CC BY
6
О КРИТЕРИИ СХОДИМОСТИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Шмойлов В.И. Email: Shmoylov6106@scientifictext.ru
Шмойлов Владимир Ильич - старший научный сотрудник, НИИ многопроцессорных вычислительных систем Южный федеральный университет, г. Таганрог
Аннотация: приводятся формулировки R/q-алгоритма и Я/р(+)-алгоритма, которые используются для определения значений, соответственно, бесконечных вещественных знакопеременных и знакопостоянных последовательностей. R/q-алгоритмы позволяют устанавливать как вещественные, так и комплексные значения бесконечных вещественных последовательностей и находить пределы последовательностей, которые не являются фундаментальными и, согласно критерию Коши, определяются как расходящиеся. Показывается, что тригонометрические ряды с вещественными элементами могут иметь комплексные значения. Приведены сходящиеся тригонометрические ряды с единичными коэффициентами, а также сходящиеся тригонометрические ряды с коэффициентами, стремящимися к фиксированным значениям С0 > 1. Устанавливается, что при n —а ядра Дирихле Dn(x) и ядра Фейера Fn(x) представляются одной и той же комплексной функцией.
Ключевые слова: тригонометрические ряды, критерий сходимости вещественных последовательностей, ядра Дирихле и Фейера, R/q-алгоритм.
ON THE CONVERGENCE CRITERION FOR REAL SEQUENCES
Shmoylov V.I.
Shmoilov Vladimir Ilyich - Senior Researcher, RESEARCH INSTITUTE OF MULTIPROCESSOR COMPUTING SYSTEMS SOUTHERN FEDERAL UNIVERSITY, TAGANROG
Abstract: Abstract: the R/q-algorithm and R/q (+)-algorithm formulations are given, which are used to determine the values of infinite real alternating and constant sign sequences, respectively. It is shown that trigonometric series with real elements can have complex values. Convergent trigonometric series with unit coefficients and convergent trigonometric series with coefficients tending to fixed values С0 > 1 are given.
It is established that for n —a Dirichlet kernels Dn(x), and the Feuer kernels Fn(x) are represented by the same complex function. It is shown that complex numbers can be defined in terms of infinite oscillating real sequences, both alternating and constant. Keywords: trigonometric series, convergence, infinite sequences complex number, the Dirichlet and Fier kernel, R/q-algorithm.
УДК 517.524
Введение
Используя R/q-алгоритм, в [1-3] были установлены значения некоторых тригонометрических рядов. Значения рядов приведены для 0 < х < п/2.
1 i£
sinx + sin2x + sin3x +----1- sinnx + ••• = -Xе 2>
4 sin 2
1
sinx + sin3x + sin5x + —I- sin(2n — l)x + ••• =-,
4 sin x
1
sin2x + sin4x + sin6x + —I- sin2nx + ••• =-elx,
4 sinx
sinx — sin2x + sin 3x —----1- (—l)n+1 sinnx + ••• = -Xе 2 '
4 cos 2
1 ж
sinx — sin3x + sin5x — —I- (—l)n+1 sin(2n — l)x + ••• =-e'z,
4cosx
1 -(TL_
sin2x — sin4x + sin 6x — —I- (—l)n+1 sin 2 nx + ••• =-e«
4cosx
1
cosx + cos 2x + cos 3x + —I- cos nx + ••• =-r^e V2 2/,
4 sin 2
1 л
cosx + cos3x + cos5x + —I- cos(2n — l)x + ••• =-e 2,
4 sin x
1 i(-+x)
cos 2x + cos 4x + cos 6x + —I- cos 2nx + ••• =-e V2
4 sinx
1 .£
COSX — COS 2x + COS 3x —----1- (—l)n+1 COS nx + ••• = -Xе'2'
4 cos 2
1
cosx — cos3x + cos5x — —I- (—l)n+1 cos(2n — l)x + ••• = ■
4 cosx 1
cos2x — cos4x + cos 6x — —I- (—l)n+1 cos2nx + ••• =-elx.
4 cosx
Следует обратить внимание, что приведенные сходящиеся тригонометрические ряды имеют единичные коэффициенты, а не коэффициенты, стремящиеся к нулю, как то имеет место в случае рассмотрения сходящихся в классическом смысле тригонометрических рядов [4]. Далее будут также рассмотрены сходящиеся тригонометрические ряды с коэффициентами, стремящимися к фиксированным значениям С 0 > 1 .
