О линейной независимости некоторых функций над полем рациональных дробей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика к Математическое

моделирование

УДК 511.361

Ссылка на статью:

// Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. №4. С. 1-12.

Б01: 10.7463/шаШш.0415.0817328

Представлена в редакцию: 20.08.2015 © МГТУ им. Н.Э. Баумана

О линейной независимости некоторых функций над полем рациональных дробей

Л ^

Иванков П. Л.1'

[email protected] 1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

В настоящей работе изучается линейная независимость гипергеометрических функций, продифференцированных по параметру, причем этот параметр входит как в числитель, так и в знаменатель общего члена соответствующего степенного ряда. Установлено условие (в некоторых случаях являющееся необходимым и достаточным) линейной независимости таких функций, которое весьма удобно для проверки в конкретных случаях. Результаты получены с помощью вычисления некоторых определителей, которые естественным образом возникают в связи с рассматриваемыми задачами. Доказанные теоремы в дальнейшем можно будет использовать для получения различных утверждений об арифметической природе значений соответствующих функций.

Ключевые слова: обобщенные гипергеометрические функции; дифференцирование по параметру; линейная независимость над полем рациональных дробей

Введение

Для получения результатов об арифметических свойствах значений гипергеометрических функций часто приходится предварительно устанавливать линейную независимость таких функций над полем рациональных дробей. При этом обычно рассматриваются не только сами функции, но и их производные (иногда также производные по параметру). В случае отсутствия производных по параметру упомянутая проблема линейной независимости рассмотрена в [1]. Продифференцированные по параметру функции изучаются в [2]. Результаты об алгебраической независимости таких функций (что необходимо для применения общих теорем из [3, гл. 3]) получены в работах [4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13]. Доказанные в перечисленных работах теоремы не позволяют установить линейную независимость функций, фигурирующих в теоремах 1 и 2 настоящей работы.

1. Результаты

Пусть ах, ..., аг, в\, ..., вт, Ах,..., А^, в — комплексные числа. Положим

а(х) = (х + ах)... (х + аг), Ь(х) = (х + вх)... (х + вт),

где

г ^ т. (1)

Также считаем, что

г

а(х) Ъ(х) П(х + Ак + в)(х + Ак) = 0 при х = 1, 2,...; (2)

к= 1

а — Хк — вз, Хк + 9 — вз = 0,1, 2,... при г = 1,...,г, 3 = 1,... ,т, к = 1,...,Ь. (3) Обозначим

3-1

Хз (и) = П(У + в), 3 = 1,...,u, и = т +1, 1=1

и рассмотрим при к = 1, ..., Ь, 3 = 1, ..., и функции

а(х)(\к + 9 + х)

V=0 х=1

а также функции, полученные из них дифференцированием по параметру Хк:

Ркоз (г) = £ ^хз (V) п у/;;: + г, (4)

^ Ъ(х)(\к + х)

г ( \ ^ V ( МТ а(х) д1к А Ак + 9 + х

Рк1к3 (г) = £г Хз м П ах щ П -А++Г+-, (5)

к = 1, . . . , Ь, 1к = 0, 1, ..., тк — 1, 3 = 1, ..., и,

где т1, . .., тг — некоторые натуральные числа.

Теорема 1. Пусть выполнены условия (1) и (2). Совокупность функций

1, Гк1кз (г), к = 1, ..., Ь, 1к = 0,...,тк — 1, 3 = 1,...,и, (6)

линейно независима над С(г) если выполняется условие (3), а также условие

9,Ак1 — Ак2 £ кг,к2 = 1,...,Ь, кг = к2. (7)

Аналогичная теорема справедлива и в однородном случае. Теорема 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1 и пусть

Ъ(0) = 0. (8)

Тогда для линейной независимости функций (5) над С (г) достаточно, чтобы выполнялись условия теоремы 1.

