О кватернионных соотношениях Дирака. I Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.643.8

О кватернионных соотношениях Дирака. I

Д. Л. Тышкевич

Крымский федеральный университет им. В.И.Вернадского, Симферополь 295007. E-mail: dtyshk@inbox.ru

Аннотация. В данной части работы получены базовые результаты для изучения структуры кватернионных матриц, удовлетворяющих соотношениям Дирака. Все результаты сформулированы для комплексных матриц, имеющих специальную, т. н. симплектическую структуру, позволяющую строить по данным матрицам кватернионные при соответствующей процедуре кватернио-низации. На данном этапе все выкладки проведены исключительно для комплексного случая. В следующей части предполагается провести кватернионизацию и сформулировать все основные результаты в кватернионном виде.

Ключевые слова: соотношения Дирака, гамма-матрица, кватернион.

On quaternionic Dirac anticommutation relations. I

D. L. Tyshkevich

V. I. Vernadsky Crimean Federal University, Simferopol 295007.

Abstract. In this part of an investigation to be continued we obtain the basic results for studying quaternionic matrices that satisfy Dirac anticommutation relations. All the results are formulated for complex matrices of so-called simplectic structure which allows to build on the base of the matrices given the quaternionic ones via the corresponding quaternionization procedure. At the present stage, it is useful to formulate all the reasonings purely for the complex case. In the next part of the work to be continued we intend, via the quaternionization procedure, to finally formulate all the main results in the quaternionic form. All the results presented in the work are seemed to be new. Although there are a rather big amount of articles focusing on quaternionic Dirac equation, investigations of matrices satisfying Dirac anticommutation relations have not been carried out (as far as we know). Keywords: Dirac anticommutation relations, gamma-matrices, quaternion. MSC 2010: 15B33

Введение

В данной части работы получены базовые результаты для изучения структуры кватернионных матриц, удовлетворяющих соотношениям Дирака. Все результаты сформулированы для комплексных матриц, имеющих специальную, т.н. симплектическую структуру, позволяющую строить по данным матрицам кватернионные при соответствующей процедуре кватернионизации. На данном этапе удобно проводить все выкладки исключительно для комплексного случая. В следующей части мы намерены, осуществив кватернионизацию, окончательно сформулировать все основные результаты в кватернионном виде.

Результаты представленные в данной работе являются новыми; несмотря на то, что имеется достаточно много работ, посвящённых кватернионному уравнению

© Д. Л. ТЫШКЕВИЧ

Дирака, исследование матриц, удовлетворяющих антикоммутационным соотношениям Дирака, насколько нам известно, не проводились.

Обозначения.

Через А*, А, Ат, Ау буде м обозначать соответственно сопряжённую, комплексно сопряжённую, транспонированную и союзную матрицы к матрице А. Через Еп будет обозначаться единичная матрица из Мп(С) (нижний индекс в Еп, когда это не вызывает недоразумений, будет опускаться).

1. Матрицы Ок

1.1. Матрицы О к, Ок. Соотношения Дирака.

Рассмотрим матрицы ¿к Е М2(С), к Е 0, 3 :

¿с :=

0г , ti := 0г , t2 := 1 0 , ta := г0

-г 0 г0 0 1 0 -г

Пусть д = \\gij ||^ес7з — метрический тензор специальной теории относительности:

9оо

да 9ij

i; _ -1, г е Гэ

0, г,з Е l, 3, г = 3 .

Как показывает простая проверка, матрицы ¿к удовлетворяют соотношениям:

Щ + ^и = -2д^Е2, г,з Е 0, 3 . Матрицы ¿к связаны с матрицами Паули а к следующим образом:

¿с = -а2, ¿1 = га1, ¿з = газ ■ Определим матрицы вк Е М4(С), к Е 0, 3 :

Sk :=

0 tk -tk 0

Из (1.1) и определения матриц в к следуют соотношения

вг'в] + Sjв = 2д^Е4, г,з Е 0, 3 ■

Очевидно,

матрицы вк унитарны (к Е 0, 3)

:i.2)

:i.3)

а матрицы s0sk являются самосопряжёнными (к Е 1, 3):

sosi =

10 0 0 0 -10 0 0010 0 0 0 1

sos2

0 -i 0 0 0 -1 0 0

i 0 0 0 -1 0 0 0

0 0 0 -i ; sos3 = 0 0 0 -1

0 0 i 0 0 0 -1 0

Определим, наконец, матрицы 0k, 0k Е M8(C), к Е 0, 3:

0

k •=

0 sk -sk 0

0k •= %0ь

:1.4)

:1.5)

Из (1.1) и определения матриц 0к следует, что последние удовлетворяют известным соотношениям

0*0j + 03 0г = 2gij E8, i,j Е 0, 3

:1.6)

которые в дальнейшем мы будем называть соотношениями Дирака. Также из (1.3), (1.4) и определения (1.5) следует, что

матрицы Ок, Ок унитарны (к Е 0, 3) ,

матрицы 0°©к, 60вк — самосопряжённые (к Е 1, 3).

Из соотношений Дирака и (1.7) непосредственно следуют равенства

(0к)*0° = 0°0к (к Е 0,3).

'1.7) :1.s)

:1.9)

1.2. Общий вид матриц, коммутирующих и антикоммутирующих с матрицами 0k.

Рассмотрим отображение ф(П • M2(C) ^ M2n (C) (n Е N):

ф Ц «21 «22 i) •

aiiEn ai2 E Ü2iEn «22 E

Следующее утверждение тривиально.

Предложение 1. Отображение является инъективным гомоморфизмом линейных алгебр M2(C) и M2n(C), причём для любой матрицы А из M2(C) выполняются соотношения:

Ф(п) (op(A)) = ар(ф(п)(А)), где op означает любую унарную операцию из { T, , *, v}.

