CC BY
35
2012 Механика № 4
УДК 539.3
К.Б. Устинов, П.С. Шушпанников
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва, Россия
О КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ, ВЫЗВАННЫХ СФЕРОИДАЛЬНЫМИ НЕОДНОРОДНОСТЯМИ
Рассматривается задача о неоднородности в форме эллипсоида вращения в бесконечно протяженной однородной изотропной упругой среде. На основе метода эквивалентных включений Эшелби выписаны выражения для концентрации напряжений внутри и на границе неоднородностей, отличающейся от вмещающего тела упругими константами (модулем сдвига и коэффициентом Пуассона). Путем предельных переходов и асимптотических разложений общего решения получены выражения для концентрации напряжений внутри и на границе неоднородностей для ряда практически важных частных случаев. Параметрами, определяющими тип асимптотического поведения, являются отношение полуосей включения и отношение сдвиговых модулей включения и матрицы, или их обратные величины. Коэффициенты Пуассона матрицы и включения оказывают существенно меньшее влияние. При одновременном сильном отклонении указанных параметров от единицы выделены семь непересекающихся областей, соответствующие различным последовательным предельным переходам по этим параметрам к нулю, либо к бесконечности. Выделенные семь областей соответствуют различным физическим ситуациям, соответствующим очень жестким или очень мягким включениям в форме сильно сплющенных дисков или сильно вытянутых иголок. Хотя рассмотренные в статье решения были либо получены ранее, либо могли бы быть получены из известных частных решений алгебраическими манипуляциями, достоинством использованного метода является получение не только самих решений для ряда частных случаев, но и оценки области их применимости. В работе также даны численные оценки области применимости асимптотик, полученные путем их сравнения с точными решениями и подтверждающие правильность теоретических оценок.
Ключевые слова: включение, неоднородность, концентрация напряжений, тензор Эшелби, малый параметр.
K.B. Ustinov, P.S. Shushpannikov
Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics RAS, Moscow, Russian Federation
ON STRESS CONCENTRATIONS CAUSED BY SPHEROIDAL INHOMOGENEITIES
The problem of spheroidal inclusion in an infinite homogeneous isotropic elastic media is considered. On the base of Eshelby's method of equivalent inclusions the stress concentrations inside and at the inclusion boundary are written down for the inclusions, which elastic constants (shear moduli and Poisson's ratios) are different from the elastic constants of the media (matrix). Expressions for stress concentrations both inside and at the boundary were obtained by asymptotic expansions and limit transitions of the general solution for the number of particular important cases. Parameters determining the
type of asymptotical behavior are the ratio of the inclusion semi-axes and ratios of the shear moduli of the matrix and inclusion (or the inversed values). The Poisson's ratios of matrix and inclusion have less effect. For simultaneous high deviation of these parameters from unity seven non-overlapping regions are distinguished corresponding to various successive limit transitions of these parameters to zero either to infinity. These seven regions correspond to various physical situations corresponding to pennyshaped and needle-like inclusions of high and low rigidity. Although the obtained solutions were either known before, or might be obtained from the known particular solutions by algebraic manipulations, the advantage of the used method is in simultaneous estimation of the applicability ranges of the obtained solutions rather than obtaining the solution themselves. The applicability ranges of the obtained asymptotics were also obtained by numerical comparison with the exact solutions, which confirm the theoretical estimations.
Keywords: inclusion, inhomogeneity, stress concentration, Eshelby tensor, small parameter.
Введение и общие положения
При разработке новых материалов и при выполнении расчетов на прочность важным является вопрос определения концентраций напряжений, вызываемых наличием в материале неоднородностей, свойства которых отличаются от свойств основного материала.
Концентрации напряжений как внутри, так и на внешней границе неоднородностей могут быть посчитаны на основе метода эквивалентных включений Эшелби [1]. В случае эллипсоидальной (в частности,
сфероидальной) неоднородности напряжения 6т внутри нее однородны и полностью определяются напряжениями а", приложенными на бесконечности
= £т ^ . (1)
Здесь Вт - искомый тензор концентрации напряжений 4-го ранга.
Здесь и далее, если не оговорено обратное, применяется прямая, бе-
зындексная форма записи. Предполагается, что внутри и вне неоднородности выполняется обобщенный закон Гука:
(Г=Л0"Г, а“ =Л*-%in, (2)
где Л0 и Л* - тензоры упругости матрицы и неоднородности соответственно; Г - тензор деформации на бесконечности; sin - тензор деформации внутри неоднородности. Неоднородность предполагается свободной от собственных деформаций.
