О корректности дифференциального уравнения, испытывающего импульсные воздействия на заданной линии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.911

О КОРРЕКТНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ, ИСПЫТЫВАЮЩЕГО ИМПУЛЬСНЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ НА ЗАДАННОЙ ЛИНИИ

© Е. С. Жуковский, О. В. Скопинцева

Ключевые слова: импульсное дифференциальное уравнение; корректная разрешимость задачи Коши; метрические пространства кусочно непрерывных функций.

Получены условия, гарантирующие непрерывную зависимость решения импульсного дифференциального уравнения от начальных условий, правой части уравнения, величины импульсного воздействия и линии, на которой оно происходит. В работе используется специальное метрическое функциональное пространство, в котором можно применить классический аппарат анализа к операторному уравнению, равносильному исходному импульсному дифференциальному уравнению.

Пусть R — множество действительных чисел, C = C([a,b], R) — пространство непрерывных функций x : [a,b] ^ R с метрикой pC (xi,X2) = таха« \x\(t) — X2(t)\; L^ = = L^([a, b], R”) — пространство измеримых существенно ограниченных функций (классов эквивалентности) y : [a,b] ^ R” с метрикой pL (y1,y2) = vrai sup \yi(s) — y2(s)\; AC^ =

s£ [a, b]

= AC^([a,b], R”) пространство абсолютно непрерывных функций x : [a,b] ^ R”, имеющих существенно ограниченную производную X Е L^, с метрикой pL (xi,X2) = \xi(a)—x2(a)\ + + Plx (xi,x2)•

Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием широко применяются при описании процессов, в которых возможны мгновенные или очень быстрые изменения состояний. Основы теории импульсных уравнений изложены в II]-В данной работе предлагаются условия, гарантирующие непрерывную зависимость решения дифференциального уравнения от начальных условий, правой части уравнения, величины импульсного воздействия и линии, на которой оно происходит. Используются идеи работ [2, 3] построения специального метрического функционального пространства, в котором можно применить классический аппарат анализа к операторному уравнению, равносильному исходному импульсному дифференциальному уравнению.

тт Г 0, если t Е [a,T], ^

Пусть Хт (t) = s , ( ,] Определим пространство

I 1, бели t Е (т, b \ •

S = {xT,s : [a, b] ^ R, xT,s(t) = sxT(t) \ т Е [a,b), s Е R} b

с метрикой pS (xTl,Sl ,xT2,S2 ) = f \xTl,Sl (t) — xT2,S2 (t)\dt^ Теперь определим пространства SC,

a

SAC^ функций x : [a, b] ^ R, каждая из которых может иметь разрыв не более чем в одной любой точке т Е [a, b), где непрерывна слева и имеет предел справа. Любой элемент x Е SC представим в виде x = x + xT,S, где x Е C, xT,S Е S• Соответственно, элемент

х Е БАСж можно задать в виде такой же суммы двух функций, где х Е АС ж- Метрики в этих пространствах определим равенствами

Р БС (х1, х2) (х 1, х2); рз (хт1,в! ,ХТ2,82 )}

РБАСХ> (х1 ,х2) тах{рАСХ1 (х1,х2); рв (хт1,в1 ,хТ2,в2 )}-

Лемма. БС, БАСж — полные метрические пространства.

Пространства БС, БАСж будем использовать при исследовании импульсных дифференциальных уравнений.

Пусть при каждом г = 1, 2,... заданы удовлетворяющая условиям Каратеодори функция $ : [а,Ь] х М ^ М, непрерывные функции дг : М ^ [а,Ь], рг : [а, Ь] ^ М и чпсла аг.

Рассмотрим последовательность импульсных систем

х(Ь) = $г(Ь,х(Ь)), Ь Е [а,Ь], х(а) = аг, (1г)

Дх \ь=д^х)= <Рг(Ь). (2г)

Мы будем рассматривать ситуацию, в которой решение импульсной системы испытает не более одного "удара" определяемого условием (2г). Тогда решением х будет функция, терпящая не более одного разрыва 1 рода в точке т : т = дг(х(т)), абсолютно непрерывная па

каждом из промежутков [а,т], (т,Ь], имеющая существенно ограниченную производную,

(1г)

решение — элемент пространства БАСж.

Пусть, далее, задана функция и Е БАСж. Представим ее в виде и = и + иТ0у30, где и Е АСж, иТ0у30 = воХто Е Б. Пусть тг является минимальным решением уравнения

тг = дг(и(тг)).

(Гги)(Ь) =

£

аг + ! $г(в, и(в))йв, еслж Ь < тг, а

Тг £

аг + / $г(в, и(в))йв + рг(тг) + ^ $г(в,х(в)+ ^г(тг))йв, еслм Ь > тг.

г хг (1г)

БС и

что имеет место сходимость

Рзс (Ги,и) ^ 0. (3)

Заметим, что из соотношения (3) следует тг ^ то, рг(тг) ^ во.

Для произвольного е > 0 положим

т£ = [то - е, то + е], и£ = [и(то) — е, и(то) + е],

В(и,е) = |^) {(Ь,х) Е [а,Ь] х М : \Ь — в\ <е, \х — и(в)\ <е}.

8£.[а,Ь]

Для произвольных £ Е и£ и ^ < е определим при Ь > дг(£) функцию

иг(£, а, Ь) = и(Ь) + рг(дг(£)) + а.