Следствие 1. Множество матриц (M2(C)) является линейной подалгеброй M2n(C), замкнутой относительно операций транспонирования и комплексного сопряжения (а, следовательно, и просто сопряжения).

Определим теперь отображения Фп : М2(С) — М4п(С) (п Е М):

Ф^) :=

ф(п)(А) 0 0 ±^(n)(Av)

, А е M2(C).

Замечание 1. Для отображения Ф^ также справедливы аналоги предложения 1 и следствия 1.

Отметим также, что

ф(_п)(А1)ф(_п)(А2) = Ф++п)(А1А2) (А1, А2 Е М2(С)).

1.10)

Лемма 1. Пусть А Е М2(С).

(а) Матрица Ь-1А1к не зависит от к Е 0, 3 тогда и только тогда, когда А —

скалярная матрица.

(Ь) Матрица ¿к АЬк не зависит от к Е 0, 3 тогда и 'только тогда, когда А — нулевая матрица.

Доказательство. Пусть А (а). Имеем:

töiAtc =

tö iAt2 =

aii ai2 a2i a22

a22 — a2i — ai2 aii

t-iAti

aii ai2 a2i a22

, t-iAta =

a22 a2i ai2 aii

aii — ai2 a2i a22

откуда заключаем, что 1АЬк не зависит от к тогда и только тогда, когда а11 «22, а 12 = Й21 = 0. (Ь). Аналогично,

t-iAto

t2"iAt2

— a22 a2i ai2 — aii

aii ai2 a2i a22

t2-iAti

t-iAta

-a22 -a2i — ai2 -aii

— aii ai2 a2i - a22

откуда следует, что ¿¡^ А1к не зависит от к тогда и только тогда, когда а11 = а22 =

«12 = а21 = 0.

Лемма 2. Пусть А Е М4(С).

□

(a) Матрица в-1Авк не зависит от к Е 0, 3 тогда и только тогда, когда А Е

Ф(2)(М2(С)).

(b) Матрица в-1Авк не зависит от к Е 0, 3 тогда и только тогда, когда А —

нулевая матрица.

Доказательство. Пусть A (а) . Имеем

Aii Ai2 A2i A22

Aij е M2(C) (i,j е 1,2).

s-i Ask =

t-2iA22tk —t-iA 2i tk — t2 ai2tk 12 aiitk

i.ii)

откуда заключаем, что в- Авк не зависит от к тогда и только тогда, когда А^¿к не зависят от к (г,з Е 1, 2). Согласно п. (а) леммы 1 это возможно тогда и только тогда, когда существуют такие комплексные числа а^, что А^ = а^Е2 (г,з Е 1, 2), т.е. А = ф(2) ([а2\ «22 ]) ■ При этом, в силу (1.11) и предложения 1

s-iAsk = Av (к е 0, 3).

i.i2)

(Ь) . Доказывается аналогично с использованием соответствующего пункта леммы 1. □

Теорема 1. Матрица Р коммутирует, (антикоммутирует) со всеми матрицами Ок (а, следовательно, и с Ок) (к Е 0, 3) тогда и только тогда, когда Р лежит, в Ф+2)(М2(С)) (в Ф-2)(М2(С)}).

Доказательство. Пусть

Р=

Pii Pi2 P2i P22

Pij е M4(C) (i,j е 1,2).

Рассмотрим подробно случай коммутирования. Равенство

Р вк = ©к Р

эквивалентно системе из четырёх равенств

Р11вк = вк Р22; р22вк = вк Р11| р12вк = -вк Р21| р21вк = -вк Р12 ■

В силу (1.2) в-1 = дкквк, поэтому справедливы импликации (1.14) ^ (1.15), (1.16) ^ (1.17). Таким образом, равенство (1.13) эквивалентно двум равенствам

i.i3)

'1.14) '1.15) '1.16) П.17)

P

22

s2 ipiisk; P2i = —SliPi2Sk

'1.18) П.19)

Используя лемму 2, заключаем, что (1.18), (1.19) выполняются тогда и только тогда, когда Р12 = Р21 = 0, Рп Е ф(2)(М2ОС)) и Р22 = РЦ (см. (1.12)), т.е. Р Е Ф+2)(М2(С)).

В случае антикоммутирования доказательство схоже с проведённым, при этом, однако матрицы Р11 и Р22 будут связаны равенством Р22 = — в-1Р11вк = — Р^. □

(2) (2)

В дальнейшем (в связи с теоремой 1) отображения Ф+) и Ф_ будем обозначать соответственно через С и А. Заметим, что по (1.10)

А{Л1) А(А2) = СА1А2) (Ль А е М2(С)). (1.20)

1.3. Связь между 8—мерными комплексными матрицами, удовлетворяющими соотношениям Дирака.

Пусть {вк}кеоГз — некоторые матрицы из М8(С), удовлетворяющие соотношениям Дирака (1.6). Как известно, любая комплексная линейная алгебра, порождённая четырьмя элементами, удовлетворяющими соотношениям Дирака, обладает единственным (с точностью до эквивалентности) неприводимым комплексным представлением, размерность которого равна четырём (см. [4, Гл. XX], [2, Гл. I, § 6], [1, Гл. 7, Дополн. Д]). Данное представление может быть реализовано при помощи известных матриц Дирака:

Y

1 0 0 1

0 0

0 0

0 0 -10 0 0 0 1

Y

0 0 01

0 0 10

0 —1 00

-1 0 0 0

0 0 0 —i 0 0 1 0

0 0 i 0 3 0 0 0 —1

0 i 0 0 , Y _ —1 0 0 0

—i 0 0 0 0 1 0 0

Y

Таким образом, в силу того, что размерность матриц вк равна восьми, любое представление четвёрки {вк}кесГэ раскладывается в прямую сумму двух неприводимых четырёхмерных представлений, и, следовательно, существует такая обратимая матрица Т из М8(С), что

0 k_т —1 rpk т

:i.2i)

где Гк :_

Yk 0

0 Yk

M8(C), сплетающей 0k и 6k (см. (1.5

Из (1.21) следует существование обратимой матрицы Л из

0k _Л—l0kЛ.