2. Вспомогательные утверждения

Для доказательства сформулированных теорем нам потребуется ряд вспомогательных утверждений. Рассмотрим следующий определитель (п — некоторое натуральное число):

А-,

, /т- а(х)(Ак + 9 + х) Хз(V — «Ш

х=1

Ъ(х)(Ак + х)

, (9)

к=1,...,г, в=о,1,...,п, з=1,...,и v=N2,N2+1,...,N2+Nl-1

где N = иЬ(п + 1), N = М1/Ь. Строки определителя расположены в порядке возрастания V, столбцы — в порядке возрастания к, при равных к — в порядке возрастания в, при равных к и в — в порядке возрастания 3.

Лемма 1. Имеет место равенство А1 = А1А2, где

N2 +N1 — 1 V —п V 1

А1 = П П а(х) П ш, (10)

V=N2 х=1 х=1 Ъ(х)

А

2=

Якзв^)

к=1,...,г, в=0,1,...,п, з=1,...,и ' v=N2,N2+1,...,N2+N1 — 1

V—п V

Бы, = П(Ак + 9 + х)П , (11)

х=1 х=1 Ак + х

«—1 п—в

ОЫзз^) = Хз(V — в) П Ъ(V — х)^ + Ак — х) П а(V — п + х)^ + Ак + 9 — п + х). (12)

х=0 х=1

Доказательство. Напишем очевидные равенства

( а(х)<Л + 9 + х) I Гр I ) П 1

к = 1,...,Ь, в = 0, 1,...,п, 3 = 1,...,и, V = М2,М2 + 1,...,М2 + N — 1.

Если заменить каждый элемент определителя А1 на правую часть соответствующего равенства и вынести из каждой строки общий множитель, мы получим требуемое. Лемма доказана.

Пусть

Аз

в—1

) = Хз (V

Якз-з к=1,...,г, в=0,1,..,п,3=1,..,и , ЯЦз^) = Хз (У — вШ Ъ(V — х) (У + Ак — х).

v=N2,N2+1,...,N2+Nl — 1 х=0

Лемма 2. Имеет место равенство А2 = А2 А3, где

п—1(( г т г / г т \ в

А2 = ПИ (9 — в) ПП (а — вз — «П П П(а — Ак — в) П (Ак + 9 — вз — «П ) . (13)

в=0 \\ ¿=1 з=1 ) к=1\ ¿=1 з=1 ) )

Лемма доказывается так же, как и лемма 1 в [14, с. 193].

Лемма 3. Существуют числа 1икзза, такие, что при всех допустимых значениях индексов к, 3, в тождественно по V выполняется равенство

ив +з 1 а— 1

)= Е з П (V + Ак — х), (14)

а=0 х=0

причем т;зв,ив+з—1 = 1.

Утверждение леммы очевидно.

Лемма 4. Имеет место равенство А3 = А 4, где

а-1

А

4=

Б^Ц (V + А; — х)

х=0

к=1,...,г,а=0,1,...^2 — 1 V=N2,N2+1,...,N2+Nl —1

Доказательство. Заменим множитель ), входящий в соответствующий эле-

мент определителя Д3, правой частью (14). Зафиксируем к и из каждого столбца начиная с последнего (при данном к) вычтем линейную комбинацию предыдущих столбцов. Коэффициенты этой линейной комбинации, очевидно, можно подобрать так, чтобы от многочлена ) остался лишь старший член. Выполним это для всех столбцов, отвечающих выбранному к, а затем и для всех остальных к. В результате получим

Д3

«8+7-2 П (V + Ак - х)

ж=0

к=1,...,г, .5=0,1,...,«,, .7=1,...,«

Отсюда вытекает утверждение леммы. Рассмотрим определитель

Д 5

N2-^-1 ст-1

^к^ П (V + Ак + 0 - п + х) Л (V + Ак - х)

х=1 ж=0

к=1,...,4,ст=0,1,...,М2-1 ^=М2,М2 + 1,...,М2+М1-1

(15)

