CC BY
9
4.Гасанов Ф.Ф. Моделирование зарождения трещин сдвига в теле, ослабленном периодической системой круглых отверстий / Ф. Ф. Гасанов // Пробл. машиностроения.-2013-Т. 16, № 3,-С. 2937.
5.Mamedov A.T., Mekhtiev R.K. Modeling of a fibrous composite reinforced with unidirectional orthotropic fibers weakened by rectilinear cracks under longitudinal shear / Mamedov A.T., Mekhtiev R.K. / / Mechanics of composite materials and structures. October-December 2017, VOLUME 23, No. 4, p. 579591
6.Mekhtiev R.K. Dzhafarova S.A. Abdulazimova E.A. Interaction of a doubly periodic system of orthotropic inclusions and rectilinear cracks under transverse shear Miedzynarodowe czasopismo naukowe, Colloquium-journal, No. 2 (13), 2018 Czesc 1 Warszawa, Polska
7.Zolgharnein, E. Nucleation of a crack under the influence of cylindrical bodies E. Zolgharnein, V. M.
Mirsalimov // Acta Polytechnica Hungarica. - 2012. -Vol. 9, No. 2. - P. 169-183.
8.Mehtiyev R.K. The longitudinal shift of bodies with a complex structure weakened by straight-line cracks // Construction mechanics and the calculation of structures issn 0039-2383№ 5 2017. Pp. 69-72.
Сведение об авторе
Фамилия, имя, отчество: МехтиевРафаиль Керим оглы.Место работы, должность: Азербайджанский Технический Университет, доц. «Технология материалов» Ученое звание и степень: кандидат физ.-мат наук
Научное направление: Композиционные материалы Место жительство: AZ 1133, Баку, Сураха-нийский район, жил.массив «Д», дом 6, кВ. 45
Контактные телефоны: раб. (+994) 538 34 69; дом. 012 477 30 11; сот.050 348-63-97 , е-mail: [email protected] Дата рождения: 10фев-раль 1960 г.
О КОНВЕКТИВНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ГАЗО-ПАРОВОЙ СМЕСИ ПРИ ОКОЛОКРИТИЧЕСКОЙ ТЕМПЕРАТУРЕ
Палымский Игорь Борисович
Докт. физ.-мат. наук, профессор кафедры физики, г. Новосибирск
Фомин Павел Аркадьевич Канд. физ.-мат. наук, ст. научный сотрудник Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН
г. Новосибирск Li You-Rong
Профессор колледжа энергетики при Чунцинском университете
г. Чунцин Wu Chun-Mei
Доцент колледжа энергетики при Чунцинском университете
г. Чунцин
АННОТАЦИЯ.
Предложена новая физико-математическая модель конвекции Рэлея-Бенара в газо-паровой смеси кислорода и циклогексана, где зависимость плотности от температуры имеет максимум. Выполнен линейный анализ устойчивости, аналитически исследованы два предельных случая, когда параметр инверсии стремится к своим предельным значениям. Получены формулы для инкремента нарастания и затухания, нейтральной кривой и границы области неустойчивости на волновой плоскости.
ABSTRACT.
A new physico-mathematical model of Rayleigh-Benard convection in a gas-vapor oxygen-cyclohexane mixture has been proposed, where the density dependence on temperature has a maximum. A linear stability analysis was performed, two limiting cases were analyzed analytically, when the inversion parameter tends to its limiting values. Formulas for the growth and decay increment, the neutral curve and the boundary of the instability region on the wave plane are obtained.
Ключевые слова: конвекция Рэлея-Бенара, число Рэлея, число Прандтля, линейная теория, инкремент.
Keywords: Rayleigh-Benard convection, Rayleigh number, Prandtl number, linear theory, increment.
