Научная статья на тему 'О кривых с постоянными кривизнами в псевдоевклидовом пространстве'

О кривых с постоянными кривизнами в псевдоевклидовом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
78
19
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
КРИВИЗНА / РЕПЕР ФРЕНЕ / ОРБИТА ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ГРУППЫ ИЗОМЕТРИЙ / ПСЕВДОЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО / CURVATURE / FRENET FRAME / ORBIT OF A ONE-PARAMETER ISOMETRY GROUP / PSEUDO-EUCLIDEAN SPACE

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Зубарева И.А.

Автор доказала, что все кривизны регулярной кривой \mbox{в $n$-мерном} псевдоевклидовом пространстве $\mathbb{E}^{n}_{l}$, $n\geq 2$, произвольного индекса $l$ постоянны тогда и только тогда, когда эта кривая есть орбита некоторой однопараметрической подгруппы группы всех движений пространства $\mathbb{E}^{n}_{l}$.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

On Curves with Constant Curvatures in the Pseudo-Euclidean Space

The author proved all curvatures of a regular curve in $n$-dimensional pseudo-Euclidean space of an arbitrary index, $n\geq 2$, are constant if and only if the curve is an orbit of a one-parameter isometry group of the space.

Текст научной работы на тему «О кривых с постоянными кривизнами в псевдоевклидовом пространстве»

Математические структуры и моделирование 2018. №4(48). С. 21-26

УДК 514.764.7+517.926.7 DOI: 10.25513/2222-8772.2018.4.21-26

О КРИВЫХ С ПОСТОЯННЫМИ КРИВИЗНАМИ В ПСЕВДОЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

И.А. Зубарева

к.ф.-м.н., доцент, e-mail: i_gribanova@mail.ru

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Омск, Россия

Аннотация. Автор доказала, что все кривизны регулярной кривой в п-мерном псевдоевклидовом пространстве Е™, п ^ 2, произвольного индекса I постоянны тогда и только тогда, когда эта кривая есть орбита некоторой однопараметрической подгруппы группы всех движений пространства Е™.

Ключевые слова: кривизна, репер Френе, орбита однопараметрической группы изометрий, псевдоевклидово пространство.

Предварительные сведения и вспомогательное утверждение

Кривые с постоянными кривизнами в n-мерном евклидовом пространстве, п ^ 3, бегло рассмотрены в книге Ю.А. Аминова [1]. Там показано, что вид кривых с постоянными ненулевыми кривизнами в чётномерных и нечётномер-ных евклидовых пространствах существенно различается. Именно в чётномер-ном евклидовом пространстве такая кривая ограничена и является сферической, т. е. лежит на некоторой сфере, а в нечётномерном она уходит по одному направлению в бесконечность. Несколько более расширенное утверждение другим способом было получено в книге С.В. Сизого [2].

В этой статье доказано, что регулярные кривые с постоянными кривизнами в n-мерном псевдоевклидовом пространстве E™, п ^ 2, произвольного индекса / есть в точности орбиты однопараметрических подгрупп группы всех движений этого пространства.

Псевдоевклидово пространство E™ индекса I, где п, I — целые числа, п ^ 2, 0 ^ I ^ п/2, есть n-мерное векторное пространство с псевдоскалярным произведением

{(xi,... ,хп), (у1,...,уп)} := -Х1У1-----Xiyi + Xi+iyi+i + . ..хп уп.

Очевидно, что Eq — n-мерное евклидово пространство. Скалярный квадрат вектора х = (xi,... ,хп) в E™ имеет вид

2 г 1 2 2,2, 2

/у— •- J /у» /у» I - -_ ф Ф Ф _ rY' -Л— <у -Л— rY'

kKj .--KKJ } --<А/ i KKJ ^ | KKJ ^ |j I » » » •Л-'^

и может быть положительным, отрицательным (при I > 0) или равным нулю. Число ||ж|| '■= \/1 х2 | называется длиной вектора х.

Пусть 7 — регулярная кривая в Е™, г = г(в), з € К, — её естественная

параметризация, т. е. ||г'(з)|| = 1. Определим д0(в) = г'(в). Если 11^^^_х(^)| = 0,

т = 1,... ,п, то положим ет(в) = дт_х(з)/Цдт_1(8)Ц, ет(з) = е2т(з),

т г=1

Если 11^^^_х(^)М = 0, то векторы еДз), г = т,...,п, не определены.