П.22)

Связь между матрицами, сплетающими 0k и Ok, устанавливает следующее утверждение.

Предложение 2. Любые две обратимые матрицы Л1 и Л2, удовлетворяющие (1.22), связаны равенством

Л2 _ PЛ1 ,

где P — некоторая обратимая матрица из C(M2(C)).

Доказательство. Пусть вк = Л-1©кЛ1, вк = Л-1©кЛ2. Отсюда следует равенство Л2Л-1©к = ©кЛ2Л-1. Таким образом, матрица Р := Л2Л- коммутирует со всеми матрицами ©к. Доказательство завершается применением теоремы 1. □

Замечание 2. Нетрудно видеть, что справедливо и обратное: если матрица Л1 удовлетворяет (1.22), то для произвольной обратимой матрицы Р из С(М2(С)) матрица Л2 := РЛ1 также удовлетворяет (1.22).

1.4. О решении одного матричного уравнения.

Рассмотрим уравнение

АА-1 = В (1.23)

с известной матрицей В и искомой матрицей А.

Предложение 3. Произвольное решение А уравнения (1.23) может быть представлено в виде А = Аси, где Ас — некоторое фиксированное решение (1.23), а и — обратимая вещественная матрица.

Доказательство. Очевидно, А = Аси является решением (1.23):

АА-1 = Асии-1А-1 = АСии-1А-1 = АА-1 = В.

Обратно, пусть А0 —некоторое фиксированное решение, и А — также некоторое решение (1.23). Положим и := А-1 А. Тогда

и = А0-1А = (А-1В-1)(ВА) = А-1 А = и,

т.е. обратимая матрица и — вещественна, и А = Аси. □

Выясним вопрос о существовании унитарных решений уравнения (1.23). Очевидно, необходимым условием разрешимости (1.23) (без каких-либо ограничений на А) является следующее:

В = В-1. (1.24)

Кроме того, для существования унитарных решений матрица В сама должна быть унитарной.

Предложение 4. Если унитарная матрица В удовлетворяет (1.24), то существует унитарное решение уравнения (1.23). Произвольное такое решение А может быть представлено в виде А = Аси, где Ас — некоторое фиксированное унитарное решение (1.23), а и — ортогональная вещественная матрица. Если В Е Ф^ (М2(С)) (п Е М), то существует унитарное решение (1.23), лежащее в Ф+п)(М2(С)).

Доказательство. I. Пусть В = УБУ 1 — спектральное представление унитарной

матрицы В с унитарной матрицей У и диагональной Б. Как легко проверить,

— _1

из унитарности В и условия (1.24) следует, что матрица У У коммутирует с Б. Пусть Р — некоторая диагональная матрица, удовлетворяющая условию Р- 2 = Б. Так как функция /: [0, 2п] ^ С, /(Ь) := е- г4/2, может быть равномерно приближена тригонометрическими полиномами, то матрица Р может быть приближена

(относительно какой-либо матричной нормы1) полиномами от матрицы Б (чуть

— _ 1

ниже эта ситуация будет рассмотрена подробнее), откуда заключаем, что У У коммутирует с Р, а, следовательно, и с Р-1. Положим Л0 := УРУ-1. Тогда

A0A—1 _ VV—lV lVV—lV—l _ VV 1VV—2V—l

VDV

-l

B.

т.е. Ас — решение (1.23) (заметим, что Ас коммутирует с В). Далее применяем предложение 3.

II. Пусть В е Ф+°(М2(С)). Покажем, что А0 = УРУ-1 лежит в Ф+° (М2(С)). Имеем разложения

V

Vll Vl2 V2l v22

D

Dl 0 0 D2

V

Dl 0 0 V2

Di, Рг, Vij E M2n(C) (i,j E 1, 2),

и

B

Ф(п)(Т) 0 0 ф(п)(Тv)

U E M2(C),

где Бг, Рг (г е 1, 2) — диагональные матрицы, а и — унитарная. Тогда равенство У Б = Л0У эквивалентно четырём равенствам

VliDi _ ф(п)(и)Vli;

V2iDi _ ^(n)(UV)V2l (i E 172),

П.25)

Пусть и = У0Б0У0 1 — спектральное представление и. По предложению 1

Ф(п)(и) _ ^n)(Vo)^n)(Do)^n)(Va) — l,

-)(п)(ттV) _ m(n)l

'/n)(UV) _ ^n)(VoV(n)(Do>(n)(Vo) —:l

(n)(

(n)(

Положим Уу := ф(п)(У0) (%,] е 1, 2). Тогда равенства (1.25) можно записать

как

VliDi _ p(n)(Do)Vli;

V2iDi _ p(n)(DV)V2i (i E 172).

П.26)

Пусть {рп}пем — такая последовательность "полиномов", рп(х) = 5^П=-п °кхк, что

Рп(егЬ) ^ е г1/2 (п ^ то) равномерно по Ь е [0, 2п].

П.27)

1 Напомним, что в конечномерном линейном пространстве все нормы эквивалентны.