Алгоритмы определения значений вещественных последовательностей
В [5] была предложена формулировка условий сходимости бесконечных вещественных последовательностей (Л/^-алгоритм):
Бесконечная вещественная последовательность { ап}п=i сходится и имеет своим значением комплексное число z = г0е 1 90 , если существуют пределы:
ro = limn ^00 ТШИКЛ, (1)
| (р 0 \=n\im—, (2)
п->оо л
где ап- значение n-го элемента последовательности { ап]0= 1,
kn - число элементов ап, имеющих отрицательные значения из совокупности, содержащей n элементов последовательности {ап}0=^
Приведенный алгоритм определения значений бесконечных вещественных последовательностей первоначально был предложен для определения значений расходящихся в классическом смысле непрерывных дробей и именовался как r/q-алгоритм [6-12]. Элементами последовательности выступали значения подходящих дробей. Вскоре выяснилось, что r/q-алгоритм может использоваться для определения значений вещественных последовательностей, порождаемых дробно-рациональными функциями, которые возникают при решении разнообразных задач, в частности, при решении алгебраических уравнений и бесконечных систем линейных алгебраических уравнений [13-18].
Комплексные значения могут иметь, однако, не только знакопеременные последовательности, т.е. последовательности, содержащие как положительные, так и отрицательные элементы, но и знакоположительные и знакоотрицательное последовательности [19]. Сформулируем условия сходимости для знакоположительных последовательностей (К/ф(+)-алгоритм):
Бесконечная вещественная знакоположительная последовательность {ап}'=1, для которой не выполняется критерий сходимости Коши, т.е. знакоположительная последовательность, расходящаяся в классическом смысле, сходится к комплексному числу г = г0е190, если существует пределы:
г0 = 7Пп=1ап, (3)
|<Ро1=^Ит—, (4)
п->оо 71
где ап - п-й элемент знакоположительной последовательности {ап}'=1, £п - число элементов знакоположительной последовательности {ап}'=1, фиксирующих скачкообразные изменения характера последовательности (убывающая/возрастающая), из совокупности, содержащей п элементов этой последовательности.
Если в Л/р-алгоритме аргумент комплексного числа, являющегося значением бесконечной вещественной последовательности, находится предельно просто, а именно, по «доле» отрицательных элементов в последовательности (формула (2) Я/д>-алгоритма), то в К/ф(+)-алгоритме аргумент комплексного числа устанавливается более сложным путём, - через определение в вещественной знакоположительной последовательности «доли» элементов, фиксирующих скачкообразные изменения значений элементов последовательности.
Термин «скачкообразные изменения» можно пояснить на примере двух графиков. На рис. 1 элементы знакоположительной вещественной последовательности представляют комплексное число 3е'0,2:
Зе'0,2 =
1,04 1,04
Рис. 1. Представление z = Зе10,2 аппроксимантами показательной функции
На рис. 2 элементы также знакоположительной последовательности представляют вещественное число:
1 = 1.258З72 ... = sin 0.2 + sin З ■ 0.2 + ••• + sin(2n - 1) ■ 0.2----.
4 sin 0.2
R =
4 sin 0.2
Рис. 2. Значения частичных сумм тригонометрического ряда
На рис. 3а и рис. 3б есть элементы ап, обозначающие локальные минимумы. Запишем соотношение элементов, расположенных в окрестности элемента локального минимума ап, для графиков 1 и 2, показанных на рис. 3а и рис. 3б.
Рис. 3. Элементы знакоположительных последовательностей
Для графика 1, представляющего комплексную величину, имеет место такое соотношение элементов, относительно элемента an, фиксирующего локальный минимум:
an - 1 ^ an> an ^ an+1' an+1 ^ an+ 2 ■ (5)
На рис. 3а отмечен элемент an +1, удовлетворяющий соотношению (5). Подобные элементы an+ъ свидетельствующие о «скачкообразных изменениях» в последовательности, будем относить к множеству tn в формуле (4) Л/^+^-алгоритма, определяющей аргумент комплексного числа, представленного
знакоположительной последовательностью .
Для графика 2, представляющего вещественное число, имеет место иное, нежели в соотношении (5), расположение элементов относительно элемента локального минимума :
an - 1 ^ an' an ^ an+1' an+1 ^ an+2 ■ (6)
Элементы an+1 при соотношении (6) не фиксируют «выбросы» в ходе последовательности, поэтому такие элементы , идущие следом за элементами , означающих локальные минимумы, не относятся к множеству tn формулы (4) R/q>(+)-алгоритма.
Если Л/^-алгоритм находит, что аргумент 0 равен нулю или п, то это свидетельствует не о том, что последовательность имеет вещественное значение, а лишь о том, что анализируемая последовательность является знакоположительной или знакоотрицательной, комплексное значение которой может быть установлено К/ф(±)-алгоритмши с использованием формулы (4). Таким образом, знакоположительные и знакоотрицательные вещественные бесконечные последовательности могут иметь как вещественные, так и комплексные значения.
