О корректности предельных переходов в импульсных системах общего вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 51

О КОРРЕКТНОСТИ ПРЕДЕЛЬНЫХ ПЕРЕХОДОВ В ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМАХ ОБЩЕГО ВИДА

© Д.Ю. Карамзин

Ключевые слона: импульсные управления; импульсные системы; корректность решения. Изучается свойство корректности решений импульсной системы, полученной в результате импульсного расширения обыкновенной системы ,іифферепцііальиьіх уравнении. Доказываются необходимые технические леммы.

Будем изучать следующую управляемую дифференциальную систему

(ІТ /(т.и,І)(ІЇ І у(х, иЛ)(1і), І Є Г. .г(/|)) .Т(). (3.1)

включающую обычное измеримое существенно ограниченное управление и и импульсное уп-равлеігие \) {ц,{ит,Х}т}). Определение импульсного управления и решения импульсной си-

стемы (3.1) было дано в работе |?|. Ниже установим корректность решения этой системы относительно специального вида метрики, возникающей при импульсном расширении.

Ниже приведем вспомогательные технические конструкции необходимые для формулировки и доказательства основного результата. Рассмотрим множество всех управлении, т. е. вес; нары р (и. 0). Обозначим эго множество через V .

Зафиксируем пару р где 0 (/и, {»-, е-}). Рассмотрим функцию тг: > [О, 11,

7Г(£) = + І є (/(Ь / ,1, тг(/(,) = 0, (3-2)

где и=\Щ. е = Ц — /о | и{Т), называемую разрывной заменой времени Лебега. Существует обратная функция 0(8): |0,1|—* Г такая, что:

a) 0(.ч) монотонно неубывающая функция на отрезке [О, 11 ;

b) в(,ч) абсолютно непрерывна и |6*(«) — в(1)\ < с|а — /| Уй./■;

c) 0(») = т, V ,ч є Гт . V г Є Т, где Гт = [7г(т-),1г(т|)1.

Заметим что функция тг(^) отображает (( I |і?|) -измеримые множества в С. -измеримые множества. Действительно, это непосредственно вытекает из определения тг и из представления множества как объединения борелевского и множества нулевой меры. Поэтому, если множество Л является (/: | |$|) -измеримым, то в~1 (Л) измеримо. Это означает измеримость функции и(0(з)). если только и(1) будет (£+1^1) измерима. Так что тенері», например, следующая замена подынтегральной переменной оказывается возможной:

и(0(*))М0(»))Ж»,

где тп производная Радопа-Никодима мері.і // по £ + | (У|.

Пус ть ф будет любая непрерывная функция переменных (а\м,/■), принимающая значения в М(. Введем отображение

Е*#, т=Эт € ш(м) *6 Гт-

1 14 \(;){х(0(,ч)), и(0(.ч)), 0(.ч)) иначе,

действующее из отрезка |0; 11 в I1. 'Здесь

£г0) (в - 7г(0)Л'0 V) : IV *■ |0,1|.

Снабдим сейчас множество V метрикой. Рассмотрим функцию распределения 1\1, V) скалярной борсловскотт меры и. т. с. 1'\Ь,и) ^(1*0^1) V/:€ (/о./:|] , /•’(* о,и) 0. Рассмотрим два

эломсита Р1 • Р2 £ "Р : и пусть Р1 = ('М-|, #1) , Р‘2 = («-2! $з) • Пусть ^ ССТЪ рОШСПНЯ СИСТОМ простейшего вида = (/(?_/, С?(^о) = 0, ./’ = 1.2. иогцхиашых согласно определению решения. Расстояние I! V определим по формуле:

РІР ьЫ

і/1 (/) - ыл

II

(II I

I гпах «€[0.11 г-1

КхГ[Сі (■)■ о 11(я) - Кх1 [02(•)• 1?21(•*>■)

I

(3.3)

і:

Мхі.|«і(-),'С'і|(5) - Юхі|и2(-)^2І(в)

(/•5.

