О квазимногообразиях метабелевых групп без кручения аксиоматического ранга два Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.54.01

Ю.А. Авцинова

О квазимногообразиях метабелевых групп без кручения аксиоматического ранга два*

Ключевые слова: квазимногообразие, метабе-левы группы, аксиоматический ранг.

Key words: quasivariety, metabelian groups,

axiomatic rank.

Введение. Множество всех квазимногообразий, имеющих в данном классе N аксиоматический ранг меньший или равный п, частично упорядочено относительно включения и образует решетку, обозначаемую через Ln(N). Известно [1], что решетка Ln(N) является гомоморфным образом решетки Lq(N) квазимногообразий, содержащихся в N. Поэтому имеет смысл при изучении решетки Lq(N) исследовать решетки Lq(N).

Нахождению аксиоматических рангов посвящены многие работы. Аксиоматический ранг квазимногообразия, порожденного конечной группой с неабелевой силовской подгруппой, найден в [2], квазимногообразия, порожденного всеми конечными группами — в [3]. Аксиоматические ранги квазимногообразий, порожденных свободной неабелевой группой, свободной разрешимой группой, неабелевой конечно-порожденной нильпотентной группой без кручения, найдены в [4-6]. Аксиоматический ранг квазимногообразия, порожденного группой с одним определяющим соотношением, исследовался в [5]. В [7] изучались аксиоматические ранги квазимногообразий нильпотентных групп ступени < 2 без кручения. В настоящей работе изучается квазимногообразие M, всех групп без кручения, удовлетворяющих тождеству

(Vx) (Vy)([x2,y2} = 1). (1)

В работе доказано, что квазимногообразие абелевых групп без кручения является единственным собственным подквазимногообразием в M аксиоматического ранга два, определимым коммутаторными квазитождествами.

1. Предварительные замечания. Введем следующие обозначения:

M - квазимногообразие, заданное в классе групп без кручения тождеством (1);

Z - множество целых чисел;

ker^ ядро гомоморфизма у>;

[х,у] = х 1 у 1 ху - коммутатор элементов х

и у;

гр(аь а2,...) - группа, порожденная элементами 01,02,...;

М = гр(а, Ь || а-Ъа= Ь-1).

Напомним некоторые определения. Говорят, что аксиоматический ранг квазимногообразия равен п, если данное квазимногообразие можно задать системой квазитождеств от п переменных и нельзя задать системой квазитождеств

п

не существует, то аксиоматический ранг квазимногообразия равен то.

Квазитождество (Ух)... (Ухп)(&к=1 = 1 ^

Ь = 1) называется коммутаторным, если все г = 1,..., к) и Ь — элементы коммутанта абсолютно свободной группы.

При написании тождеств и квазитождеств кванторы всеобщности будем иногда опускать.

Ниже нам понадобится следующая теорема.

Теорема (Дик) [8]. Пусть группа О имеет в данном квазимногообразии N представление

О = гр({х» | г £ I} || {г^хн,. . .,х^) = 1 | ] £ J}).

Предположим, что Н £ N и группа Н содержит множество элементов {дг | г £ I} такое, что для всякого ] £ J равенство

г^( д^ ,...,д^) = 1 истин но в Н. Тогда отображение хг ^ дг(г £ I) продолжается до гомоморфизма у: О ^ Н.

О

О2, ести существует гомоморфизм у : О1 ^ О, такой, что кегу = (1). Этот гомоморфизм у называется вложением группы О в группу О.

Квазитождество, истинное во всех группах из М или ложное во всех неабелевых группах из М, будем называть тривиальным в М.

Квазитождество, истинное в абелевых группах без кручения и ложное в некоторой неабелевой группе из М, будем называть нетривиальным в М.

Квазитождества Ф и Ф эквивалентны в Ж, если классы групп из Ж, в которых они истинны, совпадают.