Лемма 5. Имеет место равенство

Д 5 = АзД

3 Д4,

(16)

где

^N2-1

Аз = П (0 + N2 - п - х)^-х

(17)

. х=1

Доказательство. Вычтем из первого столбца определителя Д5 его второй столбец и вынесем за знак определителя общий множитель 0 + М2 - п - 1, входящий во все элементы преобразованного первого столбца. Затем из второго столбца вычтем третий (не забыв после этого вынести за знак определителя общий множитель) и т.д. Повторяя указанные действия требуемое число раз, можно добиться того, чтобы столбцы, отвечающие к = 1, не содержали скобок, в которые входит 0. Очевидно, что этого же можно добиться и для остальных значений к. В результате мы придем к равенству (16). Лемма доказана.

Лемма 6. Имеет место равенство

Д 5 = А4 А5 Д 6 ,

(18)

где

г N2-1 2^-га-ст-1 N1-1

А = ПП П (Ак + 0 + х), А5 = П (0 + N2 - п -

к=1 <г=0 х=1 х=1

Д

6=

П

1

,=1 Ак + х

к=1,...,г,о-=0,1,...^2-1

(19)

г

Доказательство. Используя (11) и (15), запишем определитель Д5 следующим

образом:

Д.5

V—«,+N2 — а— 1 V—а 1

п (А* + в + х) П

х=1

Х=1 А* + х

*=1,...,Ь,а=0,1,...^2 —1 v=N2,N2+1,...,N2+Nl —1

Из столбца, отвечающего паре (к, а), можно вынести за знак определителя множитель

2М2-п—а—1

П (А* + в + х). Сделаем это. В результате получим

Х=1

Д. = Ад

V—N2 V—а

П (А* + в + 2^2 - п - а - 1 + х) П

Х=1

1

=1 Ак + х

*=1,...,Ь,а=0,1,...^2 —1 v=N2 ,N2 + 1 ,...,N2 +N1 — 1

Затем вычтем из последней строки получившегося определителя предпоследнюю строку; тогда за знак определителя можно вынести общий множитель в + N — п — 1, входящий во все элементы преобразованной последней строки. Эту же операцию выполним с предпоследней строкой и т.д. Ясно, что таким способом можно добиться того, чтобы за знак определителя были вынесены все множители, содержащие в. В итоге мы получим (18). Лемма доказана.

Лемма 7. Имеет место равенство Д6 = ±А6 Д7, где

1

А

Ь N2 — 1 N2—а

п п п А + х

*=1 а=0 х=1 А* + х

(20)

Д7

1

.Д Ак + а + х

*=1,...,Ь,а=1,...^2

V=0,1,...,^ —1

Доказательство. Вынесем из каждого столбца определителя Д6, отвечающего

N2—а 1

паре индексов (к, а), общий множитель П -т-. В результате (после соответствующей

х=1 Л* + X

перестановки столбцов) получим требуемое утверждение. Лемма доказана.

Лемма 8. Справедливо равенство Д7 = ±А7П, где

N1

А7

пп

1

*=1 а=1 А* + а + х'

П = П (А* + а - А* - а');

(21)

(к, а) У (к', а'), если к > к', или если к = к' и а > а'; индексы принимают все допустимые значения: к, к' = 1, ..., ¿, а, а' = 1, ..., Ж2.

Доказательство. Умножим столбец (к, а) определителя Д7 на П ^=1—1 (А^ + а + х). В результате получим определитель Вандермонда, значение которого хорошо известно. Лемма доказана.

Из доказанных утверждений следует, что

А1А2А4А5А6А7П

Д1 =

Аз

(22)

где множители в правой части определяются равенствами (10), (13), (17), (19)—(21). Заметим, что при выполнении условий теоремы 1 все числа А1, . .., А7, П отличны от нуля. Следовательно, отличен от нуля и определитель Д1.