Упругие поля внутри сфероидальной неоднородности могут быть найдены следующим образом [1, 2]. Вводя понятие эквивалентного включения из материала матрицы, получаем систему уравнений, соот-
ветствующую равенству напряжении в истинном и эквивалентном включениях, для определения соответствующих эквивалентных собственных деформаций в*, которые имели бы место в таком включении:
Л* -Г =Л0--(Г -Г), Г -
„то , с-айй = 8 +8 ,
(3)
где 8аёй - тензор стесненной деформации эквивалентного включения, связанный с эквивалентными собственными деформациями посредством тензора Эшелби 5* [1]:
8^ = 5-8* .
(4)
Отличные от нуля компоненты тензора Эшелби для рассматриваемого случая изотропной матрицы и неоднородностей в форме эллипсоидов вращения (сфероидов) с полуосями а1 = а2 <а3 известны.
В системе координат Ох1х2х3 с началом в центре неоднородности О
и осями, направленными вдоль осей эллипсоида, имеем [1, 2]
с
51111 _ 52222 _
Л
3Р+я
4 у
2
с
I пРр , 51122 — 52211 _
\
I --Рр2, 3
4л / \ / рэ I
5„зз = 52233 =у Рр2-(Рр2+пу, 5ззи = «3322 = 4п(— - я|-(Р - 2Я)1,
«3333 — 4п
ГР V 3
\
(1-3р2)+Я + 2(Рр2 - Щ1,
51313 _ 52323 _ 2п
Р
(1+р2)+Я |-(Р(1+р2)+яу/2, «1212 =(«1111 -5]]22)/2,
(5)
где
Р=
I=-
я -1 1-
8те(1-у0)(1-р2 )’ 8те(1-Уо)’
рд/р2 -1 - С08Ь_1р , р =
2тер
, 2 \3/2
(р2-1)
а3
а
(6)
Здесь и далее ц0 и \0 - модуль сдвига и коэффициент Пуассона матрицы соответственно. Оставшиеся отличные от нуля компоненты мо-
3
3
гут быть получены с использованием следующих свойств симметрии тензора Эшелби:
5г/к! 5/гк! 5г/!к. (7)
Решение системы (1)-(4) имеет вид
Г =\Ё+5-Ло1 -(А*-Л0. (8)
Здесь Ё/Ы ={ЬШ8/1 +8а8/к) /2 - единичный тензор 4-го ранга, 5/ - символ Кронекера, Л0 -Ло1 = Ё .
Подставляя (8) в (2) и учитывая (1), получим следующее выражение для тензора концентрации напряжений внутри неоднородности:
Вгп =
X -к;1 +Л0 -5 -(Ло1 -л;1)]-1 (9)
Для рассматриваемых случаев характер решения определяется двумя основными параметрами: отношением модулей матрицы и неоднородности ц*/ц0 и отношением полуосей эллипсоида р-а3/а1.
Асимптотическое поведение решений для концентрации напряжений при одновременном увеличении или уменьшении данных параметров неочевидно и существенно зависит от последовательности осуществляемых предельных переходов. Подобно тому как это отмечалась для случая вычисления эффективных упругих характеристик [3, 4] и энергии включения [5, 6], различные последовательности предельных переходов соответствуют различным физическим ситуациям.