Используя комплексное значение тригонометрического ряда
1 ¡х 1 / X ч
sinx + sin 2х + —I- sinnx + ••• =-^ е 2 = — I ctg— + il J,
4 sin ^ ^ ^
запишем примеры выражений, генерирующих знакоположительные последовательности, представляющие комплексные пределы:
1 cos— 1 1 1 \
C0 S 2 — 2 с о si-2c О si-----2 CO si-- ■ ■ / (7)
e4sin2 =e4sin2
if X ctg22+1 cta22+1
e K^'O = e42 Ctg2 - 2 - 2 ctgf --2 ctgf - .../ (8)
Целесообразно различные Л/р-алгоритмы, используемые для определения значений бесконечных вещественных последовательностей, объединить в один алгоритм, который сформулируем следующим образом:
Бесконечная вещественная последовательность { ап}^= х сходится и имеет своим значением комплексное число z = г0е"р 0 , если существуют пределы:
r0 = lim„ _ ТПЙКЛ, (9)
| о |=7Tlim—, (10)
п->оо 71
где ап - значение n-го элемента последовательности { ап} х ,
fc„ - число элементов ап, имеющих отрицательные значения из совокупности, содержащей п элементов последовательности {ап}^= х .
Если аргумент комплексного числа 0 , устанавливаемый по формуле (10), равен нулю или п, то есть вещественная последовательность оказывается знакоположительной (знакоотрицательной), и при этом последовательность {ап} не удовлетворяет условиям сходимости Коши, то есть является расходящейся в классическом смысле, то аргумент устанавливаемого комплексного числа, определяется по формуле:
| 0 | = 7Г I im —, (11)
n->CO Tl
где tn - число элементов знакоположительной (знакоотрицательной) последовательности , фиксирующих скачкообразные изменения характера последовательности (убывающая / возрастающая) из совокупности, содержащей n элементов этой последовательности.
Алгоритм определения значений бесконечных вещественных последовательностей, описываемый формулами (9) - (11), будем именовать обобщенным R/q-алгоритмом и обозначать как R/q^-алгоритм.
2. Критерий сходимости вещественной последовательности
Критерий Коши обычно приводится в такой формулировке:
Для существования предела последовательности необходимо и
достаточно, чтобы для любого существовало такое число , что
Iап -ат\<е
для всех и .
Оказалось, однако, что бесконечная вещественная последовательность {an}£= 1 может быть сходящейся и при этом не удовлетворять критерию Коши. В этом случае вещественная последовательность имеет комплексный предел.
Это обстоятельство влечет важные последствия, а именно, необходимость ревизии критерия сходимости вещественных последовательностей. Приведем критерий сходимости последовательностей в такой формулировке:
Для сходимости вещественной последовательности к комплексному числу
необходимо и достаточно, чтобы были фундаментальными последовательности {rn} 1 и { <pn} 1 , т.е.
I/ е > 0 3п£: У- п> п£ Iш > п(е) -» \гп — гт\ < е, I/ е > 0 3п£: У- п> п£ I/ т > п(е) -> |<рп — срт\ < е.
Элементы rn и <pn устанавливаются по элементам исходной вещественной последовательности { an} ™=1 R/q-алгоритмом, т.е. по формулам:
r = V П n=1 1 an 1 , Ы = Я— -
где an- значение n-го элемента последовательности { an} ™= 1,
- число элементов , имеющих отрицательные значения из совокупности, содержащей n элементов последовательности .
Аналогично формулируется критерий сходимости вещественных последовательности, если при определении элементов rn и <pn вместо Rq-алгоритма используются формулы рассмотренного выше обобщённого R/q-алгоритма.
3. Определение R/q-алгоритмом значений тригонометрических рядов
При определении значений бесконечных вещественных последовательностей, элементами которых являются частичные суммы тригонометрических рядов, используется R/q-алгоритм. Элементы этих последовательностей не связаны с показательной функцией, аппроксиманты которой составляют знакоположительные последовательности, могущие иметь комплексные назначения, устанавливаемые R/q(^-алгоритмом.
Следует обратить внимание, что определение значений тригонометрических рядов осуществляется R/q-алгоритмом непосредственно, в то время как суммирование расходящихся в классическом смысле степенных рядов, выполняется через построение по этим рядам так называемых соответствующих непрерывных дробей, то есть фактически устанавливаются не значения расходящихся рядов как таковых, а значения функций, производящих эти ряды, то есть значения производящих функций.
В [20] приводятся теоремы о сходимости тригонометрических рядов.