Пусть ЦдДз) || = 0, г = 1,... ,п — 1. Нетрудно показать, что система векторов {ег(8)}г=1,...,п ортонормальна, т. е. ||ег(з)|| = 1, {ei(s),ej(в)} = 0 при г = ], г,] = 1,...,п. Эта система называется базисом Френе кривой 7 в точке г(в). При этом выполнены следующие формулы Френе (см. [3]):

е[(з) = Кх(з)е2(з),

е[(в) = —е^1(з)еЖз)ъ_1(з)е^1(з) + ^(з)еш(в), г = 2,...,п — 1, (1) е'п (я) = —еп_1(8)вп(з)кп_1(з)еп_1(з).

Коэффициенты к1(в), к2(э),..., кп_1(з) называются первой, второй, ..., (п — 1)-ой кривизной кривой 7 в точке г(в), причём все они положительны.

Пусть теперь ||5т(5)|| = 0 для некоторого т € {1,... ,п — 1}. В этом случае система векторов Френе {eí(s)}í=1..,m ортонормальна, и выполнены следующие формулы Френе:

е^в) = К1(в)е2 (в),

е[(в) = —е^1(з)е^з)ъ_1(з)е^1(з) + ^(з)еш(в), г = 2,... ,т — 1, (2) ет (э) = —ет_1(з)£т(8)кт_1(8)ет_1(8).

Коэффициенты к1 (в), к2(э),..., кт_1(в) называются первой, второй, ..., (т — 1)-ой кривизной кривой 7 в точке г(в), причём все они положительны. При этом т-ая кривизна кт(з) равна нулю, а остальные кривизны ^т+1(8),..., кп_1(8) не определены.

Предложение 1. Функции е^в) := е2(в), в € К, г = 1,...,т, т ^ п, постоянны, т. е. е^в) = £1.

Доказательство. Из (2), определения функций е^в) и ортонормальности системы векторов eí(в), г = 1,... ,т, следует, что для любого в € К

£'1(3) = 2{е11(з),е1(з)} = 2к1(з){е2(з),е1(з)} = 0,

е[(в) = 2{е[(в), е^в)} = —£^1(з)£^з)гн_1(з){е_(з),еДз)}+ +^(з){еш(з),ен(в)} = 0, г = 2,... ,т — 1, £'т(8) = —£т_1(з)£т(з)кт_1(з){ет_1(з),ет(з)} = 0. Поэтому функции £г(з), г = 1,... ,т, постоянны. ■

1. Основной результат

Основной результат работы составляет следующая теорема.

Теорема 1. Все кривизны регулярной кривой в п-мерном псевдоевклидовом пространстве Е™, где п, I — целые числа, п ^ 2, 0 ^ I ^ п/2, постоянны тогда и только тогда, когда эта кривая есть орбита некоторой однопа-раметрической подгруппы группы всех движений пространства Е™.

Доказательство. Достаточность теоремы 1 очевидна. Докажем необходимость.

1. Пусть 7 — регулярная кривая в псевдоевклидовом пространстве Е™ с естественной параметризацией г(в), в Е Е, имеющая постоянные ненулевые кривизны к1,..., Кп-1.

Систему дифференциальных уравнений Френе (1) для векторов е^),... ,еп(в) можно записать в виде Х'(в) = АХ (в), где X (в) — квадратная матрица порядка п, г-ая строчка которой есть декартовы координаты вектора ег(в), г = 1,... ,п, А — трёхдиагональная матрица системы (1). Тогда

X (в) = ехр(5А)Х (0). (3)

Обозначим через I диагональную матрицу порядка п такую, что 1ц = — 1 при г = 1,... ,1 и 1ц = 1 при г = I + 1,... ,п.

Лемма 1. Для каждого в е Е матрица X(з)1ХТ(з) есть диагональная матрица п-го порядка, причём (X(в)1ХТ(з))ц = £г, г =1,... ,п.

