CC BY
35
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2016 Математика и механика № 1(39)
УДК 515.12
Б01 10.17223/19988621/39/4
Н.Н. Трофименко
О ЛИНЕЙНЫХ ГОМЕОМОРФИЗМАХ ПРОСТРАНСТВ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ НА «ДЛИННЫХ ПРЯМЫХ»
Доказывается, что для начального регулярного несчетного ординала т и произвольных начальных ординалов а , р, а<р<т, пространства непрерывных функций Ср (¿т.а) и Ср (¿т.р), заданные на «длинных прямых» Ьта и ¿т.р , не являются линейно гомеоморфными.
Ключевые слова: «длинные прямые», линейные гомеоморфизмы, сопряженное пространство, ординалы, начальный ординал, регулярный ординал, топология поточечной сходимости, компактность.
Рассматриваются пространства непрерывных функций С(Ьа), заданные на «длинных прямых» Ьа, где а - произвольный ординал. Пространства непрерывных функций С(Ьа) наделяются топологией поточечной сходимости и обозначаются Ср (Ьа). «Длинные прямые» - это частный случай линейно упорядоченных топологических пространств. Пространства непрерывных функций, заданные на линейно упорядоченных топологических пространствах, и их изоморфная классификация рассматривались во многих работах, например в [2-6].
Определение 1 . Пусть а - произвольный ординал. Рассмотрим линейное упорядочение < на множестве Ьа =[1, а]х[0,1), определенное так: (ц1,^ )<(ц2,t2), если < ц2 или = ц2 и ^ < Будем называть «длинной прямой» множество Ьа с топологией, порожденной линейным упорядочением <.
Заметим, что топологическое пространство Ьа является компактным.
Будем говорить, что точка х = t) е Ьа конфинальна ординалу п, если в интервале ((1,0), Г)) существует конфинальное подмножество, подобное отрезку ординалов [0, п).
Напомним, что ординал а называется начальным, если а - наименьший среди всех ординалов X, таких, что |Х| = |а|. Начальный ординал а называется регулярным, если не существует X < а, конфинального а.
Основным результатом работы является следующая теорема.
Теорема 1. Пусть т - регулярный начальный несчетный ординал и а, р начальные ординалы, такие, что а < р < т . Тогда пространства Ср (£т.а) и
Ср () не являются линейно гомеоморфными.
Для доказательства этой теоремы нам понадобится следующие вспомогательные утверждения.
Предложение 1. Пусть а < т . Если точка х е Ьт. а конфинальна т, то х = (т • (у +1), 0), 0 < у < а , или х = (т • т,0), если а = т .
Доказательство. Пусть а < т и х = (%, t). Если 0 < t < 1 или t = 0, а % - непредельный ординал, то точка х конфинальна ю. Рассмотрим точки вида х = (|,0), где % - предельный ординал. Согласно [8], ординал % можно представить в виде % = т • п + р, где 0<р<т, 0<п<а или % = т• а . Если р>0, то ординал % конфинален ординалу р<т и, следовательно, х конфинально ординалу р . Если р = 0 и % = т • п, где п - предельный ординал, то % конфинален п, где П<а<т . Если п - непредельный ординал, т.е. п = У +1, то точка х = (т • у + т,0) конфинальна т. Итак, множество точек, конфинальных т, это в точности все точки вида (т • (у +1), 0), 0 < у < а .
Пусть теперь а = т. Аналогично доказывается, что если точка х <(т-т,0) и конфинальна т, то х = (т-(у +1) ,0). Но в этом случае точка х = (т-т,0) также конфинальна т. ■
Га ={(т-(у +1),0),у е [0,а)} , если а<т , Гт ={(т-(у + 1),0),уе[0,т)}и{(т^т,0)} ,
Очевидно, что все непрерывные функции на Ьт,а принадлежат Мт,а . Кроме того, пространству Мта принадлежат те разрывные функции у , для которых любого семейства функционалов мощности меньшей |т| недостаточно для разделения у и точек пространства Ср (Ьт, а). Далее покажем, что пространство Мт, а - это
нейно гомеоморфного пространству с0 (Га), т.е. верно следующее утверждение. Предложение 2. Пространство Мт, а линейно гомеоморфно пространству
Докажем, что отображение Т является инъективным. Пусть (х1, у1), (х2, у2 )е Ср (Ь) х с0 (Га). Предположим, что
Т (X1, У1 ) = х1 + у1 = х2 + у2 = Т (х2, У2 ),
Положим
прямая сумма пространства Ср (Ьт , а) и некоторого подпространства в КЬт а , ли-
т.е. х - Х2 = У 2 - у1. Поскольку (у2 - у ^ а \га = 0, то ( - х2 )\ьт. а \ Га = Так как функция х1 - х2 является непрерывной, а множество Ьт.а \ Га является всюду плотным в Ьт. а , то х1 - х2 = 0 . Следовательно, у2 - у = 0 , т.е. (х1, у1) = (х2, у2).