Далее, пусть

Do

eitl 0

0

3it2

для некоторых t\, t2 Е [0, 2п], и положим

V,

o •—

e-itl/2 0 0 e-it2/2

Тогда из (1.27) следуют сходимости (относительно любой матричной нормы)

Рп(А) (г Е 172), Рп(Ас) ^ Ъс, Рп№) ^ (п ^ то). (1.

Из (1.26), (1.28) и предложения 1 следуют равенства

= фп)(ЪсЩг; V2гDг = ф(п)(^)У2г (г Е

1.29)

Положим Ас := УсЪсУс . Тогда равенства (1.29) эквивалентны равенствам

УцЪг = ф(п)(Ас)У1г ;

У2гЪг = ф(п) (Ад ) У2г (г Е ,

которые, в свою очередь, равносильны одному равенству УЪ = Ф(п)(Ас)У. Таким образом, Ас = ф((г)(Ас). □

1.5. Группа Лоренца.

Пусть Ь — полная группа Лоренца, состоящая из всех вещественных д-ортогональных матриц П = ЦП^ Н^естз , т.е. матриц, удовлетворяющих равенству

QTgQ — g.

:i.3Q)

Из (1.30), в частности, следует равенство

Qcio — 1 + ^^ QC)k ,

:i.3i)

k=1

откуда видно, что для Псс существуют две возможности:

Qoo < —1 или qqo > 1.

Если Псс > 1, то говорят, что матрица П ортохронна (не меняет направления времени). Совокупность всех ортохронных матриц образует подгруппу группы Ь, обозначаемую через Ь\.

Совокупность всех ортохронных матриц с определителем 1 образует подгруппу ортохронной группы, которая называется собственной группой Лоренца и обозначается Ь+. Ортохронная группа Ь порождается собственной группой Ь+ и матрицей пространственного отражения в; полная группа Лоренца Ь порождается ортохронной группой Ь0 и матрицей отражения времени Р.

"1 0 0 0 -1 0 0 0

s := 0 -1 0 0 , t := 0 1 0 0

0 0 -1 0 0 0 1 0

0 0 0 -1 0 0 0 1

Как следует из (1.31), для ортохронной матрицы П

3 1 /2

Поо + . (1.32)

к=1

Лемма 3. Пусть П — ортохронная матрица, и А := Ек=0 Пок©0©к • Тогда А — положительная самосопряжённая матрица•

Доказательство• В силу (1.8) и вещественности П0к (к Е 0, 3) матрица А является самосопряжённой. Докажем её положительность.

Пусть || • || — норма в М8(С), порождённая скалярным произведением (•, •) в С8. Рассмотрим вспомогательную (самосопряжённую) матрицу А := ^к=1 П0кв0вк. В силу антикоммутационных соотношений (1.6)

А*2 = (Е П2к )Е8, к=1

следовательно,

1|АТ| = (Е П0к )1/2. (1.33)

к=1

Отсюда для произвольного х из

С8

(Ах,х) = П00(х,х) + (Ах, х) > П00(х,х) — ||А||(х,х) = с(х,х),

где с := П00 — ||А||. Согласно (1.32) и (1.33) с > 0. Положительность матрицы А доказана. □

1.6. Матрица В.

Рассмотрим матрицу

B

0 ([ Л1 ])

1У2)([ -О10 ]) о

Очевидны следующие соотношения (см. также предложение 1):

B _ B, BT _ B—l _ —B. (1.34)

При помощи прямой проверки с использованием (1.34) и предложения 1 нетрудно убедиться в справедливости следующих свойств матрицы B.

Предложение 5. Справедливы следующие утверждения.

(a) Матрица B удовлетворяет соотношениям:

B0k _ 0kB, 0kB _ B0k (k E 0,3).

(b) Матрица B коммутирует с произвольной матрицей из C(M2(C)) и антиком-

мутирует с произвольной матрицей из A(M2(C)).

2. Лоренц—инвариантность матриц Ok

Здесь мы рассмотрим связь между матрицами 0k и матрицами

4

0 k _Y,Qki0i, (2.1)

i=0

где Q — матрица из группы Лоренца L.

Из (1.30) и соотношений Дирака для матриц 0k непосредственно следует, что матрицы 0k также удовлетворяют соотношениям Дирака. Действительно,

0 i0 j + 0 j 0 i qik j (0k 0p + 0p 0k )_2^ ^ik gkpj _ 2g ij E.

k,p£ О7З k,p£ О7З

Согласно рассуждениям п. 1.3 существует обратимая матрица Л из M8(C), сплетающая 0k и 0k (равенство (1.22)). Как явствует из предложения 2, матрица Л задана с точностью до обратимой матрицы P из C(M2(C)). Далее будут рассмотрены условия, позволяющие выбирать матрицу Л с точностью до знака, как и в классической теории матриц Дирака. Вначале рассмотрим вспомогательные рассуждения. Зафиксируем Q E L; под 0k далее будем подразумевать матрицы (2.1), а под Л — некоторую матрицу, удовлетворяющую (1.22) для данных матриц 0 k.

Лемма 4. Справедливы следующие утверждения.

(a) Если P E C(M2(C)), то лРл-1 e C^(C)).

(b) Если Р E A(M2(C)), то лРл-1 e A(M2(C)).

Доказательство. (а). В силу того, что матрица Р коммутирует с матрицами 0к, то, согласно (2.1), она коммутирует также и с матрицами вк. Поэтому выполняется следующая цепочка:

0к ЛРЛ-1 = Лв к РЛ-1 = ЛРв к Л-1 = ЛРЛ-10к.

(Ь). Доказательство аналогично. □

Лемма 5. Пусть Я Е А(М2(С)), а матрица Л дополнительно удовлетворяет, условиям:

л* = 0°Л-10°, Л = В-1 лВ, (2.2)

где В — матрица из п. 1.6. Тогда справедливы следующие утверждения.