Доказательство. Из определений матриц X(в), I, псевдоскалярного произведения в Е™, ортонормальности системы векторов е1(в),... ,еп(з) и предложения 1 следует, что для любых г,] = 1,... ,п

, , , т, „ г , , , ^ | 0, если г = т, (X(з)1ХТ(8))ц = {ег(в),е3(в)} ^ , = ^

£г, если г = ].

{ ^г,

Положим

\-1

С (в) = (X (0)1 )-1 ехр(-зА) (X (0 )1), з Е Е. (4)

Лемма 2. Для любого з Е Е, Ст(в) = X-1(0)Х(в).

Доказательство. В силу определения матрицы I выполнено I = I-1 = 1Т. На основании (4), (3), леммы 1 и равенства е2 = 1, г = 1,... ,п, следует, что

X(0)СТ(з) = (X(0)1ХТ(0)) (ехр(—зА))т ((X(0)1 )-1)Т =

= (X(0)1ХТ(0)) {(ехр(зА)Х(0)1 )-1)Т =

= (х(0)1ХТ(0)) ((х(8)1ХТ(8))-1)тX(з) = X(8).

Определим вектор d(s) = (di(s),. . . , dn(s)), s e R, формулой

d(s) = r(s) - r(0)CT(s). (5)

Тогда r(s) = ^(s) (r(0)), где ^(s), s e R, есть аффинное преобразование псевдоевклидова пространства E™, задаваемое формулой

Ф(в)(ж)= хСт(s) + d(s), х = (хг,...,хп) e E™. (6)

Нам понадобится следующая лемма.

Лемма 3. Множество {Ф(з), s e R}, определённое формулой (6), есть од-нопараметрическая подгруппа группы всех движений псевдоевклидова пространства E™.

Доказательство. Покажем сначала, что аффинное преобразование ^(s), s e R, есть движение псевдоевклидова пространства E™. Вследствие (6) достаточно доказать, что для любых а = (а\,..., ап), b = (b\,... ,bn) e E™ выполнено равенство {a(s),fi (s)} = {a,b}, где a (s), fi (s) e E™ определены формулами

a(s) = aCT (s), fi (s) = bCT (s).

На основании (3), (4) последние равенства можно записать в виде

a(s) (X(s)I)Т = а (X(0)1 )Т , fi(s) (X(s)I)Т = b (X(0)1 )Т .

Из определений псевдоскалярного произведения в E™, матриц X(s), s e R, и I следует, что последние равенства равносильны равенствам

{e,(s),a(s)} = {ег(0),а}, {ez(s),fi (s)} = {ег(0),Ь}, г =1,..., п. (7)

Так как для каждого s e R система векторов {ei(s)}i=\>.,>n — ортонормальный базис псевдоевклидова пространства E™, e2(s) = £i, г = 1,... ,п, (см. предложение 1), то

п п

а = ^£г{ег(0),а}ег(0), b = ^£г{ег(0),Ъ}ег(0),

г=1 г=1

п п

a(s) = ^2 £i{ei(s),a(s)}ei(s), fi (s) = £i{ei(s),fi (з)}еДз).

i=l i=l

Отсюда и из (7) следует, что

n n

{a,b} = ^ £г{ег(0),а}{ег(0),Ъ} = ^ £t{et(s),a(s)}{et(s), fi(s)} = {a(s),fi (s)},

i=l i=l

т. е. всякое преобразование Ф(з), s e R, есть движение псевдоевклидова пространства E™.

Осталось доказать, что множество движений {Ф(з), в Е Е} псевдоевклидова пространства Е™ образует однопараметрическую подгруппу, т. е. Ф(з + Ь)(х) = = ^(1)(^(з)(х)) для любых Е Е, х Е Е™. На основании (6) это эквивалентно тому, что

с (в + г) = с (г)с (з), ф + г) = ¿(з)ст (г) + ¿(г), 8,г е е. (8)

Первое равенство (8) непосредственно следует из (4) и свойств матричной экспоненты. Тогда на основании (5) второе равенство (8) равносильно равенству

Ф + г) — г(8)Ст (г) = г (г) — г(0)Ст (г), 8,г е Е.

Таким образом, достаточно доказать, что при каждом фиксированном Ь Е Е вектор-функция Н(в) := г(в + Ь) — г(з)Ст (I) переменного в постоянна.

