Математические структуры и моделирование 2018. №4(48). С. 21-26
УДК 514.764.7+517.926.7 DOI: 10.25513/2222-8772.2018.4.21-26
О КРИВЫХ С ПОСТОЯННЫМИ КРИВИЗНАМИ В ПСЕВДОЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
И.А. Зубарева
к.ф.-м.н., доцент, e-mail: i_gribanova@mail.ru
Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Омск, Россия
Аннотация. Автор доказала, что все кривизны регулярной кривой в п-мерном псевдоевклидовом пространстве Е™, п ^ 2, произвольного индекса I постоянны тогда и только тогда, когда эта кривая есть орбита некоторой однопараметрической подгруппы группы всех движений пространства Е™.
Ключевые слова: кривизна, репер Френе, орбита однопараметрической группы изометрий, псевдоевклидово пространство.
Предварительные сведения и вспомогательное утверждение
Кривые с постоянными кривизнами в n-мерном евклидовом пространстве, п ^ 3, бегло рассмотрены в книге Ю.А. Аминова [1]. Там показано, что вид кривых с постоянными ненулевыми кривизнами в чётномерных и нечётномер-ных евклидовых пространствах существенно различается. Именно в чётномер-ном евклидовом пространстве такая кривая ограничена и является сферической, т. е. лежит на некоторой сфере, а в нечётномерном она уходит по одному направлению в бесконечность. Несколько более расширенное утверждение другим способом было получено в книге С.В. Сизого [2].
В этой статье доказано, что регулярные кривые с постоянными кривизнами в n-мерном псевдоевклидовом пространстве E™, п ^ 2, произвольного индекса / есть в точности орбиты однопараметрических подгрупп группы всех движений этого пространства.
Псевдоевклидово пространство E™ индекса I, где п, I — целые числа, п ^ 2, 0 ^ I ^ п/2, есть n-мерное векторное пространство с псевдоскалярным произведением
{(xi,... ,хп), (у1,...,уп)} := -Х1У1-----Xiyi + Xi+iyi+i + . ..хп уп.
Очевидно, что Eq — n-мерное евклидово пространство. Скалярный квадрат вектора х = (xi,... ,хп) в E™ имеет вид
2 г 1 2 2,2, 2
/у— •- J /у» /у» I - -_ ф Ф Ф _ rY' -Л— <у -Л— rY'
kKj .--KKJ } --<А/ i KKJ ^ | KKJ ^ |j I » » » •Л-'^
и может быть положительным, отрицательным (при I > 0) или равным нулю. Число ||ж|| '■= \/1 х2 | называется длиной вектора х.
Пусть 7 — регулярная кривая в Е™, г = г(в), з € К, — её естественная
параметризация, т. е. ||г'(з)|| = 1. Определим д0(в) = г'(в). Если 11^^^_х(^)| = 0,
т = 1,... ,п, то положим ет(в) = дт_х(з)/Цдт_1(8)Ц, ет(з) = е2т(з),
т г=1
Если 11^^^_х(^)М = 0, то векторы еДз), г = т,...,п, не определены.
Пусть ЦдДз) || = 0, г = 1,... ,п — 1. Нетрудно показать, что система векторов {ег(8)}г=1,...,п ортонормальна, т. е. ||ег(з)|| = 1, {ei(s),ej(в)} = 0 при г = ], г,] = 1,...,п. Эта система называется базисом Френе кривой 7 в точке г(в). При этом выполнены следующие формулы Френе (см. [3]):
е[(з) = Кх(з)е2(з),
е[(в) = —е^1(з)еЖз)ъ_1(з)е^1(з) + ^(з)еш(в), г = 2,...,п — 1, (1) е'п (я) = —еп_1(8)вп(з)кп_1(з)еп_1(з).
Коэффициенты к1(в), к2(э),..., кп_1(з) называются первой, второй, ..., (п — 1)-ой кривизной кривой 7 в точке г(в), причём все они положительны.
Пусть теперь ||5т(5)|| = 0 для некоторого т € {1,... ,п — 1}. В этом случае система векторов Френе {eí(s)}í=1..,m ортонормальна, и выполнены следующие формулы Френе:
е^в) = К1(в)е2 (в),
е[(в) = —е^1(з)е^з)ъ_1(з)е^1(з) + ^(з)еш(в), г = 2,... ,т — 1, (2) ет (э) = —ет_1(з)£т(8)кт_1(8)ет_1(8).
Коэффициенты к1 (в), к2(э),..., кт_1(в) называются первой, второй, ..., (т — 1)-ой кривизной кривой 7 в точке г(в), причём все они положительны. При этом т-ая кривизна кт(з) равна нулю, а остальные кривизны ^т+1(8),..., кп_1(8) не определены.
Предложение 1. Функции е^в) := е2(в), в € К, г = 1,...,т, т ^ п, постоянны, т. е. е^в) = £1.
