CC BY
4
О МАГНИТНОМ ПОЛЕ СИСТЕМЫ КОЛЕЦ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
Л.А. Фишбейн, канд. физ.-мат. наук, доцент
Уральский государственный университет путей сообщений
(Россия, г. Екатеринбург)
DOI:10.24412/2500-1000-2023-9-1-289-293
Аннотация. Показано, что производные одинакового порядка по всем пространственным переменным вектора магнитной индукции в центральной точке системы колец Гельмгольца пропорциональны друг другу, т.е. однородность магнитного поля системы одинакова по всем направлениям. Получено разложение проекций вектора магнитной индукции в этой точке до 8 порядка в ряд Тейлора по всем пространственным переменным. Ключевые слова: однородность магнитного поля, кольца Гельмгольца.
В работах [1, 2] было высказано предположение, что при рассмотрении систем соосных идентичных проводников с током (колец) обнуление производных одного порядка в центральной точке систем при разложении магнитной индукции в ряд Тейлора происходит по всем направлениям одновременно. В данной работе мы приводим доказательство этого утверждения для производных до восьмой степени включительно.
Магнитное поле системы колец Гельмгольца
Рассмотрим [2, 3] два соосных симметричных витка (кольца) Гельмгольца с осью симметрии, совпадающей с г, радиусами К, токами I > 0 , находящимися на расстоянии I от центральной точки г = 0. В цилиндрической системе координат проекции вектора магнитной индукции В имеют вид
В = Bzez + Врвр + B^e^, В = ¡В2 + В2 + В1,
Bz(x,y) = Тлй¥(Х,у^ = 2nl(Fmi(X,y) + Fm2(x,y)), Вр(х,у) = -^—¡Т(х, у) = ^(Тт(х,у) + Тт(х,у)),
2nl
2п1
2п1
(1)
Вф (х,у) = 0,В0=В(0,0) =
г2
] 3
1 (г2 + 1)2
J >0,
2^1
В(х,0) =Bz(x,0) =^-v(x),
v(x) = 4
1
+
1
3 ' 3
(г2 + (х+ 1)2)2 (Г2 -(Х- 1)2)2
где ф, р, и 2 — цилиндрические координаты,
^ р
R
Х=ТУ=ТГ=Т
2
v
vf л ■ г2 - у2 - (х + 1)2 ^ . ^(ш1) + (г-у)2 + (х + 1)2Я(ш1)
^(r + y)2 + (x + 1)2 , ^("2)+(rr2--yy)22+((xx:1i))^(^2) ^(r+y)2 + (X-1)2 ,
т;П1(х,у) =
X
^ Л , г2 +у2 + (х + 1)2 Т7Г л
+ 1-f(m1) + (Г-У)2 + (Х + 1)2^(Ш1)
W*,^ =
у V(r + y)2 + (x + 1)2
bv л , Г2 + у2 + (х - 1)2 Т7Г
х - 1 -^(Ш2) + (Г-у)2 + (Х-1)2^(^2)
У
п
2
= /v1-
dp
0 < ш2
2
о
4гу
m2sm2p < 1,
^(г + у)2 + (х-1)2 п
2
Я(т) = j V1 - ^2^in2p dp, 0
4ry
(2)
0 < ш2 =__
(г + у)2 + (х + 1)2 "" _ 2 (г + у)2 + (х - 1)2
< 1.
Предположим, что 52 (х, у) и 5р (х, у) являются достаточно хорошими функциями и могут быть разложены в ряд Тейлора по переменным х и у [4].
Ю п
ап5а(х,у)
fc" "Ч
п
п! п Зхп
п=0 fc = 0
п!
х=0,у=0
Для систем витков (колец) с током имеет место пространственная симметрия [2].
ГАр(х,у) = -5р(-х,у),52(х,у) = 52(-х,у), {5р(х,у) = -5р(х,-у),52(х,у) = 52(х,-у).
Из указанных выше уравнений следует, что
Ю п
С22„'в2пВг(ж,у)
0
п-1
(2п)^ ах2(п-^)ау2^
п=1 fc=0 ^
X
2(п-fc)-.2fc
х=0,
У=0
у ],
В,
'(х,у) = 1?2ПТ1-
С2Г152пВр(х,у)
(2п)! ах2п-(2^+1)ау2^+1
п=1 fc=0 У
(3)
х=0, у=о
х2п-(2^+1)у2^+1,Вр (х,0) = Вр(0,у)
= 0. (4)
Запишем уравнения Максвелла для стационарного магнитного поля в отсутствии токов [5]
dшfl = 0, го*;5 = 0.
В цилиндрической системе координат они имеют вид
v
сю
дВр дВг
дх
я =0-
ду у
1д(уВр) дВ:
ду
+
дх
= 0.
