CC BY
67
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том VIII 19 77 М2
УДК 629.735.33.01.03
О КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА ДЛЯ ИТЕРАЦИОННОГО ПРОЦЕССА ОПТИМИЗАЦИИ ПАРАМЕТРОВ САМОЛЕТОВ ДАЛЬНЕГО ДЕЙСТВИЯ
В. Т. Пашинцев
Рассматривается показатель качества, характеризующий на каждой итерации процесса оптимизации параметров самолета уровень его совершенства с точки зрения полета на максимальную дальность при ограниченной длине разбега. Приведены результаты численнных расчетов оптимальной формы крыла в плане, а также оптимальных размеров и режима работы двигателей с учетом их веса.
Задача оптимизации параметров самолета с учетом веса основных его элементов и различного рода ограничений в силу достаточной сложности аналитического представления необходимых условий оптимальности решается, как правило, с помощью итерационного процесса. В связи с этим даже в достаточно простых случаях задания ограничений обычно возникает необходимость в формировании некоторого эффективного критерия качества, характеризующего совершенство самолета на каждой итерации в смысле максимизируемого функционала при условии возможного нарушения накладываемого ограничения. Другими словами смысл формирования указанного выше критерия качества сводится к учету некоторой ухудшающей поправки в функционале, порождаемой невязкой в выполнении ограничения.
В работах [1, 2] были сформулированы показатели относительного уровня технического совершенства отдельно для планера и для воздушно-реактивных двигателей применительно к самолетам дальнего действия. В качестве основной характеристики при этом принималась дальность крейсерского полета, вычисляемая при условии, что длина разбега у сравниваемых самолетов должна быть одинаковой.
В настоящей работе проводится формирование некоторого локального показателя, характеризующего в пределах каждой итерации уровень совершенства самолета с точки зрения максимума дальности полета при ограниченной длине разбега с учетом одновременного влияния на весовую отдачу самолета характерис-
тик планера и силовой установки. При этом как и в [1, 2] из рассмотрения исключаются такие показатели как стоимость, технологичность, ресурс и т. п. В целом используемый ниже подход сходен с подходом, предложенным в работах [1, 2]. Однако он включает в себя некоторые особенности, связанные, во-первых, с учетом специфики влияния ограниченности длины разбега на крейсерскую дальность полета, и, во-вторых, с итерационным характером процедуры поиска оптимальных параметров самолета.
1. Формулировка критерия качества. Рассмотрим задачу оптимизации параметров самолета, основным режимом которого является полет на максимальную дальность. Будем предполагать, что известен некоторый эталонный прототип самолета (нулевое приближение) с заданными основными характеристиками планера и устанавливаемой на нем силовой установки. Задача оптимизации состоит в улучшении параметров планера (например, крыла), а также параметров силовой установки с целью достижения максимума дальности полета при условии сохранения заданного взлетного веса самолета (?0. Очевидно, что в такой постановке задачи выигрыш в весе планера <7П и силовой установки бс. у. получаемый за счет оптимизации их параметров, переходит в соответствующее увеличение веса топлива, расходуемого на участке крейсерского полета С?. Решение задачи будем проводить в предположении, что длина разбега самолета ограничена.
В качестве основных характеристик самолета примем:
— суммарную площадь миделей двигателей Гдв-
— характерную площадь самолета 5хар и площадь крыла с под-фюзеляжной частью 5;
— коэффициент лобового сопротивления самолета сх и коэффициент подъемной силы су, отнесенные к характерной площади -$хар> на угле атаки акр, соответствующем режиму установившегося (крейсерского) полета;
— коэффициент тяги, характеризующий режим работы двига-
„ Р п „
телеи ср , где Р—суммарная тяга двигателеи, д — скорост-
к Я г дв
ной напор на крейсерском режиме;
— вес топлива, расходуемого на участке крейсерского полета б?.
Будем также предполагать, что двигатели являются однотипными с заданной дроссельной характеристикой вида Се = Се(Сд), характеризующей удельный часовой расход топлива (на единицу тяги) в зависимости от режима работы двигателей. Уравнение установившегося крейсерского полета
устанавливающее зависимость между параметрами акр, 5хар, Сц, /*'дв, обычно является основным условием связи при определении параметров самолета, оптимизируемых, например, с целью достижения максимума крейсерской дальности полета:
где V—крейсерская скорость полета, м/с; бо — вес самолета в начале крейсерского участка полета; К (а) — аэродинамическое ка-
(1)
чество самолета
Величина б0 для каждого самолета может быть всегда указана заранее, исходя из известного стартового веса самолета О0 и веса топлива, потребного на набор высоты и разгон самолета до режима крейсерского полета.
