О КРИТЕРИИ ГЛАДКОСТИ КЛАССИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ НЕОДНОРОДНОГО МОДЕЛЬНОГО ТЕЛЕГРАФНОГО УРАВНЕНИЯ В ПЕРВОЙ ЧЕТВЕРТИ ПЛОСКОСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.956 DOI 10.52928/2070-1624-2023-40-1-72-83

О КРИТЕРИИ ГЛАДКОСТИ КЛАССИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ НЕОДНОРОДНОГО МОДЕЛЬНОГО ТЕЛЕГРАФНОГО УРАВНЕНИЯ В ПЕРВОЙ ЧЕТВЕРТИ ПЛОСКОСТИ

д-р физ.-мат. наук, проф. Ф. Е. ЛОМОВЦЕВ (Белорусский государственный университет, Минск)

Предложено новое доказательство критерия гладкости на f классического решения F уравнения un(x,f) — а2(х,/)м;а;(х,/) — a~l (x,f)at(x,f)ut(x,f) — a(x,t)ax(x,t)ux(x,t) = f{x,t), (x,t) e (l, =|0. -кс|/|(), Критерий состоит из необходимых и достаточных требований ограниченных непрерывности f и непрерывной дифференцируемости двух интегралов от f на G„. Необходимость непрерывности и ограниченности f следует из этого уравнения, которому удовлетворяет F на G„. Эти два интеграла непрерывно и ограниченно дифференцируемы как производные от F eC2(G„) вдоль характеристик уравнения. Отсюда вытекает их достаточность для F eC2(G„). Если f зависит лишь от x или t, то f непрерывна и ограничена по x или t. Построен общий интеграл модельного телеграфного уравнения.

Ключевые слова: модельное телеграфное уравнение, одна переменная скорость, неявные характеристики, классическое решение, критерий гладкости, общий интеграл.

Введение. В настоящей статье предложен простой вывод (без метода корректировки) критерия (необходимых и достаточных условий) гладкости правой части неоднородного модельного телеграфного уравнения с одной переменной скоростью a(x,t) для его явного классического решения F в первой четверти плоскости. Более простое доказательство критерия гладкости, чем в работах [1; 2], возможно только благодаря простейшему виду волнового уравнения, так как в случае одной как постоянной a = a = a, так и переменной скорости a (x,t) = a2 (x,t) = a(x,t) эта функция F является дважды непрерывно дифференцируемой в первой четверти плоскости и поэтому не требует корректировки (замечание 2). В работах [3; 4] показана не дважды непрерывная дифференцируемость функции типа F в первой четверти плоскости для волнового уравнения ип + (a - a U - a-au^ = f (x, t) с разными скоростями at ^ a2, и, следовательно, обобщённое решение F требует корректировки обобщёнными решениями до классических решений этого уравнения в первой четверти плоскости. Нужны корректировки и некоторых классических решений для построения новых классических решений. Основы метода корректировки пробных решений лежат в критическом анализе учебников (замечание 3).

Итак, в настоящей статье без метода корректировки доказан критерий гладкости на правую часть f

модельного телеграфного уравнения, при котором функция F дважды непрерывно дифференцируема и поточечно удовлетворяет этому уравнению в первой четверти плоскости. Поэтому производные от F вдоль двух семейств неявных характеристик данного уравнения представляют необходимые интегральные требования гладкости (8) на правую часть f уравнения (1). Достаточность интегральных требований гладкости (8) на f устанавливается дифференцированием функции F. Справедливость модельного телеграфного уравнения (1) для F в первой четверти плоскости выводится предельным переходом по f с непрерывно дифференцируемых правых частей f на непрерывные f со свойствами (8). С помощью этого обоснованного классического решения F неоднородного модельного телеграфного уравнения построен его общий интеграл в первой четверти плоскости для решения смешанных (начально-граничных) задач. В статье автора [5] исследуемая формула его классического решения во всей первой четверти плоскости использовалась при решении первой смешанной задачи для модельного телеграфного уравнения без продолжений исходных данных. В ней модельное телеграфное уравнение позаимствовано из диссертации1, где решалась первая смешанная задача методом продолжений исходных данных. В указанной диссертации первая смешанная

задача в полуполосе плоскости за счёт периодических продолжений коэффициентов и входных данных на верхнюю полуплоскость сведена к задаче Коши и формуле Даламбера, которые в [5] естественно отсутствуют на с От при не продолжении данных.

Более сложным смешанным задачам для волновых уравнений с разными постоянными коэффициентами ^ ф а2 посвящены работы Новикова Е. Н.2 и Устилко Е. В. [6] соответственно с нехарактеристическими и характеристическими первыми косыми производными, Лысенко В. В. [7] и Спесивцевой К. А. [8] соответственно с нехарактеристическими и характеристическими вторыми частными производными в нестационарных граничных условиях. В них найдены явные классические решения и критерии корректности этих смешанных задач. В случае нехарактеристических первых и вторых частных производных в граничных условиях требования гладкости и условия согласования не меняются при неограниченном росте времени колебаний. В случае же характеристических этих производных в граничных условиях выше требования гладкости и больше условий согласования исходных данных смешанных задач и они неограниченно растут вместе с ростом времени колебаний. В последних работах требуются критерии гладкости правой части общих волновых уравнений с ^ ф а2 для уже скорректированных решений из множеств решений произвольных целых порядков гладкости.