3. Доказательства теорем

Рассмотрим теперь определитель

а(х)(А'1к + 9 + х)

А8

V — в

Хз(и — в) П Ъ(х)(Ак1к + х)

к=1,...,г, 1к=0,1,...,Тк — 1, в=0,1,...,п, з=1,...,и v=N2,N2 + 1,...,N2+Nз —1

где Т = т1 +... + тг, N3 = иТ(п +1). Расположение строк такое же, как и у определителя (9), а столбцы расположены в порядке возрастания к, при равных к — в порядке возрастания 1к, при равных к и 1к — в порядке возрастания в. При совпадении к, 1к и в столбцы располагаются в порядке возрастания 3. Для определителя А8 можно записать аналог равенства (22):

А* А* А* А* А* А*0*

А8 = ± 1 2 4 . 5 6 7 . (24)

*3

Правая часть здесь без труда определяется с помощью вышеизложенного; выпишем лишь 0*:

0* = П (А'1к + а — Акп'у — а'), (25)

(к,1к,а)У(к',1'к, ,а')

где к, к' = 1, ..., Ь, 1к = 0, 1, ..., тк — 1, ¡'к, = 0, 1, ..., тк/ — 1, а, а' = 1, ..., Ж2; соотношение (к, 1к, а) У (к', I'/, а') считается выполненным, если к > к' или если к = к' и 1к > ¡'к, или если (к, 1к) = (к', 1'к/) и а > а'.

На определитель А8 при к = 1, ..., Ь, 1к = 0, 1, ..., тк — 1 подействуем оператором Бк1к, который состоит в том, что этот определитель дифференцируется М2[к раз по переменной Ак1к и затем эта переменная заменяется на Ак. После выполнения всех таких действий в левой части получим определитель

Ая

, .V— а(х) д1к ^ А; + 9 + х Хз (У — в)П^"т тттггП

=1 Ъ(х) дА1кк х=1 А; +

х

к=1,...,г, 1к =0,1,...,Тк — 1, в=0,1,...,п, з=1,...,и v=N2,N2+1,...,N2+Nз —1

с ненулевым коэффициентом (этот коэффициент нетрудно определить, но он нам не понадобится). Для того чтобы доказать последнее утверждение, надо внимательно проследить за действием оператора Бщ. Пусть к = 1, 1к = 0; после применения оператора Б10 в первых Ы2 столбцах определителя А8 надо А10 заменить на А1. Применяем теперь оператор Б11. Для этого в следующей группе из М2 столбцов надо выполнить М2 дифференцирований и заменить А11 на А1. Из правила дифференцирования определителя следует, что в результате образуется сумма М2\ одинаковых определителей, у которых первые 2М2 столбцов будут такими же, как и у определителя А9, а прочие столбцы останутся без изменений (в результате применения оператора Б11 будут появляться и другие определители, но все они равны нулю, так как содержат одинаковые столбцы). Рассуждая и дальше таким же образом, получим необходимое утверждение. Подробное доказательство (с использованием индукции) мы не приводим, так как оно несложное и в то же время довольно громоздкое.

В правую часть (24), после того, как применен оператор Д10, будет входить множитель (Лц — Л1)^2; показатель степени здесь определяется тем, что а и а' из правой части (25) пробегают множество значений 1, ..., Очевидно, что, применяя оператор Д11, все дифференцирования надо «потратить» на уничтожение указанного множителя, так как если дифференцировать что-то другое, то после замены Л11 на Л1 все выражение обратится в нуль. И здесь громоздкое, но очевидное рассуждение по индукции показывает, что (при выполнении условий теоремы 1) правая часть будет отлична от нуля после применения всех операторов , к = 1, ..., ¿, = 0, 1, ..., т* — 1. Мы видим, суммируя все вышесказанное, что Д9 = 0. Заметим, что аналогичные рассуждения использованиы в [15] (лемма 15.7 на с. 125). При желании на основании наших рассуждений можно было бы получить и явное выражение для определителя Ад.