Далее, принимая во внимание симметрию рассматриваемой задачи, для удобства введем следующие обозначения для отличных от нуля компонент тензора концентрации напряжений Вт :
пт ____Т^гп _Т>/ Т>гп __Т^п __ Т&п ________Т^п _Т^п _
В1111 В2222 В11, В1122 В2211 _ В12, В1133 В2233 ~ В13, В3333 ~ В33, (ю)
Вгп — Вп — В' Вп — Вп — В /9 Вп — В /9
В3311 В3322 В31, В1313 В2323 В441 2, В1212 В66' 2
При этом для компонент тензора концентрации напряжений Вгп справедливы следующие условия симметрии:
т^п _ т>гп _ -п1п /1 1 \
пуИ- В/гк1- В/1к . (11)
Зная тензор напряжений внутри неоднородности &п, компоненты тензора напряжений на ее границе доШ могут быть найдены следующим образом [2]:
__ОШ А 0
=А/к1
Ак1аЪ + ^крБ п1пд (^рдтп ^рдтп )^тпаЪ °аЪ, (12)
где пг - компоненты внешней едпничноп нормали к поверхности неоднородности. В рассматриваемом случае изотропной матрицы величины N и Б, входящие в выражение (12), имеют вид [2]
N = Ъ- пп ]•Б• (13)
Введем тензор 4-го ранга А , имеющий следующие компоненты:
А1}аЪ =Аук1 Лк1аЪ + ^крБ %п1 {^^pqmn ~^^pqmn)^тпаЪ - (14)
Тензор А зависит от отношения упругих констант матрицы и неоднородности, направления нормали к поверхности неоднородности, но не зависит от соотношения полуосей эллипсоида. Используя (1), (9), (12), (14), тензор напряжений <зои на внешней границе неоднородности запишем в виде
аои=а В-.6“. (15)
Используя выражение (15), определим тензор концентрации напряжений Вои на внешней границе неоднородности:
Вои = А Вы. (16)
1. Асимптотические разложения тензоров концентрации напряжений
1.1. Жесткая уплощенная неоднородность
Подстановка (5) в (9) с последующим выполнением последовательных предельных переходов ц0/ ц* ^ 0 и а3/ а1 ^ 0 дает компоненты
тензора концентрации напряжений Вт в случае жесткой плоской неоднородности. Ненулевые компоненты главного члена тензора концентрации напряжений Вт в данном случае имеют вид (здесь и далее ис-
пользуется глобальная декартова система координат с осью х3, совпадающей с осью симметрии неоднородности)
В, = а, 4(1-у„Х13-17у„) ^ = а, Х1"13^ +16Ус2).
11 а те(1+У0)(3-^)(7-8У0)’ 12 а3 те(1+У0)(3-^)(7-8У0)’
=_ 01 8У0(1~У0) . о, = 01 16(1~У0) (17)
13 “ а те(1+У0)(3-4У0у 66 “ а л(7-8^)' 1 ;
Поскольку переход ц0/ц* ^ 0, выполненный первым, неявно предполагает, что данное отношение меньше любого параметра, включая и соотношения полуосей а3/ а1, полученные формулы не обязаны
(хотя и могут) оставаться справедливыми при выходе параметрами за пределы диапазона
—>>^»1. (18)
М-0 а3
Напряжения на контуре включения получаются согласно (15), где Вт разложено в ряд по малым ц0/ц* с удержанием лишь главного
члена. После выполнения указанного преобразования вид тензора А{/аЪ
остается все еще достаточно громоздким, чтобы быть приведенным, однако существенным оказывается его независимость от отношения модулей ц0/ ц* :
А«ъ =О(ц0/ц*Л (19)
Подчеркнем еще раз, что оценка (19) справедлива для любого вида формы включения, определяется только соотношением модулей матрицы и неоднородности и не зависит от соотношения данного параметра малости с другими параметрами. Таким образом, при выпол-
нении условий (18) напряжения на контуре, так же как и напряжения внутри неоднородности, возрастают пропорционально отношению полуосей неоднородности и не зависят (в главном члене) от отношения
модулей: ъои = 0(а1/а3) .
Для иного по сравнению с (18) соотношения параметров при одновременном их возрастании решение может быть получено путем
предельных переходов, выполненных в обратном порядке. Роль последовательности выполнения предельных переходов при решении аналогичных задач (вычисления эффективных упругих свойств неоднородных тел) подчеркивалась в работах [3, 7], ив дальнейшем анализировалась в [4-6].
Подстановка (5) в (9) с последующим предельным переходом а3 / а1 ^ 0 дает следующие ненулевые компоненты тензора Вт:
Способ получения формул (20) не гарантирует их справедливость при неограниченном возрастании или убывании упругого модуля неоднородности. Действительно, выполнив предельный переход а3/а1 ^ 0 уже непозволительно предполагать, что другие параметры
могут быть меньше данного соотношения. Следовательно, формулы (20) не обязательно остаются справедливыми (хотя и могли бы быть таковыми в случае наличия полного предела по двум указанным параметрам) при выходе параметров за пределы следующих областей:
Внутри данной области могут быть выделены частные случаи жестких и мягких неоднородностей. Решения при этом получаются разложением (20) в ряды для больших и малых ц* /ц0 соответственно и удерживанием лишь главных членов. Так, для жестких неоднородностей выполненный первым предельный переход а3 / а1 ^ 0 означает,
что хотя отношение ц0/ц* может быть мало, оно не может быть меньше а3/а1. Следовательно, область применимости имеет вид
; В'66 В'33 =В'44 =1. (20)
(21)
а1 ц*
Выражения для главных членов асимптотики компонент тензора Вт получаются отбрасыванием в (20) членов, не содержащих отношения модулей:
ц* 1-у0у* _ц* V*-\0
О, _ р~* 0 * О»
В11 ~ и \/, \ ; В12 _
^0 (1 + ^Х1^*Г ^0 (1 + у0)(1_у*)’
В, _ Ц* У0^1 + У*) ; В _Ц* (03Ч
В13 - (Л у, \; В66 - . (23)
^0 (1 + У0Х1_у*) ^0
Как видно, тензор концентрации напряжений на контуре отличается от определяемого выражениями (20).