(функции КхГ,|СД), непрерывны, (функции Кхф/,}( ), (9; | іт:-!м(,рітмьт и сутпественно ограничены, как уже было отмечено вытпе. Поэтому и максимум, и интеграл в (3.3) определены корректно. Легко проверяется, что функция />(■. ■) удовлетворяет всем аксиомам метрики. Таким образом. V - это метрическое пространство. Пространство V: очевндио; полным по является. (По если управления и берутся из Ьі(7 ). то оно будет полным). Обозначим —*■ сходимость элементов і! V . 'Заметим, что любой элемент (и.і?), где і'(1) Є К, может быть рассмотрен как элемент (и, 0) пространства V, если положить 0 (/«;{())), где гір. г(І )гІІ.

Целью рассмотрения именно такой метрики служат следующие два свойства управлений из V.

(А) Множество обычных ограниченных управлений (к, с) является всюду плотным 1} V .

(К) Предельные переходы относительно метрики р в системах вида (3.1) оказываются корректными.

В то время как свойство (Л) является достаточно очевидным (оно доказывается простым построением нужной последовательности обычных управлений («*,*?*), мы опускаем детали), то свойство (Б) требует более аккуратной формулировки и доказательства. Сформулируем это свойство в виде следующей леммы (Корректность решения),

.1 е м м а 1. Пусть («*, ■»?,;) Д (и- 0), где. пары («*, ■»?*), (и.д) принлдлепнжт V. Предположим, что Хо,* —>■ хо € К”' и функции НхТ.|«£. равномерно существенно ограниче-

ны.. Предположим, что траектория х^-) - решение (3.1), отвечающее управлению («*, 1%) и начальному значению хол существует па всем отрезке Т У/, и | Ехф:*. ч?»|(#)| < шпы Ув€|0.1|, У*.

Тогда на всем отрезке. Г существует и решение х(«) уравнения (3.1), отвечающее управлению (и. д) и начальному значению хо, и более того, Ехфч, 1?*|(л>‘) =?Ехф\ в%$) равномерно по а € |(). 1| , что также влечет, что х-Д/) —»х(1) VI € (Г\Бй(|ч?|)) и {/о. /т} .

Доказательство основано на разрывной замене времени. Не ограничивая общности, можно предположить, что /(•,*) О € !К где Г) произвольное множество точек меры нуль, которое сингулярная компонента меры |ч?| не|к:водит во множество полной лебеговой меры. Поскольку И(О) 0. то значения функции / па этом множестве не участвуют в построении траектории. Аналогично поступим со значениями / и 1} случае мер ||У,|. г 1.2.... 'Генерь /(■Л) измерима относительно мер (: I |ч?| и ||^| У/. Будем использовать это ниже.

Рассмотрим разрывную замену времени тг(/). см. (3.2). связанную с импульсным управлением г). Обозначим обратную функцию 0(.ч): [0, 11 —> / . Рассмотрим функцию

т,(,) к'жгшг г |#кя.

которая есть у множен пая па константу производная Радона Никодима меры I по мере Лебега Стилтьеса ( | |(?|. Функция т-\ (1) является (/: I |ч?|) -измеримой.

Из определения вытекает формула для 0(,ч):

і «(ч) (к, ./о

где

0{.ч) /о I а(ч) <к. (3,1)

\ 0. иначе.

В самом деле. (;слп мера |і?| не имеет атомов, то (формула (3.1) очевидна, т. к.:

,4. гі гъ(1)

1-1о= І <к= І ті(0^7г(т)= т-\{0(<>)) (к.

Jto ^tr! </ О

Когда |і?| имеет конечное число атомов п..... Т)у > то формула (3.1) получается последовательным применением непрерывных замен переменной на отрезках |т*. т»ц]. Наконец, для произвольной меры |$| формула (3.4) верпа, т. к. меру |(У| можно приблизит]» мерой с конечным числом атомов.

Обозначим

,.ч '//'<

умноженную па константу производную Радона Никодима меры по мере ■£ + !#! • Функция иі-іИ) {(■ I Щ) -измерима и существенно ограничена.