Смешанные задачи для модельного телеграфного уравнения и более общего телеграфного уравнения с переменными коэффициентами нельзя решить методом Фурье, так как эти уравнения не допускают разделения переменных х и t. В статьях [9-11] для волнового уравнения найдены формула и необходимые и достаточные условия на начальные данные для обобщенного (почти классического) решения смешанной задачи. Это решение удовлетворяет волновому уравнению почти всюду по х и I. В [12] секвенциальным и аксиоматическим методами А. П. Хромова из этих работ И. С. Ломовым получено обобщенное решение в виде быстро сходящегося ряда Фурье смешанной задачи для простейшего телеграфного уравнения с потенциалом д(х,г), мажорирующимся функцией д0 (х) е Ц (0,1), при нелокальном граничном условии на отрезке [0,1]. Эти методы используют резольвентный метод, идеи А. Н. Крылова об ускорении сходимости рядов Фурье и Л. Эйлера о расходящихся рядах и аксиоматику.

1. Модельное телеграфное уравнение. В первой четверти плоскости О^ =]0,+оо[х]0,-нэо[ ищется классическое решение х,г) с минимальной гладкостью правой части /(х,г) уравнения

м„(х,/) — а2(х,/)м;а;(х,/) — а_1(х,/)а((х,/)м((х,/) — а(х,/)а1(х,/)м1(х,/) = /"(х,/), (х,/) е(т„, (1)

где / - заданная вещественная функция переменных х и t, коэффициент а(х,г) > а0 > 0, (х, t) е = [0, +<х>[х[0, +ю>[, и а е С2(^). Мы обозначаем числом нижних индексов функций соответствующие порядки их частных производных. Пусть Ск (О) - множество функций с непрерывными ограниченными производными до порядка к включительно на подмножестве Ос Я2 и С "(О) = С (О) - множество

непрерывных ограниченных функций на Ос Я2, Я =] — ю, +ю[.

Общеизвестно, что уравнению (1) соответствуют характеристические уравнения

ёх = (—1)'а( х,г г = 1,2, (2)

которые имеют общие интегралы характеристик уравнения (1)

gl(х,t) = С„ g2^x,f) = С2, С;, C2 еR. (3)

Если коэффициент а строго положителен, т. е. а(х,г) > а0 > 0, (х,г) е , то в плоскости Oхt переменная t на характеристиках (х,г) = С, С е Я, строго убывает и на характеристиках (х,г) = С, С е Я, строго возрастает вместе с ростом х. Поэтому неявные функции у = ^ (х,г) = С, х > 0, г > 0, имеют строго монотонные обратные функции х = Н {у,г}, г > 0, г = Й)[х,у ], х > 0, г = 1,2. По определению обратных отображений они удовлетворяют на Ох следующим тождествам обращения [5]:

Я,. (н,{у, г}, г) = у, V у, й{я,. (х, г), г} = х, х > 0, , = 1,2, (4)

g (х, h(i)[х,y ]) = yt, V yt, h('>[x, gt(x, t)] = t, t > 0, i = 1,2, (5)

h {y, h(°[x, y ]} = x, x > 0, h(i)[h {y, t}, yi ] = t, t > 0, i = 1,2. (6)

В правых частях тождеств (4)-(6) вместе с взаимообратными функциями исключаются переменные, повторяющиеся дважды в левых частях, если даже в левых частях этих тождеств повторяется дважды лишь одно из возможных значений этих переменных. Если в уравнении коэффициент a(x,t) > a0 > 0, (x, t) e G^,

a e C2(G„), то непрерывные ограниченные функции g., h,., h(i) имеют непрерывные ограниченные первые и вторые частные производные по x, t, y, i = 1,2, на G^ [5].

Определение 1. Функция u = u(x,t) называется классическим решением уравнения (1) на множестве Q n G„, если она ограничена на Q nG„, имеет ограниченные производные гладкости и е C2(Q) и удовлетворяет этому уравнению в обычном смысле для каждого (x,t) eQ n G„.

Замечание 1. В случае a(x,t) = a = const > 0 характеристиками (3) являются функции: g (x,t) = x + at,

g2(x,t) = x — at, h{y ,t} = y —at, h{y,t} = y2 + at, h(1)[x,y1 ] = (y — x)/a, h(2)[x,y2] = (x — y2)/a в диссертации3. Важно отметить, что в указанной диссертации получены критерий корректности и явные формулы единственного и устойчивого классического решения с F из (7) при a(x,t) = const > 0 смешанной задачи при нехарактеристических первых косых производных граничных условий в первой четверти плоскости G„ без явных продолжений исходных данных задачи вне G„.

Ниже указано классическое решение уравнения (1) на Gx и критерий (необходимые и достаточные условия) гладкости на f в G^. Благодаря модулю |s| под интегралом (7) функции a(|s|,-) характеристики (3) неявно продолжаются чётно по x с G„ на всю верхнюю полуплоскость.

2. Критерий гладкости классического решения неоднородного модельного телеграфного уравнения. Классические решения этого волнового уравнения можно вычислять методом корректировки его пробных решений из [3]. Не используя метод корректировки, одно из классических решений неоднородного модельного телеграфного уравнения с критерием гладкости его правой части даёт Теорема 1. Пусть коэффициент a(x,t) > a0 > 0, (x,t) e G„, a e C2(G„). Функция

t hi{g1(x,<), -} f( i

F(x,t) = - f f dsd- (7)

является классическим решением неоднородного уравнения (1) в G тогда и только тогда, когда его правая часть f e C( G„) и

J f(h{g,(V),-) а^^^х} d-eC-G), i = 1,2. (8)

'( f «(| h {gi (x,t), -}|, -) 9gi ( "Л , ( )

Доказательство. Достаточность. Пусть f e C(G„) и H e C(G„), i = 1,2. Тогда по формулам производных от интеграла с переменными пределами интегрирования и сложной функции для функции f e C(G) интеграл F вида (7) имеет на G непрерывные ограниченные первые производные

1 Г

F = 2 f

2 0

f (h1{g1(x,i), -}|, -) dhl{gl(x,t), -} f (|h2{g2(x,t), -}|, -) dh^x,t), -}" a(| h1{g1( x, t), -}|, -) dt a(| h2{g2( x, t), -}|, -) dt

= (g(x,t)) 1ff(h1{g1(),-) dh1{g1(),-}d- —

d - =

К =

11

(й2(,)) 21 а(|Й^Сх,г), т}|,т) д^ )'

/(|НЩх,(), т}, х) дН1(я1(х,.), т} /(И2{й2(х,.), т}, т) дН,{Я2(х,.), т}'

(9)

а(|МйД х,.), т}, т)

дх

а(| х,.), т}, т)

дх

ёт =

= (й(х,.)) 1К(^^),т},т) дН.{^1(х,т} ёт-

^ 21 а(|Н{й1(х,0, т}, т) дй1 -(й2(х,0).1К(,т},т) ¿теС(^)

21 а(| Н {^2 (х,(), т}|, т)

дЙ2

(10)

в силу вторых тождеств обращения из (4) при , = 1,2.