Введение
Конвекция в среде с монотонной зависимостью плотности от температуры хорошо изучена и описана [1,2]. Но в природе и огромном числе практически важных приложений, например, при транспортировке углеводородов по трубопроводам, конвекции холодной воды при таянии ледников [3-7], инертных и реагирующих газо-паровых смесей в химических реакторах и технологических установ-
ках, плотность конвектирующей среды есть немонотонная и нелинейная функция температуры с максимумом при определенном ее (критическом) значении. Наибольшую сложность, теоретический и практический интерес представляет собой исследование характеристик конвекции в окрестности точки максимума плотности [6,7].
В работе [8] рассматривалась конвекция химически инертной газо-паровой смеси кислорода и
циклогексана (основное сырье для производства капрона, нейлона, капролактама и др.), с учетом процессов его испарения и конденсации на границах области. Показано, что при определенной (критической) температуре, когда испаряется весь добавленный жидкий циклогексан, плотность газо-паровой среды имеет локальный максимум, а соответствующий коэффициент теплового расширения и множитель при члене плавучести в уравнениях движения проходя через нуль меняют знак.
Подчеркнем, что предположение о конденсации циклогексана на стенках и, как следствие, образовании на них пленки более вязкой жидкой субстанции позволяет считать границы области неде-формируемыми и свободными от касательных напряжений [5,9]. Анализ зависимости коэффициента теплового расширения от температуры показывает, что целесообразно, как и в [8], считать коэффициент теплового расширения кусочно-постоянной функцией температуры.
Отметим, что задача о конвекции Рэлея-Бенара в такой газо-паровой смеси асимптотически переходит в классическую задачу Рэлея [1], если максимум плотности достигается на одной из горизонтальных границ.
Отметим также очевидную качественную аналогию с проникающей конвекцией холодной воды при температуре вблизи максимума плотности, где коэффициент теплового расширения также проходит через нуль, являясь, однако, линейной функцией температуры [3,4], что дает материал для сравнения и верификации предложенной модели [5].
В частности, аналогия с проникающей конвекцией холодной воды подсказывает, что если максимум плотности достигается внутри слоя, то линия максимума плотности разделяет весь слой на два подслоя, причем неустойчивость может развиваться только в нижнем, а верхний подслой всегда
устойчив. Причем ситуация качественно не изменяется при замене подогрева снизу на подогрев сверху [4]. А также, что уменьшение относительной толщины нижнего неустойчивого подслоя должно приводить к стабилизации течения [3,4].
Целью настоящей работы является описание новой физико-математической модели конвекции Рэлея-Бенара газо-паровой смеси кислорода и паров циклогексана, с учетом процессов испарения и конденсации циклогексана и описание результатов линейного анализа устойчивости.
Физические свойства газо-паровой среды
Рассматривается конвекция газо-паровой смеси кислорода О2 и паров циклогексана СН12, с учетом возможной конденсации последнего на границах области. Для определенности, общая массовая доля циклогексана (в виде конденсированной фазы и пара) принята равной во = 0.524.
При критической температуре Тсг испаряется весь добавленный в систему циклогексан. Таким образом, при Т < Тсг циклогексан присутствует в системе в виде жидкой конденсированной фазы на границах области и в виде насыщенного пара, причем увеличение температуры приводит к быстрому росту давления насыщенного пара циклогексана, согласно формуле (1) и соответствующему увеличению плотности газо-паровой среды. А при Т > Тсг циклогексан присутствует в системе только в виде ненасыщенного пара с относительно слабым изменением его парциального давления, поэтому дальнейшее увеличение температуры приводит к уменьшению плотности в соответствии с уравнением состояния идеального газа.
Ввиду малого изменения температуры в рамках используемого приближения Буссинеска, парциальное давление кислорода полагаем фиксированным и равным 1 атм. Полное давление рассматриваемой газо-паровой среды Р равно сумме парциальных давлений кислорода и пара
Р = 1 + Рт.
При Т < Тсг давление насыщенного пара циклогексана (атм.) может быть вычислено по известной абсолютной температуре:
А при T > Tcr циклогексан присутствует в системе только в виде ненасыщенного пара и относительно
слабой по сравнению с (1) зависимостью от температуры при T > Tcr здесь пренебрегаем.