Определим функцию

Д/.Л / с-(«(IV)) 1ї>г(Ст(<.-))еслиЗт€І)5(|і/|): ч-

‘ ^ \ ^2(0(я))-. иначе.

є IV,

Несложно проверить, что

Кх1|£. |7|(в) I )3(<,) (к. где (1( (И). ф0) 0.

./о

Рассматривая в приведенных выше формулах управление (//*. $*) вместо (и. I?), для каждого » получим функции ац. Д; и также аналогичные формулы для 6>* и Ех1.[&, , где

0г ест)> обратная функция к разрывной замене времени, связанной с импульсным управлением дг .

Обозначим : НхТ.[.г,;. 1?*]. 11о определению. в силу замены переменной имеем

Уг($) хол + І /(уі($),\':м\щ,і)і\(<;),0і(<;))<Хі{<;)(к ./о

к +

г* ■■ (3.5)

ЯІУііі), НхТ.[«г, >Л:|(ч}. 0г{$))&(<,)<к.

./о

Извлекая подпоследовательность и используя определение (3.3) метрики р, из сходимости элементов («і, (?і) -Д (и, О) ВЫВОДИМ. ЧТО 0j = 0 . Kxt[G, J?ij ^ Kxt[<, tf] IT Kxt[«£. l?i|(.s) —+ —і- Kxt[?/, (?J(.s‘), n.B. .s Є [0. Ij . а также что функции /і» равномерно ограничены, (’нова переходя к иодиоследоватс іьности, используя слабую ееквеиииальиую компактность единичного шара и U, получаем, что -4а. и После перехода к пределу и формулах

0i{.ft) to I [ o.(s)f/s- Kxt[Ci. I^J(.S-) I !%{<,)(k

Jo A)

приходим к тому, что а а, в в.

Функции Ці . и силу (3.5). равностепенно неирерьнпіі.і и равномерно ограничены. І Іереходя к подпоследовательности, используя теорему Ариела, получим уі = у. Переходя к пределу при і —> эс, в (3.5) будем иметь

y(s) .Го + I J'(y(s), Mxt[tt. 0\ (s), 0(s))a(s)(k + Jo

Г иШ- KxtMK*), %))/?(*№.

./0

По тогда в силу замены переметши траектория х(1) = /у(тг(/)). где тг - обратная функция к в. удовлетворяет (3.1). Значит, у = Ехф:. i?J. Поскольку приведенные рассуждения справедливы ДЛИ любой подпоследовательности ИСХОДНОЙ последовательности функций Уі($) ■ 10 В СИЛУ теоремы единственности решения дифференциального уравнения МЫ доказали. ЧТО Кхф-,;. t?i| =1 Kxt [.г, t?J. . Іемма доказана. □

Следующая лемма показывает. как с помощью интегрального функционала возможно аппроксимировать импульсные управления.

Л е м м а 2.

Пусть (щ, щ) (її. д), и

г>\

J (;'/<(/) - ?л(*)| і \щ(ї) -'МОЇ)m(t.)dt -> о, (3.«)

где

= I (vi, | l-'iI) dr. Уг{1) = I (Vi,\Vi\) dr,

Jto hr.

'•*(/)! і h(*)l

nii(l) 1 +

фупщии чі і , щ, Vi, и Vi класса Lx(7') , а функции щ равномерно ограничены. Тогда, (и і, Vi) Доказательство. Рассмотрим разные замены переменных

1'ыфХ

i(l) (Сі) 1 [/-/() +

/ Ыфк

где а її — /о + ||i;»||li : ci h — 1-а + Ih'-ilUi .Обозначим Oi(-s), Oi(s) соответствующие обратные (функции.

Рассмотрим также следующую замену переменных

где с* = ЦотіЦгл , и пусть в* -соответствующая обратная функция. Пусть С обозначает иервые

к координат вектора у, а 2 его последнюю координату, т. е. у (£,г), где г скаляр.

