'canique Analytique. Paris, 1788 / рус. пер.: Лагранж Ж. Аналитическая механика. В 2 т. М.; Л.: ГИТТЛ, 1950. Т.1. 594 с.
8. D’Alembert J. Recherches sur les axes de rotation d’un corps de figure quelconque quin’est anime' par aucune force acce'leratrice // Opusc. Mathem. 1768. Vol.4. P. 1-31.
9. Аппель П. Теоретическая механика. В 2 т. М.: Физматгиз, 1960. Т.2. 488 с.
10. Материалы для биографии Н.И. Лобачевского / под. ред. Л.Б. Модзалевского. М.; Л.: Изд-во Акад. наук, 1948.
11. Белл Э.Т. Творцы математики. М.: Просвещение, 1979. 256 с.
About the memoir of N.I. Lobatschevski on mechanics
N. N. Makeyev
Problems of Precision Mechanics and Control Institute Russian Academy of Sciences Russia, 410028, Saratov, Rabochaya st., 24. nmakeyev@mail.ru
It is description to the history of creation on mechanics, which was made by N.I. Lobatschevski.
H. H. MaKeee
Key words: history, mechanics, N.I. Lobatschevski.