Дифференцируя эти уравнения по соответствующим координатам с учетом выражений (3) и (4) получаем связь между производными одной и той же степени в центральной точке
д2Вп
дхду
д2В,
х=0, у=0
д4Вп
дх3ду
д4В7
х=0, у=0
д6Вп
дх5ду
дх2ду2 д6В7
ду2 1д4В,
1д2В7
х=0, у=0
2 дх2
х=0, у=0
х=0, у=0
дх4ду2
2 дх4 1 д6В7
д4Вп
х=0, у=0
'ду3дх
х=0, у=0
д4В7
х=0, у=0
4
х=0, у=0
2 дх6
д6В,
р
д6Вп
ду5дх
д6В,
х=0, у=0
ду6
5 д6В,
д8Вп
ду5дх3 д8Вп
х=0, у=0
д8В7
16 дх6
х=о/ ду3дх3
у=0
д6В,
ду д6В7
3 д4В7
х=0, у=0
р
х=о,' ду5дх
у=о
х=0, у=о
д6В7
дх2ду4
8 дх4 3д6В7
х=0, у=0
ду5дх3
х=0, У=0
х=0, у=0
дх6ду2 д8В7
1д8В.
дх2дуе
х=0, У=0
х=0, у=0
х=0, у=0
д8В,
р
2 дх8 5 д8В.
х=0,' ду3дх5
У=0
д8Вр
16 дх8
х=0,' ду7дх
У=0
ду
х=0, у=0
х=0, у=0
х=0, у=0
5 д6В7
8 дх6
х= У
0,
х=0, у=0
16 дх6
д8В7
дх4ду4 д8В.
х=0, у=0
3 д8В7
(5)
х=0, у=0
ду8
8 дх8 35 д8В7
х=0, у=0
128 дх8
и т.д. Из данной системы уравнений следует, что все производные одной и той же степени в нуле пропорциональны друг другу. Последнее означает, что они обнуляются одновременно. Отметим, что из (3) следует, что
дрВ2(х,у)
дхР
dpBz(x, 0)
х=0, у=0
dxP
х=0
Тогда, по крайней мере, для g = z,p и р = 4,6,8 (0 < к < р) мы имеем
дрВ3(х,у)
дхкдур
-к
= const
dpBz(x,y)
х=0, у=0
дхР
х=0, у=0
= const
dpBz(x, 0)
dxP
х=0
Для системы двух колец (1)
dnBz(x, 0)
dxr
х=0
^(2) =--■у'2.
3
4
г2 -4
(г2 + 1)2
-, р(4) = —г2
45 г4- 12г2 + 8
4
11
(г2 + 1)Т
dxr
,v(6) = -
х=0
315 „ 5г6 - 120т4 + 240г2 - 64
4
15
(г2 + 1)Т
0
v
Г
Гял 14175 _ 7г8 - 280г6 + 1120г4 - 896г2 + 128 у(8) =—-—г2--,ит.д.
2 (г2 + 1)"2"
Чем с более высокой степени начинаются ненулевые производные в разложении в ряд Тейлора для магнитной индукции, тем более однородным является магнитное поле в центральной области. Для системы из двух колец занулить можно только вторую производную. Пусть втораяпервая ненулевая производная будет четвертая. Потребуем, чтобы вторая производная
a25z(x,y)
3x2
d2Bz(x, 0)
х=0, У=0
dx2
= 0.
х=0,
Т огда
г = 2.
Т ак как первая ненулевая производная в разложении является производной четверной степени, то такие системы называют системами 4 степени [1].
В этом случае мы можем представить разложение 52(х, у) и 5р(х, у) в области пространства между витками (кольцами) -1<х<1,0<у<1в следующем виде:
Я2(х,у) = Я0[1 + а(8х4 - 24х2у2 + 3у4) + р(16х6 - 120х4у2 + 90х2у4 - 5у6)
+у(128х8 - 1792х6у2 + 3360х4у4 - 1120х2у6 + 35у8) ...], Вр(х,у) = 5о[4а(-4х3у + 3ху3)
+ 6в(-8х5у + 20х3у3 - 5ху5) (6)
+8у(-64х7у + 336х5у3 - 280х3у5 + 35ху7) ...],
где
d4Bz(x, 0)
_ ц/ 4 _ B0^=2 = 3 , а = 1 52
dx4
d6Bz(x, 0)
r=2 х=0
dx6
8 • 4! Я
38^z(x,y)
3x8
Y =
x=0,
У=0
128 • 8! Bn
= 117•10
0
-7
= —9 • 10-3,p =
r=2 x=0
16 • 6! B
= 1232 • 10-6,
0
Библиографический список
1. Caprari R.S. Optimal current loop systems for producing uniform magnetic fields // Meas. Sci. Technol. - 1995. - №6. - P. 593.
2. Fishbein L. On the possibility of creating a magnetic field with a given degree of spatial inhomogeneity // Rev. Sci. Instrum. 92, 064705 (2021). DOI: 10.1063/5.0040871.
3. Смайт В. Электростатика и электродинамика. - М.: Иностранная литература, 1954. - 604 с.
4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. - М.: Наука, 1973. - 832 с.
5. Савельев И.В. Курс общей физики: Учебное пособие. В 3-х тт. Т. 2. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. - СПб.: Лань, 2006. - 496 с.
ABOUT THE MAGNETIC FIELD OF THE HELMHOLTZ RING SYSTEM
L.A. Fishbein, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor Ural State University of Railway Communications (Russia, Yekaterinburg)
Abstract. It is shown that derivatives of the same order with respect to all spatial variables of the magnetic induction vector at the central point of the system of Helmholtz rings are proportional to each other, i.e. the uniformity of the magnetic field of the system is the same in all directions. An expansion of the projections of the magnetic induction vector at this point up to the 8th order into a Taylor series in all spatial variables has been obtained. Keywords: uniformity of magnetic field, Helmholtz rings.