Напряжения на контуре включения при выполнении условий (22) согласно (15), (19) возрастают пропорционально отношению модулей и не зависят (в главном члене) от отношения полуосей неоднородности аои‘ = 0(ц*/ц0), т.е. согласно (1), (23) имеют тот же порядок, что и напряжения внутри неоднородности (23).
1.2. Жесткая вытянутая неоднородность
Аналогично подстановка (5) в (9) с последующим выполнением последовательных предельных переходов ц0/ц* ^0 и а1/а3 ^ 0 дает
компоненты тензора концентрации напряжений Вт в случае жесткой вытянутой неоднородности, а именно для случая
—<< а «1. (24)
ц* а3
Ненулевые компоненты главного члена тензора концентрации напряжений Вт в данном случае имеют вид
В'33 ='
2(1-Ус)
4(1+у0 )(1п2й3/ а1 -1)-1
г л2
а3
V а1 J
; В31 _ У0В33. (25)
Напряжения внутри неоднородности, а также, согласно (15), (19), напряжения на контуре неоднородности возрастают пропорционально квадрату отношения полуосей неоднородности и не зависят (в главном
£ /2
члене) от отношения модулей: аои = 0(а3/а1) .
Выполнение предельных переходов в обратном порядке дает следующие ненулевые компоненты тензора концентрации напряжений Вт:
В _ И* (1 + 'У*) ; В _ ,, В (26)
В33 — (л \; В31 _ У0В33. (26)
^0 (^0 )
Область применимости получаемых выражений ограничена по крайней мере следующим диапазоном:
а «— «1. (27)
а3 ц*
Напряжения внутри неоднородности, а также согласно (15), (19) напряжения на контуре неоднородности возрастают пропорционально отношению модулей и не зависят (в главном члене) от отношения полуосей неоднородности: <зои* = 0(ц*/ц0) .
1.3. Мягкая уплощенная неоднородность
Выполнение последовательных предельных переходов |щ/ц0 ^ 0
и а3 / а1 ^ 0 дает компоненты тензора концентрации напряжений Вт в случае мягкой плоской неоднородности, а именно для случая
—<< ^ «1. (28)
М-0 а1
Ненулевые компоненты главного члена тензора концентрации напряжений Вт при этом имеют вид
«1ц* 4У*(1~У0) ; _ а^* 4(1~У0)(1~у*) , _ «1ц* 4(1~У0) (?9)
В13_ л о \ ; В33 \ ; В 44_ у (29)
а3ц0 Ц1-2у*) а3^0 я{1-2у*) а3^0 тс(2-у0)
Напряжения на контуре включения получаются согласно (15), где Вт разложено в ряд по малым ц*/ ц0 с удержанием лишь главного члена.
После выполнения указанного преобразования вид тензора Л^аЪ остается
все еще достаточно громоздким, чтобы быть приведенным, однако существенным оказывается его зависимость от отношения модулей:
А]аЪ = 0(М()/ИД (30)
Аналогично оценке (19) оценка (30) справедлива для любого вида формы включения, определяется только соотношением модулей мат-
рицы и неоднородности и не зависит от соотношения данного параметра малости с другими параметрами. Таким образом, при выполнении условий (28), напряжения на контуре неоднородности возрастают пропорционально отношению полуосей неоднородности и не зависят
(в главном члене) от отношения модулей <5иі = 0(а1/а3) .
Выполнение предельных переходов в обратном порядке ц* /ц0 ^ 0 и а3 / а1 ^ 0 дает компоненты тензора концентрации напряжений Вт для случая
^<<—<<1. (31)
а1 М-0
Ненулевые компоненты главного члена тензора концентрации напряжений Вт в данном случае суть
V*
В'13 —Ц-; В33 —В'44 =1. (32)
(1-v*)
Напряжения на контуре включения находятся из формул (32) для Вт и согласно (30) имеют порядок <зои = 0(ц0/ ц*).
