О корректности метода математического моделирования процесса акустического излучения от линейного дефекта в угловой области Текст научной статьи по специальности «Математика»

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2020.92.2.003

О КОРРЕКТНОСТИ МЕТОДА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА АКУСТИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ОТ ЛИНЕЙНОГО ДЕФЕКТА В УГЛОВОЙ ОБЛАСТИ

Научная статья

Беркович В.Н. *

ORCID 0000-0003-0915-7170,

Донской казачий государственный институт пищевых технологий и бизнеса (филиал) «МГУТУ им.К.Г. Разумовского

(ПКУ)», Ростов-на-Дону, Россия

* Корреспондирующий автор (vberkovich[at]mail.ru)

Аннотация

Работа посвящена анализу колебаний в упругом теле в форме прямого двугранного угла, возбуждаемых линейным дефектом, генерирующим сигналы акустической излучения. Предполагается, что в процессе роста дефект выходит на вершину угла, границы которого жестко закреплены. Изучаются вопросы корректности применения методов динамической теории упругости для моделирования указанного процесса. Указанная ситуация возникает при изучении проблемы надежности стыка элементов технологического оборудования, работающего в динамическом режиме. Аналогичная ситуация возникает при геофизическом анализе волновых процессов в угловых блоках земной коры. Проблема сведена к анализу некоторого граничного интегрального уравнения относительно скачка амплитуды напряжений на дефекте. Изучены вопросы разрешимости уравнения в пространствах дробной гладкости.

Ключевые слова: акустические свойства, излучение, граничное интегральное уравнение, неразрушающий контроль, угловая область, пространства дробной гладкости.

ON CORRECTNESS OF MATHEMATICAL MODELING METHOD OF ACOUSTIC RADIATION PROCESS

FROM LINEAR DEFECT IN ANGULAR AREA

Research article

Berkovich V.N. *

ORCID 0000-0003-0915-7170, Don Cossack State Institute of Food Technologies and Business (branch), MSUTU named after K.G. Razumovsky

(PKU), Rostov-on-Don, Russia

* Corresponding author (vberkovich[at]mail.ru)

Abstract

This work is devoted to the analysis of vibrations in an elastic body in the form of a right dihedral angle excited by a linear defect generating acoustic radiation signals. It is assumed that during the growth process, the defect reaches the top of the angle, the boundaries of which are rigidly fixed. The author studied the problems of the correct application of the methods of the dynamic theory of elasticity for modeling this process. This situation arises when studying the problem of the reliability of the junction of elements of technological equipment operating in a dynamic mode. A similar situation arises in the geophysical analysis of wave processes in the angular blocks of the earth's crust. The problem is reduced to the analysis of some boundary integral equation with respect to the jump in the amplitude of the stresses at the defect. The questions of solvability of the equation in spaces of fractional smoothness are studied.

Keywords: acoustic properties, radiation, boundary integral equation, non-destructive testing, angular region, spaces of fractional smoothness.

Введение

Целью настоящей работы является математическое моделирование одного из состояний предразрушения узла, представляющего стык угловых упругих элементов, а также изучение вопросов корректности применения традиционных методов динамической теории упругости при математическом моделировании волновых процессов, возникающих в угловых элементах, диагностируемых методами неразрушающего контроля, как на предприятиях тяжелой индустрии, так и на предприятиях агропромышленного комплекса (предприятия хранения и переработки зерна, спиртодрожжевые и винодельческие предприятия, комбикормовые заводы и др.). В процессе длительной эксплуатации технологического оборудования в динамическом режиме появляется концентрация напряжений в угловой точке, и в её окрестности возникает дефект, развивающийся в направлении угловой точки и генерирующий акустическое излучение (акустическая эмиссия). Аналогичная ситуация может обнаруживаться и при анализе волновых геофизических процессов при образовании излучающих дефектов в угловых стыкующихся блоках земной коры. В работе рассматривается предразрушающее состояние, когда появление излучающего дефекта имеет место только в одном из угловых элементов. Угловой элемент моделируется упругим телом в форме прямого двугранного угла, грани которого находятся в условиях жесткого сцепления с остальными угловыми элементами, а излучающий дефект - линейным разрезом I конечной длины l, на берегах которого расположены источники колебаний (Рис.1). Разрез I выходит на вершину углового элемента под углом в к его границе.

