CC BY
78
УДК 528.11
Н.В. Федорова СГГ А, Новосибирск
О КРИТЕРИЯХ, ПРИМЕНЯЕМЫХ ПРИ ПОИСКЕ ГРУБЫХ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ
В работе рассмотрен критерий применимый для поиска грубых ошибок измерений по результатам параметрического способа уравнивания. Осуществлен анализ матриц более двух десятков моделей геодезических построений и выявлено несколько закономерностей для сетей с однородными измерениями, одна из которых может называться законом связи поправок в соседние измерения за счет ошибки одного из этих измерений.
Критерий поиска грубой ошибки, циклы уравнивания сети
В настоящее время теория обработки измерений включает, кроме стандартных задач, разработку критериев, с помощью которых можно обнаружить присутствие грубых ошибок в группе совместно
обрабатываемых измерений. Так, по значениям невязок условных уравнений связи в коррелатном способе уравнивания или по значениям свободных членов избыточных измерений в рекуррентном способе, можно указать одно измерение или небольшую группу измерений, в которых с определенной вероятностью присутствует грубая ошибка.
Кроме этих критериев, существуют и такие критерии, с помощью
которых можно обнаружить грубые ошибки, используя результаты
уравнивания. Так, увеличение ошибки единицы веса после уравнивания является явным признаком присутствия в измерениях грубых ошибок. В работе [2] изложено теоретическое обоснование еще одного критерия -отношения поправки измерения к ее допустимому значению. Для геодезических сетей с однородными измерениями критерий
«поправка/допуск» указывает на конкретное измерение, содержащее грубую ошибку.
Цель нашей статьи - предложить еще один критерий, который можно применить для поиска грубых ошибок измерений по результатам параметрического способа уравнивания.
Известно, что распределение истинных ошибок измерений по поправкам из уравнивания описывается матричным уравнением
V. =-0 -А , (1)
п1 пп п1
где Д - вектор (матрица-столбец) истинных ошибок измерений размером пх 1;
УпХ - вектор (матрица-столбец) поправок из уравнивания размером пх 1;
О пп - квадратная матрица элементов g размером « х «; п - количество измерений в сети.
Матрица G имеет двойственную природу: с одной стороны - это матрица преобразователь вектора А в вектор V - формула (1); с другой стороны - это матрица-преобразователь матрицы обратных весов измерений
Р~1 в матрицу обратных весов поправок <2У () = С-Р~1
Формула (2) получается из формулы С = (?у-Р [1] после умножения ее
справа на Р~1. При равноточных измерениях матрица Р превращается в единичную матрицу, а матрица О - в матрицу обратных весов поправок Q .
V
В методике В.А. Коугия [2] элементы О - матрицы используются для формирования отношений «поправка/допуск»; мы же будем использовать первое свойство О -матрицы, которое можно детализировать так:
- Поправка какого-либо измерения К, складывается из некоторой части истинной ошибки А этого же измерения и небольших долей истинных
ошибок других измерений и выражается формулой
п
(3)
7=1
где 7 - коэффициент влияния истинной ошибки 7 -того измерения на
поправку в I -ое измерение;
в 7 -ом столбце О -матрицы находятся коэффициенты влияния истинной ошибки 7 -ого измерения на поправки в каждое из п измерений;
I -тая строка включает коэффициенты влияния на поправку I -того
измерения истинных ошибок всех п измерений.
Мы проанализировали О -матрицы более двух десятков моделей геодезических построений, начиная с многократных измерений одной величины и кончая системами линейно-угловых ходов с узловыми точками, и выявили несколько закономерностей для сетей с однородными измерениями, одна из которых с полным правом может называться законом связи поправок в соседние измерения за счет ошибки одного из этих измерений. Этот закон
звучит так - в пределах 7 -того столбца сумма произведений
р -ё- ■
I Ь]
для
измерений по линиям, сходящимся в узловой точке начала и конца 7 -той линии, равна произведению веса измерения по этой линии на диагональный элемент 7 -того измерения р ■ g
В равенстве (4) можно обойтись без знака «модуль», если направления всех линий, сходящихся в одной узловой точке с 7 -той линии, будут совпадать с направлением 7 -той линии.
Для четырех сходящихся измерений с номерами 7,1, к, I это правило записывается в виде
р -ё- ■
і ],]
і ]
+
рк’8^
+
Р; ■ ё;
і ]
для трех измерений с номерами 7, г, к
р -ё ■ ■
і ],]
і у
+
рк'8КІ
для двух измерении с номерами у, і
р -ё ■ ■ =
і ],]
А • &
i, у
(5)
(6)
(7)
При истинной ошибке 7 -того измерения А ее вклад в поправку / -того
измерения равен
V. . =^. . -А .
поэтому р ■ V =
р. ■ V
i, у
+
Vу*. У
+
(8)
£> -V
1,7
(9)
Если в сети одна ненулевая истинная ошибка А/, то
л-^=|л-^|+|л-^|+|р,-4 (10)
где через V обозначены поправки из уравнивания.