Теорема 1. Если коэффициенты ап и Ъп положительные, не возрастают и стремятся к нулю при п — со, то тригонометрические ряды
~ + 2 П=1апс о snx, 2 П= ^„s ¿ппх, (12)
сходятся равномерно на любом отрезке [а,Ъ], не содержащем точек вида х = 2 П7Г, п = 0, ± 1 , ± 2 ,. . . .
Теорема 2. Если коэффициенты ап и Ъп положительные, не возрастают и стремятся к нулю при , то тригонометрические ряды
7 + 2 П= i ( - 1 ) па„ с о sпх, 2П= i (-1 ) пЪ„s¿ппх (13)
равномерно сходятся для всех значений х, исключая, быть может, значения х = (2 п + 1 ) 7, п = 0, ± 1 , ± 2 ,. . . .
Используя R/q-алгоритм, в [2] было установлено, что тригонометрические ряды (12) - (13) сходятся не только при стремлении коэффициентов ап и Ъп к нулю, но и при единичных значениях этих коэффициентов. При единичных коэффициентах вещественных рядов (12) и (13) значениями этих тригонометрических рядов оказались комплексные величины:
1 1 i(-+-) — + cosx + cos2х +—Ь cosnx+ ••• =-^е V2 г) 0<х<л
9 л • X ' —
z 4 sin 2
1 1 j(3n — + cosx + cos 2x + —I-cosnx + ••• =-^e^z 2 J л<х<2л
9 Л ■ X ' -
z 4 sin 2
1 L-
sinx + sin2x + —Ь sinnx + ••• =-^e 2, 0 < x < 2л
4 sin 2
1 .X
cosx — cos2x + cos 3x — —I- (—l)n+1cosnx + ••• =-^e'z, 0 < x < л
4 cos 2
1 ■/
cosx — cos 2x + cos 3x — —I-(—l)n+1 cosnx + ••• =-x~e > л < x < 2л
4 I cos ^ I 1 —
sinx — sin2x H-----1-(-l)n+1 sinnx + ••• =-^-eЧ2 2J, о < x < л
4 I cos ^ I
1 ./37Г x\
sinx —sin2x + —I-(—l)n+1 sinnx + ••• =-x~e > л<х<2л
4 |cos ^ I
Установим R/q-алгоритмом значения тригонометрических рядов sin9+b2 sin2<p + —I- bn sinn9 + •••,
C1 COS ф +C2COS 2ф + —I- CnCOS Пф + •••. с коэффициентами Ъп и сп, стремящимися к единице при п — со, а также с коэффициентами и , стремящимися к некоторым константам при .
3.1. Определение значения тригонометрического ряда
Ъ 1 s in х + Ъ 2 s in х + —1-Ъп5тпх + - • •. (14)
Запишем последовательность частичных сумм ряда (14): а 1 = Ъ 1 s ¿п х, а 2 = Ъ 1 s ¿п х + Ъ 2 s ¿п 2 х,
ап = Ь 1 s in х + Ь 2 s in 2 х + —+ Ьп s in пх.
Тригонометрический ряд (14) имеет комплексное значение z = r0e' ^ 0, если существуют пределы
Г = limn 7ПП= 1 I «п I , (15)
| 0 | = л l im —, (16)
где ап- и-я частичная сумма ряда (14),
fc„ - число частичных сумм ряда (14), имеющих отрицательные значения из совокупности, включающей n частичных сумм.
i
Определим значение тригонометрического ряда (14) при Ьи = 1+ - и х = 0 , 5 , то есть значение тригонометрического ряда:
( 1 +1) s i п 1 ■ 0,5 + ( 1 +s i п 2-0, 5 + • • • + ( 1+1) s in п ■ 0,5 + • • • (17)
Частичные суммы ап ряда (17): аг = (l + i) sin 1 ■ 0,5,
а2 = (1 + i) sin 1 ■ 0,5 + (l + i) sin 2 ■ 0,5,
ап = ( 1 +i)sin1 ■ 0, 5 + ( 1 + s i n2 ■ 0, 5 + • • •+ ( 1 +i)sinn ■ 0, 5 . На рис. 4 показаны значения частичных суммы ряда (17).