Постановка задачи

Учитывая сказанное выше, будем рассматривать случай, когда границы упругой угловой области Г2 являются неподвижными, а на разрезе I находятся источники гармонических колебаний пространственного сдвига,

моделирующие сигналы АИ, задаваемые с помощью функции f(X, y)e ШТ, где ( - круговая частота колебаний.

При этом предполагается, что источники колебаний на берегах разреза I когерентны и имеют одинаковую интенсивность.

Г

Щг =о

X

I

о

Рис. 1 - Линейный излучающий разрез I в угловой области, смещения ® границ разреза перпендикулярны плоскости

чертежа

Известно, что в этом случае колебания смещений U упругой среды во времени Т могут быть описаны с помощью волнового уравнения (a -скорость распространения волн сдвига):

ЛU =

д

а2 дт2

(1)

Считая колебания установившимися и отыскивая смещения Ц в виде Ц( х,у,т) = Щ(X,у)е шт для изучения акустических свойств среды, приходим к следующей краевой задаче для уравнения Гельмгольца [1] относительно комплексной амплитуды Щ(Х,у) смещений в области прямого двугранного угла £ с выходящим на его ребро линейным разрезом I конечной длины I:

ЛЩ + к2Щ = 0, к2 = Ба2л

Щ г = 0

Щ1 ± = /(х,у), (х,у) е I*

(2)

где Л — модуль сдвига, Б — плотность материала угла, Г — граница угловой области £, оси координат X, у направлены вдоль прямолинейных границ Г .Будем предполагать, что при г = ^х2 + у2 ^ да функция Щ(X, у) ^ 0 и выполняются условия излучения Зоммерфельда [2] .

Ставится задача о восстановлении волнового поля Щ(X, у) во всей рассматриваемой области £ с помощью

амплитуды смещений f( х,у) берегов разреза I ± .

Замечание. Отметим, что, несмотря на локальный характер процесса образования дефекта, генерирующего сигналы акустического излучения (АИ), методика анализа акустических свойств и моделирования процесса антиплоскими колебаниями сдвига, тем не менее, приводит к удовлетворительным качественным результатам, как отмечается в работе [3] при моделировании явления акустической эмиссии, порождаемой линейными излучающими дефектами в предразрушающих состояниях упругих материалов.

Описание метода и полученные результаты

1. Метод исследования краевой задачи (2) основан на ее сведении к некоторому граничному интегральному уравнению (ГИУ) используя функцию Грина, с помощью которой любое регулярное решение уравнения Гельмгольца в конечной области £ представимо в виде:

Щ (х,у ) = 1— д^щ у

2пл ду ду )

(3)

где С — граница области £ , У — нормаль к границе, 0(х, у|п) - функция Грина для прямого угла без разреза, удовлетворяющая следующей краевой задаче ( 5(х) - дельта - функция Дирака) :

20

1

AG + k2G = -2n8(x -4)s(y -n) (4)

G n=o = 0, G\ i=o = 0 (5)

Кроме того, при p = 44 + П ^ l выполняется условие

G(x,y\0 (6)

и условия излучения Зоммерфельда.

Для нахождения функции Грина использовался метод интегрального преобразования Фурье [4]:

F(а) = —^= f f (x)eiOOCdx, f (x) = -^ f F(a)e-iaxda и свойства 8 - функции Дирака

1 +L +L

8(x -4)= JT f e-i(x-4)ada' f f (4)8(4 - x= f (x) (8)

» 2П -L -

(7)

Выбирая функцию Грина, а также 5 - функцию Дирака в форме интегрального преобразования Фурье (7), (8) и, осуществляя преобразования образующихся при этом контурных интегралов, приходим к следующему выражению вспомогательной функции G0 для полупространства, удовлетворяющей только одному граничному условию