Будем использовать следующие хорошо известные коммутаторные тождества [9, с. 87]:

(Ух)(Уу)(Уг)([ху,г} = [х, г]у[у, г}),

*Работа выполнена при поддержке АВЦП "Развитие научного потенциала высшей школы (мероприятие I)5’.

(Vx) (Vy) (Vz)([x,yz} = [x,z}{x,y]z),

^x)(Vy)(Vz)(m)(lxy,zt] = [x,t]y[y,t][x z]yt[y, zo,

истинные в любой группе.

Если G єМ и H = rp(x2 I x Є G), то G/H -абелева группа. Отсюда справедливо

Замечание 1. В каждой группе из М истинны тождества:

(Vx)(vy)(Vz)(vw)( [[x,y],[z,w]] = 1 ),

(Vx) (Vy) (Vz)( [ [x, y], z ] = 1 ),

(Vx) (Vy)([x,y)xy = [.x,y]yx).

Применяя коммутаторные тождества к [x2,y2], получаем следующее.

Замечание 2. В каждой группе из М истинно тождество

(Vx) (Vy)([x,y)xy = [.x,y] -x [x,y]— [.x,y].

Всю необходимую информацию о группах можно найти в [9-11], об аксиоматических рангах - в [12-14], о квазимногообразиях - в [12,14].

2. Основной результат. ЛЕММА 1.

Группа M вложима в любую неабелеву группу из М.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку в ниль-потентной группе ступени 2 из тождества [x2 ,y2] = 1 следует тождество [x,y\‘l = 1, то ква-М

неабелевых групп.

Возьмем любую неабелеву группу G из М. Пусть a,b Є G и [а, Цф 1. Так как М не содержит нильпотентных неабелевых групп, зна-a, b, a a, b, b .

например, что [а,Ь,а]ф 1. Из истинного в М тождества \^x, y],z2^ = 1, используя коммутаторные тождества, получаем

1 = [[а, Ц, а2] = [a, b, а [а, b,0\a.

По теореме Дика существует гомоморфизм ф : M ^ гр (а, [а, b, а]), при котором ф(а) = а, ф(Ъ) = [а, b, а]. Ясно, что кстф = (\), откуда M = гр (а, [а, b, а]). Случай [а, b, b] ф 1 рассматривается аналогично. Лемма доказана.

ЛЕММА 2. Пусть квазитождество Ф = (Vx(Vy)([x,y]n [x,y]nx[x,y\ny = 1 ^

[x,y]81 [x,y]S2'x[x,y]S3y = 1 )(ni,si Є Z, i = 1,2,3) M.

1 ) если щ — n2 + щ = 0, то si — s2 + «з = 0;

2) если щ + щ — щ = 0, то si + s2 — s3 = 0;

3) если щ — щ — щ = 0, то ^ — s2 — s3 = 0. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Несложно заметить,

M

[а,Ь]п [а,Ь]па [а,Ц пзЬ = Ь2 п -п+пз),

[Ь,а\п [Ь,а\пЬ[Ь,а]па = Ь— п+п-п^,

[аЬ,а]п [аЬ,а]паЬ[аЬ,а]па = Ь—п-п-п^.

М

следует требуемое. Лемма доказана.

ЛЕММА 3. Квазитождество Ф = (Ух)(Уу)([х,у]п [х,у]пх[х,у]пу = 1 ^

[х, у]81 [х, у]82'х[х, у]8зу = 1 )(щ, 8г £ 2, г= 1, 2,3) является тривиальным в М.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из леммы 1 следует, М,

М

М.

Для доказательства леммы достаточно проверить, что Ф истинно в любой неабелевой группе

0 из М. Пусть левая часть квазитождества Ф истинна в неабелевой группе О из М при отображении х ^ а, у ^ Ь, т.е.