Докажем, что Т (СР (Ь) х С0 (га))= МИт.Иа . Пусть ( л; У )е СР (Ь) х С0 (Га ) .
Рассмотрим множество функционалов {/}.е/ е Ьр (¿т. а), для которого |/| <|т|.
U suPP f
< . Поскольку ординал т
Так как для любого г е I ^ирр / | <К0, то
ге1
неконфинален никакому ординалу, меньшему чем т, то для каждого у < а существует ординал 5у, т • у < 8у < т • (у +1), такой, что
((5у,0),(т• (у + 1),0))П^(Usupp f j = 0 . Рассмотрим функцию
z(t) = iУ(• (Y + 1),0), если t e((5y,0),(• (y + 1),0)];
[0, в остальных случаях. Нетрудно видеть, что функция z, а значит, и х + z являются непрерывными на LT • а . Поскольку функции х + z и х + y отличаются только на множестве
U (Sy ,0,(т • (у +1),0), то f (х + z ) = f (х + у) для любого i е I. Следователь-
уе[0,ша]
но, T(х, у) = х + у е Mтa .
Пусть теперь z e Мт. a . Покажем, что функция z может иметь разрыв только в точках из множества Га . Действительно, если точка разрыва t0 , то существует множество A , \Л\ < |т|, такое, что sup ц = t0. Рассмотрим множество функ-
цеЛ
ционалов {8ц - } a . Если функция z имеет разрыв в точке t0, то существует е0 > 0, такое, что для любой окрестности Ut найдется це Л П Ut , для которого |z (ц)- z (t0)| > е0, то есть |(8ц -8^ )(z)| > е0. Если же функция х е Cp (LT.a), то существует окрестность V^ , такая, что для любого ц е Vti>
Iх(ц)-х(t0^ =|(8ц -8t0 )(х^<е0. Это противоречит тому, что z е Мт. a . Таким образом, любая функция z е Мт. a непрерывна на множестве LT. a \ Га.
Рассмотрим функцию z|((т.у0)(т. (y+i)0)) . Поскольку точка (т(у+1},0) не конфи-нальна ю, то существует ординал пуе(т-у, т.(у +1)), такой, что
(,0).(у+1},0)) " z (К ,0)) . Определим функцию
z(t), если t гГа;
z(t) =
| z(nY), если t = т • (у +1).
Нетрудно видеть, что функция £ непрерывна на Ьт , а иг - £ Ь \Г = 0. Покажем, что (г - £)|Г е с0 (Га). Предположим, что для некоторого е> 0 существует последовательность {(т • (у„ +1),0)}= сГа такая, что
|(£ - £)((т^ (у„ + 1),0))|>8 . (3)
Поскольку множество ьт а является компактным, то для множества {(т • (уп +1), 0)}= с Га существует предельная точка х = (%,t). Так как множество Га дискретное, то х = (%, t)^Га и, значит, (г - £)(х) = 0. Так как точка х = (%,t) является предельной для {(т • (уп +1),0)}= с Га , то в силу неравенства (3) получаем, что функция х - £ является разрывной в точке х, что противоречит тому, что функции £ и £ непрерывны во всех точках х гГа . Следовательно,
£ = £ + (£ - £ ) = Т (£ (£ - £ ^га)е Ср (Ьт- а ) х С0 (Га).
Таким образом, Т (Ср (Ь) х с0 (Га)) = Мт, а. Легко проверить, что отображения Т
и Т- являются непрерывными. Заключаем, что пространства Мта и Ср (Ьт • а ) х о0 (Га) являются линейно гомеоморфными. ■
Доказательство теоремы 1. Доказательство теоремы проведем методом от противного. Предположим, что существует линейный гомеоморфизм Ф пространства Ср (Ьт, р) на пространство Ср (Ьт, а).
Поскольку пространства Ср (Ьт, а) и Ср (Ьт , р) всюду плотны в пространствах
Ж.Ьта и ЖЬтр соответственно, то линейный гомеоморфизм Ф может быть продолжен до линейного гомеоморфизма Ф пространства Ж.Ьр на пространство
[1, с. 654].
Известно [1], что сопряженным к пространствам Ср (Ьт, а) и Ж т а является пространство Ьр (Ьт , а), состоящее из функционалов вида
/ = р • + р2 • \ + "• + рп • \ ,
где рк е Ж\{0} и (х) = х(^) для любого х е Ср (Ьт , а), к = 1,...,п Множество точек {t1,...,»п}с Ьт, а называется носителем функционала / и обозначается вирр /.