Из равенств (9), (10) и интегральных требований гладкости (8) на О^ вытекает, что интеграл К вида (7), очевидно, обладает непрерывными ограниченными вторыми частными производными на , т. е. К е ), и без явных чётных продолжений функций / и а по х с х > 0 на х < 0, так как на О^

дважды непрерывно дифференцируемы функции ^ е С2(Оаз), ,= 1,2.

Остаётся проверить, что если функция / зависит от х и (, то функция Т7 е С2 ((?„) вида (7) удовлетворяет поточечно уравнению (1) на (см. следствие 1). Сначала покажем, что непрерывно и ограниченно дифференцируемые правые части / еС1(^) удовлетворяют требованиям гладкости (8). Заменами ^ = Н{й(х,г), т} переменной интегрирования т интегралы из (8) приводятся к интегралам

М,(х,0 = / Л|Н,{й(х-0-4т) дН,{й,(х,'),т} Л =

= 1

Н{й( х,г ),0}

к\Н{й (х,.), т}|, т) дй1

/ (| в I т) дН {й (х,.), т} (дН, & (х,.), т} V1

а( в 1 , т)

дт

Л,. е С1(СИ ),,= 1,2,

(11)

=Н(,)[ в, й,( х,.)]

которые для / еС!(^) непрерывно и ограниченно дифференцируемы по х и . на , потому что в интегралах (11) под модулем Щ переменной интегрирования ^ явно отсутствуют х и .. В противном случае модуль дал бы разрыв первых производных от (11). Здесь мы применили вторые тождества обращения из (4) и равенства т = , й (х,.)], , = 1,2, ввиду вторых тождеств обращения из (6).

Известно, что для любых непрерывно и ограниченно дифференцируемых функций / е С1 (С,) интеграл Г вида (7) дважды непрерывно дифференцируем и удовлетворяет поточечно уравнению (1) на (),4 [5]. В этом также можно убедиться подстановкой функции (7) в уравнение (1). Поэтому модельное телеграфное уравнение (1) предельным переходом по / распространяется с функций / еС'(^) на функции / е С() со свойствами (8) в норме соответствующего банахова пространства из [5].

Необходимость. Если интеграл К вида (7) - классическое решение уравнения (1) на ^, то из определения 1 имеем, что К еС2(^) и, в силу поточечной справедливости уравнения (1) на ^, его правая часть непрерывна и ограничена / е С(Ол). Теперь для выявления дополнительных необходимых (обязательных) требований гладкости (8) на правую часть / к уже установленной непрерывности и ограниченности / е С(Ол) вычисляем производную от К из (7) вдоль характеристик й(х,.) = С,, из (3), т. е.

0

вдоль векторов стг ={(§,),, -(&•)*}, ' = 1,2. Ортогональные к ним векторы градиентов %гас1 gi(xJ.) = {(&)*> / = 1,2, направлены вдоль нормалей к этим характеристикам, так как их скалярное произ-

ведение равно гай g¡ (х, £), ст,.) = )х ), - ),)х = 0,(х,1)еСт.

Ввиду (9) и (10) производные вдоль характеристик (3) от дважды непрерывно и ограниченно дифференцируемой функции ¥ е С2(^) являются непрерывно и ограниченно дифференцируемыми:

, _ , , ,, 1 \/(ЬЫх,0,Т}|,Т)

С?! -С&1 =

дг

2 о а(|к2{&2(Х,г^ т}|, Т)

1 лх,г) г /(|х,г),Т},Т)дКЩхШ ,тес^),

2 о а(|М&2(х,гX Т}|> Т) д&2

дх

й Т =

1 г/(iмйСх,г), т}, т)

2 0 а

( И1{Е1( х, г), т}|, Т)

дк^&С х,г), т} х,г), Т}

(Й2)< _ (52)х

дх

дг

й Т =

1 '

= - / (х, г) |

/(|кЫх,г),т},Т) дЙ1{Я1(х,г),Т}

йт е С),

2 ^ а(|М&1(x,г),Т)|>Т) д&1

так как для частных производных от функций к - к {&, (х,г), т} справедливы соотношения

^} дк,{& (х,г), т} ^ } дк (х, г), т} _

5 г

дх

= (Я/)х(Л), -(в),(я,)х.о,, = 1,2.

(& 1)х

дк2{ь2( х, г), Т} дк2{ь2( х,г), т}

ел 'Л дх

= [Ых (Ь2)г - (й)г (&) х ] = ^ ( х, г) ^ ^), т}

дь 2

дк1{ь1( х,г), т} дк1{ь1( х,г), т}

(& 2 Л ~ (& 2 )х

2

дх

д /

= [(&)х(&2)г - (&)г(&2)х ] дк'{&'(х,^), Т} = ^(х,г) дк'{&'(х,^), Т} .