[а,Ц п [а, Ь]па [а,ЦпЬ = 1. (2)

а, Ь ,

О

отображении. Поэтому можно считать, что а, Ь . а

равенства и используя замечание 2, получаем

1 = [а,Ь]п -п [а,Ь]п-пз)а [а,Ь]-пЬ. (3)

Отсюда и из (2) следует

1 = [а,Ь\п [а,Ь\па [а,Ь\п -пз [а,Ь]п-пз)а =

= [а,Ь] п1+п-п [а,Ь]п+п-пз)а. (4)

Ь

имеем: 1 = [а,Ь\п-п [а,Ь]-па [а,Ь]п-п)Ь. Отсюда и из (3) выводим

[а,Ц п -п-пз)а [а,Ц п-пз)ь = 1. (5)

Случай 1. щ + п2 — щ ф 0. Так как группа

О

а, Ь а, Ь а .

Пусть сначала щ — щ — щ ф 0. Тогда из

(5) получаем [а, Ь]а [а, Ь]ь = 1. Отсюда, используя (2) и (6), выводим 1 = [а,Цп [а,Ь]па[а,Ь]пзЬ =

[а, Ь]п-п+пз. ^^^^^тательпо, щ — = 0.

М

[а,Ь]81 [а,Ь]^а[а,Ь]8зЬ = [а,Ь]81 -8*+83 = 1, т.е.

О

рассматриваемом отображении.

Пусть теперь щ — щ — щ = 0. Тогда из (2) и

(6) получаем [а,Ц п -п^ [а,Ь]п-п^Ь = 1. Возникают два случая.

1) щ — щ ф 0. Тогда [а, Ь][а, Ь]Ь = 1 и ввиду леммы 2 ^ — 82 — 83 = 0. Откуда [а, Ь]^ [а, Ь]82а[а, Ь]8зЬ = [а, Ь]8-8*-83 = 1.

щ — щ . щ щ щ щ — щ щ щ — щ — щ . По лемме 2 получаем, что 81 — 82 + 83 = 0 и

81 — 82 — 83 = 0. Следовательно, 81 = 82, 83 = 0

и [а,Ь]81 [а,Ь]8*а[а,Ь]8*Ь = [а,Ь]81 -82 = 1.

Случай 2. щ + щ — щ = 0.

Пусть сначала щ — щ — щ ф 0. Из

а, Ь а а, Ь Ь .

а, Ь п а, Ь п а а, Ь п Ь

[а, Ь]п [а, Ь]па[а, Ь](п1+п)Ь = [а, Ь]п [а, Ь]-па. Снова имеем два случая.

1) щ ф 0. Тогда [а, Ь][а, Ь]-а = 1. По лемме 2

8 8 — 8 а, Ь 8 а, Ь 8 а а, Ь 8 Ь

[а, Ь]81+82-^^ 1.

2) щ = 0. Тогда щ = щ, и, следо-

щ — щ щ щ щ — щ . Тогда по лемме 2 имеем: 81 — 82 + 83 = 0

И + 82 — 83 = 0. ЗнаЧИТ, 81 = 0, ^2 = 83 и

[а,Ь]81 [а,Ь]82а[а,Ь]8*Ь = [а,Ь]8-8з)а = 1.

щ — щ — щ .

щ щ щ а, Ь п а, Ь п Ь .

щ а, Ь а, Ь Ь .

По лемме 2 имеем: 81 + 82 — 83 = 0 и

81 — 82 — 83 = 0. Значит, 82 = 0 И ^1 = 83. Поэтому [а,Ь]81 [а,Ь]82а [а,Ц 8*Ь = [а,Ь]8-8* = 1.

2) Если щ = 0, тогда щ — ^ = 0,

щ + щ — щ = 0 и щ — щ — щ = 0. Следовательно, по лемме 2 имеем ^ — 82 + 83 = 0, 81 + 82 — 83 = 0 и ^ — 82 — 83 = 0. Значит, 81 = 0, 82 = 0 и 83 = 0. Поэтому

а, Ь 8 а, Ь 8 а а, Ь 8 Ь .