Молярная масса газовой смеси ц (кг/кмоль) определена молярными массами кислорода и циклогексана и их парциальными давлениями:
ЖГ) = С1-32 + Р„(Г)-В4)/(1 + РЯ((Г).
Здесь 32кг/кмоль и 84кг/кмоль суть молярные массы кислорода Q2 и циклогексана СбН12, соответственно. При Т > Тсг значение молярной массы газо-паровой смеси в выбранном приближении постоянно.
Плотность идеального газа может быть определена в соответствии с состоянием идеального газа (рис. 1): Здесь Я - универсальная газовая постоянная. Температуры холодной и подогретой границ на рис. 1 показаны условно для пояснения постановки задачи и реальным значениям не соответствуют. Коэффициент теплового расширения в может быть вычислен из соотношения:
р йТ В dl
Р, kg/inj
/ -- / Р„ = 147Ц;/„.-1- - / 1 "
/ 1 / Тсг= 54 С h
Рис. 1. Плотность газо-паровой среды.
В работе рассматривается случай, когда максимум плотности достигается внутри слоя. Разрывная зависимость коэффициента теплового расширения от температуры аппроксимируется кусочно-постоянной функцией с разрывом при критической температуре, где данная функция принимает значения 0.003054 в нижнем неустойчивом подслое и -0.01583 - в устойчивом верхнем. При этом, кинематическая вязкость v и температуропроводность х ведут себя как непрерывные функции и в рамках приближения Буссинеска могут считаться постоянными.
Можно показать, что значения критического давления насыщенных паров циклогексана (Psv = 0.4191атм.) и температуры (Tcr = 54.32°C (327.5K)) определено массовой долей циклогексана ß0 = 0.524.
Для определенности предполагается, что температура верхней холодной горизонтальной границы Tc меньше критической Tcr, а температура
нижней нагретой горизонтальной границы Th больше и, следовательно, Tc < Tcr < Th. Как и в случае конвекции холодной воды, линия максимума плотности (T = Tcr) делит весь слой на два подслоя и неустойчивость развивается только в нижнем подслое, а верхний устойчив всегда [4]. Относительные толщины этих подслоев характеризует параметр инверсии т = d/H =(Th - Tcr)/(Th - Tc), 0 < т < 1, который есть толщина неустойчивого подслоя d отнесенная к толщине всего слоя H. В предельных случаях т = 1 и 0 описанная постановка переходит в классическую задачу Рэлея с ß = 0.003054 и -0.01583, соответственно [1]. Как и при конвекции холодной воды, анализ формы профиля плотности (рис.1) показывает, что ситуация не изменяется качественно, если нагрев снизу заменить нагревом сверху [4].
Линейный анализ
Рассуждая по аналогии [1], можно получить для исследования конвективной устойчивости в линейном приближении следующую систему уравнений:
щ = А® + С(т,у) ■ Яа ■ Ащ =-щ, Qí = (Ар - \ух)/Рг.
Нормированный коэффициент теплового расширения С(т,у) определен как:
В системе (2) у и ю есть функция тока и завихренность, а 2 - отклонение температуры от ее линейного равновесного профиля. Характерные значения размерных величин выбраны как: Н (высота слоя) для длины, х/Н - для скорости, Н2^ - для времени, р^Н2 - для давления, 1/Тсг (значение в неустойчивом подслое) - для коэффициента теплового расширения и дТ = Ть - Тс для температуры, а параметр инверсии т = ё/Н = (Ть - Тсг)/(Ть - Тс), 0 < т < 1 есть высота неустойчивого подслоя ё отнесенная к высоте всего слоя Н. Здесь, Яа = gH3дT/(хyTcr) и Рг = v/х - числа Рэлея и Прандтля.
Для решения системы (2) при не слишком малых т используются метод Галеркина [1,10], а при малых т - метод ортогонализации.