^ и=0

= ПП^Н[1(Ц(х -{)2 + (У -п)2) -4)2 + (У + п)2) (9)

При этом полученные контурные интегралы были преобразованы с использованием интегрального представления функции Ханкеля [2]:

l iax-\ y

re 11

V a2-k2

4 а2 - k2

da = niH(01)(k^x2+y2)

Метод отражений позволяет с помощью вспомогательной функции G0 (9) для полупространства построить функцию Грина G для прямого угла, которая будет удовлетворять граничным условиям (4)-(6) и имеет вид:

G(x,y\4,n) = П [H(on(kJ(x -4)2 + (y -n)2) - H(1)(^(x -4)2 + (y + n)2), H(01)(^(x + 4)2 + (y -n)2) - H(01)(^(x + 4)2 + (y + n)2 )

(10)

Я - =4 (X -£)2 + ( у -п)2 , Я ~+=4 (X -£)2 + ( У + п)2 Я+-=4(х + £)2 + (у -п)2 , я++=4(X + £)2 + (у + п)2

2. Для получения граничного интегрального уравнения (ГИУ)

воспользуемся интегральным представлением (3). Выберем в (3) в качестве области £ часть угловой области &

, ограниченной контуром С = Г ^ I ^ СК , где СК — окружность радиуса Я замыкающая прямой угол с центром

в его вершине. Перейдем в соотношении (3) к пределу при Я ^ ю с учетом условий убывания (6), условий Зоммерфельда и асимптотических представлениями функций Ханкеля [4] :

H(1)(x) — J—e

V 7DC

i+oí 1

I X j

X ^ <x

В результате указанных преобразований в соотношении (3) остается лишь интеграл по разрезу I, и выражение смещений в точках области £ принимает вид:

W(x,y) — -L¡(^G)dlv , (x,y) g£ 2пI{dv J

(11)

Устремим точку (х, у) на границу разреза I в соотношении (11). Тогда, переходя к локальным координатам по формулам:

X — tcosв y — tsin в £ —scosв r¡ = s sin в

( < t,s < l

приходим к следующему ГИУ относительно скачка нормальной производной q(s) —

dW dv

(безразмерных

амплитуд напряжений) на разрезе I по заданным на нём амплитудам смещений f(t) — f (t cos в, sin в) 1 i

—¡q(s)G(tcosв,tsinв\scosв,ssinp)ds — f (t), 0 < t < l

(12)

где функция G определяется равенством (10).

Перейдем в представлении (10) функции G от функций Ханкеля к функциям Макдональда [4]:

С = [Ко (х )— К0(ХЯ +)]— [Ко (х+~)— К0( хЯ++)], X = —гк Я" = \г — ^ , Я=

Я= , Я++ = |г +

Применение формул сложения [4] для функций Макдональда преобразует ГИУ (12) к следующему виду:

I

Кд = | д^)К (м^ = f (г), 0 < г < I

(13)

4 w (i

K (s, t) — — ¡ K-xx (xs)K_,x (xt)ch ПXshвxsh\ в I xdx. ni 2 V 2 J

3. Результат исследования ГИУ (13) может быть сформулирован в форме следующей теоремы.

Теорема. Оператор К левой части ГИУ (12) однозначно обратим, как оператор, действующий в пространствах

Соболева-Слободецкого [6] (0,1), у = ± '/2 по правилу:

К: Щ—'/2(0,1) ^ Щ12(0,1)

Следуя известному в теории дифракции методу Фока, будем временно считать X > 0 и исследуем ГИУ (13), рассмотренное выше. Тогда оператор К левой части ГИУ оказывается положительно определенным в пространстве обобщенных решений Н(0,1) уравнения (13), которое вводится с помощью нормы

п

4

I

\И,

(0,1)

]|Q(x) 2к (х)дх

X:

Q(x) = V хнИлх | q(s )К_х (х , К (х) =

(п Л

shpxsh х

> 0, 0 < х < да

xsh

пх

со скалярным произведением в виде (* означает комплексное сопряжение):