1000 1150
Рис. 4. Значения частичных сумм тригонометрического ряда (17) В табл. 1 приведены результаты определения R/^--алгоритмом значений ряда (17). Таблица 1. Определение значения тригонометрического ряда (1 + 1) sin 1 ■ 0.5 + (l + sin2 ■ 0.5 + (i + з) sin3 ■ 0.5 + — + (l + sinn0.5 + •••
Номер Значения Значения Значения Погрешность
элемента, n элемента, ап модуля, гп аргумента, хп £г = \г0 ~ ги\
1 0,9588510772 0,9588510772 0 1,971657176
2 2,2210575544 1,4593366399 0 1,471171613
4 4,6876726534 2,4400924765 0 0,490415776
8 4,3181813111 3,5248623630 0 0,594354110
16 4,0921478936 2,7175842436 0 0,212924009
32 5,0650316970 2,9855096715 0 0,055001419
65536 3,0126076624 2,9303539782 0 0,000154275
131072 5,0384681444 2,9304556266 0 0,000052626
262144 2,6969753993 2,9305036420 0 0,000004611
524288 5,1881255273 2,9305071462 0 0,000001107
1048576 1,4323075775 2,9305082527 0 -
В качестве г0 в формуле £г = | г0 — ги | пятой колонки принималось значение ги с индексом п = 1048576. Из табл. 1 следует, что тригонометрический ряд (17) при коэффициентах Ьи, стремящихся к единице, сходится к вещественному значению 2.930508... , которое было установлено К/^--алгоритмом, то есть по формулам (15) и (16).
В табл. 2 приведены результаты определения значений тригонометрического ряда (14) при Ьи = 1 + - и различных аргументах х.
Таблица 2. Значения ряда (18) при различных аргументах x ( 1 + 1) si n 1 х + ( 1 +1) s in2х + ( 1 +1) s i n 3x + • • •+ ( 1 +1) s тпх + • • • (18)
Значения Значения Значения
аргумента, х модуля, f5 аргумента,
0,01 59,666839377 0
0,1 8,6045561394 0
1 1,8381025310 0
1,57 1,1801923136 0
2 0,7784509210 0
2,5 0,2634465926 0,3919650479
3 0,2506292175 1,3571954941
3,14 0,2500317211 1,5684084699
4 0,5097328809 3,1415926535
4,71 1,1770650971 3,1415926535
5 1,4806750840 3,1415926535
6 4,1873308463 3,1415926535
6,28 5,0152136947 3,1415935691
Из табл. 2 можно видеть, что тригонометрический ряд
111 1
(1 + —) sinx + (1 + -)sin2x + (1 + -)sin3x ч-----1- (1 + —) sinnx + •••
1 2 3 n
является сходящимся при 0 < х < 2 л. Значение этого ряда, в зависимости от аргумента x, может быть как вещественным, так и комплексным.
Для сравнения приведем значение сходящегося в классическом смысле тригонометрического ряда с коэффициентами, стремящимися к нулю [21]: —- = sinx + 1sin2 х + isin 3 х +----+ isinnx + • • • .
2 2 3 n
1
Определим значения ряда (14) при Ьп = 1 0 + - и x = 1, то есть значение тригонометрического ряда, коэффициенты которого стремятся к постоянной, равной 10:
( 1 0 +1) sin 1 ■ 1 + ( 1 0 +1)s in2 ■ 1 + ( 1 0 +1)s i n 3 ■ 1 + • • • + ( 1 0 +1) s i nn ■ 1 + • • • (19)
Частичные суммы ап ряда (19) определяются формулой: ап = ( 1 0 + 1)sin1 ■ 1 + ( 1 0 + ^s in2 ■ 1 + • • • + ( 1 0 + £)sinn^1 . (20) На рис. 5 показаны значения частичных суммы ряда (19).
а„ 20
0,2 ...................................................... ......|............. 'г™...........1 |Ц ■
1000 1150
Рис. 5. Значения частичных сумм тригонометрического ряда (19)
В табл. 3 показаны результаты определения R/q-алгоритмом значения
i
тригонометрического ряда (14) при Ьи = 1 0Ч- - и x = 1.
Таблица 3. Определение значения тригонометрического ряда (10 + 1) sin 1 ■ 1 + (l0 +sin2 -1 + ^10+1) sin3 ■ 1 + — + ^10 +sinn ■ 1 + —
Номер Значения Значения Значения Погрешность Погрешность
элемента, n элемента, an модуля, rn аргумента, хп £г = \г0-г„\ £зт = 1 _ —n 1 .
1 9,2561808328 9,2561808328 0 4,041735386 0,199057976
2 18,803803814 13,192854446 0 7,978408999 0,199057976
4 12,504818320 14,491373333 0 9,276927886 0,199057976
8 16,564039950 5,9271126268 0,3926990816 0,712667180 0,193641106
16 17,595174604 6,6039052263 0,3926990816 1,389459779 0,193641106
32 5,3294138538 5,4820025242 0,2945243112 0,267557077 0,095466336
65536 20,290125808 5,2178319139 0,1993216286 0,003386467 0,000263653
131072 4,8424282828 5,2134958277 0,1991298810 0,000949620 0,000071905
262144 18,922712130 5,2150147498 0,1991059125 0,000569303 0,000047937
524288 2,0383734590 5,2144506838 0,1990639677 0,000005237 0,000005992
1048576 3,2375515858 5,2144454472 0,1990579756 - -
В качестве значений г0 и х0 в формулах колонок 5 и 6 были взяты значения г„ и х„ при п = 1 0485 76. Из табл. 3 видно, что ряд (19) сходится и имеет комплексное значение, равное 5,214445...е,0Л99057- .