Отличие определителя Ад от нуля при выполнении условий теоремы 1 позволяет доказать достаточность этих условий для линейной независимости над С (г) функций (6). В самом деле, пусть существует нетривиальный набор многочленов Р0(г), Рыкj(г), для которого линейная комбинация

Ь тк — 1 и

Ро(г) + ЕЕЕ Р^" (г)^ j (г) (26)

*=1 1к=0 j=1

тождественно равна нулю. Выберем п больше степени многочлена Р0(г). Тогда, если

п

рк1к j(г) = Е №к ^ «=0

то коэффициенты удовлетворяют системе линейных однородных уравнений

Ь тк — 1 и п V—«

а(х) д 1к ^ Л* + в + х

Е Е ЕЕр«к^^— в) П ттхт дЛГк П Л, + х =0,

*=1 1к =0 j=1 «=0 х=1 т(х) дЛ* х=1 Л* + х

V = Ж2, N + 1, ..., N + N — 1, а это невозможно, так как определитель Ад этой системы отличен от нуля. Тем самым теорема 1 доказана.

При доказательстве теоремы 2 следует учесть специфику однородного случая (условие (8)). В данном случае требуется доказать, что отлична от тождественного нуля линейная комбинация вида (26), в которой отсутствует многочлен Р0(г). Рассуждения здесь вполне аналогичны тем, с помощью которых была доказана теорема 1. Подробно рассмотрим лишь формулировку аналога леммы 1. Сначала напишем равенство (9). В случае теоремы 2 отличие лишь в том, что индекс V пробегает значения 0, 1, ..., N — 1. Произведения, у которых V — ^ < 0 следует при этом заменить нулями (при V = в произведения считаются равными единице). В силу условия (8) утверждение аналога леммы 1 останется в силе, если положить

п—1 п—V 1 N1 — 1 V—п N1 — 1 V 1

Л. = П П — п + х) ПП а(х) П П <27>

v=0 х=1 п + х) v=n х=1 v=0 х=1 т(х)

при 0 ^ V ^ п — 1 следует считать, что

п—V 1 V 1

^ = П „ + Л + в пгх П Л + х; (28)

Х=1 V + Л* + в — п + х Х=1 Л* + х

при прочих значениях v будем считать, что выполняется равенство (11). Сохраняется и равенство (12). Отметим также, что в условиях теоремы 2 (x + + 9)a(x) = 0 при x = 0, -1, -2, ..., поскольку хотя бы одно из чисел в\, ..., вт равно нулю, и выполнены условия (3). Это исключает возможность появления нулей в знаменателях правых частей (27) и (28). При доказательстве аналога леммы 1 для теоремы 2 следует также учесть, что в силу условия (8) при s > v выполняется равенство Qk~js(v) = 0. Аналогичные изменения следует внести и в последующие рассуждения. Подробности мы не приводим, так как никаких принципиально новых моментов здесь не появляется.

Заключение

По поводу необходимости условий теорем для линейной независимости над полем рациональных дробей рассматриваемых функций заметим следующее. В работе [1] указано, что при выполнении строгого неравенства r < m условия теорем 1 и 2 не только достаточны, но и необходимы для линейной независимости рассматриваемых функций, причем при нарушении условий упомянутых теорем линейно зависимыми окажутся уже функции (4). В случае равенства r = m в (1) вопрос о необходимости пока еще не выяснен. Доказанные в данной работе теоремы могут быть использованы для изучения арифметической природы значений соответствующих функций.

Список литературы

1. Galochkin A.I. On effective bounds for certain linear forms // New Advances in Transcendence theory. Cambridge, New Rochell, Melbourne, Sydney. 1988. P. 207-215.

2. Иванков П.Л. О линейной независимости некоторых функций // Чебышевский сборник. 2010. Т. 11, вып. 1. С. 145-151.