Аналогично (О, г*) и щ (Сь ?і) •

И:•{ (3.0) следует, что гі(і) —► г(і) /•’(*, |і?|) п.в. * € 7". Установим, что *і(£| ) —> г(і\) (что

означает слабую-* сходимость мер-вариаций). II:і (3.(5) НМ(Н’М

-I

ІСі(Й£(»)) - &(**(*)) 2 I Ы*?(»)) - *(*?(*)) 2 <1.4 > 0, (3.7

где

и(Л)) к () 1 2 + ІГД0І +1^(01 ктк"

'ЩуіЩЇ))

*+ыо:т+ыо;т'

*т*)) I мф<-

.Л:

Аналогично

Отметим, что (<,')| < '2 с* , и следовательно, ввиду приведенных выше формул, семейства функций Сг{0*(я)),?г(0*(я)) равностепенно непрерывны и равномерно ограничены. Тогда по теореме Ариела, переходя к подпоследовательности, имеем С*(0*(5)) =к(я), г,;(^*(.ч)) =$г(.ч), где (. г есть некоторые непрерывные функции иа отрезке [0.1|. Точно такие же рассуждения справедливы и для функций (г(в*(«)) и . Из (3.7). иереходя к поднос.тодовнтелышети,

имеем С*(^(в)) —^ С(®) ) ^(^|(5)) ^ г(8) ■ 4° ^(^(0) ^{(1 I ) —51 г(11 ) при г —+ ос ввиду р-

сходимости. Отсюда 2*(£|) *;:(#.*(I ))—> г(£|). Поскольку эти рассуждения справедливы для

любой подпоследовательности исходной последовательности, то мы доказали, что г^(1 \) —► ^z(h).

В силу слабой-* сходимости мер-вариаипй очевидно верно 0*(#) =£$(#), 6^(»)

(9(а) , где в(,ч) есть обратная функция к

... I 1а 1(1)

Щ1) =

*1 -*о I z(t^)

По оирсдслешио метрики р. поскольку (щ, п) —» (и, V), имеем, что ЕхІ [£*. г?і|(«) =4 С°ХІ (•‘О = Юхі(УІ(-$). Это означает, что &(бг(в)) =КСХ,(5) • І Іокажем, ч то Сг№(«)) =К°Х'(-5) • Д<:и| этого достаточно показать, что существует подпоследовательность, обладающая таким свойством.

І Іо определению имеем

Кі(0*(.ч)) І 7Гі(0*(а‘))

-----------у---------- (•*>;)

Поэтому. учитывая, что ^(в*(я)) — гі(в*(н))^0. но оиределепию тг*. я» следует, что я*(6£(#))^

ЧГІ

: 8 ■

'Заметим, что

СіПІОіЮ)

гг(0(сУI

т=I шш*=Ех|

Отсюда получаем 1,'х1|<^.г»|(в)=?<>'(в); потому что С*(^И®)) =»С(5) 11 я»(0£ (з)) =4 8. Аналогично

ГЩ{вЦя)) 7^.г.

№(»)) = , VГ /д Д.* = Ех|^*К*««<»»>-

Л) 1 I \1'М0)1

Как отмечалось нише, С*(^< (®))=К(в) • Однако ЕхЦу.^К5) =Ц‘их1(в), и поэтому, и поскольку п(01(я)) приходим к тождеству ((.ч) =0Ж,(«). Значит

*)) - СЄХ'(«) =► Ех1,[с,і; Ч.Ч1(») =

Чтобы доказать, что (щ. г*) (и, (У). остается показать, что имеет место сходи моєї

Ехфу*. <’г](«) -5- Мга1(«) = Ех( [и. !?](*)

и Ь|'*([0. 1|). Из (3.(3) имеем

/ |«*(0Дв)) - -► 0. (3.8)

./о

В силу /)-сходимости имеем Т1г(0,(а)) —> и‘'х1 (в) н Ь"г(|0,1]). Обозначим /,-(в) ТнФ^а))— — и'^л(з). щ(з) 7Гг(0,*(в)) - Заметим, ч то функции /г(в) равномерно ограничены в Ц£([0, 1|). 11оетому, согласно уже сделанным выкладкам, несложно показать, что

/'

./о

* (]„Ч < сопя! V/.