Доказательство. Из (2), определения функций е^в) и ортонормальности системы векторов eí(в), г = 1,... ,т, следует, что для любого в € К
£'1(3) = 2{е11(з),е1(з)} = 2к1(з){е2(з),е1(з)} = 0,
е[(в) = 2{е[(в), е^в)} = —£^1(з)£^з)гн_1(з){е_(з),еДз)}+ +^(з){еш(з),ен(в)} = 0, г = 2,... ,т — 1, £'т(8) = —£т_1(з)£т(з)кт_1(з){ет_1(з),ет(з)} = 0. Поэтому функции £г(з), г = 1,... ,т, постоянны. ■
1. Основной результат
Основной результат работы составляет следующая теорема.
Теорема 1. Все кривизны регулярной кривой в п-мерном псевдоевклидовом пространстве Е™, где п, I — целые числа, п ^ 2, 0 ^ I ^ п/2, постоянны тогда и только тогда, когда эта кривая есть орбита некоторой однопа-раметрической подгруппы группы всех движений пространства Е™.
Доказательство. Достаточность теоремы 1 очевидна. Докажем необходимость.
1. Пусть 7 — регулярная кривая в псевдоевклидовом пространстве Е™ с естественной параметризацией г(в), в Е Е, имеющая постоянные ненулевые кривизны к1,..., Кп-1.
Систему дифференциальных уравнений Френе (1) для векторов е^),... ,еп(в) можно записать в виде Х'(в) = АХ (в), где X (в) — квадратная матрица порядка п, г-ая строчка которой есть декартовы координаты вектора ег(в), г = 1,... ,п, А — трёхдиагональная матрица системы (1). Тогда
X (в) = ехр(5А)Х (0). (3)
Обозначим через I диагональную матрицу порядка п такую, что 1ц = — 1 при г = 1,... ,1 и 1ц = 1 при г = I + 1,... ,п.
Лемма 1. Для каждого в е Е матрица X(з)1ХТ(з) есть диагональная матрица п-го порядка, причём (X(в)1ХТ(з))ц = £г, г =1,... ,п.
Доказательство. Из определений матриц X(в), I, псевдоскалярного произведения в Е™, ортонормальности системы векторов е1(в),... ,еп(з) и предложения 1 следует, что для любых г,] = 1,... ,п
, , , т, „ г , , , ^ | 0, если г = т, (X(з)1ХТ(8))ц = {ег(в),е3(в)} ^ , = ^
£г, если г = ].
{ ^г,
Положим
\-1
С (в) = (X (0)1 )-1 ехр(-зА) (X (0 )1), з Е Е. (4)
Лемма 2. Для любого з Е Е, Ст(в) = X-1(0)Х(в).
Доказательство. В силу определения матрицы I выполнено I = I-1 = 1Т. На основании (4), (3), леммы 1 и равенства е2 = 1, г = 1,... ,п, следует, что
X(0)СТ(з) = (X(0)1ХТ(0)) (ехр(—зА))т ((X(0)1 )-1)Т =
= (X(0)1ХТ(0)) {(ехр(зА)Х(0)1 )-1)Т =
= (х(0)1ХТ(0)) ((х(8)1ХТ(8))-1)тX(з) = X(8).
Определим вектор d(s) = (di(s),. . . , dn(s)), s e R, формулой
d(s) = r(s) - r(0)CT(s). (5)
Тогда r(s) = ^(s) (r(0)), где ^(s), s e R, есть аффинное преобразование псевдоевклидова пространства E™, задаваемое формулой
Ф(в)(ж)= хСт(s) + d(s), х = (хг,...,хп) e E™. (6)
Нам понадобится следующая лемма.
Лемма 3. Множество {Ф(з), s e R}, определённое формулой (6), есть од-нопараметрическая подгруппа группы всех движений псевдоевклидова пространства E™.
Доказательство. Покажем сначала, что аффинное преобразование ^(s), s e R, есть движение псевдоевклидова пространства E™. Вследствие (6) достаточно доказать, что для любых а = (а\,..., ап), b = (b\,... ,bn) e E™ выполнено равенство {a(s),fi (s)} = {a,b}, где a (s), fi (s) e E™ определены формулами
a(s) = aCT (s), fi (s) = bCT (s).
На основании (3), (4) последние равенства можно записать в виде
a(s) (X(s)I)Т = а (X(0)1 )Т , fi(s) (X(s)I)Т = b (X(0)1 )Т .
Из определений псевдоскалярного произведения в E™, матриц X(s), s e R, и I следует, что последние равенства равносильны равенствам
{e,(s),a(s)} = {ег(0),а}, {ez(s),fi (s)} = {ег(0),Ь}, г =1,..., п. (7)
Так как для каждого s e R система векторов {ei(s)}i=\>.,>n — ортонормальный базис псевдоевклидова пространства E™, e2(s) = £i, г = 1,... ,п, (см. предложение 1), то
п п
а = ^£г{ег(0),а}ег(0), b = ^£г{ег(0),Ъ}ег(0),
г=1 г=1
п п
a(s) = ^2 £i{ei(s),a(s)}ei(s), fi (s) = £i{ei(s),fi (з)}еДз).
i=l i=l
Отсюда и из (7) следует, что
n n
{a,b} = ^ £г{ег(0),а}{ег(0),Ъ} = ^ £t{et(s),a(s)}{et(s), fi(s)} = {a(s),fi (s)},
i=l i=l
т. е. всякое преобразование Ф(з), s e R, есть движение псевдоевклидова пространства E™.