В табл. 4 приведены результаты определения значений тригонометрического ряда
1
(14) при Ьи = 1 0 + - и различных аргументах х.
Таблица 4. Значения ряда (21) при различных аргументах х ( 1 0 + 1) б¡п 1 х + ( 1 0 + б¡п2 х + ( 1 0 + б¡п 3 х + • • • + ( 1 0 + б 1 ппх + • • • (21)
Значения Значения Значения
аргумента, модуля, аргумента,
0,01 528,74309512 0
0,1 59,103836779 0
1 5,2144454472 0,1990579756
1,57 3,5370977681 0,6120763107
2 2,9710501482 0,8810442623
2,5 2,6342776587 1,1851529575
3 2,5063181976 1,4858341643
3,14 2,5002890668 1,5698435809
4 2,7492516796 2,0876969193
4,71 3,5314660075 2,5274730325
5 4,1767027725 2,7197539290
6 22,648970913 3,1415926535
6.28 1620,3467915 3,1415926535
Из табл. 4 следует, что тригонометрический ряд (21) сходится. Ряд (21) имеет вещественные значения при аргументах x, близких к нулю и 2п. При х, близких к 2п, ряд (21) имеет отрицательные вещественные значения.
3.2. Определение значений тригонометрического ряда
bx со sx + b2 со s2 х + —I- b„ со snx + • • •. (22)
Частичные суммы а„ ряда (22) определяются формулой: а„ = bi с о s х + b2 с о s 2 х + b3 со s 3 х + —I- b„ с о s пх.
Тригонометрический ряд (22) имеет комплексное значение z = г0е' 9 0, если существуют пределы
го = Ити _ ТЮкЛ, (23)
| о | — 7Г 1 1т—, (24)
п->оо п
где а„- п-я частичная сумма ряда (22),
кп - число частичных сумм ряда (22), имеющих отрицательные значения из совокупности, включающей п частичных сумм.
1
Определим значение тригонометрического ряда (22) при Ьи — 1 + - и х — 0 , 1, то есть значение тригонометрического ряда:
(l + ^ cos 1 ■ ОД + (l + ^ cos 2 ■ ОД + ••• + (l + cos п ■ ОД + Частичные суммы ряда (25) определяются формулой: ап = ( 1 +1)соs 1 ■ 0, 1 + ( 1 +1)соs2 ■ 0, 1 + • • •+ ( 1 + 1)соsn ■ 0, 1 . На рис. 6 показаны значения частичных суммы ряда (25).
(25)
Рис. 6. Значения частичных суммы тригонометрического ряда (25)
В табл. 5 приведены результаты определения .R/q-алгоритмом значений тригонометрического ряда (25).
Таблица 5. Определение значения тригонометрического ряда
(l + ^ cos 1 ■ ОД + (l + ^ cos 2 ■ ОД + ••• + (l + cos п ■ ОД
Номер элемента, n Значения элемента, Значения модуля, гп Значения аргумента, хп Погрешность £г = \г0 ~ гп 1 Погрешность = 1 хо ~ хп 1
1 1,9900083305 1,9900083305 0 3,0121359393 1,3895439132
2 3,4601081973 2,6240510927 0 2,3780931771 1,3895439132
4 5,8852164253 3,7216137514 0 1,2805305184 1,3895439132
8 9,5591074552 5,5359744365 0 0,5338301667 1,3895439132
16 12,246115938 8,0107754107 0 3,0086311409 1,3895439132
32 0,7603550371 6,9650357111 0 1,9628914413 1,3895439132
65536 4,6419389127 5,0024248485 1,3895469093 0,0002805787 0,0000029961
131072 6,8211474694 5,0021160443 1,3894270670 0,0000282255 0,0001168462
262144 10,226103878 5,0023767539 1,3895349251 0,0002324841 0,0000089881
524288 11,089818924 5,0022779692 1,3895349251 0,0001336994 0,0000089881
1048576 -4,733228007 5,0021442698 1,3895439132 - -
В формулах погрешностей ег — | го — ги | и ег — | хо — хи | в качестве величины го и хо были взяты значения ги и хи при п — 1 0485 76. Из табл. 5 следует, что тригонометрический ряд (25) является сходящимся и имеет комплексное значение 5,002144... е' 1 389543 -.