(Я1 ^2 )И =| Q1 (х)Q* (х)К(х¥х

Далее используется классическая теорема Рисса о единственности представления линейного непрерывного функционала в гильбертовом пространстве [5], которое приводит к следующему условию разрешимости ГИУ (13):

ш № (х)2 I_да

М2 = Г !} \ дх < да, (х) = 4хзклх Г1(s)К_1х Xд

0 к (х) 0

Требуемый результат вытекает из двухсторонней оценки для М2, получаемой с использованием интегрального представления К-х (х) [4], а также равенства Парсеваля для интегрального преобразования Фурье

да 12 да 12

А21(1+р2)2|7(р) др <М2 < А11(1+р2У2\г(р\ др

(14)

о

о

1

2

да

1 (р ) = 11 () sinptdt

о

Левая и правая части (14) представляют норму в пространстве дробной гладкости Соболева-Слободецкого

1/

Ж/2 (0,1) , которому должна принадлежать функция 1(t) правой части (12). Из теоремы Рисса и оценок (14)

- V - V

следует q(t) е И( 0,1) с Ж2/2 (0,1) , где пространство Ж22 (0,1) является сопряженным [6] к пространству

1/

Ж22 (0,1) . Доказательство обратного вложения приводит к результату теоремы.

Переход к случаю X = —к осуществляется на основе использования принципа аналитического продолжения [7] , так как все рассмотренные в работе функции являются аналитическим по параметру X в комплексной области Ке X > 0 , X ^ 0 , где, в частности, расположена и точка X = —к •

Описанный результат согласуется с известными представлениями о граничных свойствах функций из пространств Соболева, в которых отыскиваются решения краевых задач динамической теории упругости. Для построения решения (13) можно использовать результаты работы [8] и восстановить волновое поле смещений в П с помощью представления (11), которое будет выражено через амплитуды 1(х,у) излучения с границ дефекта I.

Это позволяет утверждать однозначную разрешимость исходной краевой задачи (2) в пространстве Соболева

Ж1( П).

Заключение

Результаты, полученные для рассмотренного примера, позволяют утверждать корректность применения метода математического моделирования волнового процесса АИ на основе использования классических моделей динамической теории упругости. Восстановленное волновое поле в П при решении прямой задачи может служить основой для постановки и решения обратных задач [3], [9], [10] восстановления параметров излучения дефекта I по характеристикам сигналов АИ, регистрируемых акустико-эмиссионной либо геофизической аппаратурой.

Предложенный выше подход позволяет рассматривать и случаи других граничных условий на полубесконечных

границах угловой области. Случаи, когда углы раствора угловых областей не равны 900, а линейный дефект выходит

не на вершину угла, также могут быть рассмотрены в рамках предложенного подхода. Однако преобразования при этом оказываются достаточно громоздкими, и поэтому указанные случаи в данной работе не рассматриваются.

Конфликт интересов Conflict of Interest

Не указан. None declared.

Список литературы / References

1. Рекач В.Г. Руководство к решению задач по теории упругости / В.Г. Рекач. -М.: Высшая школа. -1977. -275с.

2. Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения/ В.Д. Купрадзе. - М.: ГИТТЛ. -1958. -280с.

3. Berkovich V.N. Amplitude Reconstruction of the Defect Radiation by Acoustic Emission Signals on the Unloaded Boundary of a Massive Body / V.N.Berkovich, S.I.Builo. // Russian Journal of Nondestuctive Testing. - 2019. - №4. - pp. 262-267.

4. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения / Н.Н.Лебедев. -М.-Л.: Наука. - 1968. -358с.

5. Люстерник Л.А. Элементы функционального анализа / Л.А.Люстерник, В.И.Соболев. -М.: Наука. 1965. -519с.

6. Бесов О.В. Интегральные представления функций и теоремы вложения / О.В.Бесов, В.П.Ильин, С.М.Никольский. -М.: Наука. - 1975. -478с.

7. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Наука. - 1967. -376с.

8. Беркович В.Н. О точном решении одного класса интегральных уравнений смешанных задач упругости и математической физики/ В.Н.Беркович // Докл.АН СССР. -1982. -Т.267. -№2. -С.327-330.