1.4. Мягкая вытянутая неоднородность
Подстановка (5) в (9) с последующим выполнением последовательных предельных переходов |щ/ц0 ^ 0 и а1/ а3 ^ 0 дает компоненты
тензора концентрации напряжений Вт для мягкой вытянутой неоднородности. Ненулевые компоненты тензора концентрации напряжений Вт в данном случае имеют вид
2 2 2 2 ц*3-2у0 -4у*-у0у*+4у0у* цЛ-2у0 -4у* +у0у*+4у0у*^
В11 = ^ ^ о \ ; В12 = '
Мо (^оХ1-^*) Цо (^оХ1“2^)
в, _ ц* 2у* —Уо +УоУ* . _ ц* у* ^о . (зо)
31 “цо )(1-2у*). 13 “ио )(1-2у*)’ ( )
, _ Ц* 1 У* ^оУ* _ . Ц* л. \ ц*
В33 - (Л \Ґ1 0 ч . В66 -^Д1 уо) . В44 “2 .
Мо (1+^ X1-2^) Мо Мо
Полученный результат совпадает с результатом, полученным выполнением предельных переходов в обратном порядке. Это связанно с тем, что в данном случае существует предельный переход по двум параметрам и область применимости (33) шире, чем это было для предыдущих рассмотренных случаев, а именно:
Напряжения на контуре включения находятся из формул (33) для
Выше были получены асимптотические формулы для тензора концентрации напряжений внутри и на контуре включения для практически важных случаев. Оценим степень малости введенных параметров, то есть найдем, для каких численных значений параметров ц* / ц0 и а3 / а1 асимптотические формулы дают приемлемые результаты. Для необходимой оценки были построены диаграммы изолиний относительных ошибок, даваемых асимптотиками для тензоров В по сравнению с точными решениями, аналогично тому, как это делалось в [4-6]. Диаграммы представлены (рисунок) для различных компонент тензора Вт, расчеты проводились для у0 =у* =1/4 .
(34)
Вт и согласно (30) имеют вид <зои* = О (1).
2. Численные оценки областей применимости полученных асимптотик
Рис. Области применимости решений для v0 =v* =1/4 : a - Б[ъ (верхняя полуплоскость) and Б3'1 (нижняя полуплоскость); б - Б3'3
Абсциссы соответствуют (десятичному) логарифму отношения сдвиговых модулей включения и матрицы, ординаты - логарифму отношения полуосей сфероида, моделирующего включение. Жирные линии ограничивают области, в которых соответствующие асимптотики действительны с точностью 3 %, тонкие - 10 %. Данные графики дают достаточно наглядное представление об областях применимости полученных асимптотик и подтверждают теоретические оценки. Из приведенных диаграмм видно, что существует семь областей параметров, соответствующих различным физическим ситуациям. Однако ни одна из компонент тензора концентрации напряжений не обладает неисчезающим главным членом для всех семи областей. С другой стороны, для некоторых компонент (рис., б) асимптотики совпадают.
Абсцисса соответствует десятичному логарифму отношения упругих модулей включения и матрицы. Ордината - десятичному логарифму отношения полуосей включения. Жирные линии ограничивают области, в которых соответствующие асимптотики действительны с точностью 3 %, тонкие линии - 10 %
Выводы и обсуждение результатов
Путем последовательных разложений по малым параметрам получен ряд точных асимптотических формул для концентрации напряжений внутри и на границе сфероидальной неоднородности. Параметрами, определяющими тип асимптотического поведения, являются отношение полуосей включения a3/ а1 и отношение сдвиговых модулей
включения и матрицы ц*/ц0 или их обратные величины. Коэффициенты Пуассона матрицы и включения оказывают существенно меньшее влияние (за исключением отдельно не исследованного случая их стремления к *Л) на поведение решения. При одновременном сильном отклонении параметров а3/ а1 и ц*/ц0 от единицы выделены семь не-пересекающихся областей, соответствующих различным последовательным предельным переходам по параметрам а3 / а1 и ц* /ц0 к нулю
(либо бесконечности). Данный результат аналогичен результату [4-6] для эффективных модулей и энергии неоднородности.