(a) Если Я — вещественная матрица, то и лЯл-1 вещественна.

(b) Если Я — симметрическая матрица, то и лЯл-1 симметрична.

(c) Если Я — антисимметрическая матрица, 'то и лЯл-1 антисимметрична.

Доказательство. (а). В силу равенств (2.2), п. (Ь) предложения 5 и п. (Ь) леммы 4 получим:

ЛЯЛ-1 = Л Я Л-1 = В-1ЛВЯВ-1Л-1В = -В-1ЛЯЛ-1В = В-1ВЛЯЛ-1 = ЛЯЛ-1.

(b). В силу тех же, что и в п. (а), условий, а также равенств 0° = (0°)-1 = 0°, будем иметь:

(ЛЯЛ-1 )т = (Лт )-1Ятлт = (Л**)-1ЯЛ** = (0°Л-10°)-1Я(0°Л-10°) = = 00 Л 0° я ©о Л-1 0° = 0°В-1 ЛВ0°Я0°В-1Л-1 В0° = = -0°В-1ЛВЯ(0° )2В-1Л-1В0° = 0°В-1ЛЯВВ-1Л-1В0° = = -0°В-1ВЛЯЛ-10° = (0°)2ЛЯЛ-1 = ЛЯЛ-1.

(c). Доказывается аналогично п. (Ь). □

Рассмотрим матрицы Я- := А([° -°1 ]), Я+ := А([ - °]). Под В опять подразумевается матрица из п. 1.6.

Теорема 2. Пусть П — ортохронная матрица. Существуют ровно две матрицы Л, отличающиеся знаком и удовлетворяющие равенствам

4

Е^е* = Л-10к Л; (2.3)

i=0

л* = е0л-1е0; (2.4)

Л = В-1лВ; (2.5)

лЯ- = R- Л; (2.6)

ЛЯ+ = Я+Л. (2.7)

Доказательство.

I. Пусть матрица Л удовлетворяет (2.3). Покажем, что матрица Р :_ 0°Л*0°Л коммутирует с матрицами 0k. Заметим, что из (1.9) и (2.1) следуют равенства 0°(0k)* _ 0k0° (k E 0, 3); поэтому, применяя (2.3), получим цепочку:

P0k _0oл*0oл0k _ 0oл*0o0kл _ 0°Л*(0k)*0°Л _

(2 8)

_0°(0k )*л*0oл_0k 0oл*0oл_0k P.

Покажем теперь, что матрица P является положительной. Действительно, согласно (2.8)

Л*Л _ 0oPл—■10°Л _ P0°Л—10°Л _ P0°0° . (2.9)

Матрица 0°0° _ £k=° Q°k0°0k

является положительной согласно лемме 3. Положительность матрицы P следует теперь из условия коммутирования матриц P и 0°0°, равенства (2.9) и положительности 0°0°.

Применяя замечание 1 и теорему 1 к матрице P, получим существование такой положительной матрицы A из M2(C), что P _ C(A). При этом, согласно замечанию 1 выполнено равенство P—l/2 _ C(A—1/2) (т.е. матрица P—l/2 коммутирует со всеми 0k). Положим Pl :_ лP—l/2л—l и Л1 :_ PlЛ. Согласно лемме 4 матрица Pl коммутирует со всеми 0k, поэтому по предложению 2 матрица Л1 удовлетворяет (2.3). Тогда имеем:

0°Л*0°Л1 _ 0°Л*^'5^ _ 0°Л*(л*)—lP—l/2л*0oлP—l/2л—lл _ 0°P —1/2Л*0°ЛP—1/2 _ 0°P —1/2P*0°P —1/2 _ E ,

т.е. матрица Л1 удовлетворяет также и (2.4).

Пусть теперь Л1 и Л2 — некоторые матрицы, удовлетворяющие (2.3) и (2.4). Тогда

(Л2Л—l)* _ (Л1)—1Л* _ (0°Л—10°)—1(0°Л—l0°) _ 0°Л2Л—10° _ _ 0°(Л2Л—1)—10° _ (Л2Л—1)—1(0°)2 _ (Л2Л—1)—l,

таким образом, матрица Л2Л—l унитарна, что согласно замечанию 1 означает, что Л2Л—l лежит в C (U(2)) (U(n) — группа унитарных матриц размерности n).

Обратно, легко проверить, что если матрица Л удовлетворяет (2.3) и (2.4), то для произвольной матрицы V из C (U(2)) матрица VЛ также удовлетворяет (2.3) и (2.4). Таким образом, показано, что существуют матрицы Л, удовлетворяющие (2.3) и (2.4), при этом

Л1 и Л2 удовлетворяют (2.3) и (2.4) ^

^ (Л1 удовлетворяет (2.3) и (2.4) ) Л (3 V E C (U(2)) Л2 _ ^l). (2Л0)

II. Заметим, что для матрицы Л, удовлетворяющей (2.3) и (2.4) выполняется равенство

Л*Л_0°Л—10°Л_0°0° . (2.11)

Рассмотрим матрицу V := ВЛВЛ-1. Покажем, что матрица V коммутирует с матрицами 0к. Прежде заметим, что в силу (2.1) и п. (а) предложения 5 справедливы

соотношения ___

Ввк = вкВ, вкВ = Ввк (к Е 0,3). (2.12)

Применяя (2.3), (2.4), предложение 5 и (2.12), получим:

V 0к = В ЛВЛ-10к = В ЛВв к Л-1 = В Л<Э к Вл-1 = В0ЛВЛ-1 = 0к ВЛВ Л-1 = 0к V.