В соответствии с методом Галеркина, приближенное решение системы (2) рассматривается в виде:
N N „
—
—(t,x,y) = exp(-^t)sin(«x) ^ —sin(mжy), y/(t,x,y) = exp(-Xt)sin(«x) ^— sin(mwry),
m=\ Sm (3)
m = 1
JV
х,у) = ехр(-Я?)оо8(ах)^ ^т$,т(тлу), = а2 + ш2л2.
т = 1
Здесь, X есть собственное значение (инкремент), а а - волновое число. Отрицательные значения X соответствуют неустойчивости, а положительные - устойчивости течения.
Подставляя представление (3) в систему (2) и следуя стандартной процедуре метода Галеркина [1,10], находим, что условие существования нетривиального решения системы (2) может быть записано в виде равенства нулю детерминанта где А есть квадратная матрица с компонентами Акт'.
1 sin(2m^ т)
Amk = Akm =1 С(T, У ) sin(^y) М^У^ Amk = -(a + 1)(^-¿ - т) / 2 - a / 2 m = К
J 2mn
0
а +1
Л^ =-5-т (ш со$>(тж т) &т(кж т) - к со$>(кж т) &т(тж т)), т Ф к,
ж(к - т )
а D - диагональная с элементами dmm: dmm = 8т (5"ш - Х)(8т -ЯРг)/(2^а-а2), 1 < т <N.
Рассмотрим теперь асимптотические соотношения при т ^ 1, когда максимум плотности достигается на верхней горизонтальной границе и рассматриваемая задача асимптотически переходит в классическую задачу Рэлея [1].
Из (4) можно найти выражения для Amk:
А, = 1 -1 тУ(1 + а)(1 -г)3, т = к; Д^ = 1 ткя\1 + а)(1 -т)3(-1)т+к+1, т Ф к.
Выпианные соотношения показывают, что матрица A при т ^ 1 имеет диагональное приобладание и, как следствие, уравнения для старших гармоник отделяются и могут быть рассмотрены отдельно. Но, именно эти гармоники и определяют устойчивость и характеристики течения [1,2,10].
Тестовые вычисления показали, что при т ^ 1 все характеристики устойчивости могут быть достаточно точно вычислены с учетом только одной гармоники (Ы = 1).
При N = 1 нейтральная кривая (X = 0) принимает вид:
оЗ оЗ ^3 ✓
Ка = Ка = —~(\ + -л-2( 1 + ¿0(1 - т)3) = —+ 40.68• (1 - т)3), Б = а2 + ж2. Л
2 ' 2 V т V А* ' ) ) 2
лп а а 3 а
Отсюда находим критическое значение числа Рэлея (минимум Яа по а):
о ^
ж4 657.511 „ 2
Васг=6Л5 — = 657.511 ■ (1 + — л- (1 + аг)(1 - ту), (б)
Яасг = 657.511-(1 + 40.68(1 -т)3), = 2.221.
Для инкремента X нарастания находим, что
, + Р^ Д -- 2Яаа2Л„
2 Рг V 4 Рг SPr ' О)
. S А + Ргч г— 7T2(a + l)Raa2 „ ч3 ^ S2 А- Ргч, Raa2
А = — (-) - VD +—--'—¡=--(1 -т)3 D =— (-)2 +-.
2V Pr 3Pr S-JD 4V Pr S Pr
При Pr = 1 выражение для инкремента X существенно упрощается
А= S-ajRa/S +аЖ ^ + у/Ra/S-{l-rf, Л= S-ay/Ra/S +20.34-ay/Ra/S-(1-rf.(S)
Из соотношений (6-8) можно видеть, что критическое число Рэлея и инкремент X отличаются от полученных в классической задаче Рэлея на величину порядка О(1-т)3 [1] и что уменьшение значения т приводит к стабилизации течения.
На рис. 2 как функция волнового числа а приведен инкремент нарастания X, цифрами на кривых показаны соответствующие значения т, здесь
Ra = 10РаеГ, Яасг = 657.511 и Рг = 0.71. На рис. 3 показана область неустойчивости на волновой плоскости, здесь сплошной линией показана граница области неустойчивости для задачи Рэлея (т = 1), прерывистыми - границы при т = 0.8 и 0.85. Рис. 2 и 3 показывают стабилизацию течения при уменьшении т.