Из равенств (12), (13) следует справедливость включений (8), так как замена переменных

£,= &(х,г), П = &2 (x, г)

(12)

(13)

(14)

имеет невырожденный, непрерывно и ограниченно дифференцируемый якобиан J(х, г) = ^.п, ^ 0 в ^ и J ), так как коэффициент а(х,г) > а > 0, (х,г) е ^, и а еС2(^ )• Действительно, из ра-

венств (12) и (13) следует необходимость (обязательность) требований гладкости (8):

Я1(х,г) = 2[(&2)г¥х(х,г)-(&2)х¥,(х,г)]/J(х,г) еC1(G„), Н2 (х, г) = 2[(&1)г¥х (х,г) - (&1)х¥ (х,г)]/ J (х,г) еC1(G„). Необходимость интегральных требований гладкости (8) установлена. Теорема 1 доказана.

Замечание 2. В работах [1; 2] выполнение уравнения (1) на Сгх для интеграла И е С2(Ст) вида (7) также подтверждает подстановка функции Е е С2( ^) в канонический вид

(^ц) = М,Ц)/[Мх,1)Лх,1)], (15)

уравнения (1) после невырожденной и дважды непрерывно дифференцируемой замены переменных (14) с помощью (2). В правой части уравнения (15) функция /(с, п) = /(л-(с, пЫ(£. П)) и в ег0 левой части функция й(^,г|) =и(х(^,гна образе 6 , первой четверти плоскости 6', при замене (14). Каждое дважды непрерывно дифференцируемое по переменным (х,г) решение и(х,г) уравнения (1) на С, в результате замены (14) будет дважды непрерывно дифференцируемым по переменным (£,, г[) решением ¿7(£,г|) уравнения (15) на и наоборот. Но не все классические (непрерывно дифференцируемые с непрерывной смешанной производной) по новым переменным (£,т|) решения уравнения (15) на (}, после обратной замены к (14) становятся классическими (дважды непрерывно дифференцируемыми) по переменным (х./) решениями уравнения (1) на Поэтому только дважды непрерывно и ограниченно дифференцируемые

решения уравнения (15) будут классическими решениями уравнения (1) после обратной замены к (14). Дважды непрерывная и ограниченная дифференцируемость функции Е вида (7) на 0„ доказана в [1; 2]

обобщением метода корректировки и непосредственным дифференцированием по новым переменным

(£,,г|) функции Ё, полученной заменой переменных (14) из Р.

Следствие 1. Пусть коэффициент а(х, г) > а0 > 0, (х, г) е ^, а е С2 ) . Если правая часть / уравнения (1) не зависит от х или г в О^, то для того, чтобы функция Е из (7) являлась классическим решением неоднородного уравнения (1) в ^, необходимо и достаточно непрерывности и ограниченности / соответственно по г или х.

Доказательство. Достаточность непрерывности и ограниченности / еС[0, +»[ по х или г объясняется тем, что в случае зависимости правой части / уравнения (1) только от х или г на ^ интегральные требования гладкости (8) всегда выполняются.

Если правая часть / = /(х) не зависит от г, то функция Е из (7) приобретает вид

г Ма( х,г), х)

Е (х,г) = -I I

/ ('I)

2 0 И,{а(х,г),х) а(1',х)

й' й X.

(16)

Согласно доказательству достаточности теоремы 1 для справедливости требований гладкости (8) для (16) нам достаточно обосновать включение Е е С2(С„). Проверим, что Е е С2(С„) для / еС[0, +»[. Первая частная производная по г от (16) равна функции

дЕ( х,г) 1

дг

11

/(И-^хД,х)) а^-сх,г),х) /(х,г), х)) ^(^г),х)

а(И^Дх,г)|, х),х) дг а(х,г), х)|,х) дг

й х,

в которой мы применили вторые тождества обращения из (4). Когда мы здесь перейдем к новым переменным интегрирования у = И(й(х,г), х), г = И(й2(х,г), х), тогда мы получим уже очевидное непрерывно и ограниченно дифференцируемое на 0„ представление этой производной

дЕ (х, г) 1

дг

2

Ма( х,г ),0)

/(|у|) дИ-{й1(х,г), х) ( дИ-{й1(х,г), х) V1

У, х)

дг

дх

йу -

=И(1)[ у,а( х,г)]

- I

'МЫ х,г ),0)

/(|) дИ2(й2(х,г),х ) (дИ2(й2(х,г), х)У а(| г, х) дг [ дх

йг е С\Gm ),

х=И(2)[ г,й2( х,г )]

0

х

в котором мы воспользовались вторыми тождествами обращения из (4) и тождествами т = А(1)[у,g1(x,t)], т = h(2)[ г, (х,г)] благодаря вторым тождествам обращения из (6). В последних интегралах под модулями |у| и |г| явно нет переменных х и г, иначе модули дали бы разрыв производных от дГ / дг. Для всех / е С[0, +<х>[ первой частной производной по х от (16) является функция

дГ (х,г) 1 \

дх

2

' /(й^X,г),т}) д^ШхЛ!}. /(ЪШх,г),т}) дй^х,г),т}" а(| h (х,г), т}, т) дх а(| к2 (х,')|, т}, т) дх

й т,

в которой мы использовали вторые тождества обращения из (4). После перехода к новым переменным интегрирования у = к (^ (х,г), т}, г = к (х, г), т} эта частная производная приобретает очевидное для / еС[0, +х>[ непрерывно и ограниченно дифференцируемое на ^ представление

дГ (х,г) 1

дх

1 1

-Ма( х,г), 0}

/(|у|) дк1 {gl (х,г), т} Г дк {^1 (х,г), т} а(| У, т) дх ^ дт

йу -

т=к(1)[ у,21( х,г)]

к (&2 (х,г ),0}

/(|А) дк(&(х,г), т} Гдк(Яг(.х,г),т}V'

2(1 А, т)

дх

дт

йг е СЧС„ ),

=к(2)[ г,«2( х,г)]

где мы применили те же самые тождества, что и для частной производной по г от Г. Если правая часть / = / (г) не зависит от х, то функция Г из (7) принимает вид

1 ' )'т} I (т)

Г(х,г) = -1 1 1 (,т) dsdт.