Покажем теперь, что V является унитарной матрицей. Действительно, используя (2.11) и уже указанные свойства В, будем иметь:

V V = (ВЛВЛ-1)*ВЛВЛ-1 = (Л*)-1В *Л*В*В ЛВЛ-1 = -(Л*)-1В (Л*Л)ВЛ-1 =

= -(Л*)-1 В0°в °В Л-1 = -(Л*)-10°В2в °Л-1 = (Л*)-1(Л*Л)Л-1 = Е.

Согласно предложению 4 существует унитарное решение V1 уравнения 17V-1 = V, лежащее в С(М2(С)) , т.е. V1 Е С (и(2)). Положим Л1 := гУ1Л. Согласно (2.10), Л1 удовлетворяет (2.3) и (2.4). При этом, согласно п. (Ь) предложения 5

ВЛ1В Л-1 = -ВУ[ ЛВЛ-^-1 = -ЦВлВл-^-1 = -V VV1-1 = -Е,

откуда, в силу (1.34), следует, что Л1 удовлетворяет (2.5).

Пусть теперь Л1 и Л2 — некоторые матрицы, удовлетворяющие (2.3) — (2.5). Согласно (2.10) V := Л2Л-1 Е С (и(2)), при этом (см. п. (Ь) предложения 5)

(Л2Л-1) = Л2 (Л1)-1 = В-1Л2ВВ-1Л-1В = В-1Л2Л-1 В = В-1 ВЛ2Л-1 = Л2Л-1,

т.е. V Е C (O(2)) (O(n) — группа вещественных ортогональных матриц порядка n). Нетрудно убедиться и в обратном: если домножить слева матрицу Л, удовлетворяющую (2.3) — (2.5), на произвольную матрицу из C(0(2)), то полученная матрица тоже будет удовлетворять (2.3) — (2.5).

Таким образом, мы приходим к заключению: существуют матрицы Л, удовлетворяющие (2.3) — (2.5), при этом

Л1 и Л2 удовлетворяют (2.3) — (2.5) &

& (Л1 удовлетворяет (2.3) — (2.5) ) Л (3 V Е C (0(2)) Л2 = ^1). (2Л3)

III. Отметим следующие факты. Ортогональная группа O(n) состоит из двух непересекающихся частей: (подгруппы) 0+(n), состоящей из матриц с детерминантом 1, и 0-(n), состоящей из матриц с детерминантом —1. В связи с этим очевидны соотношения:

0±(n)0±(n) С 0+(n), 0±(n)0T(n) С O-(n), 0T(n)0±(n) С O-(n). (2.14)

В случае n = 2 подгруппа 0+ (2) состоит из матриц вида

u(t) :=

cos t sin t — sin t cos t

cos t sin t - cos t sin t

sin t — cos t sin t cos t

а множество 0— (2) — из матриц вида

пглс i ein i

(t E [0, 2n)).

При этом можно непосредственно убедиться в справедливости равенства

C(u(t))R— C(u(t)) — lR— _ C(u(2t)) (t E [0, 2n)). (2.15)

Пусть теперь матрица Л удовлетворяет (2.3) — (2.5).

В силу п. (b) леммы 4 и леммы 5 заключаем, что лR— Л—l — симметрическая матрица из A(0(2)), откуда делаем вывод, что

лR— Л—l ea(0— (2)). (2.16)

Из (1.20), (2.14) и (2.16) следует, что

лR— л—^— EC (0+(2)). (2.17)

Включение (2.17) означает существование такого числа t° из [0, 2п), что

лR— л—^— _ C(u(t°)). (2.18)

Положим Vl :_ C (u(t°/2)), Л1 :_ VlЛ. Матрица Л1 согласно (2.13) также будет удовлетворять (2.3) — (2.5), при этом из (2.15), (2.18) и равенства R^ _ E следует цепочка

Л1 R— Л—lR— _ V^R— _ V^R— л—lR—)R— Vl—lR— _

_ (ЛR— Л—lR—)VlR—V1—lR— _ E,

т.е. Л1 удовлетворяет и равенству (2.6).

Пусть V E C(0(2)). Непосредственно проверяется следующее утверждение:

R— V _ VR— & V — одна из матриц ± Es, ±C([° —0l ]). (2.19)

Из (2.19) немедленно следует утверждение: существуют матрицы Л, удовлетворяющие (2.3) — (2.6), при этом

Л1 и Л2 удовлетворяют (2.3) — (2.6) & (Л1 удовлетворяет (2.3) — (2.6)) Л Л ^Л2 _ VЛl, где V — одна из матриц ± E8, ±C([° _°l .

(2.20)

IV. Пусть матрица Л удовлетворяет (2.3) — (2.6).

В силу п. (с) леммы 4 и леммы 5 заключаем, что ЛR+ Л—l — антисимметрическая матрица из A(0(2)), откуда делаем вывод, что

ЛR+ Л—l _ ±R+ ,

т.е. (отметим, что Я+ = -Е)

ЛЯ+ = ±Я+Л. (2.21)

Непосредственно проверяется, что

матрицы Я+ и С([о _01 ]) антикоммутируют. (2.22)

Положим V := С ([° -)1 ]) и определим Л1 := Л, если в формуле (2.21) — знак "+ и Л1 := VЛ, если в (2.21) — знак "-". Матрица Л1 в силу (2.20) также будет удовлетворять (2.3) — (2.6), при этом в случае "-" согласно (2.22) имеем:

Л1Я+ - Я+Л1 = VЛЯ+ - Я^Л = VЛЯ+ - Я^Л = -(VЯ+ + Я^)Л = 0,

т.е. Л1 удовлетворяет и равенству (2.7).