Из формулы 10 однозначно следует, что произведение \р ■ У\ для измерения, содержащего грубую ошибку, больше произведения \р'У\ для
любого другого измерения, если в узловой точке сходится больше двух измерений. Это и есть критерий поиска грубой ошибки, который мы назвали «РУ - максимум».
К критерию «РУ - максимум» можно прийти и другим путем. Умножим элементы каждой строчки О -матрицы на вес измерения с номером строки и убедимся, что ву каждом столбце преобразованной матрицы диагональный элемент р • £ . имеет наибольшую величину. Произведение р1 ■ V] выразим
через элементы г -той строки преобразованной матрицы
то наибольшее той строке, что
(її)
РгЪ = А"
7=1
Если в / -том измерении содержится грубая ошибка А, по величине слагаемое р, ■ gi г • Аг будет располагаться в приведет к максимальному значению произведения р1 ■ V].
Если в геодезической сети имеется несколько грубых ошибок, то после 1-го цикла уравнивания фиксируют первый максимум произведения \р-У\ и определяют номер измерения 7. Предполагая, что именно в этом измерении содержится грубая ошибка, вычисляют ее приближенное значение по формуле
-V,. (12)
А,=
&
у, у
п
Результат у -того измерения исправляют на величину вычисленной грубой ошибки А у- и уравнивают сеть второй раз (отбраковывать ошибочное
измерение нельзя. Так как тогда изменится структура сети, и придется пересчитывать не только О -матрицу, но и матрицу коэффициентов нормальных уравнении, корреляционную матрицу поправок и допуски на величину поправок в методике В.А. Коугия [2]). Проверяют выполнение двух
условий цур < //„ и А . < / • //п
— . Если оба условия выполняются, то рі
процесс поиска грубых ошибок можно завершить. В противном случае следует опять определить номер измерения к , для которого абсолютное значение произведения \р ■ У\ по результатам второго уравнивания максимально. Далее нужно составить систему из двух уравнений
8]\]"А]+8]\к-^к=-у]
8к,]' Ау + 8к,к '^к = ~^к> (13)
в которой поправки Уу и Ук берутся из первого уравнивания сети.
Решаем систему и находим два неизвестных А ■ (повторно) и Ак.
Результаты / -того и к -того измерений исправляют поправками А у и Ак и выполняют третье уравнивание сети; снова проверяют два условия
Мур^Мо и
— . Если условия выполняются, то процесс
Р
к
поиска грубых ошибок прекращается; в противном случае опять определяют номер измерения / с максимальным значением произведения \р ■ У\ и
составляют систему уже из трех уравнений, в которое подставляют поправки к измерениям из первого уравнивания сети
8]\] •АУ + ё7,к • Ак + &/,/ •А/ = -Ъ
8к,]' ’ ^у 8к,к 'Ак 8к,1 'А/ — ~^к
81,] ■ Ау + 81,к ■ Ак + 81,1 ■А/ = ~у1 • (14)
Решают систему уравнений и находят значения трех грубых ошибок. Циклы уравнивания сети, определения очередного номера измерения с максимальным значением произведения | р • У\ , составления и решения
системы уравнений, проверки двух условий и направления результатов измерений на величину вычисленных грубых ошибок теоретически можно выполнить (г-1) раз, где г - количество избыточных измерений в сети. На практике количество грубых ошибок, как правило, не превышает одной трети от числа избыточных измерений, а количество циклов уравнивания сети всегда на единицу больше количества обнаруженных грубых ошибок измерений.
Чтобы убедиться, что в геодезической сети обнаружены все грубые ошибки, нужно составить контрольное уравнение
в котором подставляют последние значения вычисленных грубых ошибок и сумму поправок из 1-го цикла уравнивания.
Расхождение левой и правой частей контрольного уравнения при нормальном распределении остальных ошибок измерений не должно превышать некоторого допуска, который можно рассчитать по формуле.
В формуле (16) gu- диагональные элементы (т -матрицы, //0 - средняя
квадратическая ошибка единицы веса до уравнивания.
В заключение укажем ситуации, в котором ни один критерий не может указать конкретное измерение с грубой ошибкой. Во-первых, согласно формуле (7) невозможно решить задачу, например, в одинарном нивелирном ходе, когда в одном репере сходятся всего две линии (секции). Во-вторых, если из & измерений, сходящихся в одной узловой точке, (к — 1) измерений содержат одинаковые по величине и направлению ошибки, то любой критерий припишет грубую ошибку одному оставшемуся доброкачественному измерению. И хотя вероятность второй ситуации чрезвычайно мала, при намеренном искажении результатов измерений она все же возможна.
В линейно-угловых сетях с разнородными измерениями применение тех или иных критериев поиска грубых ошибок требует дополнительных исследований.
1. Маркузе, Ю.И. Основы уравнительных вычислений/ Ю.И. Маркузе. - М.: Недра,
2. Коугия, В.А. Сравнение методов обнаружения и идентификации грубых ошибок измерений/ В.А. Коугия//Геодезия и картография.- 1998.- №6.- С.23-28
£ ■
2Гдоп=2.5-цг I ^
V І Рі )
(16)
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1990.-240 с.
© Н.В. Федорова, 2004
Получено 20.05.00