2*п к, 1 л а

0 /¡2(&( х,г ), т}

(| , т)

(17)

Проверим дважды непрерывную и ограниченную дифференцируемость функции (17) для / еС[0, +ю[. Ввиду вторых тождеств обращения из (4) для всех / е С[0, +»[ все её первые частные производные непрерывно и ограниченно дифференцируемы на :

дГ (х,г)

11

/(т)

дК(я1( х, г), т}

/(т)

дЙ2(^2(х,г), т}

21 [а(|И^1(х,г), т},т) дг

а(| К{&2( х, г), т}|, т) дг

йт е ),

дГ (х,г)

дх

/(т)

дй^^ х, г), т}

/(т)

дЙ2(^2(х,г), т}

=1 _

21 _(|МяЛх, г), т}|, т) дх а(|^^х, г), т}|, т) дх

йт е ),

если здесь так же, как и выше, воспользоваться заменами переменной интегрирования у = к (^ (х, г), т}, г = к (^(х,г), т}. Отсюда мы имеем Г е С2(^).

Итак, достаточность гладкости и ограниченности / еС[0,+=о[ по х или t для /-' е С2 (С ) проверена. Факт выполнения уравнения (1) поточечно на (), для функции ¥ вида (7) с непрерывной, ограниченной и зависящей только от х или г правой частью /еС[0, +<х>[ вытекает из теоремы 1.

Необходимость непрерывности и ограниченности / е С[0, +<х>[ по г или х следствия 1 строго обоснована в доказательстве теоремы 1 с помощью уравнения (1). Доказательство следствия 1 завершено.

Замечание 3. Интеграл Г в (7) содержит модуль точек струны подынтегральных функций /, а.

В отличие от значений начальных данных ф и у на характеристиках х ± аг = ±С, С е Я, (однородного) уравнения ия - а2^ = 0 аналог нашего частного решения Г вида (7) с модулем нижнего предела интегрирования |х - а(г — т)| из формулы (31) в [13, с. 83] неоднородного уравнения не имеет точно такой же интерпретации: общее решение этого однородного уравнения - суперпозиция (арифметическая сумма) двух встречных волн. Для функций / еС'( ^) и даже менее гладких в теореме 1 наш интеграл Г из (7)

0

х

х

дважды непрерывно дифференцируем в первой четверти плоскости G, а даже для более гладких функций f вторые производные от этого аналога F из формулы (31) в [13] терпят разрывы на x = at, и эта функция F является непрерывным кусочно-дифференцируемым решением простейшего уравнения колебаний струны в [13]. Поэтому для этого аналога F из [13] не следует продолжать правую часть f волнового уравнения нечётно по x с x > 0 на x < 0 при решении первой и других смешанных задач на полупрямой. Вообще не надо явно как-то продолжать f вне G, а неявно её чётно по x продолжает указанный выше модуль. В настоящей статье и в [13] интеграл F вида (7) - интегральная сумма двух встречных волн с одной скоростью a. В учебнике [13, рисунок 19, п. 9, § 2, глава II] двойной интеграл по характеристическому треугольнику AMBA с вершиной M(x, t) при at > x равен двойному интегралу по четырёхугольнику MBA'A из-за нечётного продолжения f по x с x > 0 на x < 0. Это искажает реальный процесс колебаний струны, потому что в треугольнике OAA действует вынуждающая сила с плотностью f, а функция F

никак не реагирует на эту силу. Это абсурд, так как треугольник OA'A примыкает к граничному условию при x = 0. Таким образом, в [13, с. 83] для классических решений первой смешанной задачи на полупрямой лучше использовать F из (7) при a(x,t) = a > 0 и с модулем f (|, т) под интегралом вместо модуля в нижнем пределе интегрирования. В диссертации5 правильность классического решения с F из (7) смешанной задачи на полупрямой при первой косой производной в граничном условии доказана и проверена на компьютере в системе Mathematics.

Следствие 2. Пусть коэффициент a(x,t) > a0 > 0, (x,t) e G, a e C2(G). Если функция f зависит от x и t, то для f e C(G) требование принадлежности интегралов из (8) пространству C'( G) эквивалентно их принадлежности одному из пространств C (од)(G) или C (1'0)(G). Здесь C (0,1)(G), C (1,0)(G) _ соответственно пространства непрерывных, ограниченных по x и t и непрерывно и ограниченно дифференцируемых по t и x функций на множестве G •

Доказательство. Для гладкости (8) с функциями f e C(G) необходимость H eC(1,0)(G), C (01)(G), i = 1,2, очевидна: если в любой точке множества G„ функция H, e C(G), i = 1,2, непрерывно и ограниченно дифференцируема одновременно по x и t, то в любой точке множества G она непрерывно дифференцируема по каждой из этих переменных в отдельности.

Достаточность. Пусть C(k,p)(G) - банаховы пространства функций f e C(G), полученных замыканием множества функций f e C1(G), удовлетворяющих гладкости (8) на G, по нормам

4k, p )

= sup

( x,t )eG,

2 k p

If ( x, t )|+XXX

i=1 s=0 j=0

ds+JH ( x, t)

dxsdtj

0 < k, p < 1.