Относительную дальность разбега самолета в зависимости от характеристик планера и силовой установки в общем случае можно приближенно представить в виде
/==г2
/р = у/р = ..т ., (3)
vy отр
где су 0Т|) = —относительный коэффициент подъемной силы
отр
в момент отрыва самолета на разбеге; G0 = GJGo — относительный взлетный вес; S= SiS* — относительная площадь крыла с подфю-зеляжной частью.
Здесь и в дальнейшем обозначениям со звездочкой вверху соответствуют параметры эталонного прототипа самолета, с которым проводится сравнение на каждой итерации. В общем случае ограничение на длину разбега имеет следующий вид:
(4>
где АТР — коэффициент, учитывающий возможное уменьшение (либо увеличение) предельно допустимой длины разбега по сравнению с величиной /р.
Вводя обозначения
S = су отр SFaB, Т = (5)
с учетом (3), запишем неравенство (4) в виде
* = G0>0 (G0 = const). (6)
Следует отметить, что если для заданного эталонного прото-
типа самолета формальное стремление к снижению веса крыла или веса силовой установки (из соображений увеличения G£) за счет уменьшения в (1) величин S и Fw является противоречивым по отношению к неравенству (6), т. е., если приращения AL и Дф, вызываемые вариациями 85 и %FiB. оказываются противоположными по знаку, то заведомо можно утверждать, что оптимальное решение Sopt, F„. opt реализуется на границе вида
<l=Vb(~p-G0 = 0, (?)
коль скоро указанная граница является достижимой на множестве допустимых значений оптимизируемых параметров. В связи с этим введем в рассмотрение величины /*'дв и С^, определяемые из условий (1), (7) и соответствующие оптимальным значениям FaB, С% в открытой области их допустимых значений:
- ** <*1 f —_____________________________5-
ДВ ---- г С IS
Ly отр & Ар -х, сх Sjtap
Lr — —~------------------ .
Согласно (5) — (8), для любого, отличного от Cr значения параметра Сц из множества допустимых значений
R min Cr "С CR шах (9)
справедливы неравенства:
р сх ■Sxap ) F1B, '!> 0 при Cr < Cr , . _
” С* )<Fm, *<0 при Cr'P-Cr. К }
Из (10), в частности, следует, что если величина Cr удовлетворяет ограничению (9), т. е. Cr0V\. = Cr, то признаком, гарантирующим возможность одновременного выполнения условий (1) и (7) в пределах одной итерации, является неравенство
_ с«> <:«,„■ (»)
Если же С#<Сдш!п, либо если параметр Cr заранее зафиксирован на множестве (9) так, что в пределах рассматриваемой итерации оказывается Cr = const > Cr, то в этом случае имеем 4<0 и, следовательно, для компенсации на последующих итерациях отрицательной невязки в условии (7) необходимо использование в функционале (2) соответствующей ухудшающей поправки вида Д£ = = Д/.(Ф). Согласно (7) при G0 = 1 имеем
■ъ=Ужр— 1. (12)
Следовательно, если на промежуточных итерациях параметр О0 искусственно положить варьируемым для выполнения равенства (7)
ф — Дб0 — 0,
то вариацию взлетного веса, компенсирующую рассогласование по длине разбега, следует определять по формуле
до0 = сП^^р-1). (13)
Следуя [1, 2], представим величину Лвп в виде линейной комбинации
Дбд = (1 — &) Дб0 -}- вД(7р, (13а)
где е — некоторый статистический коэффициент, учитывающий долю вариации взлетного веса, приходящуюся на изменение веса конструкции планера самолета (0<S<<1).