Обозначим через г вектор в Е™, первая координата которого равна 1, а остальные координаты равны нулю. Из определений вектора е1(в) и матрицы X(в), (3) следует, что производная вектор-функции К(в) равна

я'(,в) = в1(з + г) — е1(в)ст(г) = гх(8 + г) — (!х(8)^ ст(г) =

= г (ехр((в + г)А)Х(0)) — (Г(ехр(зА)Х(0))) Ст(г) =

= (гехр^А)^ (ехр(гА)Х(0) — X(0)СТ(г)) .

Тогда, вследствие (3) и леммы 2, Я'(з) есть нулевой вектор, и второе равенство (8) доказано.

2. Пусть теперь 7 — регулярная кривая в псевдоевклидовом пространстве Е™ с естественной параметризацией г(в), в Е Е, имеющая постоянные кривизны к1,..., кт, причём кт = 0, т < п—1. Дополним ортонормальную систему векторов ег(0), г = 1,... ,т, до ортонормального базиса е1(0),...,ет(0), ет+1,... ,еп псевдоевклидова пространства Е™. Фиксируем число к Е {т + 1,... ,п} и определим функции ^(з) = {ег(в),ек}, г = 1,...,т. Вследствие (2) и предложения 1 эти функции удовлетворяют линейной системе дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Л (з) = К1 ¡2(8),

Ц(в) = —£^16^-1^-1(3) + Кг$г+1(в), г = 2,...,т — 1, (9)

причём ¡г(0) = 0, г = 1,...,т. Система (9) имеет единственное решение /¿(в) = 0, г = 1,...,т. Следовательно, для каждого в Е Е векторы е1(з),..., ет(з), ет+1(з) := ет+1,... ,еп(з) := еп задают ортонормальный базис псевдоевклидова пространства Е™. Доопределим е^ = е2, г = т +1,... ,п.

Систему дифференциальных уравнений Френе (2) для векторов е\(з),... ,еп(з) можно записать в виде X '(в) = АХ (в), поэтому выполнено равенство (3). Здесь X(в) — квадратная матрица порядка п, г-ая строчка которой есть декартовы координаты вектора еДз), г = 1,...,п, А — блочно-диагональная матрица, состоящая из двух блоков, верхний — матрица системы уравнений (2), нижний — нулевая матрица порядка п — т.

Пусть снова I — диагональная матрица порядка п такая, что 1ц = —1 при г = 1,... ,1 и 1ц = 1 при г = I + 1,... ,п. Определим аффинное преобразование Ф(з), в е К, псевдоевклидова пространства Е™ формулой (6), где матрица С (в) и вектор ¿(в) заданы формулами (4) и (5) соответственно. Тогда выполнена лемма 3, и кривая г(в) является орбитой точки г(0) относительно однопараметриче-ской подгруппы {Ф(з), в е К} группы движений псевдоевклидова пространства Е™.

Теорема 1 доказана.

2. Благодарности

Автор благодарит профессора В.Н. Берестовского за постановку задачи и полезные замечания.

Литература

1. Аминов Ю.А. Дифференциальная геометрия и топология кривых. М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2. Сизый С.В. Лекции по дифференциальной геометрии. М. : Физматлит, 2007.

3. Борисов Ю.Ф. Снятие априорных ограничений в теореме о полной системе инвариантов кривой в E™ // Сиб. мат. журн. 1997. Т. 38, № 3. С. 485-503.

ON CURVES WITH CONSTANT CURVATURES IN THE PSEUDO-EUCLIDEAN

SPACE

I.A. Zubareva

Ph.D. (Phys.-Math.), Associate Professor, e-mail: lgribanova@mail.ru Institute of Mathematics S.L. Sobolev SB RAS, Omsk, Russia

Abstract. The author proved all curvatures of a regular curve in n-dimensional pseudo-Euclidean space of an arbitrary index, n > 2, are constant if and only if the curve is an orbit of a one-parameter isometry group of the space.

Keywords: curvature, Frenet frame, orbit of a one-parameter isometry group, pseudo-Euclidean space.

Дата поступления в редакцию: 02.11.2018

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.