Покажем, что
Ф(Мт, р)= Мт • а . (2)
Пусть функция у е Мт • р. Рассмотрим произвольное семейство функционалов ^^ }ге/ е Ьр (Ьт,а), где |/| < |т|. По определению множества Мт,р для семейства функционалов {/}.е/ = {Ф*gi} е Ьр (Ьт р) существует непрерывная функция
x е Cp (ZT.p), такая, что
(Ф * g )(x ) = (ф * g )( y ) для любого i е I. Отсюда, по определению отображения Ф*: Lp (L. а) ^ Lp (L■ р) полУчaем, что
gi ) = gt (®y)
для любого i е I. Поскольку функция Ox е Cp (LT . а), то функция Oy е MT . а . Таким образом, Ф(MT . р) сMT . а . Аналогично доказывается обратное включение, если в доказательстве вместо отображения Ф * рассмотреть отображение
(Ф *)-1 : КLt р ^ Ка . Из предложения 1 получаем, что
Mт . а = Ф(Mт.в) ~ Ф(Cp (LT.p)xc0 (Гр)) ~ ~ Ф(Cp L в))Ф(о (Гв)) ~ Cp (т<х)*Ф( (Гв)) . С другой стороны,
Mт . а ~ Cp (L, а)* Со (Га) .
Отсюда, учитывая, что все дополнения к пространству Cp (LT. а) в пространстве MT . а являются линейно гомеоморфными, заключаем, что
Со (Га)~ Ф(Со (Гр)) ~ Со (Гр) . Но это невозможно [7], поскольку |а| < |р|, а значит,
w (со (Га)) = |Га| = KI <К| = |Гр| = w (со (Гр)) . ■
ЛИТЕРАТУРА
1. ЭнгелькингР. Общая топология. М.: Мир, 1986, 752 с.
2. Bessaga C, Pelczynski С. On isomorphic classification of spaces of continuos functions // Studia Math. 19бо. V. 19. P. 53-62.
3. Semadeni Z. Banach spaces non-isomorphic to their Cartesian product // Bulletin of the Polish Academy of Sciences Ser. Math. Stron. et Phys. 19бо. V. 8. P. 81-84.
4. Гулько С.П. Оськин А.В. Изоморфная классификация пространств непрерывных функций на вполне упорядоченных бикомпактах // Функциональный анализ и его приложения. 1975. Т. 9. № 1. С. 61-61.
5. Кисляков С.В. Изоморфная классификация пространств непрерывных функций на ординалах // Сиб. мат. жур. 1975. Т. 16. С. 293-3оо.
6. Kalenda O. Note on Markushevich bases in subspaces and quotients of Banach spaces // Bulletin of the Polish Academy of Sciences. Mathematics. 2оо2. V. 5о. No. 2. P. 117-126.
7. Архангельский А.В. О линейных гомеоморфизмах пространств функций // ДАН СССР. 1982. Т. 264. № 6. С. 1289-1292.
8. Куратовский К., Мостовский A. Теория множеств. М.: Мир, 197о. 416 c.
Статья поступила 25.о1.2о15 г.
Trofimenko N.N. ON LINEAR HOMEOMORPHISMS OF SPACES OF CONTINUOUS FUNCTIONS ON «LONG LINES»
DOI 10.17223/19988621/39/4
In this paper, we prove that for the elementary regular ordinal and arbitrary ordinals a , p,
a<p<t, the spaces of continuous functions Cp (LT . a) and Cp (LT .p), defined on the "long
lines" LT. a and LT. p , are not linearly homeomorphic.
Keywords: «long lines», linear homeomorphisms, dual space, ordinals, initial ordinal, regular ordinal, topology of pointwise convergence, compactness.
TROFIMENKO Nadezhda Nikolaevna (Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation) E-mail: trofimenko@sibmail.com
REFERENCES
1. Engel'king R. Obshchaya topologiya. Moscow, Mir Publ., 1986, 752 p. (in Russian)
2. Bessaga C., Pelczynski S. On isomorphic classification of spaces of continuos functions. Stu-dia Math, 1960, vol. 19, pp. 53-62.
3. Semadeni Z. Banach spaces non-isomorphic to their Cartesian product. Bulletin of the Polish Academy of Sciences Ser. Math. Stron. et Phys., 1960, vol. 8, pp. 81-84.
4. Gul'ko S.P. Os'kin A.V. Izomorfnaya klassifikatsiya prostranstv nepreryvnykh funktsiy na vpolne uporyadochennykh bikompaktakh. Funktsional'nyy analiz i ego prilozheniya, 1975, vol. 9, no. 1, pp. 61-61. (in Russian)
5. Kislyakov S.V. Izomorfnaya klassifikatsiya prostranstv nepreryvnykh funktsiy na ordinalakh. Sib. mat. zhurn., 1975, vol. 16, pp. 293-300. (in Russian)
6. Kalenda O. Note on Markushevich bases in subspaces and quotients of Banach spaces. Bulletin of the Polish Academy of Sciences. Mathematics, 2002, vol. 50, no. 2, pp. 117-126.
7. Arkhangel'skiy A.V. O lineynykh gomeomorfizmakh prostranstv funktsiy. DAN SSSR, 1982, vol. 264, no. 6, pp. 1289-1292. (in Russian)
8. Kuratovskiy K., Mostovskiy A. Teoriya mnozhestv. Moscow, Mir Publ., 1970. 416 c. (in Russian)