Следует заметить, что для концентрации напряжения на внешнем контуре включения полученные формулы могут быть переписаны
в терминах минимального радиуса кривизны рс = / a1 или pc = a12/ a3
для уплощенного и вытянутого сфероидов соответственно.
Полученные результаты позволяют вычислить локальные поля напряжений и деформаций вблизи неоднородностей, и, следовательно, являться основой для поиска критерия разрушения. Из полученных результатов видно, что выбор подходящего критерия определяется теми же двумя параметрами: отношением полуосей включения a3/a1 и отношением модулей (например, сдвиговых) включения
и матрицы ц*/ц0.
Работа выполнена при финансовой поддержке Программы П24 Президиума РАН.
Библиографический список
1. Eshelby J.D. The determination of the elastic field of an ellipsoidal inclusion, and related problems // Proc. R. Soc. - London. - 1957. - Vol. 241. -P. 376-396.
2. Mura T. Micromechanics of defects in solids // Martinus Nijhoff Publishers, 1987. - 588 p.
3. Коваленко Ю.Ф. Салганик P.Л. Трещиноватые неоднородности и их влияние на эффективные механические характеристики // Изв. АН СССР. МТТ. - 1977. - № 5. - C. 76-86.
4. Ustinov K.B., Goldstein R.V. On application of classical Eshelby approach to calculating effective elastic moduli of dispersed composites // Int. J. Fract. - 2007. - Vol. 147. - No. 1-4. - P. 55-66.
5. Устинов КБ. О вычислении энергии неоднородности; асимптотики и область их применения // Изв. РАН МТТ. - 2010. - № 2. -
C.103-113.
6. Семенова Д.В., Устинов КБ. Асимптотическое вычисление энергии неоднородности в теле, находящемся во внешнем поле напряжений // Изв. РАН. МТТ. - 2011. - № 3. - С. 83-101.
7. Салганик Р.Л. Процессы переноса в телах с большим числом трещин // Инж.-физ. ж-л. - 1974. - T. 27, № 6. - C. 1069-1075.
References
1. Eshelby J.D. The determination of the elastic field of an ellipsoidal inclusion, and related problems. Proc. R. Soc. London, 1957, vol. 241, pp.376-396.
2. Mura T. Micromechanics of defects in solids. Martinus Nijhoff Publishers, 1987, 588 p.
3. Kovalenko Yu.F., Salganik R.L. Fractured inhomogeneities and their influence on effective mechanical characteristics. Izv. Akad. Nauk SSSR. Mekhanika tverdogo tela, 1977, no. 5, pp. 76-86.
4. Ustinov K.B., Goldstein R.V. On application of classical Eshelby approach to calculating effective elastic moduli of dispersed composites. Int. J. Fract., 2007, vol. 147, no. 1-4, pp. 55-66.
5. Ustinov K.B. Computation of the energy of an inhomogeneity: asymptotics and their scope. Mech. Solids, 2010, 45 (2), pp. 238-246.
6. Semenova D.V., Ustinov K.B. Asymptotic computation of the inhomogeneity energy in a body in an external stress field. Mech. Solids, 2011, 46 (3), p. 400-415.
7. Salganik R.L. Transport processes in bodies with a large number of cracks. J. Engn. Phys. Thermophys., 1974, 27 (6), p. 1534-1538.
Сведения об авторах
Устинов Константин Борисович (Москва, Россия) - кандидат физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник лаборатории геомеханики Института проблем механики им. А.Ю. Иш-линского РАН (119526, Россия, Москва, просп. Вернадского, 101-1, e-mail: [email protected] Автор для переписки).
Шушпанников Павел Сергеевич (Москва, Россия) - младший научный сотрудник лаборатории механики прочности и разрушения материалов и конструкций Института проблем механики им. А.Ю. Иш-линского РАН (119526, Россия, Москва, проси. Вернадского, 101-1, e-mail: [email protected]).
About the authors
Ustinov Konstantin Borisovich (Moscow, Russian Federation) -CSc in Physics and Mathematics, ass. prof., Senior Researcher of Geomechanics Laboratory, A. Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics
RAS (101-1, Vernadskoro av., Moscow, 119526, Russian Federation, e-mail: [email protected]).
Shushpannikov Pavel Sergeevich (Moscow, Russian Federation) -Junior Researcher of Mechanics of Strength and Fracture of Materials and Structures Laboratory, A. Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics RAS (101-1, Vernadskoro ave., Moscow, 119526, Russian Federation, e-mail: [email protected]).
Получено 20.11.2012