В табл. 6 приведены результаты определения значений тригонометрического ряда 1
(25) при Ьи — 1 +— и различных аргументах х.
Таблица 6. Значения ряда (26) при различных аргументах х ( 1 + i) со s 1 х + ( 1 + i) со s 2 х + • • • + (1 + £) СО snx + • • • (26)
Значения Значения Значения
аргумента, х модуля, аргумента, DD
0,01 50,003445633 1,5296125379
0,1 5,0021442698 1,3895439132
1 0,5214627094 2,0254089104
1,57 0,6552449781 3,1415896575
2 0,9251298412 3,1415926535
2,5 1,0763026569 3,1415926535
3 1,1353100593 3,1415926535
3,14 1,1382436764 3,1415926535
4 1,0242625918 3,1415926535
4,71 0,6583397519 3,1415926535
5 0,4176813924 2,5211273854
6 1,7715581911 1,3531657985
6,28 156,95300555 1,5528469539
Тригонометрический ряд (26) сходится и имеет вещественное или комплексное значение в зависимости от аргумента x
Для сравнения приведём значения аналогичного ряда, коэффициенты которого стремятся к нулю:
/ х\ 11 1
—Zn I 2 sin- I = со sx + - с о s2 х + - со s 3 х + —I- +-со snx + • • • .
4 2/ 2 3 2
4. Определение предельных значений ядер Дирихле и Фейера В [20] отмечается, что при изучении сходимости тригонометрических рядов важную роль играют функции:
1
sin(n + ~)х i
Аг (х) = -2- = Ч + со s х + со s 2 х + —+ со s nx (27)
2 sin^ 2
_ cosí — cos (n + ¿)x
Dn (х) =-х-= s in х + s i n 2 х + —+ s i n пх . (28)
2 sin^
Функция D„ (х) называется ядром Дирихле, функция Dd (х) именуется сопряжённым ядром Дирихле.
Частичные суммы 5„ (х) и D„ (х) рядов Фурье функции fx) выражаются через ядра Дирихле:
п
ао V 1 Г
Sn(x) =--1" / ап cos кх + Ъп sin кх = — I f(t)Dn (t — x)dt,
2 4-i nJ-n
k=1
П 1 71 г(х) = У bn eos /ex — an sin /сх =--I f(t)Dn (t —
x)dt.
к=1
В монографии А.Н. Колмогорова и С.В, Фомина [21] отмечается: «Вопрос сходимости частных сумм 5И ряда Фурье функции у(х) к функции ^) сводится к вопросу стремления к нулю интеграла
1 с-* sin (п + ¿)
5n(х) - f(x) = — |/(х + z) - /(х) |-^^
27Г^-тг Sin 4
Z
— dz.
'2
Ясно, что в смысле обычной сходимости функций последовательность ядер Дирихле £>и (х) ни к какому пределу не сходится, поэтому к исследованию интеграла
мы не могли применить какие-либо стандартные теоремы о предельном переходе под знаком интеграла».
Это заключение оказалось неверным. Последовательность ядер Дирихле D„ (х) сходится, то есть частичные суммы ряда 1
— + COS X + cos 2х + —I- cos пх + ••• 2
имеют предел, причем, этот предел, устанавливаемый .R/q-алгоритмом, имеет комплексное значение.
Используя ранее определенные значения тригонометрических рядов, запишем предельные значения ядер Дирихле D„ (х) и D (х):
Sin (п + I) X 1 ,„ х\
D(х) = li m-^-2— =-хе'l2+2Í, 0 < х < 77 (29)
2sin| 4sin|
sin (п + i) X 1 V37T ж\
D (х) = lim-^-2— =-хе' 7г<х<2 7, (30)
2sin| 4sin|
_ COStt — COS I n + X \ x
D (х) = lim-2-^—— =-хе'2, 0 < х < 27 . (31)
2sin| 4sin|
Основываясь на установленных предельных значениях ядер Дирихле, можно установить предельное значение ядер Фейера. Через ядра Фейера записываются суммы Фейера :
п
1 i гп
Onix) = —т > sk(x) = =- /(X + t)F(t)dt
П + 1¿—I п )_„
к=О п
и погрешности аппроксимации функции
г О) - /0)1 = " [ I/O + t)-f(x)\Fn(t)dt.