Пусть теперь Л1 и Л2 — некоторые матрицы, удовлетворяющие (2.3) — (2.7). Из (2.20) и (2.22) немедленно следует, что Л2Л-1 = ±Е. Доказательство теоремы завершается на том очевидном факте, что если матрица Л удовлетворяет соотношениям (2.3) — (2.7), то и противоположная ей матрица также будет удовлетворять этим соотношениям. □

Следствие 2. Пусть П — ортохронная матрица. Существуют ровно две матрицы Л, отличающиеся знаком и удовлетворяющие равенствам

4

^Пкг0г = Л-10к Л; (2.23)

г=°

Л* = -0°Л-10° ; (2.24)

Л = В-1ЛВ; (2.25)

ЛЯ- = Я- Л; (2.26)

ЛЯ+ = Я+Л. (2.27)

Доказательство. Вытекает из теоремы 2 и связи матриц 0к и 0к (см. (1.5)). При этом в соотношениях (2.23) — (2.27) участвуют те же матрицы Л, что и в соотношениях (2.3) — (2.7). □

Замечание 3. Из соотношений (2.23) — (2.27) элементарно следует, что множество всех матриц Л, удовлетворяющих соотношениям (2.23) — (2.27), когда П пробегает ортохронную группу , образует группу, которую обозначим £°. При этом группа £° гомоморфна группе пусть Хо — соответствующий гомоморфизм £° на Ь°, тогда ядро гомоморфизма Хо есть кегх° = {-Е,Е}.

3. Вид матрицы Л в случае поворотов и отражений 3.1. Повороты.

Обозначим через (ф) матрицу поворота на угол ф в плоскости ха хв пространства Минковского М (а, в Е 0, 3; здесь и далее а = в)• Когда а, в Е 1, 3 — это обычный поворот на угол ф, в противном случае — гиперболический поворот,

т.е.

10 0 0

0 cos ф sin ф 0 0 — sin ф cos ф 0

0

0

0

1

П10(ф)

ch ф sh ф 0 0

sh ф ch ф 0 0

0 0 10

0 0 0 1

и т.д.

Нетрудно видеть, что существует предел lim1 {E — (е)), который мы обозначим через Zaß. Матрица Zaß называется инфинит,езимальной матрицей поворота в плоскости xa xß (см. [4, 3]). При этом компоненты матрицы Zaß выражаются через компоненты метрического тензора g следующим образом:

Zif = öiagjß — Sißgja (i,j E 3),

(3.1)

откуда непосредственно видно, что Zвa = —Zaв (формула (3.1) означает следующее: при а < в минорная матрица, стоящая на пересечении строк и столбцов с номерами а и в в Zaв имеет вид [ 1 _ ] , если а > 0 и [ _01 "01 ] , если а = 0; остальные компоненты матрицы Zа в — нулевые).

Предложение 6. Матрицы Zaв удовлетворяют соотношению

3

£ Zk!©г = ©_ - 8ка©_ (а,в Е 073)

г=0

(8^ — символ Кронекера).

Доказательство. Непосредственно из определения метрического тензора д и свойств матриц ©к (©__1 = -дкк©к) получаем цепочку:

Zki ©i = giß — Skß gia )©i = Ska ^^ giß ©i — gia ©

i=0

i=0

i=0

Ska gßß ©ß — Skß ga a©a = Skß ©-1 — Ska ©-

Рассмотрим матрицы

К

aß :=©-1©-1 (a,ß E 0, 3)

i=0

□

(3.2)

Пусть [A, B] := AB — BA — коммутатор матриц A и B.

Предложение 7. Матрицы кав удовлетворяют следующим соотношениям (а, в £

07~3):

ква = -кав ; (3.3)

„aß\2 I -E : е 1 3

(кав)2 = i ' ' ; (3.4)

V ; E , (а = 0) V (ß = 0) ' 1 ^

.1

Кав, 0fc] = ókfi0-1 - 6кав- (k £ 0, 3). (3.5)

Доказательство. Равенства (3.3), (3.4) тривиально вытекают из антикоммутационных соотношений для матриц 0к (см. (1.5), (1.6)). Докажем равенства (3.5). Из тех же антикоммутационных соотношений и очевидного равенства дцд%к = Ski получим:

[1 Кав, 0к ] = 1 (0-10-10к - 0к 0-10-1) = 1 (-даа )(-двв )(0а0в 0к - 0к 0«0в) = = 1 даадвв (0а(-%к - 0к0в) - 0к0а0) = 1

2 QaaQßß {-2gßk©а - (-2gak - ©k©«)©,s - ©k©«©e)

1 gaagßß (2g«k©в - 2g^k©a) = Skß©-1 - $ka©■

Рассмотрим матрицу

□

!

. / n i cos ф E + sin ф , а, ß £ 1, 3 . _ , ,

ла13(ф) = {o ¿e + s«2vßпч (фgr). (3.6)

ch I E + sh I Kaß , (а = 0) V (ß = 0)

Теорема 3. Матрицы лав(ф) обладают следующими свойствами:

функция ф ^ лав(ф) непрерывна; (3.7)

лав (0) = Е; (3.8)

Лав(ф1 + ф2) = лав(фг)аав(ф2) (ф1) ф2 е К); (3.9)

х1{лав(ф)) = пав(ф) (ф е К). (3.10)

Доказательство. Свойство (3.7) и равенство (3.8) очевидны. Равенство (3.9) элементарно следует из (3.4) и свойств круговых и гиперболических функций.