9. Ватульян А.О. Прямые и обратные задачи для однородных и неоднородных упругих и электроупругих тел/ А.О.Ватульян, А.Н.Соловьев. - Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ. - 2008.- 175 с.

10. Романов В.Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа/ В.Г. Романов. -Новосибирск: Наука. -1972. -315с.

11. Рябой В.З. Кинематические и динамические характеристики глубинных волн, связанных с границами в земной коре и верхней мантии/ Рябой В.З. // Изв. АН СССР. . -Сер.геофиз. - 1966-№3. - С. 175-182

Список литературы на английском языке / References in English

1. Rekach V.G. Rukovodctvo k resheniyu zadach po teorii uprugosti [The guide to solve the elasticity problems] / V.G.Rekach -М: Visshaya shkola ['Higher School' Press], 1977. -М. -275 P.[in Russian]

2. Kupradze V.D. Granichnie zadachi tiorii kolebaniy I integralniye uravneniya [Boundary value problems of the vibration theory and inttgral equations] / V.D. Kupradze. - М.: [Gosud. Izdat. Teoret. i Tehnich.Literfturi], - 1958. -280 P. [in Russian]

3. Lebedev N.N. Spetsialniye funktsii i ih prilogeniya [Special functions and its applications] / N.N. Lebedev- М.-L.: Nauka ['Science' Press], 1968.-358 P. [in Russian]

4. Berkovich V.N. Amplitude Reconstruction of the Defect Radiation by Acoustic Emission Signals on the Unloaded Boundary of a Massive Body // Russian Journal of Nondestuctive Testing. - 2019. - №4. - P. 262-267.

5. Lusternik L.A. Elementi funktsionalnogo analiza [Elements of the functional analysis] / L.A.Lusternik,V.I.Sobolev-М.: Nauka ['Science' Press], 1965.- 519 P. [in Russian]

6. Besov O.V. Integralniye predstavleniya funktsiy i teoremi vlozheniya [Integral representations' of function and embedding theirems] / O.V.Besov, V.P.Ilyin, S.M.Nikolskiy - М.: Nauka ['Science' Press],- 1975. -478 P.

7. Privalov I.I. Vvedenie v teoriyu funktsiy kompleksnogo peremennogo [Introduction in the theory of the complex variable]/ I.I.Privalov -М.: Nauka ['Science' Press], 1967.-376 P. [in Russian]

8. Berkovich V.N. O tochnom reshenii odnogo klassa integralnih uravneniy smeshannih zadach uprugosti I matematicheskoi fiziki [On the exact solution of some class of integral equations for mixed problems of elasticity and mathematical physics]/ V.N.Berkovich // Dokladi Akademii Nauk SSSR [Reports of Academy of Sciences]. -1982. V. -267. -№2. - P. 327-330. [in Russian]

9. Vatulyan A.O. Pryamie i obrutniye zadachi dlya odnorodnih i neodnorodnih uprudih i elektrouprugih tel. [Right and inverse problems for heterogeneous and homogeneous elastic bodes] / A.O. Vatulyan, A.N.Solovyev.- Rostov-na-Donu: publishing house YUFU. [Southern Federal University Press] - 2008.- 175 P. [in Russian]

10. Romanov V.G. Nekotoriye obratniye zadachi dlya uravneniy hiperbolicheskogo tipa [Some inverse problems for equations of the hyperbolic type] / V.G.-Romanov. - Novosibirsk: Nauka [Science Press ]. -1972. -315 P. [in Russian]

11. Ryaboy V.Z. Kinematicheskiye i dinamicheskiye harakteristiki glubinnih voln, svyazannih s granizami v zemnoy kore i verhney mantii [Kinematic and dynamic characteristics of depth waves connected with boundaries in the earth crust and upper mantle] / V.Z. Ryaboy. // Izv. AN SSSR [News of Russian Acadamy of Sciences]. -[ Ser.Geophys.]. - 1966. №3. -P.175-182.[in Russian].