Сначала убедимся в равенстве банаховых пространств С'-0'1^^) = С(1,0)(^ )■

Для более гладких ограниченных функций / еСг(^) берём частную производную по г от (11)

dH,. ( x,t ) f (| h {g,. ( x, t), t}, t ) dh,. {g,. ( x, t ), t}

dt a(|h {g,. ( x, t), t}, t )

dg,

f (| h {g,. ( x, t), x}, x) dhi{gi ( x, t), x} ' a(\h, {g,. ( x, t), x}, x) dg,.

d x =

f(x, t) 1

a(x, t) (g. )x

-+ (-

t

(-1)'+ a(x, t) J

f (| ht {g,. ( x, t ), x}, x) dh {g,. ( x, t ), x} '

a(| ht {g,. ( x, t ), x}, x) dg,.

d x =

f ( x, t ) 1 a(x, t) (g,. (x, t))

.+. (-t)-a(x,t), , = 1,2,

dx

(18)

0

0

в силу вторых тождеств обращения из (4), формулы производной обратной функции и

(& )г = (-1У+1 а(х, г)(& )х, (х, г) е G„, . = 1,2, д/(| к (& (х,г), т}|, т) д/(| к & (х,г), т}|, т) дк (х, г), т},

8t 8\ dgt

"(gt )t =

, 1V+W ^8f(|h(g,(t),t}|,t) 8h(g,-(x,t),т^ v+w ^ 8f(|h(g,-(x,t),x}|, x)

= (-1) a( x,t)-!---!----(g,. )x = (-l) a( x, t)-!---!—,

8h 8g 8x

sihi&i^-82h{g,-(x,tXт}_ 2 (gi(x,t))t 8t8gi 8g,-

= (-1У+1 a(x,t)(g,(x,t))x = (-1У+1 a(x,t)^^, (x,t) е G„,i = 1,2.

В равенствах (18) из первых и самых последних их частей, которые не содержат явных производных от функции f по x и t на G„, мы переходим к пределу по f c более гладких f е С1(^), удовлетворяющих (8) на G, в нормах ||/||(01) и ||f||(10) их левых и правых частей на непрерывные ограниченные

функции f е С(G) из пространств С(од)(G„) и С(1'0)(G„). В результате этого предельного перехода по f приходим к равенству пространств G'"'"(Gr) = C"'"'(Gr).

Если для / е С'(Gг) в (8) интегралы Я е С'""( G,), г =1,2, и, в частности, ограниченно непрерывны по х и непрерывно дифференцируемы по f в некоторых окрестностях внутренних точек (x,i) е G,, то ввиду равенства C(0'r>(Gm) = C(m(Gm) интегралы //, е С (10)(Goo), / = 1,2, т. е. ограниченно непрерывно дифференцируемы по х и непрерывны по f в окрестностях внутренних точек (л-,/) е G,. Известно, что из существования ограниченных и непрерывных первых частных производных по х и t в некоторых окрестностях всех внутренних точек (x.i.) е G„ следует ограниченно непрерывная дифференцируемость во внутренних точках (x.i) е G, интегралов Я е С '(С/,), г =1,2. Поскольку по теореме 1 гладкость F е С2(G,) равносильна гладкости Д eC1(G„), г =1,2, на замыкании G„, то гладкость Д е С '(G,), 7=1,2, со внутренних точек (x.i) е G, распространяется предельным переходом по / на граничные точки, т. е. Ht е С 1(G), i = 1,2. Отсюда вытекает достаточность следствия 2.

Замечание 4. В формуле (18) значения i = 1 и i = 2 соответствуют значениям i = 2 и i = 1 замечания 2.1 в диссертации6 при a( x, t) = a = const > 0 из-за взаимно обратного соответствия характеристик.

3. Общий интеграл неоднородного модельного телеграфного уравнения. При решении смешанных (начально--граничных) задач для модельного телеграфного уравнения (1) методом характеристик из [13] важно знать его общий интеграл.

Теорема 2. Пусть a(x,t) > a0 > 0, (x,t) eG, a е С2(^) и для f е ) выполняются условия (8). Тогда общим интегралом уравнения (1) на G„ во множестве классических (дважды непрерывно и ограниченно дифференцируемых на G) решений являются функции

u{x,t) = f1{g1{x,t)) + f2{g2{x,t)) + F{x,t),{x,t)^Gxl, (19)

где f\ и fг — любые дважды непрерывно и ограниченно дифференцируемые функции по г| вида

_Ш = _Ш + /2(&(0,0)), /2(л)=/2(л)-/2(&(0,0)). (20)

Доказательство. Согласно теореме 1 предположения теоремы 2 гарантируют то, что действительно функция Т7 е С2 (Ст„) и поточечно удовлетворяет неоднородному уравнению (1) на О",. Поэтому во множестве классических решений сумма

и0(х, 0 = /1(^(х,0) + /2(я2(х,0), (21)

служит общим интегралом однородного уравнения (1) при / = 0 на С,. Сумма (21) получается интегрированием по и г| однородного уравнения (14) при / = 0. Тогда формула (19) является множеством всех классических решений неоднородного уравнения (1) на благодаря теореме 1.

Функции (20) выводятся «методом погружения в решения с фиксированными значениями» в [7]. В общем интеграле (19) постоянная /2 (0,0)) сокращается, но очевидное значение /2 (g2 (0,0)) = 0 из (20) существенно упрощает решение систем дифференциальных уравнений при решении смешанных задач для (1) методом характеристик, например, в [7] и упростило бы в диссертации7 и других источниках. Теорема 2 доказана.

Гладкий, ограниченный и невырожденный коэффициент а е С2 ) и, следовательно, дважды непрерывно и ограниченно дифференцируемые подынтегральные функции , И, И(') по х, г, у1, г = 1,2, на 0„ не препятствуют требованиям (8) на / е С(От).

Замечание 5. Для коэффициента а(х,г) > а0 > 0, (х,г) е ^, а еС2(^) интегральные требования гладкости из (8) на непрерывную и ограниченную правую часть / е С( ) равносильны требованиям

J f(| К {& (x,t), т}|, т) dT e C1(GX ), i = 1,2.