Соотношение (3.10) также непосредственно проверяется: используются свойства круговых и гиперболических функций, антикоммутационные свойства матриц ок, а также соотношения между матрицами В, Я-, Я+ и ок (заметим, что (3.10) есть краткое выражение того, что матрица лав (ф) удовлетворяет соотношениям (2.23) — (2.27) при П = пав(ф), см. замечание 3). Для иллюстрации проведём доказательство равенства (2.23) для частного случая к = а, а е 1,3.

Пусть вk := yh=o • Замечая, что 6- 1 = ©¿, в, 1в- 1 в» = — 6- для

i,j Е 1, 3 , i = j, получим цепочку:

лав (ф)ва = (cos ф E + sin ф 6"16-1)(cOS ф 6а + sin ф 6в) =

ф ф -1-1 ф ф -1 = cos 2 cos ф 6а + sin 2 cos ф 6а 6в 6а + cos 2 sin ф 6? + sin 2 sin ф ва =

( ф ф ) ^ ( ф ф ) „ = (cos 2 cos ф + sin 2 sin ф ва + (cos 2 sin ф — sin 2 cos ф 6? =

= cos^ — ф)ва + sin(ф — ф)вв = 6a(cos ф E + sin ф 6-16-1) = 6аЛ°?(ф) •

Заметим, что при любом ф матрица лав(ф) обратима, и Ла?(ф)-1 = лав(—ф) в силу (3.9). □

Справедливо и обратное утверждение.

Теорема 4. Если матрицы ла?(ф) (ф Е R) из M8(C) удовлетворяют (3.7) — (3.10) теоремы 3, 'то ла?(ф) есть матрица вида (3.6).

Доказательство. Как известно, если отображение ф ^ ла?(ф) непрерывно и удовлетворяет (3.8), (3.9), то оно является аналитическим (см., например, [5, Гл.111, §3]2). Существует инфинитезимальная матрица

Ка? := lim 1 (Ла? (е) — E),

при этом Ла? (ф) выражается через Ка? экспоненциально:

лав(ф) = е*к"в • (3.11) Далее, с точностью до о(е) запишем:

па?(е) w E — eZa?, лав(е) w E + еКа?, лав(е)-1 w E — еКа? , откуда получим

ла?(e)-16kлав(е) w (E — еКа?)6k(E + еКа?) w 6k — е[Ка?, 6k]; (3.12)

3 3 3

£ ПО?(е)6» w £(Ski — )6i = 6k — е £ Zfcf 6» • (3.13)

i=0 i=0 i=0

Сравнивая (3.12) и (3.13), приходим к равенствам

з

[Kaß, ©fc] = £ ©г (k Е 0, 3). (3.14)

i=0

2 В [5] рассматриваются скалярные функции, однако соответствующие рассуждения легко могут быть перенесены на матричный случай.

Из (3.14), предложения 6 и равенств (3.5) предложения 7 следует, что матрица Кав удовлетворяет тем же коммутационным соотношениям, что и матрица 2 кав. Следовательно, их разность Р := Кав — 2 кав коммутирует с матрицами Ок. Далее, равенства (2.24) — (2.26) для лав(е) дают:

Е + е{2 (кав)* + Р*) « —©с{Е — е{ 1 Кав + Р))©с ,

Е + е{2К^ + Р) « В-1{Е + е{2 кав + Р))В ,

{Е + е{2 (кав) + Р))Я- « Д- {Е + е{2 кав + Р)) ,

откуда, в силу равенств (кав)* = — ©°кав©0, кав = В-1кавВ, кав= Е-кав, справедливость которых следует из определения (3.2) и антикоммутационных соотношений для матриц ©к, получаем условия на матрицу Р (см. п. (а) предложения 5):

Р * = ©оР ©0 = ©°Р = —Р, (3.15)

Р = В-1РВ = В-1ВР = Р, (3.16)

РД- = Д-Р. (3.17)

Теперь используем теорему 1. Из условий (3.15), (3.15) следует равенство Р = С([ _°0 0]) для некоторого г е К; но матрица такого вида антикоммутирует с Я-(так как антикоммутируют матрицы [0 0] и [1 _01 ]). Таким образом, Р = 0, и

Кав = 2 кав . (3.18) 2

Доказательство теоремы завершается применением равенства (3.4) к равенствам (3.18) и (3.11). □

3.2. Отражения s и t.

Из антикоммутационных соотношений для матриц 0^ непосредственно вытекает следующий результат.

Предложение 8. Справедливы следующие утверждения.

(a) Х0(0О) = s;

(b) матрица Л := 01020з удовлетворяет (2.23) для П := t

(т.е. пространственному отражению соответствует матрица 0О, а отражению времени — 010203).

ж

Замечание 4. Из предложения 8 следует, что группа L, порождённая группой L0 и матрицей 010203 , гомоморфна полной группе Лоренца L; пусть % — соответствующий гомоморфизм L на L, тогда ker % = {-E,E}.

Замечание 5. Из теоремы 3 и предложения 8 следует, что группа £ содержится

в вещественной линейной оболочке матриц ©к:

£ С Ьтж{©к | к е 0,3} .

Список цитируемых источников

1. Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Оксак А. И., Тодоров И. Т. Общие принципы квантовой теории поля. — Москва: Наука, 1987. — 615 с.

2. Боголюбов Н. Н., ШирковД. В. Введение в теорию квантованных полей. — Москва: Наука, 1984. — 600 с.

3. ГельфандИМ, МинлосР. А., Шапиро З. Я. Представления группы вращений и группы Лоренца, их применения. — Москва: Наука, 1958. — 367 с.

4. МессиаА. Квантовая механика. — Т. 1: Квантовая механика: Пер. с франц. — Москва: Наука, 1978. — 478 с.

5. НаймаркМ. А. Теория представлений групп. — Москва: Наука, 1976. — 564 с.

Получена 20.11.2017