К J-„
Ядро Фейера F„ (х) определяется следующим образом [22]:
D0(x) + D1(x) + - + Dn(x)
F„ (х) =---,
пК J п + 1
где £>„ (х) - ядро Дирихле. Значения ядер Дирихле £>„ (х) с некоторой погрешностью, тем меньшей, чем больше индекс n, можно заменить комплексным
1
числом —— е12, которое является значением ядра Дирихле £>„ (х) при n — оо .
4 sin—
Следовательно, можно записать:
limFn(х) = lim fD"(x) + D'(x) + -+D"(x)) = -^e'M.
n + 1 ) 4sin|
Таким образом, предельные значения ядер Дирихле и Фейера имеют одинаковые комплексные значения:
1 •(п х\
F(x) = D(x) =-хе^2+2'-
4 sin £
Равенство предельных значений ядер Дирихле и ядер Фейера естественно, так как
показывает, что значение ряда Фурье, установленное с использованием R/q-
алгоритма, совпадает с предельным значением сумм Фейера
, л /S0(x) + S1(x) + - + Sn(x)^ lim<7n(x) = lim -—-
n->oo n->oo \ TI "Г 1
которое также определяется R/q-алгоритмом.
Заключение
Показано, что тригонометрические ряды сходятся, если их коэффициенты стремятся к константе, которая может быть больше единицы. Как известно, классические условия сходимости тригонометрических рядов предполагают, что коэффициенты си этих рядов стремятся к нулю при п —со. В теории рядов Фурье центральное положение занимает интегральная формула Дирихле, которая позволяет устанавливать условия, при которых может быть гарантирована сходимость ряда Фурье функции к функции . В эту формулу входит так называемое ядро
Дирихле. Были установлены предельные значения ядер Дирихле и Фейера, которые представлены одной и той же комплексной функцией.
Предложенный критерий сходимости предполагает, что бесконечные вещественные последовательности могут иметь как вещественный, так и комплексный предел. Ревизия критерия Коши ставит вопрос корректности ряда теорем сходимости тех или иных последовательностей, базирующихся на этом критерии, в частности, корректности некоторых теорем сходимости непрерывных дробей.
Список литературы /References
1. Шмойлов В.И. Определение значений некоторых бесконечных вещественных последовательностей // Вестник науки и образования. №.24 (102). Часть 1, 2020. С.10-24.
2. Шмойлов В.И. Определение значений одного класса бесконечных вещественных последовательностей // Вестник науки и образования. №18 (96). Часть 1, 2020. С.5-19.
3. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Кириченко Г.А. Определение значений расходящихся в классическом смысле тригонометрических рядов. // Вестник науки и образования. № 23 (101). Часть 1, 2020. С. 5-20.
4. ХардиГ. Расходящиеся ряды. М.: Изд-во иностранной литературы, 1951. 504 с.
5. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Формулы Эйлера и пределы Никипорца. // Вестник науки и образования. №18 (54). Часть 1, 2018. С. 5-20.
6. Шмойлов В.И. Суммирование расходящихся цепных дробей. Львов: ИППММ НАН Украины, 1997. 23 с.
7. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 1. Периодические непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины. Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 645 с.
8. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 2. Расходящиеся непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины. Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 558 с.
9. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 3. Из истории непрерывных дробей. - Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 520 с.
10. Шмойлов В.И., Слобода М.З. Расходящиеся непрерывные дроби. Львов: Меркатор, 1999. 820 с.
11. Козлов В.В. Об одной формуле суммирования расходящихся непре-рывных дробей. // Докл. РАН, Том 474. Номер 4, 2017. С. 410-412.
12. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Непрерывные дроби. Библиографический указатель. Ростов-на-Дону. Изд-во: ЮФУ, 2017. 382 с.
13. Кириченко Г.А., Шмойлов В.И. Алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей и некоторые его применения. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2015. Т. 55. № 4. С. 559-572.
14. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и г/-алгоритм. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2012. 608 с.
15. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Решение систем линейных алгебраический уравнений. Ростов-на-Дону: Изд-во. ЮФУ, 2017. 383 с.
16. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Иванов Д.Я. Непрерывные дроби и суммирование рядов. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2018. 524 с.
17. Гузик В.Ф., Ляпунцова Е.В., Шмойлов В.И. Суммирование рядов непрерывными дробями. М.: Физматлит, 2019. 683 с.
18. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Непрерывные дроби и маркеры комплексности. Таганрог: НИИ МВС ЮФУ, 2020. 450 с.
19. Шмойлов В.И. Представления комплексных чисел бесконечными вещественными последовательностями. // Вестник науки и образования. № 20 (98). Часть 1, 2020. С. 5-17.
20. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1951. 936 с.
21. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968. 496 с.
22. ТолстовГ.П. Ряды Фурье М.: Наука, 1980. 384 с.