3. Шидловский А.Б. Трансцендентные числа. М.: Наука, 1987. 447 с.

4. Белогривов И.И. О трансцендентности и алгебраической независимости значений некоторых Е-функций//Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1967. №2. С. 55-62.

5. Белогривов И.И. О трансцендентности и алгебраической независимости значений некоторых гипергеометрических E-функций // Математический сборник. 1970. Т. 82(124), №3(7). С. 387-408.

6. Белогривов И.И. О трансцендентности и алгебраической независимости значений Е-функций одного класса // Сибирский математический журнал. 1973. Т. 14, №1. С. 16-35.

7. Шидловский А.Б. О трансцендентности и алгебраической независимости значений целых функций некоторых классов // ДАН СССР. 1954. Т. 96, №4. С. 697-700.

8. Шидловский А.Б. О трансцендентности и алгебраической независимости значений целых функций некоторых классов // Ученые записки МГУ 1959. Вып. 186. Математика 9. С. 11-70.

9. Шидловский А.Б. О трансцендентности и алгебраической независимости значений некоторых функций // Труды Московского математического общества. 1959. Т. 8. С. 283-320.

10. Vaananen K. On a cojecture of Mahler concerning the algebraic independence of the values of some E-functions // Ann. Acad. Sci. Fennicae. Ser. A. Math. 1972. Vol. 512. P. 3-46.

11. Vaananen K. On the transcendence and algebraic independence of the values of certain E-functions // Ann. Acad. Sci. Fennicae. Ser. A. Math. 1973. Vol. 537. P. 3-15.

12. Mahler K. Applications of a theorem by A.B. Shidlovski // Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1968. Vol.305. P. 149-173.

13. Mahler K. Lectures on Transcendental Numbers. Berlin: Springer Verlag. 1976.

14. Иванков П.Л. О линейной независимости значений некоторых функций // Фундаментальная и прикладная математика. 1995. Т. 1, вып. 1. С. 191-206.

15. Фельдман Н.И. Седьмая проблема Гильберта. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1982. 311 с.

Mathematics i Mathematical Modelling

Electronic journal of the Bauman MSTU

Mathematics and Mathematical Modelling of the Bauman MSTU, 2015, no. 4, pp. 1-12.

DOI: 10.7463/mathm.0415.0817328

Received: 20.08.2015

© Bauman Moscow State Technical University

http://mathmjournal.ru

On the Linear Independence of Some Functions over the Field of Rational Fractions

Ivankov P. L.1

[email protected] 1 Bauman Moscow State Technical University, Russia

Keywords: generalized hypergeometric functions, differentiation with respect to parameter, linear independence over the field of rational fractions

In 1955 A.B. Shidlovski's general theorems were published. They allow us to reduce the problem of algebraic independence of the analytic function values, belonging to the specific class, to a simpler problem of algebraic independence of these functions. Since the abovementioned general theorems can be applied to the generalized hyper-geometric functions with rational parameters, there appeared many works in which the algebraic independence of such functions (and their derivatives) had been established. The A.B. Shidlovski's results generalize and develop a Siegel's method well known in the theory of transcendental numbers. Besides the Siegel's method to solve the problems concerning the arithmetic nature of the values of analytic functions one also applies methods based on the effective construction of linear approximating forms. Such methods enabled finding the most accurate estimates of linear forms and obtaining the numerous results concerning the arithmetic properties of the values of hyper-geometric functions with irrational parameters. This shows that effective methods are of some value for the development of the theory of transcendental numbers.