Полагая далее Дбо^Д00 и учитывая, что в соответствии с (13а)
ДО?= (1 — г) Д(50,
введем локальную поправку в функционале (2) следующим образом:
Ь, = 3600 1П ’ (14)
^е а0 — от + еДО0
где в соответствии с принятой формулировкой задачи
б0к = (С0КГ,
, (14а)
Отк = (С?+Опл + Ос.у)*-(Опл + Ос.у). ] 4 '
Из (14) устанавливаем, что при Д00<0 поправка в функционале вида М — Ьл — Ь является ухудшающей при любом зна-
чении коэффициента г(0<е<1). Следовательно, при варьировании
параметра С/? на множестве допустимых его значений, определяемом неравенством (9), условием для окончательного определения в (14) величины ДО0 является:
_ | о пригкр>1 (с*<с*),
ДОл —1 — — - По)
' ( О01V — 1) при €АГр< 1 (Сд > Сц). '
Выражение (14) в совокупности с условием (15) составляет существо локального показателя уровня совершенства самолета в пределах одной итерации, используемого в качестве критерия качества при оптимизации основных параметров самолета с точки зрения максимума дальности полета при ограниченной длине разбега.
Проведем некоторые упрощения. В предположении, что
с точностью до величин второго порядка малости ДО0 выраже ние (14) преобразуется к виду:
‘ — (' I — г — ак
1+ (1-0?) ш(1-Зтк) ДС°
(16)
Если далее величину О* представить в виде 0^ = 0* +Дб.,, то для малых по сравнению с величиной бт, значений получим выражение
— 36004^[1п(1-О*т)1(1 +рдбт)11 +<1 -з-£)рдё01, (17)
где
3 = —-----?. (17а)
И-<?! 1п 1—0 .1
При обозначениях
1 = 1/1*. \/=У\У*, К - ■ ЛЖ*, С, . С, С,1
формула (17) приобретает вид, сходный с видом показателя относительного уровня технического совершенства, полученного в работе [2] (см. формулу (15) работы [2]):
1=^ (1 + ?аот) [1 + т) (У'^ЩГв -1)]. (18)
^е
где
7] = (1 - с -бт) р.
Таким образом, можно заметить, что помимо учета одновременного влияния на весовую отдачу самолета характеристик планера и устанавливаемой на нем силовой установки, главное отличие сформулированного критерия качества (14) от показателя уровня технического совершенства, полученного в работе [2], состоит в учете дополнительного условия (15). Следует сказать, что формальное использование в итерационном процессе критерия качества, определяемого выражением (14), без учета условия (15) приводит к бесконечному возрастанию взлетного веса в0. В связи с этим условие (15>, обеспечивающее ухудшающее воздействие на функционал (14), практически гарантирует стремление вариации Д00 к нулевому значению ((?„-»• 1, ф0).
Следовательно, в результате итерационного процесса поиска оптимальных параметров самолета может быть также дан ответ на вопрос, является ли граница (7) неравенства (6) достижимой на фиксируемом множестве допустимых значений оптимизируемых параметров при заданном коэффициенте Кр. Очевидно, что существо задачи не изменится, если величину С0 в (6) задать отличной от единицы. Что же касается выбора коэффициента г, то использованный выше подход позволяет избавиться от необходимости уточненного определения его из статистических данных. Последнее связано с тем, что с уменьшением г ухудшающее влияние поправки в функционале (14) усиливается и, следовательно, величину з достаточно задавать лишь малой по сравнению с единицей.
2. Алгоритм и пример расчета. Сделаем следующие предположения:
— имеется метод расчета веса планера и силовой установки при различных их геометрических параметрах, оптимизируемых в некоторой области допустимых значений;
— имеется метод расчета аэродинамических характеристик самолета, учитывающий возможные изменения формы основных элементов планера в допустимом диапазоне углов атаки акр;
— при варьировании размеров двигателей дроссельная харак-
теристика Се = Се(Сц) остается неизменной, а изменение коэффициента аэродинамического сопротивления самолета сх в пределах одной итерации слабо зависит от величины С учетом ука-
занных предположений общий алгоритм оптимизации формы элементов планера, размеров и режима работы двигателей, а также крейсерского угла атаки сводится к следующему.
В пределах каждой итерации, характеризуемой фиксированными геометрическими параметрами планера и двигателей, просматривается варьируемый диапазон углов атаки акр, для которых соответственно определяются аэродинамические и весовые характеристики самолета при неизменной величине /\в. Затем определяется оптимальное для данной итерации значение акр и соответствующие ему значения параметров ^дв и Сц, доставляющие максимум величине £1# определяемой из (14) с учетом условий (1) и (15), а также ограничения (9). Далее по указанной выше схеме итерационный процесс повторяется в направлении положительного градиента функционала /., по варьируемым геометрическим параметрам.
Покажем, что в первом приближении (без учета ограничения на длину разбега) независимо от используемого крейсерского угла атаки акр оптимальное значение параметра Сц (а следовательно, и
параметра /\в) в ряде случаев может быть предсказано заранее
по виду дроссельной характеристики Се=Се(Сд).