Теорема. Пусть имеет, место условие (3). Пусть существуют такие положительные числа е, Г, Ф, что для каждого г = 1, 2,... имеют место оцемки \$г(Ь,х)\ < Г,

I Pi(t)I < Ф при любых x Е U£ и почти всех t Е Т£. Пусть, далее, для некоторого £ > 0 существуют такие константы L, K, N, что

KN + LKФ + KM < 1,

и при всех i = 1, 2,... выполнены неравенства:

Ifi(t,xi) - fi(t,X2)I < L|xi - X2I V(t,xi), (t,X2) Е B(u,£);

I 9i(x\) - gi(x2))| < K|xi - x21 Vxi,x2 Е Us,

I Pi(tl) - <Pi(t2)) I < NI ti - t21 V ti ,t2 Е Ts.

Наконец, будем предполагать, что для, произвольных £ Е U£ и | аI < £ линии x = ui(a,t), t = gi(x) не пересекаются при t > gi(£).

i, (1i)

cm,венное решение xi Е SC, такое что его график {(t,xi(t)) Vt Е [a,b]} С B(u,£); для последовательности {xi} С SC выполнено соотношение psc(xi,u) ^ 0.

SC

пользует методы работ [4, 5].

Приведенное утверждение существенно уточняет условия корректности импульсного дифференциального уравнения, полученные в [6].

ЛИТЕРАТУРА

1. Самойленко А.А. , Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. Киев: Вища шк, 1987.

2. Zhukovskiy E.S., Zhukovskaya T.V. About the correctness of impulsive functional differential equations // Functional Differential Equations. Ariel University Center of Samaria, Ariel, Israel, 2008. Vol. 15. № 3-4. P. 339-348.

3. Жуковский E.C., Пеньков Б.Д., Скопинцева О.В. Об одном подходе к исследованию дифференциальных уравнений, подвергающихся импульсным воздействиям в нефиксированные моменты времени // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. 2011. Т. 16. Вып. 3. С. 735-737.

4. Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 11. С. 1523-1537.

5. Бурлаков Е.О., Жуковский Е.С. Непрерывная зависимость от параметров решений уравнений

Вольтерра с локально сжимающими операторами // Известия вузов. Математика. 2010. 8. С. 16-

29.

6. Скопинцева О.В. Непрерывная зависимость от параметров решений дифференциальных уравнений с импульсным воздействием // Вестник Тамбовского университета. Исследовательские проекты студентов. Приложение к журналу. Тамбов, 2011. Т. 16. Вып. 3. С. 207-210.

Поступила в редакцию 10 ноября 2011 г.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проекты № 11-01-00645, № 11-01-00626), ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы", Министерства образования и науки РФ (проект № 1.1877.2011).

Zhukovskiy E.S., Skopintseva O.V. On well-posedness of differential equation with impulses on the given line. There are derived the conditions that guarantee continuous dependence of a

solution to impulsive differential equation on the initial conditions, on the right-hand side of the equation, on the value of the impulse, and on the line where the impulse takes place. In the work we use a specific metric functional space where one can apply the classical apparatus of analysis to the operator equation equivalent to the initial impulsive differential equation.

Key words: impulsive differential equation; well-posed solvability of the Cauchy problem; metric spaces of piece-wise continuous functions.

УДК 372.851

СОВРЕМЕННАЯ ПРОЕКТНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ В УСЛОВИЯХ РАЗВИТИЯ ИНФОРМАЦИОННО-КОММУНИКАЦИОННЫХ

ТЕХНОЛОГИЙ

© И. В. Кривопалова

Ключевые слова: информационнокоммуникационные технологии (ИКТ).

На современном этапе модернизации перед российским образованием стоит ряд задач: внедрение новых информационных технологий в образовательный процесс, повышение доступности образования, его качества и эффективности, обновление содержания образования, приведение его в соответствие с требованиями времени и задачами развития страны. Современные подходы в образовании, в том числе использование современных информационно-коммуникационных технологий (ИКТ), позволяют создавать условия для развития новых поколений российских граждан, формирования востребованных в будущем специалистов. В связи с этим в современных условиях остро назрела необходимость информатизации сферы образования.

Под информатизацией образования на современном этапе развития ИКТ подразумевается не только применение вычислительной техники в преподавании информатики и других дисциплин, но и предоставление обучающимся доступа к огромному объему информации, хранящейся в удаленных базах данных и архивах.

Актуальной является проблема овладения новыми информационно-коммуникационными технологиями студентами.

В настоящее время остро стоит проблема развития познавательной активности обучаемых в образовательном процессе.

Одним из средств решения данной проблемы является проектная методика.

Каждая дисциплина обладает своей собственной системой проектных правил и методов. Проект не всегда строится только лишь на рациональных методах, порой основой проектирования становится творческий эксперимент [1].

Сетевая технология увеличивает экспериментальные возможности творческого процес-сареализации проекта.

Так, информационно-коммуникационные технологии побуждают к экспериментальным поискам, вследствие чего, хорошо известная проектная методика переросла в сетевую проектную деятельность. Последняя более сложная и гибкая, чем традиционная, и вмещает в себя множество "проектов", идей, гипотез, смежных дисциплин и методов.

В связи с этим в процессе обучения необходимо изменить подходы к организации самостоятельной учебно-познавательной деятельности студентов, поскольку эффективная организация таковой способна не только создавать условия для повышения качества обучения,