Итак, получаем, что во всех случаях правая

О

рассматриваемом отображении. Следовательно,

О.

М

ет собственных неабелевых подквазимногообра-зий аксиоматического ранга два, заданных коммутаторными квазитождествами.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Ф коммутаторное квазитождество от двух переменных. Тогда Ф = (Ух) (Уу)(&\=1 юг(х,у) = 1 ^

ю(х,у) = 1), где т = [х,у]гп[х,у]тх[х,у]иу,ю = [х,у]п[х,у]тх[х,у]1у ( £ ^.

Пусть

10 замена = 1 на = 1

Л =

\ щк тк ¡к

(гфз,1 £ %,/ф 0);

2') замена ю^на ю( = 1 (/ £ 2, $ ф 0). Им соответствуют следующие элементарные

Л

1) прибавление к г-ой строке j-oй строки, умноженной на / ( / ф 0, / £ 2);

2) умножение г-ой строки на /( / ф 0, / £ 2). Элементарными преобразованиями 1), 2) цеЛ

рице с нулевым углом под главной диагональю. При этом данное квазитождество Ф преобра-

М

Можно считать, что квазитождество Ф выбрано так, что Л — матрица 3x3, имеющая вид:

Л

Если ¡3 ф 0, то, как несложно заметить, Ф исО М.

виальное. Считаем, что

щ т ¡

0 т ¡

0 0 ¡

Л

щ Ш1 ¡1

0 ш2 ¡2

Рассмотрим два случая.

¡.

a) Если ш2 Ф 0, то получаем в левой части квазитождества Ф равенство [х,у]тх = 1. Сле-

О М,

т.е. оно тривиальное.

b) Если Ш2 = 0, то данное квазитождество Ф имеет вид (Ух)(Уу)([х,у]п [х,у\тх[х,у]1гу = 1 ^ [х,у]п[х,у]тх[х,у]= 1). По лемме 3 оно тривиальное.

¡.

a) Если Ш2 = 0, то получаем в левой части квазитождества Ф равенство [х,у] 1^у = 1. Сле-

О М.

Значит Ф — тривиальное.

b) Если Ш2 Ф 0, то, используя элементарные преобразования 1), 2), можно предполагать, что

Л

щ т± 0

0 т ¡2

Рассмотрим следующие элементарные преобразования равенств, стоящих в левой части квазитождества Ф, преобразующие Ф в эквива-М

Если щ = 0 и т = 0, тогда, аналогично случаю 1Ь, получаем Ф — тривиальное.

Если щ = 0 или т = 0, то, аналогично случаю 1а, получаем Ф — тривиальное.

Следовательно, щ ф 0, т Ф 0, и в левой части квазитождества Ф имеем равенства:

[х,у]тх = [х,у]-п,

[хх,у]^у = [хх,у]-тх.

Следствием этих равенств является

соотношение ([х,у]п [х,у]тх [х,у] 1у)т112 =

[х,у]пт112-тп1|2+|п1т2. Теперь можно считать, что ит— тн±12 + ¡щт2 Ф 0. Видим, что Ф

М

дество Ф1 = (Ух)(Уу)([х,у]п [х,у]тх = 1 &

[х,у]тх[х,у] 1*у = 1^ [х,у] = 1).

Пусть левая часть квазитождества Ф1 истин-ОМ

нии х ^ а, у ^ Ь. Предполагаем, что [а, Ь] ф 1. Имеем:

[а,Ь]п [а,Ь] та = 1, (7)

[а,Ь]та [а,Ь] 1*Ь = 1. (8)

Из (7) получаем 1 = [1, а] =

[а,,Ь]тг-п [а,Ь]п-т^а. Отсюда 1 = [[1,а],Ь] =

[а, Ь]2т-п^а[а, Ь]2(-п1+т1)Ь, т.е.