С учетом (1) условие стационарности функционала (2) имеет следующий вид:
^ !_ дЬ | д,
<1СК ~ дск «Э^ДВ ~лс к и ^ }
Представим коэффициент аэродинамического сопротивления сх в следующем виде:
р
Сх '== Сх пл Сх г. д с > (20а)
•^хао
где
/V. д = |^ДВ) (А = const, (206)
Сх пл — коэффициент аэродинамического сопротивления планера,
сх г. д и Fr. д — соответствующие характеристики гондол двигателей. С учетом (20а) и (206) из условия связи (1) следует:
dF„ “С* пл Sxap <о (2з^
dCR (СR Сх ^ д ц)2
(21в)
В то же время, в предположении Gc. y^F^ (7 = const), согласно (2) имеем
1Йг<0- Ж<°- (*1б>
На основании неравенств (21а) и (216), а также тождества
0L = dL_ дСе dCR дСе дСR
из условия (19) устанавливаем, что экстремальное значение L в (2) при условии связи (1) может быть реализовано лишь в той точке дроссельной характеристики, которая принадлежит участку, характеризуемому ростом Се по Ся^^>0^.
С учетом равенств (1) и (2), а также тождества (21в) условие стационарности
Я/ ЛГ ЛТ АР
= 0,
dL дСе , dL dFRB дСе dCR dFAB dCR
вытекающее из (19), легко преобразуется к виду „ о <5 °о
С Y ПЛ л С» 1П I ІП
*ПЛ хаР V 0к _ ф _ Спл _ ^
= (Сц— Схг. 1пСе. (22а)
С учетом предположения (3) уравнение (22а) может быть также представлено в виде
- <•, 5хар 1п (\п . ------) = С% 1п Се, (226)
ДВ V С?о — (О — Опл — Ос у) /
где в = (С* + бпл -)- С/с. у)*.
Левая часть уравнений (22а) и (226) не зависит от Сд. Следовательно, оптимальная величина Сц, определяемая из (22), при прочих равных условиях всегда оказывается тем больше, чем меньше
в точке Сц — Сц0р\. производная 1п Се, характеризующая местный наклон дроссельной характеристики. Из сказанного выше следует, что в случае пологой зависимости Се{Сц) на участке роста Се по Ск следует ожидать реализацию оптимальной величины параметра Сц за пределами максимально допустимого значения из множества, ограниченного неравенством (9).
Очевидно, что в указанном случае, как и в случае, когда дС
участок -57^ >0 на дроссельной характеристике отсутствует, величиной Сдоръ реализующей относительный максимум Ь при условии связи (1), следует принимать Сцор1 = С^тах.
Расчеты, проведенные с использованием приближенной методики определения аэродинамических и весовых характеристик основных элементов самолета, показывают, что использование в итерационном процессе оптимизации параметров самолета критерия качества вида (14), (15) является достаточно эффективным и уже при значении коэффициента г порядка е = 0,2 обеспечивается монотонное стремление искусственно введенного варьируемого параметра ДС0 к нулевому значению, а величины Ьх соответственно к относительному максимуму функционала Ь (фиг. 1).
Фиг. 1
На фиг. 2 приведен пример расчета семейства решений, соответствующих различным постоянным значениям параметра С#=сош* применительно к задаче оптимизации формы крыла в плане, а
также размеров двигателей ^а?дв=|/ Для самолета со стар-
товым весом <30 = 245-104 Н.
Из фиг. 2 видно, что локальное оптимальное решение (РдвтЬ, СцОр0 в общем случае может быть неоднозначным. Последнее, в частности, позволяет сделать окончательный выбор величин Сц и ^дв, исходя из некоторых дополнительных требований, предъявляемых, например, к форме крыла в плане. Одним из таких требований может быть требование обеспечения управляемости самолета, выражающееся в учете возможностей установки на крыле эффективных элеронов.
Автор благодарит Л. М. Шкадова за обсуждение результатов работы и сделанные им замечания.
ЛИТЕРАТУРА
1. Шкадов Л. М. Показатель относительного уровня технического совершенства воздушно-реактивного двигателя для дальних самолетов. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 3, № 5, 1972.
2. Шкадов Л. М. Показатель относительного уровня технического совершенства планера самолета. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 3. № 6, 1972.
Рукопись поступила 14! V 1974 г.