Recently, in the context of studied arithmetic nature of the values of differentiated hyper-geometric functions with respect to parameter, there was a need in results concerning the linear independence of such functions over the field of rational fractions. Similar investigations were also conducted earlier because of applications of A.B. Shidlovski's general theorems, but in that case a more difficult problem of algebraic independence had to be solved, and therefore only the simplest functions were considered. The paper studies the issue of linear independence of hyper-geometric functions, differentiated with respect to parameter, and this parameter is included both in the numerator and in the denominator of the common member of the appropriate power series. The paper defines a condition (in some cases, it is necessary and sufficient) of linear independence of such functions, which is very convenient for checking in concrete cases. The paper results are obtained by calculating some determinants, which, naturally, arise from the problems under consideration. In the future, the theorems proved in this paper can be used to have the diverse statements concerning the arithmetic nature of the values of the appropriate functions.

References

1. Galochkin A.I. On effective bounds for certain linear forms // New Advances in Transcendence theory. Cambridge, New Rochell, Melbourne, Sydney. 1988. P. 207-215.

2. Ivankov, P.L. On the linear independence of some functions. Chebyshevskii Sbornik, 2010, vol. 11 , no. 1(33), pp. 145-151. (in Russian).

3. Shidlovskii A.B. Transtsendentnye chisla [Transcendental numbers]. Moscow, Nauka publ., 1987. 447 p. (in Russian)

4. Belogrivov I.I. On the transcendence and algebraic independence of the values of certain E-functions. VestnikMoscovskogo Universiteta. Ser. 1. Matematika, Mekhanika = Bulletin of Moscow University. Ser. 1. Mathematics, Mechanics, 1967, №2, pp. 55-62. (in Russian)

5. Belogrivov I.I. The transcendence and algebraic independence of the values of certain hyper-geometric E-functions. Matematicheskij sbornik, 1970, vol. 82(124), no. 3(7), pp. 387-408. (English version of journal: Mathematics of the USSR-Sbornik, 1970, vol. 11, no. 3, pp. 355376. DOI: 10.1070/SM1970v011n03ABEH002073).

6. Belogrivov I.I. Transcendence and algebraic independence of the values of E-functions of one class. Sibirskij matematicheskij zhurnal, 1973, vol. 14, no. 1, pp. 16-35. (English version of journal: Siberian Mathematical Journal, 1973, vol. 14, no. 1, pp. 10-22. DOI: 10.1007/BF00967261).

7. Shidlovskii A.B. On the transcendence and algebraic independence of the values of E-functions of certain classes. Dokladi Akademii nauk SSSR = NmjDoklady Mathematics, 1954, vol. 96, no. 4, pp. 697-700. (in Russian)

8. Shidlovskii A.B. Transcendence and algebraic independence of the values of entire functions of certain classes. Uchenye zapiski MGU = Scientific notes ofMSU, 1959, vol. IX, iss. 186, pp. 11-70. (in Russian)

9. Shidlovskii A.B. Transcendentality and algebraic independence of the values of certain functions. Trudy Moskovskogo matematicheskogo obshchestva = Proceedings of the Moscow Mathematical Society, 1959, vol. 8, pp. 283-320. (in Russian)

10. Vaananen K. On a cojecture of Mahler concerning the algebraic independence of the values of some E-functions, Ann. Acad. Sci. Fennicae. Ser. A. Math., 1972, vol. 512, pp. 3-46.

11. Vaananen K. On the transcendence and algebraic independence of the values of certain E-functions. Ann. Acad. Sci. Fennicae. Ser. A. Math., 1973, vol. 537, pp. 3-15.

12. Mahler K. Applications of a theorem by A.B. Shidlovski. Proc. Roy. Soc. Ser. A., 1968, Vol. 305, pp.149-173.

13. Mahler K. Lectures on Transcendental Numbers. Berlin, Springer Verlag, 1976.

14. HBaHKOB n.H. On the linear independence of the values of some functions. Fundamental'naja i prikladnaja matematika = Fundamental and applied mathematics, 1995, vol. 1, iss. 1, pp. 191— 206. (in Russian)

15. Fel'dman N.I. Sed'majaproblema Gil'berta [The seventh Hilbert's problem]. Moscow, MSU publ., 1982, 311 p. (in Russian)