Рис. 2. Инкремент нарастания. Рис. 3. Область неустойчивости.
Теперь рассмотрим предельные при т ^ 0 соотношения, когда максимум плотности достигаетя на нижней границе слоя. Из (4) следует, что
^ =-1 а +1 т2л2(1 + а )г3, т = к; ^ = 1 ткл2(\ + а )г3, т Ф к.
Можно видеть, что матрица А при т ^ 0 имеет диагональное приобладание, уравнения для старших гармоник отделяются и могут быть рассмотрены отдельно.
Соотношение для нейтральной кривой (6) показывает, что при т ^ 0 все возмущения затухают, причем осциляторно, если число Рэлея превышает пороговое значение 3.757 [1].
Выпишем соотношение для инкремента Я при т ^ 0, для простоты положив Рг = 1:
Я= 5-¡ау1 аЯа/5■ (1 - Л (а +1 г3), Я= 5-2.2771а^1 Яа/5 ■ (1 -3.925Г).
3а
Из приведенного соотношения видно, что скорость затухания возмущений, определяемая вещественной частью инкремента, от величины параметра инверсии т не зависит, а его увеличение (уменьшение) приводит к лишь незначительному уменьшению (увеличению) частоты осцилляций.
На рис. 4 и 5 сплошными линиями изображены результаты настоящей работы (линия 1) и данные по расчету конвекции в холодной воде ([4] - линия
2 и [3] - точки), а пунктирная линия соответствует классической задаче Рэлея [1]. На рис. 4 штрих-пунктирной линией показан результат экспериментального исследования конвекции холодной воды [5]. На рис. 4 и 5 за масштаб длины принята высота неустойчивого подслоя, при этом данные настоящей работы пересчитаны как Яасг'т4 и асг'т, соответственно.
Рис. 4. Критическое число Рэлея.
Рис. 5. Критическое волновое число.
Можно видеть, что при 0.8 < т < 1 результаты настоящей работы близки к данным расчетов конвекции в холодной воде [3,4], при т = 1 асимптотически соответствуют данным для задачи Рэлея, а при малых т выходят на асимптотики Racr = 526.4/т4 и acr = 2.122/т.
Отметим, что по значению критического числа Рэлея результаты экспериментального исследования конвекции в холодной воде [5] существенно ближе к результатам настоящей работы (отклонение 9.6%), чем к теоретическим результатам по конвекции в холодной воде [3,4], где отклонение составило около 43%. В качестве возможной причины можно указать то, что в эксперименте [5], как и в настоящей работе, коэффициент теплового расширения в считался постоянным. По этой же при-
чине, результаты настоящей работы также значительно ближе к результатам решения классической задачи Рэлея (с постоянным ß) [1], чем теоретические результаты по конвекции в холодной воде [3,4].
Заключение
В настоящей работы описана новая физико-математической модель конвекции газо-паровой смеси кислорода и паров циклогексана, с учетом процессов испарения и конденсации циклогексана на границах области. Показано, что при определенной (критической) температуре, когда испаряется весь добавленный жидкий циклогексан, плотность газо-паровой среды достигает локального максимума, где коэффициент теплового расширения и сила плавучести в уравнениях движения проходя через нуль меняют знак.
Проведен линейный анализ устойчивости и выполнен анализ данных, полученных в ходе численных расчетов нелинейных стационарных режимов конвекции Рэлея-Бенара. В обеих предельных случаях, когда максимум плотности достигается на одной из горизонтальных границ получены аналитические асимптотические формулы для характеристик устойчивости. В рамках одномодового приближения получены выражения для инкремента нарастания (затухания) первой старшей моды, исследована граница области неустойчивости на волновой плоскости.