ф)

Функция Кі(.ч) отображает отрезок [0.1| и себя и ст|ют возрастает. Поэтому

[ \МФ))\<1* I /..(к,:(,))|^=^<

/о ./о л/ Кі($)

<

/»(«*(*))12^(«) Ж ■ \/ / ^ Л» <

I/ УО

Здесь мы носио.чьзонались неравенством Коши. гГем самі.ім установлено, что

[ |«»(0*(я)) - ї/их1(/іі(я))| (Іч -► 0. ./о

11оскольку функция мох,(я) непрерывна в среднсм, а т(я)^.ч. получаем, что иохі(«і ,(,^(А.) в Ц"'([(), I]). Таким образом, доказано, что щ(0*(.ч)) —+ і/Є!ХҐ(.ч) в Ь"1([(), 1]). Следовательно. пз (3.8), имеем щ(0*(#))—> иехГ(,ч) в Ь"*([0.1|). Похоже, по рассматривая функции /*(«) = <н(Щ(«)) — «1:х1,(«), Кг(.ч) =і>і(0і(.ч)) , окончательно установим, что щ(9г(.ч)) —> «“' («) в ^7*([0; Ч) • Д-'1^ чего надо ТОЛЬКО ЛИШЬ проверить, если 7~1(0і(8)) =5 8 ■

Ясно, что ^і(0і(тті{0*(з)))) гі(0і(їїі(0*(в)))). По по определению їі(0і($)) =4 сі$ — 0(8) + іо (потому что (іцгі{і) і — іа І гД*)). Поэтому, и т. к. тг*(0*(.»)) =4 -ч. тгі(0^(.ч)) = .ч приходим к тому выводу, ЧТО Хі(ві(.ч)) =ІСі.Ч — в(.ч) | І0 . Тогда ио определению имеем

C-iS + 0i(s) — lo + Zi(0i($))

= -------------о-------------- ^ ,S-

Доказательство завершено. □

°> а м e тт а н и о 1. Попутно мы. доказали, что Щ=х0, Q.o()-=> £ext, щ о0* —* «ext в

Ч'(\ 0,11).

ЛИТЕРАТУРА

1. Antlyuium .4. V'., Ktimmzm I). Yu.., I’i:n:ini I'.L. Oeneralizauoti of tin; Impulsive Control Concept: ('onLrolling Syslems Jumps /,.•■ Discrete a,n<l Continuous Dynamical Systems. 2011. V. 29. .4" '2. P. 10,4-11 5.

2. Кириллов А.А.. Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа. М.: Паука. 1988.

.4. Колмогоров Л. II., Фомич (.'. II. Элементы теории функций и функционального аналича. М.: Наука, 190S.

I>JIАГО.:IАРНОС ТИ: Работа выполнена, при (финансовой поддержке Российского <1>оида фундаментальных исслсдоваттий (проект .V" 13-01-00-19-1а).

Поступила а редакцию 21 ноября 2013 г.

D.Yu. Karamzin

OX WELLPOSEDNESS OF PASSAGE TO THE LIMIT IX IMPULSE SYSTEMS OF GENERAL TYPK

The properly oi' wellposedness of solutions to impulse system obtained as the result of impulsive extension of an ordinary system of differential equations is under discussion. The necessary technical lemmas are proved. Kr/y words: impulse cont rol; impulse systems; solution’s wellposedness.

Карамзин Дмитрии Юрьевич, Вычислительным центр РАН, г. Москва, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, e-mail: dmitry_karamzin;<iniail.ru Karamzin Dmitry Yuryevich, Computer center of the Russian Academy of Sciences, Moscow, Russian federation, Doctor of physics and .Mathematics, Senior Research Worker, e-mail: dmitrvkaramzin Simail.ru