Осталось доказать, что множество движений {Ф(з), в Е Е} псевдоевклидова пространства Е™ образует однопараметрическую подгруппу, т. е. Ф(з + Ь)(х) = = ^(1)(^(з)(х)) для любых Е Е, х Е Е™. На основании (6) это эквивалентно тому, что
с (в + г) = с (г)с (з), ф + г) = ¿(з)ст (г) + ¿(г), 8,г е е. (8)
Первое равенство (8) непосредственно следует из (4) и свойств матричной экспоненты. Тогда на основании (5) второе равенство (8) равносильно равенству
Ф + г) — г(8)Ст (г) = г (г) — г(0)Ст (г), 8,г е Е.
Таким образом, достаточно доказать, что при каждом фиксированном Ь Е Е вектор-функция Н(в) := г(в + Ь) — г(з)Ст (I) переменного в постоянна.
Обозначим через г вектор в Е™, первая координата которого равна 1, а остальные координаты равны нулю. Из определений вектора е1(в) и матрицы X(в), (3) следует, что производная вектор-функции К(в) равна
я'(,в) = в1(з + г) — е1(в)ст(г) = гх(8 + г) — (!х(8)^ ст(г) =
= г (ехр((в + г)А)Х(0)) — (Г(ехр(зА)Х(0))) Ст(г) =
= (гехр^А)^ (ехр(гА)Х(0) — X(0)СТ(г)) .
Тогда, вследствие (3) и леммы 2, Я'(з) есть нулевой вектор, и второе равенство (8) доказано.
2. Пусть теперь 7 — регулярная кривая в псевдоевклидовом пространстве Е™ с естественной параметризацией г(в), в Е Е, имеющая постоянные кривизны к1,..., кт, причём кт = 0, т < п—1. Дополним ортонормальную систему векторов ег(0), г = 1,... ,т, до ортонормального базиса е1(0),...,ет(0), ет+1,... ,еп псевдоевклидова пространства Е™. Фиксируем число к Е {т + 1,... ,п} и определим функции ^(з) = {ег(в),ек}, г = 1,...,т. Вследствие (2) и предложения 1 эти функции удовлетворяют линейной системе дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Л (з) = К1 ¡2(8),
Ц(в) = —£^16^-1^-1(3) + Кг$г+1(в), г = 2,...,т — 1, (9)
причём ¡г(0) = 0, г = 1,...,т. Система (9) имеет единственное решение /¿(в) = 0, г = 1,...,т. Следовательно, для каждого в Е Е векторы е1(з),..., ет(з), ет+1(з) := ет+1,... ,еп(з) := еп задают ортонормальный базис псевдоевклидова пространства Е™. Доопределим е^ = е2, г = т +1,... ,п.
Систему дифференциальных уравнений Френе (2) для векторов е\(з),... ,еп(з) можно записать в виде X '(в) = АХ (в), поэтому выполнено равенство (3). Здесь X(в) — квадратная матрица порядка п, г-ая строчка которой есть декартовы координаты вектора еДз), г = 1,...,п, А — блочно-диагональная матрица, состоящая из двух блоков, верхний — матрица системы уравнений (2), нижний — нулевая матрица порядка п — т.
Пусть снова I — диагональная матрица порядка п такая, что 1ц = —1 при г = 1,... ,1 и 1ц = 1 при г = I + 1,... ,п. Определим аффинное преобразование Ф(з), в е К, псевдоевклидова пространства Е™ формулой (6), где матрица С (в) и вектор ¿(в) заданы формулами (4) и (5) соответственно. Тогда выполнена лемма 3, и кривая г(в) является орбитой точки г(0) относительно однопараметриче-ской подгруппы {Ф(з), в е К} группы движений псевдоевклидова пространства Е™.
Теорема 1 доказана.
2. Благодарности
Автор благодарит профессора В.Н. Берестовского за постановку задачи и полезные замечания.
Литература
1. Аминов Ю.А. Дифференциальная геометрия и топология кривых. М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.
2. Сизый С.В. Лекции по дифференциальной геометрии. М. : Физматлит, 2007.
3. Борисов Ю.Ф. Снятие априорных ограничений в теореме о полной системе инвариантов кривой в E™ // Сиб. мат. журн. 1997. Т. 38, № 3. С. 485-503.
ON CURVES WITH CONSTANT CURVATURES IN THE PSEUDO-EUCLIDEAN
SPACE
I.A. Zubareva
Ph.D. (Phys.-Math.), Associate Professor, e-mail: lgribanova@mail.ru Institute of Mathematics S.L. Sobolev SB RAS, Omsk, Russia
Abstract. The author proved all curvatures of a regular curve in n-dimensional pseudo-Euclidean space of an arbitrary index, n > 2, are constant if and only if the curve is an orbit of a one-parameter isometry group of the space.
Keywords: curvature, Frenet frame, orbit of a one-parameter isometry group, pseudo-Euclidean space.
Дата поступления в редакцию: 02.11.2018