Показано, что имеет место качественная аналогия между конвекцией в рассматриваемой газопаровой среде и проникающей конвекцией холодной воды вблизи точки максимума плотности, где коэффициент теплового расширения также проходит через нуль, но является при этом линейной функцией температуры. В частности, уменьшение относительной толщины нижнего неустойчивого подслоя приводит к стабилизации течения.
Работа выполнена в рамках Проекта РФФИ №17-58-53100.
Список литературы:
1. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. - 392 с.
2. Палымский И.Б. Турбулентная конвекция Рэлея-Бенара. Численный метод и результаты расчетов. Германия: LAP, 2011. - 232с.
3. Veronis G. Penetrative convection//Astrophys. J.-1963.- V.137. - P.641-663.
4. Надолин К.А. О проникающей конвекции в приближении изотермически несжимаемой жидкости // Изв. РАН, сер.: МЖГ. - 1996. - №2. - с.40-52.
5. Tankin R., Farhadieh R. Effects of thermal convection currents on formation of ice // Int. J. Heat Mass Transfer. - 1971. - V.14. - P. 953-960.
6. Кузнецова Д.В., Сибгатуллин И.Н. Переходные режимы в проникающей конвекции в плоском слое // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2011. - №4(3). - с.907-909.
7. Hu Yu-Peng, Li You-Rong, Li Ming-Hai, Zhang Li, Li Si-Zhong. Effects of enclosure geometry and thermal boundary condition on Rayleigh-Benard convection of cold water near its maximum density // Int. J. Therm. Sci. - 2017. - V.120. - P.220-232.
8. Palymskiy I.B. About convection stability of the gas-vapor mixture at the temperature close to critical // J. App. Mech. Engineer. - V. 7. - P. 53-54.
9. Goldstein R.J., Graham D.J. Stability of a horizontal fluid with zero shear boundaries // Phys. Fluids. - 1969. - V.12. - N.6. - P. 1133-1137.
10. Palymskiy I.B., Fomin P.A., Hieronymus H. Rayleigh-Benard convection in a chemical equilibrium gas (simulation of surface detonation wave initiation) // App. Math. Modelling. - 2008. - V. 32. - Is. 5. - P. 660676.
УДК 530.1(091)_
НЕТРАДИЦИОННЫЕ,ЭВРИСТИЧЕСКИЕ НАУЧНЫЕ ИДЕИ В ТЕХНИКЕ, В ЖИВЫХ ОРГАНИЗМАХИ ЗЕЛЕНОМ РАСТИТЕЛЬНОМ МИРЕ.
Урсеитов Орозбай Урсеитович
кандидат тех. наук, доцент. Абдылдаев Курманбек Кыянович кандидат тех. наук, доцент. Торубаева Упол Сокубашевна
ст. преп., соискатель.
АННОТАЦИЯ.
В статье рассматривается нетрадиционные, эвристические новые взгляды на предмет электротехника и электроника,на живой организм и зеленый растительный мир. Авторы вводят новое понятие «Возбудитель - возбуждение».
Ключевые слова: возбудитель, усилитель, уголь, «Ичеги»
В связи с отсутствием в рамках классической и современной теории эффектов от практического применения электротехники в данной статье рассматриваются нетрадиционные эвристические новые взгляды на предмет электротехника и электроника на живой организм и зеленый растительный мир.
С развитием и практическим применением электротехники, электроники в живых организмах и зеленом растительном мире встречаются эффекты, которые не раскрыты теоретически и не опубликованы до настоящего времени. Причины их возникновения не рассматриваются в рамках классической и современной теории. В результате рождаются нетрадиционные, эвристические
научные идеи. Знакомство с предложенными новыми идеями, безусловно, будет полезно для читателя (студенты, соискатели и аспиранты).
За объект предлагаемого эффекта приняты:
- получение усиленного постоянного электрического напряжения выпрямительной схеме Ларионова;
- принцип усиления магнитным усилителем;
- принцип возникновения ферро резонанса;
- принцип горения каменного угля;
- принцип возникновения электромагнита;
- принцип возникновения внутреннего фотоэффекта;
- принципы размножения на живом организме;