Заключение. Дано доказательство дважды ограниченно непрерывной дифференцируемости решения F вида (7) неоднородного модельного телеграфного уравнения (1) в первой четверти плоскости G. Критерий гладкости состоит из непрерывности и ограниченности правой части f и двух интегральных требований (8) на f в G„. Построен общий интеграл (19) из дважды непрерывно и ограниченно дифференцируемых функций при решении смешанных задач для уравнения (1) на G.

Работа выполнена в рамках программы ГПНИ № 11, «Конвергенция-2025», подпрограмма «Математические модели и методы», НИР 1.2.02.3.

ЛИТЕРАТУРА

1. Lomovtsev F. Е. The Smoothness Criterion for the Classical Solution to Inhomogeneous Model Telegraph Equation at the Rate a(x,t) on the Half-Line // Труды 10-го междунар. науч. семинара АМАДЕ-2021. - БГУ : ИВЦ Минфина. - 2022. - С. 43-53.

2. Ломовцев Ф. Е. Критерий гладкости частного классического решения неоднородного модельного телеграфного уравнения в первой четверти плоскости // Вестн. Полоц. гос. ун-та. Сер. С, Фундам. науки. - 2022. - № 11. -С. 99-116. - DOI: 10.52928/2070-1624-2022-39-11-99-116.

3. Ломовцев Ф. Е. Метод корректировки пробного решения общего волнового уравнения в первой четверти плоскости для минимальной гладкости его правой части // Журн. Белорус. гос. ун-та. Математика. Информатика. -2017. - № 3. - С. 38-52.

4. Ломовцев Ф. Е. В криволинейной первой четверти плоскости метод корректировки пробных решений для минимальной гладкости правой части волнового уравнения с постоянными коэффициентами // Весн. Вщеб. дзярж. ун-та. - 2021. - № 4(113). - С. 5-22.

5. Ломовцев Ф. Е. Первая смешанная задача для общего телеграфного уравнения с переменными коэффициентами на полупрямой // Журн. Белорус. гос. ун-та. Математика. Информатика. - 2021. - № 1. - С. 18-38.

6. Ломовцев Ф. Е., Устилко Е. В. Смешанная задача для одномерного волнового уравнения при характеристической первой косой производной в нестационарном граничном режиме для гладких решений // Весн. Магшёускага дзярж. ун-та 1мя А. А. Куляшова. Сер B. Прыродазнаучыя навую (матэматыка, ф1з1ка, б1ялопя). - 2020. - № 2(56). -С. 21-36.

0

7. Ломовцев Ф. Е., Лысенко В. В. Смешанная задача для общего одномерного волнового равнения в полуполосе плоскости при нестационарных нехарактеристических вторых производных // Весн. Магшёускага дзярж. ун-та 1мя А. А. Куляшова. Сер B. Прыродазнаучыя навую (матэматыка, ф1зжа, бгялопя). - 2021. - № 2(58). - С. 28-54.

8. Ломовцев Ф. Е., Спесивцева К. А. Смешанная задача для общего одномерного волнового уравнения с характеристическими вторыми производными в нестационарном граничном режиме // Матем. заметки. - 2021. - Т. 110, вып. 3. - С. 345-357. - DOI: 10.4213/mzm13243.

9. Хромов А. П., Корнев В. В. Классическое и обобщённое решения смешанной задачи для неоднородного волнового уравнения // Доклады Академии наук. - 2019. - Т. 484, № 1. - С. 18-20. - DOI: 10.31857/S0869-5652484118-20.

10. Хромов А. П. Необходимые и достаточные условия существования классического решения смешанной задачи для однородного волнового уравнения в случае суммируемого потенциала // Дифференциальные уравнения. -2019. - Т. 55. № 5. - С. 717-731. - DOI: 10.1134/S0374064119050121.

11. Хромов А. П. Расходящиеся ряды и обобщенная смешанная задача для волнового уравнения // Современные проблемы теории функций и их приложения: Материалы 21-й междунар. Саратовской зимней школы / г. Саратов (31 янв. - 4 февр. 2022 г.). - Саратов: Саратовский университет, 2022. - Вып. 2. - С. 319-324.

12. Ломов И. С. Построение обобщённого решения смешанной задачи для телеграфного уравнения: секвенциальный и аксиоматический подходы // Дифференциальные уравнения. - 2022. - Т. 58, № 11. - С. 1471-1483. - DOI: 10.31857/S0374064122110048.

13. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. - М.: Наука. 2004. - 798 с.

REFERENCES

1. Lomovtsev, F. E. (2022). Kriteriy gladkosti klassicheskogo resheniya neodnorodnogo model'nogo telegrafnogo uravne-niya pri skorosti a(x,t) na poluosi [The Smoothness Criterion for the Classical Solution to Inhomogeneous Model Telegraph Equation at the Rate a(x,t) on the Half-Line]. In Trudy 10-go mezhdunarodnogo nauchnogo seminara AMADE-2021 [Proc 10th International Workshop AMADE-2021] (43-53). Minsk: BSU, ITC of the Ministry of Finance. (In Russ.).

2. Lomovtsev, F. E. (2022). Kriterii gladkosti chastnogo klassicheskogo resheniya neodnorodnogo model'nogo telegrafnogo uravneniya v pervoi chetverti ploskosti [Smoothness Criterion for a Particular Classical Solution of an Inhomogeneous Model Telegraph Equation in the First Quarter of the Plane]. VestnikPolotskogo gosudarstvennogo universiteta• Seriya C, Fundamental'nye nauki [Herald of Polotsk State University. Series С. Fundamental sciences], (11), 99-116. DOI: 10.52928/2070-1624-2022-39-11-99-116. (In Russ., abstr. in Engl.).

3. Lomovtsev, F. E. (2017). Metod korrektirovki probnogo resheniya obshchego volnovogo uravneniya v pervoi chetverti ploskosti dlya minimal'noi gladkosti ego pravoi chasti [Correction method of test solutions of the general wave equation in the first quarter of the plane for the minimum smoothness of its right-hand side]. Zhurnal Belorusskogo gosudarstvennogo universiteta• Matematika• Informatika [J.• of the Belarusian State University• Mathematics and informatics], (3), 38-52. (In Russ., abstr. in Engl.).