1 = [а,Ь]п-т^а [а,Ц п -тч)Ь.

1) Если щ — т\ ф 0, то получаем [а,Ь][а,Ь]-а = 1 и [а,Ь]а[а,Ь]Ь = 1. Тогда из (7) [1а,Ь]п+т = 1 и из (8) [а,Ь]™2-1,2 = 1. Значит т = —п1 и т2 = ¡2. Теперь несложно проверить, что левая часть квазитождества Ф1 истинна в М при отображении х ^ Ь, у ^ а, а

правая — ложна. Получаем Ф1 — тривиальное квазитождество.

2) Пусть щ — т = 0. Из (8) получаем 1 = [1,а] = [о,Ь] Ш2-к [а,Ь]{-т-1^а [а,Ь]—кЬ. Отсюда

1 = [[1,а],Ь] = [а,Ь]2т+^)а[а,Ь]2т+^)Ь. Рассмотрим два случая.

a) т2 + 1г ф 0. Получаем [а, Ь]а [а,Ь]Ь = 1. И из (8) следует [а,Ь]-т2+Ь — 1. Значит т2 = ¡2. Теперь несложно проверить, что левая часть ква-

М

х ^ а, у ^ Ь, а правая — ложна. Получаем Ф1

— тривиальное квазитождество.

b) т2 + ¡2 = 0.

Но и в этом случае левая часть квази-М

х ^ Ьа, у ^ а, а, правая - ложна. Получаем ф1 _ тривиальное квазитождество.

Итак, во всех случаях получаем тривиальное квазитождество. Теорема доказана.

СЛЕДСТВИЕ. Единственным подквази-М

два, заданным коммутаторными квазитождествами, является квазимногообразие абелевых групп без кручения.

В заключение автор выражает благодарность профессору А.И. Будкину, под руководством которого выполнена данная работа.

Библиографический список

1. Туманов, В.И. Достаточные условия вло-жимости свободной решетки в решетки квазимногообразий: препринт 40 / В.И. Туманов: Инт математики СО АН СССР. - М., 1988.

2. Ольшанский, А.Ю. Условные тождества в конечных группах / А.Ю. Ольшанский // Сиб. матем. журнал. - 1974. - Т. 15, №6.

3. Румянцев, А.К. О квазитождествах конечных групп / А.К. Румянцев // Алгебра и логика.

- 1980. - Т. 19, №4.

4. Будкин, А.И. Аксиоматический ранг квазимногообразия, содержащего свободную разрешимую группу / А.И. Будкин // Матем. сб. -1980. - Т. 112, №4.

5. Будкин, А.И. Квазитождества нильпо-тентных групп и групп с одним определяющим соотношением / А.И. Будкин // Алгебра и логика. - 1979. - Т. 18, №2.

6. Будкин, А.И. О квазитождествах в свободной группе / А.И. Будкин // Алгебра и логика.

- 1976. - Т. 15, №1.

7. Половникова, Е.С. Об аксиоматическом ранге квазимногообразий /Е.С. Половникова // Сиб. матем. журнал. - 1999. - Т. 40, .V" 1.

8. Мальцев, А.И. Алгебраические системы / А.И. Мальцев. - М., 1970.

9. Курош, А.Г. Теория групп / А.Г. Курош.

- М., 1967.

10. Каргаполов, М.И. Основы теории групп / М.И. Каргаполов, К).II. Мерзляков. - М., 1977.

11. Магнус, В. Комбинаторная теория групп / В. Магнус, А. Каррас, Д. Солитэр. - М., 1974.

12. Будкин, А.И. Квазимногообразия групп / А.И. Будкин. - Барнаул, 2002.

13. Нейман, X. Многообразия групп / X. Нейман. - М., 1969.

14. Горбунов, В.А. Алгебраическая теория квазимногообразий / В.А. Горбунов. - Новосибирск, 1999.