4. Lomovtsev, F. E. (2021). V krivolineinoi pervoi chetverti ploskosti metod korrektirovki probnykh reshenii dlya minimal'noi gladkosti pravoi chasti volnovogo uravneniya s postoyannymi koeffitsientami [In the curvilinear first quarter of the plane the correction method of test solutions for the minimum smoothness of the right-hand side for the wave equation with constant coefficients]. Vesnik Vitsebskaga dzyarzhaunaga universiteta [J• of Vitebsk State University], 4(113), 5-22. (In Russ., abstr. in Engl.).

5. Lomovtsev, F. E. (2021). Pervaya smeshannaya zadacha dlya obshchego telegrafnogo uravneniya s peremennymi koeffitsientami na polupryamoi [The first mixed problem for the general telegraph equation with variable coefficients on the half-line]. Zhurnal Belorusskogo gosudarstvennogo universiteta• Matematika• Informatika [J^ of the Belarusian State Uni-versity• Mathematics and informatics], (1), 18-38. (In Russ., abstr. in Engl.).

6. Lomovtsev, F. E., & Ustilko, E. V. (2020). Smeshannaya zadacha dlya odnomernogo volnovogo uravneniya pri kharak-teristicheskoi pervoi kosoi proizvodnoi v nestatsionarnom granichnom rezhime dlya gladkikh reshenii [A mixed problem for a one-dimensional wave equation with a characteristic first oblique derivative in a non-stationary boundary regime for smooth solutions]. VesnikMagileuskaga dzyarzhaunaga universiteta imya A• A• Kulyashova• SerB• Pryrodaznauchyya navuki [Mogilev State A• Kuleshov Bulletin• Series B• Natural Sciences], 2(56), 21-36. (In Russ., abstr. in Engl.).

7. Lomovtsev, F. E., & Lysenko, V. V. (2021). Smeshannaya zadacha dlya obshchego odnomernogo volnovogo uravneniya v polupolose ploskosti pri nestatsionarnykh nekharakteristicheskikh vtorykh proizvodnykh [A mixed problem for a general one-dimensional wave equation in a half-strip of the plane with non-stationary non-characteristic second derivatives]. Vesnik Magileuskaga dzyarzhaunaga universiteta imya A• A• Kulyashova• Ser B• Pryrodaznauchyya navuki [Mogilev State A.• Kuleshov Bulletin Series B• Natural Sciences], 2(58), 28-54. (In Russ., abstr. in Engl.).

8. Lomovtsev, F. E., & Spesivtseva, K. A. (2021). Mixed Problem for a General 1D Wave Equation with Characteristic Second Derivatives in a Nonstationary Boundary Mode. Math Notes, 110(3), 329-338. DOI: 10.1134/S0001434621090030.

9. Khromov, A. P., & Kornev, V. V. (2019). Klassicheskoe i obobshchennoe resheniya smeshannoi zadachi dlya neodnorodnogo volnovogo uravneniya [Classical and generalized solutions of a mixed problem for a non-homogeneous wave equation]. DokladyAkademii nauk, 484(1), 18-20. DOI: 10.31857/S0869-5652484118-20.

10. Khromov, A. P. (2019). Neobkhodimye i dostatochnye usloviya sushchestvovaniya klassicheskogo resheniya smeshannoi zadachi dlya odnorodnogo volnovogo uravneniya v sluchae summiruemogo potentsiala [Necessary and sufficient conditions for the existence of a classical solution of the mixed problem for the homogeneous wave equation with an integrable potential]. Differentsial'nye uravneniya [Differential equations], 55(5), 703-717. DOI: 10.1134/S0012266119050112.

11. Khromov, A. P. (2022). Raskhodyashchiesya ryady i obobshchennaya smeshannaya zadacha dlya volnovogo uravneniya [Divergent series and generalized mixed problem for wave equation]. In Sovremennyeproblemy teorii funktsii i ikh

prilozheniya: vyp. 21 [Modern problems of the theory of functions and their applications: iss. 21] (319-324). Saratov: Saratov State University. (In Russ., abstr. in Engl.).

12. Lomov, I. S. (2022). Construction of a generalized solution of a mixed problem for the telegraph equation: sequential and axiomatic approaches. Differential equations, 55(11), 1468-1481. DOI: 10.1134/S00122661220110040.

13. Tikhonov, A. N., & Samarskii, A. A. (2004). Uravneniya matematicheskoi fiziki. Moscow: Nauka. (In Russ.).

Поступила 25.01.2023

ON THE SMOOTHNESS CRITERION FOR A CLASSICAL SOLUTION TO AN INHOMOGENEOUS MODEL TELEGRAPH EQUATION IN THE FIRST QUARTER OF THE PLANE

F. LOMOVTSEV (Belarusian State University, Minsk)

We propose a new proof of the smoothness criterion on ffor the classical solution F to the equation n„(x,t) — a2(x,(x,0 — ¿Г1 (x,t)at(x,t)nt(x,t) — a(x,t)ax(x,t)nx(x,t) = f (x,t), (x,t) e =]0, +oo]x]0, +co]. The criterion consists of the necessary and sufficient requirements for bounded continuity f and continuous differentiability of two integrals from f on G„. The need for continuity and boundedness f follows from this equation, which satisfies F on G„. These two integrals are continuously and boundedly differentiable, as derivatives of F еС2(^) along the characteristics of the equation. This implies their sufficiency for F е С2(^ ). If f depends only on x or t, then f is continuous and bounded on x or t. A general integral of the model telegraph equation is constructed.

Keywords: model telegraph equation; one variable rate; implicit characteristics; classical solution; smoothness criterion; general integral.